第3章 变量分布特征的描述统计学课件浙江财经大学

∑ x i f i 18840 车间平均劳动生产率 = x = ＝18.65 （件 / 工时） 1010 ∑fi
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（三）几何平均数（Geometric Mean）
定义：它是n个变量值乘积的n次方根。 适用条件：计算平均比率、平均发展速度、平 均增长速度。 提醒：如果数列中有一个标志值等于零或负值， 就无法计算几何平均数 1.简单几何平均数（Simple Geometric Mean）
= x
i = i 1= i 1 甲
人数分布（f ）：1 1 8 人数分布（f ）：8 1 1
∑x
n
n
= n
∑M
k
k
fi 0 × 1 + 20 × 1 + 100 × 8 = = 82(分) 10 n
i i
= x
i = i 1= i 1 乙
∑x
= n
∑M
fi 0 × 8 + 20 × 1 + 100 × 1 = = 12(分) 10 n
1
3
11
5
= 114.14%
实际工时 （小时） 200 320 300 190 1000
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解答： 班组 1 2 3 4 合计 平均劳动生产率 （件/工时）xi 12 16 20 28 实际工 时 fi 200 320 300 190 1010 实际产品总量 （件）xifi 2400 5120 6000 5320 18840
Σm 710 + 3514 + 2250 = m 710 3514 2250 Σ + + x 0.075 0.15 0.25 6474 = = 15.45% 41893.3
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【例2】计算企业的平均计划完成程度
产值计划完 成程度％） 80～90 90～100 100～110 110～120 合计 组中值 （％）x 85 95 105 115 实际产值 （万元）m 680 2375 18060 5060 26175 计划产值 （万元）m/x 800 2500 17200 4400 24900
n 1 ∑ i =1 x
n
这一计算方式被定义为“调和平均数”(H），它是 变量值的倒数的算术平均数的倒数，故又称为倒数 平均数。
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1.简单调和平均数
定义：当各组的标志总量相等时，所计算的调和平均数 即为简单调和平均数。 设每组的标志总量为m，则总体标志总量为km。x为各组 变量值，H表示调和平均数，则其计算公式为：
设分组后的数据为：M1 ，M2 ，… ，Mk 相应的频数为： f1 ， f2 ， … 加权算术平均数的计算公式为
∑x
i =1
n
i
n
， fk
M 1 f1 + M 2 f 2 + + M k f k = x= f1 + f 2 + + f k
∑M
i =1
k
i i
f
n
简单算术平均数
原始数据: 10
等价
【例2】三种等级的青菜单价分别为2元/公斤、 4元/公斤、5元/公斤，分别购买0.5公斤、0.25 公斤、0.2公斤，计算平均价格。
= x xf ∑= ∑f 2 × 0.5 + 4 × 0.25 + 5 × 0.2 3 = = 3.16元 / 公斤 0.5 + 0.25 + 0.2 0.95
x1f1 ⋅ x2f 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ xnf n
式中：fi 代表各个变量值出现的次数。
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加权几何平均数 (例题分析)
【例】已知一笔贷款第1年的利率为5%,接下来3 年利率为8%,再接下来的11年利率为15%,最后5年 的利率为18%,试计算20年的平均利率。
xG =
20
1.05 × 1.08 × 1.15 × 1.18
1 季 度 产值利 企业数 润率(％) (个) 5－10 10－20 20－30 合 计 30 70 50 150 实际产值 (万元) 5700 20500 22500 48700 2 季 度 企业数 ( 个) 50 80 20 150 实际利润 (万元) 710 3514 2250 6474
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产值利润率 =
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2.加权调和平均数
例1：三种不同等级的青菜分别买5元、6元、10元， 每公斤单价分别为2元、4元、5元，则平均价格是 多少？
金额 5 + 6 + 10 21元 = H = = = 3.5元 / 斤 数量 5 + 6 + 10 6斤 2 4 5
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3.由相对数或平均数计算平均数
（1）由相对数计算平均数 【例1】设有某行业150个企业的有关产值和利润资料如表 所示，计算该行业1、2季度的平均产值利润率。
HB = 2S 2 总距离 = = = 318.997km / h S S 1 1 总时间 + + 318 320 318 320
