【精品】2020年中考数学总复习专题讲义★☆四点共圆模型

2020中考专题4——几何模型之隐圆问题班级姓名.【模型讲解】常见的隐圆模型有:（1）动点到定点的距离为定长；（2）四点共圆；（3）定边对定角（专题3）等.AD＝AC＝AB∠ADB＝∠ACB2∠ADB＝∠ACB∠BAC＋∠BDC＝180°【例题分析】例1.如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为.例1图例2图例3图例2.在矩形ABCD中，已知2=，现有一根长为2cm的木棒EF紧贴着矩形的边BC cm=，3AB cm（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中点P在运动过程cm．中所围成的图形的面积为2例3.如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若AB＝8，则PM的最大值是。

例4.如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点.（1）使∠APB＝30°的点P有个；（2）若点P在y轴上，且∠APB＝30°，求满足条件的点P的坐标；（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否存在最大值？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.【巩固训练】1.如图1，矩形ABCD 中，2AB =，3AD =，点E 、F 分别AD 、DC 边上的点，且2EF =，点G 为EF 的中点，点P 为BC 上一动点，则PA PG +的最小值为．图1图22.如图2，在矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 边上的动点，将EBF ∆沿EF 所在直线折叠得到△EB F '，连接B D '，则B D '的最小值是．3.在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3,0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且2AC =．设tan BOC m ∠=，则m 的取值范围是．4.如图3，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，点F 在边AC 上，并且2CF =，点E 为边BC 上的动点，将CEF ∆沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是.图3图4图55.如图4，四边形ABCD 中，//DC AB ，1BC =，2AB AC AD ===．则BD 的长为.6.如图5，在四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝AD ，若∠BAC ＝25°，∠CAD ＝75°，则∠BDC ＝，∠DBC ＝.7.足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB 的张角大小时，张角越大，射门越好.如图6的正方形网格中，点A ，B ，C ，D ，E 均在格点上，球员带球沿CD 方向进攻，最好的射点在（）A .点CB .点D 或点EC .线段DE （异于端点）上一点D .线段CD （异于端点）上一点图6图7图88.如图7，已知AB 是⊙O 的直径，PQ 是⊙O 的弦，PQ 与AB 不平行，R 是PQ 的中点，作PS ⊥AB ，QT ⊥AB ，垂足分别为S 、T （S ≠T ），并且∠SRT ＝60°，则PQAB的值等于.9.如图8，若PA ＝PB ，∠APB ＝2∠ACB ，AC 与PB 交于点D ，且PB ＝4，PD ＝3，则AD ·DC ＝.10.在平面直角坐标系中，已知点A （4，0）、B （－6，0），点C 是y 轴上的一个动点，当∠BCA ＝45°时，点C 的坐标为.11.如图9，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点D 在AB 边上，点E 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合），且DA ＝DE ，则AD 的取值范围是.图9图1012.如图10，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B ，坐标为（2，m ）.过点B 作AB ⊥y 轴，BC ⊥x 轴，垂足分别为A 、C ，若点P 在线段AB 上滑动（点P 可以与点A 、B 重合），发现使得∠OPC ＝45°的位置有两个，则m 的取值范围为.13.在锐角△ABC 中，AB ＝4，BC ＝5，∠ACB ＝45°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转得到△A ′B ′C ′。

专题07四点共圆模型四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。

相对四点共圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。

本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。

四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。

模型1、定点定长共圆模型（圆的定义）【模型解读】若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。

这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。

条件：如图，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD，结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。

例1、（2023•连云港期中）如图，点O为线段BC的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是．【分析】根据题意得到四边形ABCD共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数．【详解】由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝40°，∴∠ADC＝140°，故答案为：140°．【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键．例2．（2022·安徽合肥·校考一模）如图，O 是AB 的中点，点B ，C ，D 到点O 的距离相等，连接AC BD ，．下列结论不一定成立的是（）A ．12∠=∠B ．3=4∠∠C ．180ABC ADC ∠+∠=︒D ．AC 平分BAD∠【答案】D 【分析】以点O 为圆心，OA 长为半径作圆．再根据圆内接四边形的性质，圆周角定理逐项判断即可．【详解】如图，以点O 为圆心，OA 长为半径作圆．由题意可知：OA OB OC OD ===．即点A 、B 、C 、D 都在圆O 上．A ．∵AB AB =，∴12∠=∠，故A 不符合题意；B ．∵BC BC =，∴3=4∠∠，故B 不符合题意；C ．∵四边形ABCD 是O 的内接四边形，∴180ABC ADC ∠+∠=︒，故C 不符合题意；D ．∵BC 和CD 不一定相等，∴BAC ∠和DAC ∠不一定相等，∴AC 不一定平分BAD ∠，故D 符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，充分理解圆周角定理是解答本题的关键．例3．（2023·陕西·九年级期中）如图，已知AB=AC=AD ，∠CBD=2∠BDC ，∠BAC=44°，则∠CAD 的度数为（）A ．68°B ．88°C ．90°D ．112°【答案】B 【详解】试题分析：本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC=∠ACB ，再求出∠CBD ，然后根据∠ABD=∠ABC ﹣∠CBD 计算即可得解．如图，∵AB=AC=AD ，∴点B 、C 、D 在以点A 为圆心，以AB 的长为半径的圆上；∵∠CBD=2∠BDC ，∠CAD=2∠CBD ，∠BAC=2∠BDC ，∴∠CAD=2∠BAC ，而∠BAC=44°，∴∠CAD=88°，例4．（2022·绵阳市4模型2、定边对双直角共圆模型同侧型异侧型1）定边对双直角模型（同侧型）条件：若平面上A 、B 、C 、D 四个点满足90ABD ACD ∠=∠=︒，结论：A 、B 、C 、D 四点共圆，其中AD 为直径。

专题29 四点共圆问题【规律总结】1、四点共圆：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。

四点共圆有三个性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。

2、判定定理：方法1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。

（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）方法2 ：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。

