倒立摆控制rubost
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(τ) | [ . | Υ | ξ(τ) − ξδ | [ , τ ∴ . . . . ∂ . 并给 ; τ ∴
ϖ (τ) + µ Λ
Υ(τ)
Υ(τ)
τ
.
( )
控制输入信号满足 | ϖ (τ) | [ 出评价值
3
不确定性
5 .2
在上述建模过程中 , 台车水平方向的运动未考 虑摩擦因素产生的阻尼力 . 如果我们考虑台车与导 轨接触面的摩擦特性 , 那么台车水平方向的运动方 程为
且各个方向的运动方程可以表示为
µ µ ϑ τ τ [ ξ(τ) + Λ [ Λ
Υ(τ)] = φΗ(τ) ,
( ) ( ) (τ) . Υ ( )
Υ(τ)] = φς(τ) − µ γ ,
+Χ (τ) Υ τ φς(τ) = Λ (τ) − Λ φΗ(τ) Υ
Σ(τ) = ΚΤια(τ) .
ΚΕ( ∂ ) 为反向电势系数 , ΚΤ(
(τ) | [ | Υ | ξ(τ) | [ . . ; τ ∴ ,τ ∴ . . ;
(ϖ (τ) − ΚΤ Ξ(τ) =
故 ,倒立摆系统的动态可以由如下微分方程组来描 述:
(ϑ + µΛ )
并给 出 评 价 值
(τ) | [ | ϖ .
ΘΥ ( Σ)
∂ .
Σ. 控制输入信号满足
Υ(τ) + ( µ Λχοσ (τ)) Υ
图 系统示意图
# 水平方向 : ξ(τ) + Λ # 铅直方向 : Λ # 旋转方向 : Υ(τ)
Υ(τ)
2
系统的运动方程
记电 枢 电 压 和 电 流 分 别 为 ϖ ( )( ς) 和
Υ(τ)
2 .1 驱动电机 ια(τ)( ) , 则电机的动态方程为 Ρ αια(τ) + Λα ια (τ) + ΚΕ Ξ(τ) = ϖ (τ) , τ ( ) ( )
−
申铁龙 . Η ] 控制理论与应用 [ Μ] . 北京 :清华大学出版社 , 清华大学出版社 ,
.
.
; ; ≅ ≅
− −
[ ] [ ]
梅生伟 , 申铁龙 , 刘康志 . 现代鲁棒控制理论及应用 [ Μ] . 北京 :
σ ιπα τ ιϖ ι τψ −βασ εδ Νονλ ινεαρ Ροβυσ τ ΣΗΕΝ Τιε −λονγ , ΧΗΙΗΑΡ Υ Ι . ∆ισ λ ιζα τ ιον ανδ ∆ισ τυρβανχε Ινϕ εχτ ιον [ Μ] .[ λ .ν .] :ΣΙΧΕ Χοντρολ : Σταβι
Π ρε σ σ, . , :
; ∂ ;
[ ]
;
[ ]
ΩΙΤ δε ΧΧ , ΟΛΣΣΟΝ Η , ε τα λ . Α νεω µ οδε λφορ χοντρολ οφ σψ σ τεµσ
# 台车驱动轮半径(ρ) : .
τοµ α τ ιχ Χοντρολ , ωι τη φ ρ ιχτ ιον [ ϑ] . ΙΕΕΕ Τρανσ ον Αυ
[ ] [ ]
Χ& ¾ ξ&. ( )
其中 , Χ 表示摩擦系数的标称值 , ∃ Χ为未知的摄动 值 , Χ > 为给定的正数 .
申 铁 龙 . 机 器 人 鲁 棒 控 制 基 础 [ Μ] . 北 京 : 清 华 大 学 出 版 社 ,
.
4
物理参数
# 台车的质量 ( Μ ): . # 摆的质量( µ ) : . # 电机力矩系数( ΚΤ) : . # 反向电势系数( ΚΕ) : . # 电枢电阻( Ρα) : . # 齿轮比( Κγ ) : . ; # 重力加速度( γ) : . ; 8 ; ≅
(ϑ + µΛ )
电机转角与小台车位置的关系 记电机转子的角位移为 Η (τ)(
) , 齿轮比 Κγ , ( ) , 小台车的位
则小台车的驱动轮 Η χ(τ)
可以表示为
Υ(τ) + ( µ Λ
τ
Υ(τ))
ξ(τ) = τ ( )
Η (τ) = Κγ Η χ(τ) .