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推广：如果该车在每一圈的速度都有差异，n圈的速度 分别为x1，x2，x3，…，xn，则平均速度就成为：
H
1+1+ +1 1 = = 1 1 1 1 1 1 + + ⋅⋅⋅ + + + ⋅⋅⋅ + xn x1 x2 xn x1 x2 n16二）调和平均数80km/h
【例1】一辆小车以每小时80公里 的速度从山下开到山顶，又以每小 时100公里的速度沿原路返回到山 下，问：该车的平均速度。
100km/h
S+S 1 +1 2 总距离 = = = 88.89km / h 平均速度 = = S S 1 1 1 1 总时间 + + + 80 100 80 100 80 100
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二、数值平均数
简单算术平均数 算术平均数 加权算术平均数 简单调和平均数 数值平均数 调和平均数 加权调和平均数 简单几何平均数 几何平均数 加权几何平均数
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（一）算术平均数（mean）
设一组数据为： x1 ，x2 ，… 简单算术平均数的计算公式为
， xn
x1 + x 2 + + x n x= = n
km H = = m m m + + ⋅⋅⋅ + xn x1 x2
n 1 ∑x
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算术平均数和调和平均数的联系
【例1】三种不同等级的青菜，每公斤单价分别 为2元、4元、5元。每种等级各买1元，则均价 是多少？ ∑ mi 3 3
= H = = = 3.16元 / 公斤 ∑1 x 1 + 1 + 1 0.95 2 4 5
G = n x1 ⋅ x2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ xn = n ∏ x
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1.简单几何平均数 (例题分析)
【例】一位投资者购持有一种股票，在2010、2011、 2012和2013年收益率分别为4.5%、2.1%、25.5% 、1.9%。计算该投资者在这4年的平均收益率 。 几何平均：
G = 4 104.5% × 102.1% × 125.5% × 101.9% − 1 = 8.0787%
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算术平均数的数学性质
2. 各变量值与平均数的离差平方和最小。
证明：设 x0 为任意数， x =∑ xi /n 则以 x0 为中心的离差平方和为： ∑ (xi –x0) 2 = ∑[ (xi – x ) + ( x -x0)]2 = ∑ (xi – x )2 + ∑ ( x -x0)2+ 2 ∑ (xi – x ) ( x -x0) =∑ (xi – x )2 + ∑ ( x -x0)2+ 2 ( x -x0) ∑ (xi – x ) ∵∑ ( x -x0)2≥0，∑ (xi – x )=0 ∴∑ (xi – x0) 2≥∑ (xi – x )2 当且仅当xi= x 2 即∑ (xi – x ) 为最小值。
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学习框架与要求
数据的特征和测度
集中趋势
位置 平均数 数值 平均数 众 数 中位数
离散程度
分布形状
偏度 峰度
算术平均数 调和平均数 几何平均数
极差 四分位差 方差和标准差 变异系数
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第一节 集中趋势的描述
一、集中趋势与平均指标 集中趋势：指变量分布以 某一数值为中心的倾向。 测度集中趋势就是寻找数 据一般水平的代表值或中 心值。一般用平均指标来 表示。 平均指标：表明变量值的一般水平。
13550 = = 82.62 164
Mf 550 1235 3750 3060 2565 1470 920 13550
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注意事项
加权算术平均数的大小，不仅取决于变量值 （x），而且受各变量值重复出现的频数f（或频 率 f/∑f）的影响。 频率较大，该组数据的大小对算术平均数的影响 就大。 在组距数列计算平均值时，是以各组的变量值均 匀分布为前提的，利用组中值计算的加权算术平 均数只是平均数的近似。组距越小，这种近似计 算越准确。
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2.加权调和平均数
（1）定义：当各组的标志总量不相等时，所计算的调和 平均数要以各组的标志总量为权数，其结果即为加权调 和平均数。以mi为各组的标志总量，则
m1 + m2 + ⋅⋅⋅ + mn = H = mn m 1 m2 + + ⋅⋅⋅ + x1 x2 xn
∑m m ∑x
i i
（2）加权调和平均数与加权算术平均数的关系 mi ∑ xi fi ∑ xi fi ∑ H = = = = x 当mi= xifi 时，有： mi xi fi fi ∑ ∑x ∑ x i i
第三章 变量分布特征的描述
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引子：平均收入与 “被增长”