元素与集合的关系判断(含答案)

高中数学集合练习题及答案一、单选题1．已知{}{||2},0A x Z xB x x N x =∈<=∈>∣∣∣，则A B =（ ） A ．{1}B ．{0,1}C ．{0,1,2}D ．∅2．已知集合{}24A x x =≤，集合{}*1B x x N x A =∈-∈且，则B =（ ）A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}1,2,3,43．已知集合{}2|8120A x x x =-+<，{|14}B x Z x =∈<<，则A B =（ ）A ．{1，2}B ．{}2,4C ．{3}D ．∅4．()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设{}24A x x =-<<，{}723B x x =-<<，则()Z A B =（ ）A ．5B ．4C ．3D ．25．设全集U =R ，集合{}{}13,0,1,2,3,4,5A x x B =≤≤=，则()U A B =（ ） A ．{0,4,5} B ．{0,1,3,4,5} C ．{4,5} D ．{0} 6．设集合P ，Q 均为全集U 的非空子集，且U ()P Q P =∩，则U ()P Q =∩（ ）A ．PB ．QC ．∅D ．U7．已知集合{}21A x x =<，{}e 2xB x =<，则A B =（ ）A ．()1,1-B ．()1,ln 2-C ．()0,ln 2D ．()ln 2,18．已知集合{22},{13}A xx B x N x =-<<=∈-<∣∣，则A B =（ ） A ．{}0,1 B ．1,0,1,2C ．[)1,2-D ．()2,3-9．已知集合{}20A x R x a =∈+>，且2A ∉，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{}4a a ≤B ．{}4a a ≥C ．{}4a a ≤-D ．{}4a a ≥-10．已知集合{}2log 1M x x =<，{}21N x x =≤，则M N ⋃=（ ）A ．(],1-∞B ．(),2-∞C ．[)1,2-D ．(]0,111．已知集合{}2,3,4,5A =，{}1,B a =，若{}5A B =，则=a （ ） A ．2B ．3C ．4D ．512．集合N A x x ⎧⎫=∈⎨⎬⎭⎩31，()}{N log B x x =∈+≤211，S A ⊆，S B ⋂≠∅，则集合S 的个数为（ ） A ．0B ．2C ．4D ．813．已知集合{}21A x x =-<<，{}lg B x y x ==，则()R A B =（ ）A ．(),1-∞B ．[)1,+∞C ．(]2,0-D ．()0,114．设全集U =R ，集合{}21A x x =-≤，{}240xB x =-≥，则集合()UAB =（ ）A ．()1,2B ．(]1,2C ．[)1,2D ．[]1,215．已知集合{5,3,1,0,2,4},{1,2,4},{5,0,2}U A B =---=-=-，则()U A B ⋃=（ ） A ．{2}B ．{3}-C ．{3,1,2}-D ．{5,3,1,0,4}---二、填空题16．集合{}2,A x x k k ==∈Z ，{}25B x x =≤，那么A B =______. 17．设集合{}{}23,650A x x B x xx =≤=-+≤，则AB =________.18．已知条件:212p k x -≤≤，:53q x -≤≤，p 是q 的充分条件，则实数k 的取值范围是_______．19．已知集合(){}2,M x y y x ==∣，(){},0N x y y ==，则M N =______.20．已知集合{}4194,A x x n n *==-+∈N ，{}6206,B y y n n *==-+∈N ，将A B 中的所有元素按从大到小的顺序排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前n 项和的最大值为___________.21．从集合M={}1,2,3,4,,2021中去掉所有3的倍数和5的倍数，则剩下的元素个数为______22．集合{}31A x x =-<，{}3782B x x x =-≥-，则A B =___________.23．已知集合{}()216,xA xB a ∞=≤=-，，若A B ⊆则实数a 的取值范围是____.24．已知集合{}1,2,4,8A =，集合B =｛x x 是6的正因数｝，则A B ⋃=__________. 25．用符号“∈”或“∉”填空： （1）34______N ；（2）4-______Z ； （3）13______Q ；（4）2π-______R .