进一步 ,记驱动轮的半径为 ρ 移为 ξ(τ)
第
卷第 期 年 月
( )
控制理论与应用
Χοντρολ Τηεορψ & Αππλ ιχα τ ιονσ
ςο . Νο . ∆εχ .
文章编号 :
鲁棒控制基准设计问题 :倒立摆控制
申铁龙 , 梅生伟 , 王
1
宏 , 陈增强
小台车的运动方程
, φ(τ)
系统概述
本系统由水平移动的小台车及由其支撑的单
2 .3
其中 ∆( ¾ ξ ) 表示摩察力 , 可以近似描述为接触面速 度¾ ξ 的非线性函数 (详细参见文献 [ , ] ) . 另外 , 摆 的转动方程中节点的摩擦系数 Χ 通常也是难以精 确得到的参数 .这里假设
Χ = Χ ? ∃ Χ, & ∆ ( ξ) & [
设计状态反馈控制器使得闭环系统对于满足上述条 件的任意参数摄动值 ,上述 ) 和 ) 描述的性能指标 均成立 .并且给出实际参数分别为临界值和 %(比 如 ∃ Χ = − . ; ∆( ¾ ξ) = . ξ 时)的响应结果 . ¾ 参考文献 :
(τ) Υ τ
其中 Ρ α( 8 ) 和 Λα( ) 分别为电枢电阻和电枢电感 ,
) 为力矩系
数 , 一般可取 ΚΕ = ΚΤ . Ξ(τ)( ) 表示电机的转 子的角速度 , Σ(τ)( ) 为电机的输出力矩 .
2 .2
其中 φΗ(τ) 和 φς(τ) 分别表示作用在节点上 的沿水平方向和铅直方向的反作用力 . 记转动惯量 为 ϑ = µ Λ / , 摩擦系数为 Χ, 则由式( ) 和( ) 求得 φΗ 和 φς , 并代入式( ) , 得
.
ητ τπ :/ / ωωω .γοογολ τεχη .χο µ .χν/ εδυ−γιπλ . πηπ (固高科技公司网
页)
Υ(τ)
被控对象的运动方程 如果忽略电枢回路的电感 , 即令 Λα = 据上述推导 ,有
φ(τ) = ΚΤ Κγ Ρ αρ Κγ ρ
, 则根
Σ(τ) =
Κγ ΚΤ ια(τ) = ρ ΚΤ Κγ Ρ αρ ϖ (τ) − ΚΤ Κγ Ρ αρ ξ(τ) . τ ( )
标称系统的设计 设 ∆( ¾ ξ) = , ∃ Χ = ,且 Χ = . . ) 摆的镇定问题 . 设计状态反馈控制器 , 使得 闭环 系 统 满 足 如 下 性 能 : 给 定 初 始 状 态 ξ( ) = ξ ( ) = Υ( ) = ¾ ¾ Υ( ) = , 沿 φ(τ) 方向给台车施加 脉冲力 ∆(τ) (这里 ∆(τ) 表示脉冲函数) , 其响 应满足 Υ(τ) ψ , 并且
, 那么 , 有 ξ(τ) = ρ Η χ(τ) = ξ ρ = τ Κγ
(τ) + µ Λγ − Χ Υ τ
Υ(τ) .
ρ Η (τ) , Κγ
由于摆的水平方向的推力 φΦ(τ) 等于摆的水平 运动作用在台车上的阻力 φΗ(τ) , 即
φΦ(τ) = φΗ(τ) . ( )
( ) ( )
Η
τ
=
ρ Ξ(τ) . Κγ
Μ ξ(τ) ξ) . = φ(τ) − φΦ(τ) − ∆( ¾ τ ( )
Θ{ Υ ( Σ) + ( ξ( Σ) −
ξδ ) } Σ .
鲁棒控制设计 设摆的质心位置 Λ 为未知参数 (可假设其上界 已知 , 即 Λ [ . ) , ∃ Χ Ξ , ∆( ¾ ξ ) Ξ , 但是满足
− . [ ∃Χ < ; Χ= . .