（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆）【典例分析】例1．（2021·沭阳红岩学校九年级期末）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=，3BC =，4AC =，点P 为平面内一点，且CPB A ∠=∠，过C 作CQ CP ⊥交PB 的延长线于点Q ，则CQ 的最大值为（ ）A ．175B ．154CD 【答案】B【分析】根据题意可得A 、B 、C 、P 四点共圆，由AA 定理判定三角形相似，由此得到CQ 的值与PC 有关，当PC 最大时CQ 即取最大值．【详解】解：∵在Rt ABC △中，90ACB ∠=，CPB A ∠=∠，3BC =，4AC =∵A 、B 、C 、P 四点共圆，AB 为圆的直径，5=∵CQ CP ⊥∵90ACB PCQ ∠=∠=∵∵ABC∵∵PQC ∵AC PC BC CQ =， 43PC CQ =，即34CQ=PC ∵当PC 取得最大值时，CQ 即为最大值∵当PC=AB=5时，CQ 取得最大值为154故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质以及四点共圆，掌握同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等确定四点共圆，利用相似三角形性质得到线段间等量关系是解题关键．例2．（2019·上海市市西初级中学八年级期末）如图，AB 是Rt ABC 和Rt ABD △的公共斜边，AC=BC ，32BAD ∠=，E 是AB 的中点，联结DE 、CE 、CD ，那么ECD ∠=___________________．【答案】13【分析】先证明A、C、B、D四点共圆，得到∵DCB与∵BAD的是同弧所对的圆周角的关系，得到∵DCB 的度数，再证∵ECB=45°，得出结论．【详解】解：∵AB是Rt∵ABC和Rt∵ABD的公共斜边，E是AB中点，∵AE=EB=EC=ED，∵A、C、B、D在以E为圆心的圆上，∵∵BAD=32°，∵∵DCB=∵BAD=32°，又∵AC=BC，E是Rt∵ABC的中点，∵∵ECB=45°，∵∵ECD=∵ECB-∵DCB=13°．故答案为：13．【点睛】本题考查直角三角形的性质、等腰三角形性质、圆周角定理和四点共圆问题，综合性较强．例3．（2020·北京市三帆中学九年级期中）已知：过O上一点A作两条弦AB、AC，且∠=︒，（AB、AC都不经过O）过A作AC的垂线AF，交O于D，直线BD，45AAC 交于点E ，直线BC ，AD 交于点F .（1）请在图1中，按要求补全图形；（2）在图2中探索线段BE 和BF 的数量关系，并证明你的结论；（3）探索线段AB 、AE 、AF 的数量关系，并直接写出你的结论________.【答案】（1）见解析；（2）BE BF =，理由见解析；（3）AE AF =【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）连接EF ，CD ，取EF 中点G 连接BG 、AG ，证明B 、E 、A 、F 四点共圆进而可证出结论；（3）由（2）知，点A 、B 、E 、F 四点共圆，连接CD ，交AB 于点P ，则CD 过圆心O ，由证得出∵ACB∵∵APD∵CPB ，进而可证AC AD +=，由等量代换可得出结论．【详解】解：（1）补全图形（2）BE BF =证明：连接EF ，CD ，CD 过圆心O ，CD 为直径，取EF 中点G 连接BG 、AG ∵AF AE ⊥，∵DBF=90°，∵90EBF FAE ∠=∠=︒∵EG AG =∵EG BG AG GF ===∵B 、E 、A 、F 在圆G 上，∵∵1=∵2，∵∵DAE=90°，∵BAD=45°，∵∵2=∵BAD=45°，又∵∵EBF=90°，∵∵BEF=45°=∵1，∵BE BF =，故答案为：BE BF =；（3）由（2）知，点A 、B 、E 、F 四点共圆，连接CD ，交AB 于点P ，则CD 过圆心O ， ∵∵BEA=∵BFA ，BE BF =，∵EBC=∵DBF=∵DAE=90°，∵∵EBC∵∵FBD ，∵BC=BD ，CE=DF ，在∵ACB 和∵APD 中，∵CAB=∵DAB=45°，∵ABC=∵ADC ，∵BCD=45°，∵∵ACB∵∵APD∵CPB ， ∵,AC AB BC AB AP AD BE BC==， ∵2,AC AD AP AB BC BP AB ⋅=⋅=⋅，CD 为直径，2222==2AC AD CD BC +，∵()222+2AC AD AC AD AC AD =++⋅=222BC AC AD +⋅=22BP AB AP AB ⋅+⋅=()2AB BP AP ⋅+=22AB ，∵AC AD +=，，∵AE AF =+，故答案为：AE AF =+．【点睛】本题考查了四点共圆的证明，圆的性质以及性质应用，勾股定理的应用，熟练掌握圆的性质是解题的关键．【好题演练】一、单选题1．（2020·浙江杭州市·九年级专题练习）如图，圆上有A 、B 、C 、D 四点，其中80BAD ∠=︒，若弧ABC 、弧ADC 的长度分别为7π、11π，则弧BAD 的长度为（ ）A ．4πB ．8πC ．10πD ．15π【答案】C【分析】先求出圆的周长，再根据圆内接四边形的性质可得100C ∠=︒，然后根据圆周角定理可得弧BAD 所对圆心角的度数，最后根据弧长的定义即可得．【详解】弧ABC 、弧ADC 的长度分别为7π、11π∴圆的周长为71118πππ+=80BAD ∠=︒100C ∴∠=︒（圆内接四边形的对角互补）∴弧BAD 所对圆心角的度数为2200C ∠=︒则弧BAD 的长度为2001810360ππ⨯= 故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长的定义、圆内接四边形的性质，熟记圆的相关定理与性质是解题关键．2．（2019·浙江绍兴市·九年级期中）如图1，在等腰三角形ABC 中，AB=AC=4，BC=6．如图2，在底边BC 上取一点D ，连结AD ，使得∠DAC=∠ACD ．如图3，将∠ACD 沿着AD 所在直线折叠，使得点C 落在点E 处，连结BE ，得到四边形ABED ．则BE 的长是（ ）A ．1B ．65C ．3215D ．174【答案】A【分析】只要证明ABD MBE ∆∆∽，得AB BD BM BE =，求出BM 、BD 即可解决问题． 【详解】解：AB AC =，ABC C ∴∠=∠，DAC ACD ∠=∠，DAC ABC ∴∠=∠，C C ∠=∠，CAD CBA ∴∆∆∽， ∴CA CD CB CA ， ∴464CD =， 83CD ∴=，810633BD BC CD =-=-=， DAM DAC DBA ∠=∠=∠，ADM ADB ∠=∠，ADM BDA ∴∆∆∽，∴AD DM BD DA =，即8310833DM =， 3215DM ∴=，103263155MB BD DM =-=-=， ABM C MED ∠=∠=∠，A ∴、B 、E 、D 四点共圆，ADB BEM ∴∠=∠，EBM EAD ABD ∠=∠=∠，ABD MBE ∴∆∆∽， ∴AB BD BM BE=， 6105314BM BD BE AB ⨯∴===．故选：A ．【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题，题目比较难，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题3．（2020·黑龙江哈尔滨市·）如图，等边∠ABC 中，D 在BC 上，E 在AC 上，BD ＝CE ，连BE 、AD 交于F ，T 在EF 上，且DT ＝CE ，AF＝50，TE ＝16，则FT ＝_____．【答案】17【分析】用“SAS”可判定∵ABD∵∵BCE ，得到∵AFE=60°，延长FE 至点G ，使得FG=FA ，连AG ，AT ，得到∵AFG 是等边三角形，证明A 、B 、D 、T 四点共圆，设法证明∵FAT∵∵GAE （ASA ），即可求得答案．【详解】∵∵ABC 为等边三角形，∵AB=AC=BC ，∵ABD=∵BCE=60°，在∵ABD 和∵BCE 中，60AB BC ABD BCE BD CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∵∵ABD∵∵BCE （SAS ），∵∵BAD=∵CBE ，∵∵ADC=∵CBE+∵BFD=∵BAD+∵B ，∵∵BFD=∵B=∵AFE=60°；延长FE 至点G ，使得FG=FA ，连AG ，AT ，∵∵AFE=60°，∵∵AFG 是等边三角形，∵AG=AF=FG=50，∵AGF=∵FAG=60°，∵∵BAF+∵EAF =∵CAG+∵EAF =60°，∵∵BAF=∵CAG ，∵DT=CE ，∵∵DBT=∵BTD ，∵∵BAD=∵CBE ，∵∵BAD=∵BTD ，∵A 、B 、D 、T 四点共圆，∵∵BAD=∵DAT ，∵∵FAT=∵GAE ，在∵FAT 和∵GAE 中，60FAT GAE AF AG AFG AGF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∵∵FAT∵∵GAE （ASA ），∵FT= GE ，∵FG=50，TE=16， ∵FT=12(FG - TE)=17． 