三、解答题26．已知集合()3,12y A x y a x ⎧⎫-==+⎨⎬-⎩⎭与集合()()(){}2,1115,1B x y a x a y a =---=≠±，满足A B ⋂≠∅，求实数a 的值.27．已知集合{}22|430A x x ax a =-+<，集合{}2|560B x x x =-+≤．(1)当1a =时，求A B ,A B ;(2)设0a >，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．28．设全集U ＝R ，集合{}|32A x a x a =≤≤+，1|284xB x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭．(1)当1a =-时，求()U A B ⋃； (2)若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围．29．已知集合{}2560A xx x =--≤∣，集合{}26510B x x x =-+>∣，集合09x m C x x m -⎧⎫=≤⎨⎬--⎩⎭∣.(1)求A B ；(2)若A C C =，求实数m 的值取范围.30．四人共同管理一个保险箱，该保险箱要同时插入几把不同的钥匙才能打开．约定四人中要有三位到场才可以打开此箱，问至少要有几把钥匙才能开箱，这些钥匙应如何分配？【参考答案】一、单选题 1．A 【解析】 【分析】首先列举表示集合A ，再求A B . 【详解】由条件可知{}1,0,1A =-,{}0B x x N x =∈>，所以{}1A B ⋂=. 故选：A 2．C 【解析】 【分析】化简集合A ，根据集合B 中元素的性质求出集合B. 【详解】{}24[2,2]A x x =≤=-，{}*1B x x N x A =∈-∈且，{1,2,3}B ∴=,故选：C 3．C 【解析】 【分析】解出不等式28120x x -+<，然后可得答案. 【详解】因为{}{}2|8120|26A x x x x x =-+<=<<，{}{}142,3B x Z x =∈<<=所以{}3⋂=A B ， 故选：C 4．C 【解析】 【分析】首先求出集合B ，再根据交集的定义求出A B ，即可得解； 【详解】解：因为{}7372322B x x x x ⎧⎫=-<<=-<<⎨⎬⎩⎭，{}24A x x =-<<，所以3|22A B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，则()1A B -∈，()0A B ∈，()1A B ∈，所以()3Z A B =； 故选：C 5．A 【解析】 【分析】由集合的补集和交集的运算可得. 【详解】 由题可得{1UA x x =<或3}x >，所以(){0,4,5}=UA B ．故选：A ． 6．B 【解析】 【分析】 依题意可得UP Q ⊆，即可得到UQ P ⊆，从而即可判断；【详解】解：因为U ()P Q P =∩，所以UP Q ⊆，所以UQ P ⊆，所以U ()P Q Q =∩；故选：B 7．B 【解析】 【分析】由已知，分别求解出集合A 、集合B 的范围，然后直接求解交集即可. 【详解】由已知，集合{}21A x x =<，即集合{}11A x x =-<<， 集合{}2xB x e=<，即集合{}ln 2B x x =<，因为11ln ln 21ln e e-=<<=，所以A B ={}1ln 2x x -<<. 故选：B. 8．A 【解析】 【分析】 由交集定义计算． 【详解】{}{12}0,1.A B x x ⋂=∈-<=N ∣故选：A ． 9．C 【解析】 【分析】结合元素与集合的关系得到220a +≤，解不等式即可求出结果. 【详解】由题意可得220a +≤，解得4a ≤-， 故选：C 10．C 【解析】 【分析】求出集合M ，N ，然后进行并集的运算即可. 【详解】∵{}02M x x =<<，{}11N x x =-≤≤， ∴[1,2)M N ⋃=-. 故选：C . 11．D 【解析】 【分析】根据集合的交运算结果，即可求得参数值. 【详解】因为{}5A B =，故可得{}51,a ∈，则5a =. 故选：D. 12．C 【解析】 【分析】根据分式不等式和对数不等式求出集合A 和B ，利用交集的定义 和集合的包含关系即可求解. 【详解】 由x31，得03x <≤， 所以}{N ,,A x x ⎧⎫=∈=⎨⎬⎭⎩31123. 由()log x +≤211，得11x -<≤． 所以()}{}{N log ,B x x =∈+≤=21101．由S A ⊆，S B ⋂≠∅，知S 中必含有元素1，可以有元素2,3．所以S 只有{}1，{}12，，{}13，，{}123，，，即集合S 的个数共4个． 故选：C. 13．