将式( ) 的 φΗ(τ) 代入式 ( ) , 得到小台车的运动方 程如下
第
期
申铁龙等 :鲁棒控制基准设计问题 :倒立摆控制
975Biblioteka ( Μ + µ)ξ(τ) + ( µΛ τ
Υ(τ)) Υ(τ) τ
δ Υ (τ) = τ . ( )
# 质心距节点的距离( Λ) : .
;
5
5 .1
标准设计问题
φ(τ) + µ Λ 2 .5
φ(τ) = 2 .4 Κγ ρ
Σ(τ) .
( )
摆的运动方程 以小台车与摆的节点为坐标原点 , 取坐标系如
图 .那么 , 摆的运动由水平方向 , 铅直方向以及旋 转方向的运动来构成 . 记摆的质心距节点的距离为
Λ( ) , 摆的质量为 µ ( ) , 摆的偏移角为 Υ (τ) , 那
么摆的质心沿各个运动方向的位移分别为
节倒立摆构成 .控制输入量是拖动小台车的直流伺 服电机的电枢电压 , 被控制量是摆的偏角和小台车 的位移 .系统的构成示意如图 .
设小台车的质量为 Μ 提供的 ξ 方向的驱动力 ,则
Μ
为由电机
ξ(τ) = φ(τ) − φΦ(τ) . τ
( )
其中 φΦ 表示摆的水平运动对台车的作用力 , 其 方向与驱动力 φ(τ) 的方向相反 , 而驱动力 φ 与 电机输出力矩 Σ 的关系为
τ
ξ(τ) = τ ( ) (τ)) Υ (τ) Υ τ =
) 台车位置调节问题 . 设计状态反馈控制器 , 使
(τ) − Χ Υ + µ Λγ τ ( Μ+ µ) ΚΤ Κγ Ρ αρ ξ(τ) ΚΤΚγ + τ Ραρ
Υ(τ) ,
ξ(τ) + ( µΛ τ
得系统满足上述( ) ,同时满足如下条件 :与( ) 相同 的条件下运行 (σ) 后 ,对小台车给出 ξδ = . 的平移指令 .系统满足 ξ(τ) ψ ξδ , Υ(τ) ψ ,
ϖ (τ) + µ Λ
Υ(τ)
Υ(τ)
τ
.
( )
控制输入信号满足 | ϖ (τ) | [ 出评价值
3
不确定性
5 .2
在上述建模过程中 , 台车水平方向的运动未考 虑摩擦因素产生的阻尼力 . 如果我们考虑台车与导 轨接触面的摩擦特性 , 那么台车水平方向的运动方 程为
且各个方向的运动方程可以表示为
µ µ ϑ τ τ [ ξ(τ) + Λ [ Λ
Υ(τ)] = φΗ(τ) ,
( ) ( ) (τ) . Υ ( )
Υ(τ)] = φς(τ) − µ γ ,
+Χ (τ) Υ τ φς(τ) = Λ (τ) − Λ φΗ(τ) Υ
Σ(τ) = ΚΤια(τ) .
ΚΕ( ∂ ) 为反向电势系数 , ΚΤ(
(τ) | [ | Υ | ξ(τ) | [ . . ; τ ∴ ,τ ∴ . . ;
(ϖ (τ) − ΚΤ Ξ(τ) =
故 ,倒立摆系统的动态可以由如下微分方程组来描 述:
(ϑ + µΛ )
并给 出 评 价 值
(τ) | [ | ϖ .
ΘΥ ( Σ)
∂ .
Σ. 控制输入信号满足
Υ(τ) + ( µ Λχοσ (τ)) Υ
图 系统示意图
# 水平方向 : ξ(τ) + Λ # 铅直方向 : Λ # 旋转方向 : Υ(τ)
Υ(τ)
2
系统的运动方程
记电 枢 电 压 和 电 流 分 别 为 ϖ ( )( ς) 和
Υ(τ)
2 .1 驱动电机 ια(τ)( ) , 则电机的动态方程为 Ρ αια(τ) + Λα ια (τ) + ΚΕ Ξ(τ) = ϖ (τ) , τ ( ) ( )
−
申铁龙 . Η ] 控制理论与应用 [ Μ] . 北京 :清华大学出版社 , 清华大学出版社 ,
.