故答案为：17．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等，作出辅助线，判断出∵FAT∵∵GAE 是解本题的关键．4．（2020·西安市铁一中学九年级二模）如图，正方形ABCD 中，9AB =，点E 为AD 上一点，且:1:2AE ED =，点P 为边AB 上一动点，连接PE ，过点E 作EF PE ⊥，交射线BC 于点F ，连接PF ，点M 为PF 中点，连接DM ，则DM 的最小值为________．【答案】10【分析】由已知可得AE=3，DE=6，又AB=9，90A ︒∠=，由勾股定理得=90PEF ︒∠=，90PBF ︒∠=，M 为PF 中点，可知M 为四边形BFEP 外接圆的圆心，BE 为圆M 的弦，故圆心M 在线段BE 的垂直平分线上，作线段BE 的垂直平分线GH 交BE 于G ，交CD 于H ，过点D 作DM GH ⊥于M ，此时的线段DM 即为所求最小值，过点E 作EN DM ⊥于N ，则四边形EGMN 为矩形，可得90GEN ︒∠=，GE=MN ，可证ABE NED ，可得AE BE DN DE =，代入数据得：，又，可得DM 的长度．【详解】∵:1:2AE ED =，AD=AB=9，∵AE=3，DE=6，又∵AB=9，90A ︒∠=，=∵90PEF ︒∠=，90PBF ︒∠=，∵B 、F 、E 、P 四点共圆，且PF 为直径，∵M 为PF 中点，∵M 为四边形BFEP 外接圆的圆心，∵E 、B 为定点，∵BE 为圆M 的弦，∵圆心M 在线段BE 的垂直平分线上，如下图，作线段BE 的垂直平分线GH 交BE 于G ，交CD 于H ，过点D 作DM GH ⊥于M ，此时的线段DM 即为所求最小值，过点E 作EN DM ⊥于N ，则四边形EGMN 为矩形，∵90GEN ︒∠=，GE=MN,∵90AEB DEN ︒∠+∠=，∵90A ︒∠=，∵90ABE AEB ︒∠+∠=，∵=DEN ABE ∠∠，又∵==90A DNE ︒∠∠，∵ABE NED ， ∵AE BE DN DE=，即3DN =解得：∵BE=∵EG= ，，+2=10．【点睛】本题考查了圆内接四边形，圆的对称性，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理及其逆定理确定四点共圆是解题的关键．三、解答题5．（2020·沭阳县修远中学九年级期中）在边长为12cm 的正方形ABCD 中，点E 从点D 出发，沿边DC 以1cm/s 的速度向点C 运动，同时，点F 从点C 出发，沿边CB 以1cm/s 的速度向点B 运动，当点E 达到点C 时，两点同时停止运动，连接AE 、DF 交于点P ，设点E ． F 运动时间为t 秒．回答下列问题：(1)如图1，当t 为多少时，EF 的长等于(2)如图2，在点E 、F 运动过程中，①求证：点A 、B 、F 、P 在同一个圆(∠O)上；②是否存在这样的t 值，使得问题①中的∠O 与正方形ABCD 的一边相切?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；③请直接写出问题①中，圆心O 的运动的路径长为_________．【答案】（1）t=4或8；（2）①证明见解析；②存在，t=3或12；③6cm ．【分析】（1）由题意易得DE=CF=t ，则有EC=12-t ，然后利用勾股定理求解即可；（2）①由题意易证∵ADE∵∵DCF ，则有∵CDF=∵DAE ，然后根据平行线的性质可得∵APF=90°，进而可得∵B+∵APF=180°，则问题得证；②由题意可知当∵O 与正方形ABCD 的一边相切时，可分两种情况进行分类讨论求解：一是当圆与AD 相切时，一是当圆与边DC 相切时；③由动点E 、F 在特殊位置时得出圆心O 的运动轨迹，进而求解即可．【详解】解：（1）由题意易得：DE=CF=t ，四边形ABCD 是正方形，∴AB=CD=BC=AD=12cm ，∵C=∵B=∵ADC=∵DAB=90°，∴ EC=12-t ，EF 的长等于，∴在Rt∵CEF 中，222EF EC CF =+，即(()22212t t =-+解得124,8t t ==；（2）①由（1）可得AB=CD=BC=AD=12cm ，∵C=∵B=∵ADC=∵DAB=90°，DE=CF=t ， ∴∵ADE∵∵DCF ，∴∵CDF=∵DAE ，∵CDF+∵PDA=90°，∴∵DAE+∵PDA=90°，∴∵ADP=∵APF=90°，∴∵APF+∵B=180°，由四边形APFB 内角和为360°可得：∵PAB+∵PFB=180°，∴点A 、B 、F 、P 在同一个圆(∵O)上；②由题意易得：当∵O 与正方形ABCD 的一边相切时，只有两种情况；a 、当∵O 与正方形ABCD 的边AD 相切时，如图所示：由题意可得AB 为∵O 的直径，∴t=12；b 、当∵O 与正方形ABCD 的边DC 相切于点G 时，连接OG 并延长交AB 于点M ，过点O 作OH∵BC 交BC 于点H ，连接OF ，如图所示：∴OG∵DC ，GM∵AB ，HF=HB ，∴四边形OMBH 、GOHC 是矩形，∴OH=BM=GC ，OG=HC ，AB=BC=12cm ，∴OH=6，CF=t ，BF=12-t ， ∴126,662222t t t t HF CH OG OF t -==-===+-=+， 在Rt∵FOH 中，222OF OH FH =+，即2226+6622t t ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得：3t =；综上所述：当3t =或t=12时，∵O 与正方形ABCD 的边相切；③由（1）（2）可得：当点E 与点D 重合及点F 与点C 重合时，圆心在正方形的中心上；当点E 与点C 重合及点F 与点B 重合时，圆心在AB 的中点上，故圆心的运动轨迹为一条线段，如图所示：∴OP 即为圆心的运动轨迹，即OP=6cm ．故答案为6cm ．【点睛】本题主要考查圆的综合，熟练掌握圆的性质及切线定理解题的关键，注意运用分类讨论思想解决问题．6．（2020·安徽芜湖市·芜湖一中九年级）已知AD 为锐角ABC ∆的高，G 为AC 中点，DE AB ⊥于点E ，延长ED 至F ，使得GF GD =．（1）证明：AED AFC ∆∆；（2）证明：22AE CF BE AF ⋅=⋅；（3）若6,7,8AB BC CA ===，求四边形ACFD 的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）16【分析】（1）通过GA GD GC GF ===得A ，D ，F ，C 四点共圆，得到ADE ACF ∠=∠，结合90AED AFC ︒∠=∠=，证得AEDAFC ∆∆； （2）通过Rt AED Rt AFC ∆∆，Rt AED Rt DEB ∆∆证得22AE CF BE AF ⋅=⋅； （3）利用勾股定理求得AD ，BD ，CD ，在Rt ADB ∆中，求出DE ，AE ，得出ADE S ∆，借助2()ACF ADE S AC S AD∆∆=，求得ACF S ∆，再用Rt AEF Rt ADC ∆∆，得到2()AEF ADC AE S S AD ∆∆=⋅，最后ACFD AEF ACF AED S S S S ∆∆∆∆=+-．【详解】解：（1）∵GA GD GC GF ===∵,,,A D F C 四点共圆∵90AFC ADC ︒∠=∠=又∵ADE ACF ∠=∠∵Rt AED Rt AFC ∆∆（2）由（1）Rt AEDRt AFC ∆∆ ∵AF AE CF ED= 又∵Rt AEDRt DEB ∆∆ ∵AF AE DE CF ED EB== ∵2()AF AE DE AE CF ED EB EB =⋅= 即22AE CF BE AF ⋅=⋅（3）∵222236(7)64AD BD AD BD ⎧+=⎨+-=⎩∵311,22AD BD CD === ∵Rt ADB ∆中，2458AD BD AD DE AE AB AB ⋅====∵128ADE S ∆=而2()ACF ADE S AC S AD∆∆=∵ACF S ∆=同理利用Rt AEF Rt ADC ∆∆得到2()AEF ADC AE S S AD ∆∆=⋅=∵ACFD AEF ACF AED S S S S ∆∆∆∆=+-=． 【点睛】本题考查了四点共圆的判断，圆内接四边形的性质，圆周角定理的应用，相似三角形的证明，不规则图形的面积的求法，熟练掌握其中的联系，是解题的关键．。