B 【解析】 【分析】求出定义域得到集合B ，从而求出补集和交集. 【详解】{}()212,1A x x =-<<=-，{}()00,B x x ∞=>=+，所以(][),21,RA =-∞-⋃+∞，所以()[)1,RA B ∞⋂=+.故选：B. 14．C 【解析】 【分析】解不等式化简集合A ，B ，再利用补集、交集的定义计算作答.【详解】解不等式21-≤x 得：13x ≤≤，则[1,3]A =， 解不等式240x -≥得：2x ≥，则[2,)B =+∞，(,2)UB =-∞，所以()[1,2)UA B =.故选：C 15．B 【解析】 【分析】按照并集和补集计算即可. 【详解】由题意得，{5,1,0,2,4}A B =--，所以(){3}U A B =-．故选：B.二、填空题16．{}2,0,2-【解析】 【分析】根据集合A 的含义，直接求解A B ⋂即可. 【详解】因为集合A 表示元素为偶数的集合，又{}2|5{|B x x x x =≤=≤≤，故{}2,0,2A B ⋂=-. 故答案为：{}2,0,2-.17．[1,3]【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】解不等式2650x x -+≤ ，得()()150x x --≤ ，解得15x ≤≤ ， 即[]1,5B = ，[]1,3A B ∴= ； 故答案为：[]1,3 .18．[2,)-+∞【解析】 【分析】设{}212A x k x =-≤≤，{}53B x x =-≤≤，则A B ⊆，再对A 分两种情况讨论得解. 【详解】记{}212A x k x =-≤≤，{}53B x x =-≤≤， 因为p 是q 的充分条件，所以A B ⊆. 当A =∅时，212k ->，即32k >，符合题意； 当A ≠∅时，32k ≤，由A B ⊆可得215k -≥-，所以2k ≥-，即322k -≤≤. 综上所述，实数的k 的取值范围是[2,)-+∞． 故答案为：[2,)-+∞．19．(){}0,0【解析】 【分析】根据题意，得到两集合均为点集，联立2y x y ⎧=⎨=⎩求解，即可得出结果.【详解】因为集合(){}2,M x y y x ==∣表示直线2y x 上所有点的坐标，集合(){},0N x y y ==，表示直线0y =上所有点的坐标，联立20y x y ⎧=⎨=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩则(){}0,0MN =.故答案为：(){}0,0.20．1472【解析】 【分析】由题意设4194n b n =-+，6206m c m =-+，根据n m b c =可得326m n -=，从而312194n n a b n ==-+，即可得出答案.【详解】设4194n b n =-+，由41940n b n =-+>，得48n ≤ 6206m c m =-+，由62060m c m =-+>，得34m ≤A B 中的元素满足n m b c =，即41946206n m -+=-+，可得326m n -=所以223m n =+，由,*m n N ∈,所以3,*n k k N =∈ 所以312194n n a b n ==-+，要使得数列{}n a 的前n 项和的最大值，即求出数列{}n a 中所以满足0n a ≥的项的和即可. 即121940n a n =-+≥，得16n ≤，则116182,2a a == 所以数列{}n a 的前n 项和的最大值为121618221614722a a a ++++=⨯= 故答案为：1472【解析】 【分析】剔除集合中是3的倍数，5的倍数的元素，即可得出结果. 【详解】集合M 中，3的倍数有20216733⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，5的倍数有20214045⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，15的倍数有202113415⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个， 则剩下的元素个数为2021(673404134)1078-+-=个. 故答案为：1078.22．{}34x x ≤<【解析】 【分析】求出{}24A x x =<<与{}3B x x =≥，进而求出A B . 【详解】31x -<，解得：24x <<，故{}24A x x =<<，3782x x -≥-解得：3x ≥，故{}3B x x =≥，所以A B ={}34x x ≤<故答案为：{}34x x ≤<23．4a >【解析】 【分析】根据指数函数的单调性求出集合A ，再根据A B ⊆列出不等式，即可的解. 