.
; ; ≅ ≅
− −
[ ] [ ]
梅生伟 , 申铁龙 , 刘康志 . 现代鲁棒控制理论及应用 [ Μ] . 北京 :
σ ιπα τ ιϖ ι τψ −βασ εδ Νονλ ινεαρ Ροβυσ τ ΣΗΕΝ Τιε −λονγ , ΧΗΙΗΑΡ Υ Ι . ∆ισ λ ιζα τ ιον ανδ ∆ισ τυρβανχε Ινϕ εχτ ιον [ Μ] .[ λ .ν .] :ΣΙΧΕ Χοντρολ : Σταβι
Π ρε σ σ, . , :
; ∂ ;
[ ]
;
[ ]
ΩΙΤ δε ΧΧ , ΟΛΣΣΟΝ Η , ε τα λ . Α νεω µ οδε λφορ χοντρολ οφ σψ σ τεµσ
# 台车驱动轮半径(ρ) : .
τοµ α τ ιχ Χοντρολ , ωι τη φ ρ ιχτ ιον [ ϑ] . ΙΕΕΕ Τρανσ ον Αυ
[ ] [ ]
Χ& ¾ ξ&. ( )
其中 , Χ 表示摩擦系数的标称值 , ∃ Χ为未知的摄动 值 , Χ > 为给定的正数 .
申 铁 龙 . 机 器 人 鲁 棒 控 制 基 础 [ Μ] . 北 京 : 清 华 大 学 出 版 社 ,
.
4
物理参数
# 台车的质量 ( Μ ): . # 摆的质量( µ ) : . # 电机力矩系数( ΚΤ) : . # 反向电势系数( ΚΕ) : . # 电枢电阻( Ρα) : . # 齿轮比( Κγ ) : . ; # 重力加速度( γ) : . ; 8 ; ≅
(ϑ + µΛ )
电机转角与小台车位置的关系 记电机转子的角位移为 Η (τ)(
) , 齿轮比 Κγ , ( ) , 小台车的位
则小台车的驱动轮 Η χ(τ)
可以表示为
Υ(τ) + ( µ Λ
τ
Υ(τ))
ξ(τ) = τ ( )
Η (τ) = Κγ Η χ(τ) .
进一步 ,记驱动轮的半径为 ρ 移为 ξ(τ)
第
卷第 期 年 月
( )
控制理论与应用
Χοντρολ Τηεορψ & Αππλ ιχα τ ιονσ
ςο . Νο . ∆εχ .
文章编号 :
鲁棒控制基准设计问题 :倒立摆控制
申铁龙 , 梅生伟 , 王
1
宏 , 陈增强
小台车的运动方程
, φ(τ)
系统概述
本系统由水平移动的小台车及由其支撑的单
2 .3
其中 ∆( ¾ ξ ) 表示摩察力 , 可以近似描述为接触面速 度¾ ξ 的非线性函数 (详细参见文献 [ , ] ) . 另外 , 摆 的转动方程中节点的摩擦系数 Χ 通常也是难以精 确得到的参数 .这里假设
Χ = Χ ? ∃ Χ, & ∆ ( ξ) & [
设计状态反馈控制器使得闭环系统对于满足上述条 件的任意参数摄动值 ,上述 ) 和 ) 描述的性能指标 均成立 .并且给出实际参数分别为临界值和 %(比 如 ∃ Χ = − . ; ∆( ¾ ξ) = . ξ 时)的响应结果 . ¾ 参考文献 :
(τ) Υ τ
其中 Ρ α( 8 ) 和 Λα( ) 分别为电枢电阻和电枢电感 ,
) 为力矩系
数 , 一般可取 ΚΕ = ΚΤ . Ξ(τ)( ) 表示电机的转 子的角速度 , Σ(τ)( ) 为电机的输出力矩 .
2 .2
其中 φΗ(τ) 和 φς(τ) 分别表示作用在节点上 的沿水平方向和铅直方向的反作用力 . 记转动惯量 为 ϑ = µ Λ / , 摩擦系数为 Χ, 则由式( ) 和( ) 求得 φΗ 和 φς , 并代入式( ) , 得
.