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题11四点共圆模型模型1：定点定长共圆模型若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆．如图，若OA ＝OB ＝OC ＝OD ，则A ，B ，C ，D 四点在以点O 为圆心、OA 为半径的圆上．模型2：对角互补共圆模型2．若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆．如图，在四边形ABCD 中， 若∠A ＋∠C ＝180°（或∠B ＋∠D ＝180°）则A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．拓展：若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．如图，在四边形ABCD 中，∠CDE 为外角，若∠B ＝∠CDE ，则A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．模型3：定弦定角共圆模型若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆如图，点A ，D 在线段BC 的同侧，若∠A ＝∠D ，则A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．DDD【例1】（2021·全国·九年级课时练习）在边长为12cm的正方形ABCD中，点E从点D出发，沿边DC以1cm/s的速度向点C运动，同时，点F从点C出发，沿边CB以1cm/s的速度向点B运动，当点E达到点C 时，两点同时停止运动，连接AE、DF交于点P，设点E． F运动时间为t秒．回答下列问题：(1)如图1，当t为多少时，EF的长等于(2)如图2，在点E、F运动过程中，①求证：点A、B、F、P在同一个圆(⊙O)上；②是否存在这样的t值，使得问题①中的⊙O与正方形ABCD的一边相切?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；③请直接写出问题①中，圆心O的运动的路径长为_________．（2）①由（1）可得AB=CD=BC=AD=12cm，∠C=∠B=∠ADC=∠DAB=90°，DE=CF=t，∴△ADE≌△DCF，∴∠CDF=∠DAE，∵∠CDF+∠PDA=90°，∴∠DAE+∠PDA=90°，∴∠ADP=∠APF=90°，∴∠APF+∠B=180°，由四边形APFB内角和为360°可得：∠PAB+∠PFB=180°，∴点A、B、F、P在同一个圆(⊙O)上；②由题意易得：当⊙O与正方形ABCD的一边相切时，只有两种情况；a、当⊙O与正方形ABCD的边AD相切时，如图所示：由题意可得AB为⊙O的直径，∴t=12；b、当⊙O与正方形ABCD的边DC相切于点G时，连接OG并延长交AB于点M，过点O作OH⊥BC交BC于点H，连接OF，如图所示：∴OG⊥DC，GM⊥AB，HF=HB，∴四边形OMBH、GOHC是矩形，∴OH=BM=GC，OG=HC，∴OP即为圆心的运动轨迹，即故答案为6cm．【点睛】本题主要考查圆的综合，熟练掌握圆的性质及切线定理解题的关键，注意运用分类讨论思想解决问题．【例2】（2022·吉林白山·八年级期末）（1）如图①，△OAB、△OCD的顶点O重合，且∠A+∠B+∠C+∠D=180°，则∠AOB+∠COD=______°；（直接写出结果）（2）连接AD、BC，若AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线.①如图②，如果∠AOB=110°，那么∠COD的度数为_______；（直接写出结果）②如图③，若∠AOD=∠BOC，AB与CD平行吗？为什么？【例3】（2020·四川眉山·一模）问题背景：如图1，等腰△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，作AD⊥BC于点D ，则D 为BC 的中点，∠BAD =12∠BAC =60°，于是BC AB =2BD AB =迁移应用：如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，∠BAC =∠DAE =120°，D ，E ，C 三点在同一条直线上，连接BD ．①求证：△ADB≌△AEC ；②请直接写出线段AD,BD,CD 之间的等量关系式；拓展延伸：如图3，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，在∠ABC 内作射线BM ，作点C 关于BM 的对称点E ，连接AE 并延长交BM 于点F ，连接CE ，CF ．①证明△CEF 是等边三角形；②若AE =5,CE =2，求BF 的长．【例4】（2022·全国·九年级课时练习）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．已知四边形ABCD是圆美四边形．（1）求美角∠A的度数；（2）如图1，若⊙O的半径为5，求BD的长；（3）如图2，若CA平分∠BCD，求证：BC+CD=AC．∴∠E=∠A=60°由（1）可知：∠BAD=60°，∵CA平分∠BCD，∠BCD=60°∴∠BCA=∠DCA=12∴∠ABD=∠DCA=60°∴AF=AC ，∠F=∠DCA=60°∴∠FAC=180°－∠F －∠ACF=60°∴△ACF 为等边三角形∴CF=AC∴BC ＋BF=AC∴BC ＋CD=AC【点睛】此题考查的是新定义类问题、圆内接四边形的性质、圆周角定理及推论、锐角三角函数、等边三角形的判定及性质和全等三角形的判定及性质，掌握新定义、圆内接四边形的性质、圆周角定理及推论、锐角三角函数、等边三角形的判定及性质和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．一、解答题1．（2022·辽宁葫芦岛·一模）射线AB 与直线CD 交于点E ，∠AED ＝60°，点F 在直线CD 上运动，连接AF ，线段AF 绕点A 顺时针旋转60°得到AG ，连接FG ，EG ，过点G 作GH ⊥AB 于点H ．(1)如图1，点F 和点G 都在射线AB 的同侧时，EG 与GH 的数量关系是______；(2)如图2，点F 和点G 在射线AB 的两侧时，线段EF ，AE ，GH 之间有怎么样的数量关系？并证明你的结论；(3)若点F和点G 都在射线AB的同侧，AE =1，EF =2，请直接写出HG 的长．(2)解：在射线ED上截取EN=AE，连接AN，如图3，∵∠AED=60°，∴△AEN是等边三角形，∴AE=AN，∠EAN=60°∵AF=AG，∠FAG=60°，(3)①当点F和点G都在射线AB的右侧时，在射线ED上取一点M，使得EM=EG，连接MG，如图4，∵线段AF绕点A顺时针旋转60°得到AG，∴∠GAF=60°，AG=AF，∴△GAF是等边三角形，∴∠AGF=∠AFG=∠FAG=60°，AG=AF=GF，∵∠AED＝60°，∴∠AGF=∠AED，∴点A、E、G、F四点共圆，∴∠GEH=∠GFA=60°，∠GEF=∠GAF=60°，∵EM=EG，∴△GEM是等边三角形，∴EM=GM=EG,∠EGM=60°，∴∠EGM=∠EGA+∠MGA=60°=∠EGM=∠MGF+∠MGA，∴∠EGA=∠MGF，∴△EGA≌△MGF，∴MF=AE=1，∴GE=EM=EF−MF=2−1=1，∵GH⊥AB，【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定及性质以及旋转图形的性质，熟练掌握这些性质和判定是解题的关键.2．（2022·上海宝山·九年级期末）如图，已知正方形ABCD，将AD绕点A逆时针方向旋转n°(0<n<90)到AP的位置，分别过点C、D作CE⊥BP,DF⊥BP，垂足分别为点E、F．(1)求证：CE=EF；(2)联结CF，如果DPCF =13，求∠ABP的正切值；(3)联结AF，如果AF，求n的值．(2)(3)解：∵0<n<90，【点睛】本题考查正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及旋转的性质和解直角三角形等，3．（2022·重庆市育才中学九年级期末）在等边△ABC中，D是边AC上一动点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转120°，得到DE，连接CE．（1）如图1，当B、A、E三点共线时，连接AE，若AB=2，求CE的长；（2）如图2，取CE的中点F，连接DF，猜想AD与DF存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE、AF交于G点．若GF=DF，请直接写出CD AB的值．BE∵将BD绕点D顺时针旋转120°，得到DE∵△ABC是等边三角形AB=1∴∠ABC=60°,AB=AC，AH=12∵点F是CE的中点∴FE 又FK=DF∴四边形CDFK是平行四边形∴ED=KC，ED∥KC∴∠EDA=∠KCA∵将BD绕点D顺时针旋转120°，得到DE，∴B,D,F,G四点共圆由（2）可知AF⊥DF，∠FAD=30°4．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校九年级期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝3ax2﹣10ax＋c分别交x轴于点A、B（A左B右）、交y轴于点C，且OB＝OC＝6．