【详解】解：{}(]216,4xA x ∞=≤=-，因为A B ⊆， 所以4a >. 故答案为：4a >.24．{1,2,3,4,6,8}【解析】 【分析】先化简集合B ，再求两集合的并集. 【详解】因为B =｛x x 是6的正因数｝{1,2,3,6}=， 所以{1,2,3,4,6,8}A B =. 故答案为：{1,2,3,4,6,8}. 25． ∉， ∈， ∈ ∈【分析】（1）利用元素与集合的关系判断. （2）利用元素与集合的关系判断. （3）利用元素与集合的关系判断. （4）利用元素与集合的关系判断. 【详解】 解：34∉N ； 4-∈Z ； 13∈Q ； 2π-∈R .故答案为：∉，∈，∈，∈三、解答题26．2-或72【解析】 【分析】由题意，可得两直线有交点，再由直线平行公式可判断得两直线重合，从而列式求解. 【详解】因为A B ⋂≠∅，A ≠∅，B ≠∅， 所以直线()121,2a x y a x +-=-≠与()()21115,1a x a y a ---=≠±有交点，因为21111a a a --=+，所以两直线重合， 所以15121a a =--，得223140a a --=， 解得2a =-或72a =27．(1)[)2,3A B =， (]1,3A B ⋃= (2)()1,2 【解析】 【分析】（1）先解出集合AB ，再求A B ,A B ; （2）利用集合法列不等式组求出a 的范围. (1)当1a =时，{}{}()222|430|4301,3A x x ax a x x x =-+<=-+<=.{}[]2|5602,3B x x x =-+≤=.所以()[][)1,32,32,3A B ⋂=⋂=， ()[](]1,32,31,3A B ⋃=⋃=.(2)当0a >时，{}()22|430,3A x x ax a a a =-+<=.[]2,3B =. 因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，所以B A , 只需233a a <⎧⎨>⎩，解得：1 2.a << 故实数a 的取值范围为()1,2.28．(1){|1x x ≤或3}x ≥ (2)2(,1)(1,)3-⋃+∞ 【解析】【分析】（1）化简集合B ，根据补集、并集的运算求解；（2）由条件转化为A ⊆B ，分类讨论，建立不等式或不等式组求解即可.(1)当1a =-时，{}3|1A x x =-≤≤，{}1|28|234x B x x x ⎧⎫=<<=-<<⎨⎬⎩⎭， {||2U B x x x ∴=≤-或3}x ≥，(){|1U B x x A =≤∴或3}x ≥．(2)由A ∩B ＝A ，得A ⊆B ，当A ＝∅时，则3a ＞a +2，解得a ＞1，当A ≠∅时，则32231a a a >-⎧⎪+<⎨⎪≤⎩，解得213a -<<， 综上，实数a 的取值范围是2(,1)(1,)3-⋃+∞． 29．(1)1|13x x ⎧-≤<⎨⎩或162x ⎫<≤⎬⎭； (2)(]3,1--.【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求出集合A 、B ，即可求出A B ；（2）由A C C =，可知A C ⊆，得到不等式组，即得.(1)∵{}2560A x x x =--≤∣，{}26510B x x x =-+>∣，{|16}A x x ∴=-≤≤，1|3B x x ⎧=<⎨⎩或12x ⎫>⎬⎭， ∴1|13A B x x ⎧⋂=-≤<⎨⎩或162x ⎫<≤⎬⎭； (2)∵{|16}A x x =-≤≤，0{|9}9x m C x x m x m x m -⎧⎫=≤=≤<+⎨⎬--⎩⎭∣， 由A C C =，得A C ⊆，961m m +>⎧∴⎨≤-⎩，解得31m -<≤-， ∴实数m 的值取范围为(]3,1--.30．详见解析.【解析】【分析】根据题意可知每种相同的钥匙得两把，从4人中选出2人保存为6种不同的方法，进而得到至少有6把钥匙，每人有3把钥匙，然后根据3人能凑齐6把钥匙，2人不能凑齐，进行分配.【详解】根据题意可知要使不同的钥匙最少，则每种相同的钥匙得两把，因为四人中要有三位到场才可以打开保险箱，少于3人就不行，任意2人在一起，就至少少一把钥匙，不能打开，从4人中选出2人保存有6种不同的方法，所以需要有6把不同的钥匙（每种2把），共12把，分给4人，平均每人3把， 将这6把不同的钥匙分别记为1,2,3,4,5,6，将这四人分别记为A ，B ，C ，D ，钥匙分配方法不唯一如：方法一：A ：1 , 2 , 3；B ：3 , 4 , 5；C ：1 , 5 , 6；D ：2 , 4 , 6.方法二：A ：4 , 5 , 6；B ：2 , 3 , 4；C ：1 , 2 , 6 ；D ：1 , 3 , 5.。