ητ τπ :/ / ωωω .γοογολ τεχη .χο µ .χν/ εδυ−γιπλ . πηπ (固高科技公司网
页)
Υ(τ)
被控对象的运动方程 如果忽略电枢回路的电感 , 即令 Λα = 据上述推导 ,有
φ(τ) = ΚΤ Κγ Ρ αρ Κγ ρ
, 则根
Σ(τ) =
Κγ ΚΤ ια(τ) = ρ ΚΤ Κγ Ρ αρ ϖ (τ) − ΚΤ Κγ Ρ αρ ξ(τ) . τ ( )
标称系统的设计 设 ∆( ¾ ξ) = , ∃ Χ = ,且 Χ = . . ) 摆的镇定问题 . 设计状态反馈控制器 , 使得 闭环 系 统 满 足 如 下 性 能 : 给 定 初 始 状 态 ξ( ) = ξ ( ) = Υ( ) = ¾ ¾ Υ( ) = , 沿 φ(τ) 方向给台车施加 脉冲力 ∆(τ) (这里 ∆(τ) 表示脉冲函数) , 其响 应满足 Υ(τ) ψ , 并且
, 那么 , 有 ξ(τ) = ρ Η χ(τ) = ξ ρ = τ Κγ
(τ) + µ Λγ − Χ Υ τ
Υ(τ) .
ρ Η (τ) , Κγ
由于摆的水平方向的推力 φΦ(τ) 等于摆的水平 运动作用在台车上的阻力 φΗ(τ) , 即
φΦ(τ) = φΗ(τ) . ( )
( ) ( )
Η
τ
=
ρ Ξ(τ) . Κγ
Μ ξ(τ) ξ) . = φ(τ) − φΦ(τ) − ∆( ¾ τ ( )
Θ{ Υ ( Σ) + ( ξ( Σ) −
ξδ ) } Σ .
鲁棒控制设计 设摆的质心位置 Λ 为未知参数 (可假设其上界 已知 , 即 Λ [ . ) , ∃ Χ Ξ , ∆( ¾ ξ ) Ξ , 但是满足
− . [ ∃Χ < ; Χ= . .
将式( ) 的 φΗ(τ) 代入式 ( ) , 得到小台车的运动方 程如下
第
期
申铁龙等 :鲁棒控制基准设计问题 :倒立摆控制
975Biblioteka ( Μ + µ)ξ(τ) + ( µΛ τ
Υ(τ)) Υ(τ) τ
δ Υ (τ) = τ . ( )
# 质心距节点的距离( Λ) : .
;
5
5 .1
标准设计问题
φ(τ) + µ Λ 2 .5
φ(τ) = 2 .4 Κγ ρ
Σ(τ) .
( )
摆的运动方程 以小台车与摆的节点为坐标原点 , 取坐标系如
图 .那么 , 摆的运动由水平方向 , 铅直方向以及旋 转方向的运动来构成 . 记摆的质心距节点的距离为
Λ( ) , 摆的质量为 µ ( ) , 摆的偏移角为 Υ (τ) , 那
么摆的质心沿各个运动方向的位移分别为
节倒立摆构成 .控制输入量是拖动小台车的直流伺 服电机的电枢电压 , 被控制量是摆的偏角和小台车 的位移 .系统的构成示意如图 .
设小台车的质量为 Μ 提供的 ξ 方向的驱动力 ,则
Μ
为由电机
ξ(τ) = φ(τ) − φΦ(τ) . τ
( )
其中 φΦ 表示摆的水平运动对台车的作用力 , 其 方向与驱动力 φ(τ) 的方向相反 , 而驱动力 φ 与 电机输出力矩 Σ 的关系为
τ
ξ(τ) = τ ( ) (τ)) Υ (τ) Υ τ =
) 台车位置调节问题 . 设计状态反馈控制器 , 使
(τ) − Χ Υ + µ Λγ τ ( Μ+ µ) ΚΤ Κγ Ρ αρ ξ(τ) ΚΤΚγ + τ Ραρ
Υ(τ) ,
ξ(τ) + ( µΛ τ
得系统满足上述( ) ,同时满足如下条件 :与( ) 相同 的条件下运行 (σ) 后 ,对小台车给出 ξδ = . 的平移指令 .系统满足 ξ(τ) ψ ξδ , Υ(τ) ψ ,