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点P在第一象限对称轴右侧抛物线上，其横坐标为t，连接BC，过点P作BC的垂线交x轴于点D，连接CD，设△BCD的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出t的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，线段CD的垂直平分线交第二象限抛物线于点E，连接EO、EC、ED，且∠EOC＝45°，点N在第一象限内，连接DN，DN∥EC，点G在DE上，连接NG，点M在DN上，NM＝EG，在NG上截取NH＝NM，连接MH并延长交CD于点F，过点H作HK⊥FM交ED于点K，连接FK，若∠FKG＝∠HKD，GK＝2MN，求点G的坐标．又FD=FD∴△FDM≌△FDK∴FK=FM,KD=MD∴MD+MR=DK+GK即GD=RD∴△KDM,△GDR是等腰直角三角形在四边形FKDM中，∠KDM=90°,∠FKD=FMD=180°−α∴∠KFM=360°−90°−2(180°−α)=2α−90°=2α−(α+β)=α−β在△FHK与△GDN中∵∠FHK=∠GDN=90°,∠FKH=∠GND=2β∴△FHK∽△GDN∴∠NGD=∠KHF=α−β∵∠HGK=∠HFK,HK=HK∴G,K,H,F四点共圆∵HK⊥FM∴∠FHK=90°∴∠FGK=90°∴∠GFK=90°−∠FKG=90°−α=β在△FRM与△FGK中MR=KG=2a∠FKG=∠FMR=αFM=FK∴△FRM≌△FGK∴∠RFM=∠GFK=β∴∠GFR=2β+∠KFM=2β+α−β=α+β=90°∴∠RFG=∠FGD=∠GDR=90°∴四边形FGDR是矩形又GD=DR∴四边形FGDR是正方形如图，延长DE至W，使EW=EG=a，则WK=2GK=4a5．（2021·广东·珠海市紫荆中学九年级期中）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，直角△ADE的边AE在线段AC上，AE＝AD＝2，将△ADE绕直角顶点A按顺时针旋转一定角度α，连接CD、BE，直线CD，BE交于点F，连接AF，过BC中点G作GM⊥CD，GN⊥AF．（1）求证：BE＝CD；（2）求证：旋转过程中总有∠BFA＝∠MGN；（仅对0°＜α＜90°时加以证明）（3）在AB上取一点Q，使得AQ＝1，求FQ的最小值．6．（2021·湖北·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）九年级阶段练习）【问题背景】如图1，P是等边△ABC内一点，∠APB＝150°，则PA2+PB2＝PC2．小刚为了证明这个结论，将△PAB绕点A逆时针旋转60°，请帮助小刚完成辅助线的作图；【迁移应用】如图2，D是等边△ABC外一点，E为CD上一点，AD∥BE，∠BEC＝120°，求证：△DBE是等边三角形；【拓展创新】如图3，EF＝6，点C为EF的中点，边长为3的等边△ABC绕着点C在平面内旋转一周，直MC的最小值．线AE、BF交于点P，M为PG的中点，EF⊥FG于F，FG＝（2）∵∠BEC＝120°，∴∠BED＝60°，∵AD∥DE，∴∠ADE＝∠BED＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∴A、D、B、C共圆，如图2所示：∴∠ADB＝120°，∵∠ADE＝∠BED＝60°，∴∠BDE＝60°，∴△DBE是等边三角形；（3）7．（2022·全国·九年级课时练习）如图1，在正方形ABCD中，点F在边BC上，过点F作EF⊥BC，且FE=FC(CE<CB)，连接CE、AE，点G是AE的中点，连接FG．（1）用等式表示线段BF与FG的数量关系：______；（2）将图1中的△CEF绕点C按逆时针旋转，使△CEF的顶点F恰好在正方形ABCD的对角线AC上，点G仍是AE的中点，连接FG、DF．①在图2中，依据题意补全图形；②用等式表示线段DF与FG的数量关系并证明．∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝②DF=2FG；理由如下：如图2，连接BF、BG，8．（2021·四川·成都实外九年级阶段练习）“数学建模”是中学数学的核心素养，平时学习过程中能归纳一些几何模型，解决几何问题就能起到事半功倍的作用．（1）如图1，正方形ABCD中，∠EAF=45°，且DE=BF，求证：EG=AG；（2）如图2，正方形ABCD中，∠EAF=45°，延长EF交AB的延长线于点G，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）如图3在（2）的条件下，作GQ⊥AE，垂足为点Q，交AF于点N，连结DN，求证：∠NDC=45°．【答案】（1）见解析；（2）结论依然成立，理由见解析；（3）见解析【分析】（1）根据半角旋转模型，把△ABF逆时针旋转90°，则AB与AD重合，设F对应的点为M，即可证明△AME≅△AFE，得到∠AEM=∠AEF，再结合∠AEM=∠EAG，可得∠AEM=∠AEF，可得EG=AG；（2）结论依然成立，证明方法与（1）一样；（3）又等腰三角形三线合一的性质可得GQ垂直平分EA，可得△ANE是等腰直角三角形，可得A、D、E、N四点共圆，根据圆周角∠NDC=∠EAN=45°【详解】（1）把△ABF逆时针旋转90°，则AB与AD重合，设F对应的点为M，∴△AMD≅△AFB∴∠MDA=∠FBA=90°,AM=AF,∠MAD=∠FAB∴M、D、C三点共线∵∠EAF=45°∴∠EAD+∠FAB=∠EAD+∠MAD=∠MAE=45°∴△AME≅△AFE(SAS)∴∠AEM=∠AEG∵AB∥CD∴∠AEM=∠EAG∴∠AEG=∠EAG∴EG=AG（2）结论依然成立，EG=AG把△ABF逆时针旋转90°，则AB与AD重合，设F对应的点为M，∴△AMD≅△AFB∴∠MDA=∠FBA=90°,AM=AF,∠MAD=∠FAB∴M、D、C三点共线∵∠EAF=45°∴∠EAD+∠FAB=∠EAD+∠MAD=∠MAE=45°∴△AME≅△AFE(SAS)∴∠AEM=∠AEG∵AB∥CD∴∠AEM=∠EAG∴∠AEG=∠EAG∴EG=AG（3）连接EN由（2）得EG=AG∵GQ⊥AE∴GQ垂直平分AE∴EN=AN∵∠EAF=45°∴∠ANE=90°=∠ADE∴A、D、E、N四点在以AE为直径的同一个圆上，∴∠NDC=∠EAN=45°．【点睛】本题考查半角旋转模型，熟练根据模型做出辅助线是解题的关键．第（3）问根据四点共圆证明是本题的难点．9．（2021·上海徐汇·九年级期中）如图，已知Rt△ABC和Rt△CDE，∠ACB=∠CDE=90°，∠CAB=∠CED，AC=8，BC=6，点D在边AB上，射线CE交射线BA于点F．（1）如图，当点F在边AB上时，联结AE．①求证：AE∥BC；CF，求BD的长；②若EF=12（2）设直线AE与直线CD交于点P，若△PCE为等腰三角形，求BF的长．10．（2022·全国·九年级专题练习）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角．①若∠A＝40°，直接写出∠E的度数是；②求∠E与∠A的数量关系，并说明理由．（2）如图2，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E在BD的延长线上，连CE，若∠BEC是△ABC 中∠BAC的遥望角，求证：DA＝DE．11．（2022·全国·九年级课时练习）在正方形ABCD中，M是BC边上一点，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．（1）如图1，求证：BP=DQ；（2）如图2，若点P，B，D三点共线，求证：A，Q，P，D四点共圆；（3）若点P，Q，C三点共线，且AD=3，求BP的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）BP=3【分析】（1）证明△AQD≌△APB即可得出答案；（2）根据全等三角形的性质以及圆内接四边形对角和为180°即可得出结论；（3）证明△PAQ为等腰直角三角形，得出∠APC=45°，然后得出∠ABC=2∠APC，根据圆周角定理可得点P在圆⊙B上，结论可得．【详解】解：（1）根据旋转的性质可得AP=AQ，∠PAQ=90°，∵∠BAD=90°，∴∠DAQ=∠BAP，∵AB=AD，∴△AQD≌△APB(SAS)，∴BP=DQ；（2）∵△AQD≌△APB，∴∠Q=∠APB，∵点P，B，D三点共线，∴∠APD+∠APB=180°，∴∠Q+∠APD=180°，∴A，Q，P，D四点共圆；（3）∵AP=AQ，∠PAQ=90°，∴△PAQ为等腰直角三角形，∴∠APC=45°，以点B为圆心，BA为半径作⊙B，∵∠ABC=90°，∠APC=45°，∴∠ABC=2∠APC，∴点P在圆⊙B上，∴BP=BC=3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，四点共圆，圆周角定理等知识，熟练掌握基础知识是解本题的关键．12．（2021·江苏·泗阳县实验初级中学九年级阶段练习）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上的两个动点，且BE=CF，AE和BF相交于点P．（1）探究AE、BF的关系，并说明理由；（2）求证：A、D、F、P在同一个圆上；（3）如图2，若正方形ABCD的边AB在y轴上，点A、B的坐标分别为(0,−1+a)、(0,−1−a)，点E、F 分别是BC、CD上的两个点，且BE=CF，AE和BF相交于点P，点M的坐标为(4,−4)，当点P落在以M 为圆心1为半径的圆上．求a的取值范围．。

圆中的重要模型之四点共圆模型四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。

相对四点共圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点共圆模型的应用(特别是最值问题)，通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。

本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。

模型1.定点定长共圆模型(圆的定义)模型2.定边对双直角共圆模型模型3.定边对定角共圆模型模型4.对角互补共圆模型【知识储备】四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。

四点共圆模型是一种解题思想，但任何题目里都不会告诉你，亲爱的同学，请用四点共圆思想来解题吧。

那么，我们头脑里，就要快速迭代平常积累的一些模型。

四点共圆有三个性质：(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；(2)圆内接四边形的对角互补；(3)圆内接四边形的外角等于内对角。

模型1.定点定长共圆模型(圆的定义)若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。

这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。

条件：如图，平面内有五个点O 、A 、B 、C 、D ，使得OA =OB =OC =OD 。

结论：A 、B 、C 、D 四点共圆(其中圆心为O )。

证明：∵OA =OB =OC =OD∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A 、B 、C 、D 四点共圆。

1(2021·浙江嘉兴·中考真题)如图，在ΔABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =5，点D 在AC 上，且AD =2，点E 是AB 上的动点，连结DE ，点F ，G 分别是BC ，DE 的中点，连接AG ，FG ，当AG =FG 时，线段DE 长为()A.13B.522C.412D.42(2023·安徽合肥·校考一模)如图，O 是AB 的中点，点B ，C ，D 到点O 的距离相等，连接AC ，BD ．下列结论不一定成立的是()A.∠1=∠2B.∠3=∠4C.∠ABC +∠ADC =180°D.AC 平分∠BAD3(2024.九年级·湖北·专题练习)问题背景：如图1，等腰△ABC 中，AB =AC ,∠BAC =120°，作AD ⊥BC 于点D ，则D 为BC 的中点，∠BAD =12∠BAC =60°，于是BC AB =2BD AB=3；迁移应用：如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，∠BAC =∠DAE =120°，D ，E ，C 三点在同一条直线上，连接BD ．①求证：△ADB ≌△AEC ；②请直接写出线段AD ,BD ,CD 之间的等量关系式；拓展延伸：如图3，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，在∠ABC 内作射线BM ，作点C 关于BM 的对称点E ，连接AE 并延长交BM 于点F ，连接CE ，CF ．①证明△CEF 是等边三角形；②若AE =5,CE =2，求BF 的长．模型2.定边对双直角共圆模型定边对双直角模型：一定边所对的角为两个直角，分同侧型和异侧型两种情况进行讨论。

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题11四点共圆模型模型1：定点定长共圆模型若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆．如图，若OA ＝OB ＝OC ＝OD ，则A ，B ，C ，D 四点在以点O 为圆心、OA 为半径的圆上．模型2：对角互补共圆模型2．若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆．如图，在四边形ABCD 中， 若∠A ＋∠C ＝180°（或∠B ＋∠D ＝180°）则A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．拓展：若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．如图，在四边形ABCD 中，∠CDE 为外角，若∠B ＝∠CDE ，则A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．模型3：定弦定角共圆模型若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆如图，点A ，D 在线段BC 的同侧，若∠A ＝∠D ，则A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．DDD【例1】．（2021·全国·九年级课时练习）在边长为12cm 的正方形ABCD 中，点E 从点D 出发，沿边DC 以1cm/s 的速度向点C 运动，同时，点F 从点C 出发，沿边CB 以1cm/s 的速度向点B 运动，当点E 达到点C 时，两点同时停止运动，连接AE 、DF 交于点P ，设点E ． F 运动时间为t 秒．回答下列问题：(1)如图1，当t 为多少时，EF 的长等于(2)如图2，在点E 、F 运动过程中，①求证：点A 、B 、F 、P 在同一个圆(⊙O)上；②是否存在这样的t 值，使得问题①中的⊙O 与正方形ABCD 的一边相切?若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；③请直接写出问题①中，圆心O 的运动的路径长为_________．【例2】（2022·吉林白山·八年级期末）（1）如图①，△OAB 、△OCD 的顶点O 重合，且∠A +∠B +∠C +∠D =180°，则∠AOB+∠COD=______°；（直接写出结果）（2）连接AD 、BC ，若AO 、BO 、CO 、DO 分别是四边形ABCD 的四个内角的平分线.①如图②，如果∠AOB =110°，那么∠COD 的度数为_______；（直接写出结果）②如图③，若∠AOD =∠BOC ，AB 与CD 平行吗？为什么？【例3】（2020·四川眉山·一模）问题背景：如图1，等腰△ABC 中，AB =AC,∠BAC =120°，作AD ⊥BC 于点D ，则D 为BC 的中点，∠BAD =12∠BAC =60°，于是BC AB =2BD AB =迁移应用：如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，∠BAC =∠DAE =120°，D ，E ，C 三点在同一条直线上，连接BD ．①求证：△ADB≌△AEC ；②请直接写出线段AD,BD,CD 之间的等量关系式；拓展延伸：如图3，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，在∠ABC 内作射线BM ，作点C 关于BM 的对称点E ，连接AE 并延长交BM 于点F ，连接CE ，CF ．①证明△CEF 是等边三角形；②若AE =5,CE =2，求BF 的长．【例4】（2022·全国·九年级课时练习）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．已知四边形ABCD 是圆美四边形．（1）求美角∠A 的度数；（2）如图1，若⊙O 的半径为5，求BD 的长；（3）如图2，若CA 平分∠BCD ，求证：BC +CD =AC ．一、解答题1．（2022·辽宁葫芦岛·一模）射线AB 与直线CD 交于点E ，∠AED ＝60°，点F 在直线CD 上运动，连接AF ，线段AF 绕点A 顺时针旋转60°得到AG ，连接FG ，EG ，过点G 作GH ⊥AB 于点H．(1)如图1，点F和点G都在射线AB的同侧时，EG与GH的数量关系是______；(2)如图2，点F和点G在射线AB的两侧时，线段EF，AE，GH之间有怎么样的数量关系？并证明你的结论；(3)若点F和点G都在射线AB的同侧，AE=1，EF=2，请直接写出HG的长．2．（2022·上海宝山·九年级期末）如图，已知正方形ABCD，将AD绕点A逆时针方向旋转n°(0<n<90)到AP的位置，分别过点C、D作CE⊥BP,DF⊥BP，垂足分别为点E、F．(1)求证：CE=EF；(2)联结CF，如果DPCF =13，求∠ABP的正切值；(3)联结AF，如果AF，求n的值．3．（2022·重庆市育才中学九年级期末）在等边△ABC中，D是边AC上一动点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转120°，得到DE，连接CE．（1）如图1，当B、A、E三点共线时，连接AE，若AB=2，求CE的长；（2）如图2，取CE的中点F，连接DF，猜想AD与DF存在的数量关系，并证明你的猜想；的值．（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE、AF交于G点．若GF=DF，请直接写出CD ABBE4．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校九年级期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝3ax2﹣10ax＋c分别交x轴于点A、B（A左B右）、交y轴于点C，且OB＝OC＝6．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点P在第一象限对称轴右侧抛物线上，其横坐标为t，连接BC，过点P作BC的垂线交x轴于点D，连接CD，设△BCD的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出t的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，线段CD的垂直平分线交第二象限抛物线于点E，连接EO、EC、ED，且∠EOC＝45°，点N在第一象限内，连接DN，DN∥EC，点G在DE上，连接NG，点M在DN上，NM＝EG，在NG上截取NH＝NM，连接MH并延长交CD于点F，过点H作HK⊥FM交ED于点K，连接FK，若∠FKG＝∠HKD，GK＝2MN，求点G的坐标．5．（2021·广东·珠海市紫荆中学九年级期中）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，直角△ADE的边AE在线段AC上，AE＝AD＝2，将△ADE绕直角顶点A按顺时针旋转一定角度α，连接CD、BE，直线CD，BE交于点F，连接AF，过BC中点G作GM⊥CD，GN⊥AF．（1）求证：BE＝CD；（2）求证：旋转过程中总有∠BFA＝∠MGN；（仅对0°＜α＜90°时加以证明）（3）在AB上取一点Q，使得AQ＝1，求FQ的最小值．6．（2021·湖北·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）九年级阶段练习）【问题背景】如图1，P是等边△ABC内一点，∠APB＝150°，则PA2+PB2＝PC2．小刚为了证明这个结论，将△PAB绕点A逆时针旋转60°，请帮助小刚完成辅助线的作图；【迁移应用】如图2，D是等边△ABC外一点，E为CD上一点，AD∥BE，∠BEC＝120°，求证：△DBE是等边三角形；【拓展创新】如图3，EF＝6，点C为EF的中点，边长为3的等边△ABC绕着点C在平面内旋转一周，直MC的最小值．线AE、BF交于点P，M为PG的中点，EF⊥FG于F，FG＝7．（2022·全国·九年级课时练习）如图1，在正方形ABCD中，点F在边BC上，过点F作EF⊥BC，且FE=FC(CE<CB)，连接CE、AE，点G是AE的中点，连接FG．（1）用等式表示线段BF与FG的数量关系：______；（2）将图1中的△CEF绕点C按逆时针旋转，使△CEF的顶点F恰好在正方形ABCD的对角线AC上，点G仍是AE的中点，连接FG、DF．①在图2中，依据题意补全图形；②用等式表示线段DF与FG的数量关系并证明．8．（2021·四川·成都实外九年级阶段练习）“数学建模”是中学数学的核心素养，平时学习过程中能归纳一些几何模型，解决几何问题就能起到事半功倍的作用．（1）如图1，正方形ABCD中，∠EAF=45°，且DE=BF，求证：EG=AG；（2）如图2，正方形ABCD中，∠EAF=45°，延长EF交AB的延长线于点G，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）如图3在（2）的条件下，作GQ⊥AE，垂足为点Q，交AF于点N，连结DN，求证：∠NDC=45°．9．（2021·上海徐汇·九年级期中）如图，已知Rt△ABC和Rt△CDE，∠ACB=∠CDE=90°，∠CAB=∠CED，AC=8，BC=6，点D在边AB上，射线CE交射线BA于点F．（1）如图，当点F在边AB上时，联结AE．①求证：AE∥BC；CF，求BD的长；②若EF=12（2）设直线AE与直线CD交于点P，若△PCE为等腰三角形，求BF的长．10．（2022·全国·九年级专题练习）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角．①若∠A＝40°，直接写出∠E的度数是；②求∠E与∠A的数量关系，并说明理由．（2）如图2，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E在BD的延长线上，连CE，若∠BEC是△ABC 中∠BAC的遥望角，求证：DA＝DE．11．（2022·全国·九年级课时练习）在正方形ABCD中，M是BC边上一点，点P在射线AM上，将线段AP绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．（1）如图1，求证：BP=DQ；（2）如图2，若点P，B，D三点共线，求证：A，Q，P，D四点共圆；（3）若点P，Q，C三点共线，且AD=3，求BP的长．12．（2021·江苏·泗阳县实验初级中学九年级阶段练习）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上的两个动点，且BE=CF，AE和BF相交于点P．（1）探究AE、BF的关系，并说明理由；（2）求证：A、D、F、P在同一个圆上；（3）如图2，若正方形ABCD的边AB在y轴上，点A、B的坐标分别为(0,−1+a)、(0,−1−a)，点E、F分别是BC、CD上的两个点，且BE=CF，AE和BF相交于点P，点M的坐标为(4,−4)，当点P落在以M为圆心1为半径的圆上．求a的取值范围．13．（2021·重庆一中九年级阶段练习）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，点E为AC边上一点，连接ED并延长至F，使ED=FD，以EF为底边作等腰Rt△EGF．（1）如图1，若∠ADE=30°，AE=4，求CE的长；（2）如图2，连接BF，DG，点M为BF的中点，连接DM，过D作DH⊥AC，垂足为H，连接AG交DH于点N，求证：DM=NG；（3）如图3，点K为平面内不与点D重合的任意一点，连接KD，将KD绕点D顺时针旋转90°得到K′D，连接K′A，KB，直线K′A与直线KB交于点P，D′为直线BC上一动点，连接A D′并在A D′的右侧作C′D′⊥A D′且C′D′=AD′，连接A C′，Q为BC边上一点，CD=3CQ，AB=当Q C′+C′P取到最小值时，直线C′P与直线BC 交于点S，请直接写出△BPS的面积．14．（2021·福建省福州外国语学校三模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4．将Rt△ABC绕点B 顺时针旋转α(0°<α<60°)得到Rt△DEB，直线DE，AC交于点P．（1）如图1，当BD⊥BC时，连接BP．①求△BDP的面积；②求tan∠CBP的值；（2）如图2，连接AD，若F为AD中点，求证；C，E，F三点共线．15．（2021·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校模拟预测）直线y=kx+k与x轴交于A，与y轴交于C点，直x+k，与x轴交于B．线BC的解析式为y=−1k（1）如图1，求点A的横坐标；（2）如图2，D为BC延长线上一点，过D作x轴垂线于点E，连接CE，若CD=CA，设△ACE的面积为S，求S与k的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OD交AC于点F，将△CDF沿CF翻折得到△FCG，直线FG交CE 于点K，若3∠ACE−∠CDO=45°，求点K的坐标．16．（2021·全国·九年级课时练习）在平行四边形ABCD中，已知∠A＝45°，AD⊥BD，点E为线段BC上的一点，连接DE，以线段DE为直角边构造等腰Rt△DEF，EF交线段AB于点G，连接AF、DG．BE＝5，则DE的长为多少？（1）如图1，若AB＝（2）如图2，若点H，K分别为线段BG，DE的中点，连接HK，求证：AG＝2HK；G为圆心，AG为半径作⊙G，点M为⊙G上（3）如图3，在（2）的条件下，若BE＝2，BG＝一点，连接MK，取MK的中点P，连接AP，请直接写出线段AP的取值范围．17．（2021·江苏苏州·二模）如图（1），已知矩形ABCD中，AB=6cm，BC=，点E为对角线AC上的动点．连接BE，过E作EB的垂线交CD于点F．（1）探索BE与EF的数量关系，并说明理由．（2）如图（2），过F作AC垂线交AC于点G，交EB于点H，连接CH．若点E从A出发沿AC方向以s的速度向终点C运动，设E的运动时间为t s．①是否存在t，使得H与B重合？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；②t为何值时，△CFH是等腰三角形；③当CG=GH时，求△CGH的面积．18．（2022·江苏扬州·模拟预测）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠DAB＝45°，∠CAB＝30°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．设AB＝1．（1）求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；（2）分别求△ABC和△ABD的面积；（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求OE︰OF的比值．19．（2021·江苏南京·二模）如图①，A是⊙O外一点，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，过点B作BD//AC，交⊙O于点D，连接DO，并延长DO交⊙O于点E，连接AE．已知BD=2，⊙O的半径为3．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）求AE的长；（3）如图②，若点M是⊙O上一点，且BM=3，过A作AN//BM，交弧ME于点N，连接ME，交AN于点G，连接OG，则OG的长度是______．20．（2020·浙江温州·九年级期中）如图，在▱ABCD中，AB=5,tan A=4，过点B作BE⊥AD于点E，过B，3D，E三点的圆分别交边AB，BC，CD于点F，M，N，连结BE，CE，连结BN交CE于点P．（1）求证：EF=MN．（2）当△BPE是等腰三角形时，求AD的长．（3）连结BD，MN，当BD平分∠ADC时，求△BMN与△CDE面积的比值．21．（2020·湖南·郴州市第九中学九年级阶段练习）如图，边长为ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P与A、C不重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°得到BQ，连接QP，QP与BC交于点E，其延长线与AD（或AD延长线）交于点F．（1）连接CQ，证明：CQ=AP；（2）设AP=x，CE=y，试写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）试问当P点运动到何处时，PB+PE的值最小，并求出此时CE的长．（画出图形，直接写出答案即可）22．（2021·全国·九年级课时练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为E，CF⊥AB于点F，直线CF与直线BD于点G．（1）若点G在⊙O内，如图1，求证：G和D关于直线AC对称；（2）连接AG，若AG=BC，且AG与⊙O相切，如图2，求∠ABC的度数．23．（2020·北京市三帆中学九年级期中）已知：过⊙O上一点A作两条弦AB、AC，且∠A=45°，（AB、AC 都不经过O）过A作AC的垂线AF，交⊙O于D，直线BD，AC交于点E，直线BC，AD交于点F.（1）请在图1中，按要求补全图形；（2）在图2中探索线段BE和BF的数量关系，并证明你的结论；（3）探索线段AB、AE、AF的数量关系，并直接写出你的结论________.24．（2020·湖北·武汉二中广雅中学二模）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC边上一点，连接AD．（1）如图1，作BE⊥AD延长线于E，连接CE，求证：∠AEC＝45°；（2）如图2，P为AD上一点，且∠BPD＝45°，连接CP．①若AP＝2，求△APC的面积；②若AP＝2BP，直接写出sin∠ACP的值为______．。