判断元素能否构成集合1．下列各组对象不能构成集合的是（ ）A ．拥有手机的人B ．2021年高考数学难题C ．所有有理数D ．小于π的正整数答案：B解析：B 选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，其他选项均满足确定性.故选：B. 2．下列给出的对象中，能组成集合的是（ ）A ．一切很大数B ．方程210x 的实数根C ．漂亮的小女孩D ．好心人 答案：B解析：A 选项，很大数没有明确的定义，即元素不确定，不能构成集合；排除A ； B 选项，方程210x 的实数根为1±，能构成集合；B 正确；C 选项，漂亮没有明确的定义，即元素不确定，不能构成集合，排除C ；D 选项，好心人没有明确的定义，即元素不确定，不能构成集合，排除D.故选：B.3．下列集合表示正确的是（ ）A ．{} 2,4B ．{}2,3,3C ．()()(){}1,2,3,0,1,2D ．{高个子男生}答案：A 解析：由集合中元素的互异性、确定性可知，BCD 错误故选：A4．下列各组对象不能构成集合的是（ ）A ．所有的正方形B ．方程210x -=的整数解C ．我国较长的河流D ．出席十九届四中全会的全体中央委员答案：C解析：对于A 选项，“所有的正方形”对象是明确的，故能构成集合；x-=的整数解”的对象是明确的，故能构成集合；对于B选项，“方程210对于C选项，“较长”不是一个确定的范围，“我国较长的河流”的对象不明确，故不能构成集合；对于D选项，“出席十九届四中全会的全体中央委员”的对象是明确的，故能构成集合.故选：C.5．下列说法中正确的有（）个：①很小的数的全体组成一个集合：②全体等边三角形组成一个集合；③{}R表示实数集；④不大于3的所有自然数组成一个集合.A．1 B．2 C．3 D．4答案：B解析：①很小的数不确定，不能组成一个集合，故错误：②全体等边三角形组成一个集合，故正确；③{}R表示以实数集为元素的集合，不表示实数集，故错误；④不大于3的所有自然数是0，1，2，3，组成一个集合，故正确.故选：B6．下列各组对象能构成集合的是A．新冠肺炎死亡率低的国家B．19世纪中国平均气温较高的年份C．一组对边平行的四边形D．π的近似值答案：C解析：解：只要一组对边平行的四边形都在选项C这个全体中，那么C中所有对象能构成一个集合，而选项A，B，D都没有明确的判定标准判定个体是否在全体中.故选：C.7．下列选项中元素的全体可以组成集合的是（）A．2007年所有的欧盟国家B．校园中长的高大的树木C．学校篮球水平较高的学生D．中国经济发达的城市答案：A解析：A：因为2007年欧盟国家是确定的，所以本选项符合题意；B：因为不确定什么样子的树木叫高大的树木，所以本选项不符合题意；C：因为不确定篮球水平较高是一种什么水平，所以本选项不符合题意；D：因为不确定经济水平什么样叫发达，所以本选项不符合题意，故选：A8．下列各对象可以组成集合的是（）A．与1非常接近的全体实数B．某校2015-2016学年度第一学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．与无理数π相差很小的全体实数答案：B解析：A中对象不确定，故错；B中对象可以组成集合；C中视力比较好的对象不确定，故错；D中相差很小的对象不确定，故错.故选：B9．下列对象能确定为一个集合的是（）A．第一象限内的所有点B．某班所有成绩较好的学生C．高一数学课本中的所有难题D．所有接近1的数答案：A解析：A ．具备集合中元素的确定性，可以构成一个集合，故正确；B．“较好”不满足集合中元素的确定性，故错误；C．“难题”不满足集合中元素的确定性，故错误；D．“接近”不满足集合中元素的确定性，故错误.故选：A.10．下列能构成集合的是（）A．中央电视台著名节目主持人B．我市跑得快的汽车C．上海市所有的中学生︒︒︒D．sin30,tan45,cos60答案：C解析：根据集合中元素的定义，可得：对于A中，中央电视台著名节目主持人是不确定的对象，所以不能构成集合；对于B 中，我市跑得快的汽车是不确定的对象，所以不能构成集合；对于C 中，上海市所有的中学生是确定的不同的对象，所以可以构成集合；对于D 中，sin 30,tan 45,cos 60︒︒︒，其中sin30cos60︒︒=，所以不能构成集合.故选：C.11．下列判断正确的是（ ）A ．个子高的人可以组成集合B ．22{|1}{|1}x y x y y x =+==+C ．{|2}{|2}x x m m ≥=≥D ．空集是任何集合的真子集答案：C解析：对于A ，个子高没有一定的标准，不符合集合的确定性，故A 错误；对于B ，2{|1}R x y x =+=，2{|1}{|1}y y x y y =+=≥，所以22{|1}{|1}x y x y y x =+≠=+，故B 错误；对于C ，集合{|2}x x ≥表示大于或等于2的实数组成的集合，集合{|2}m m ≥表示大于或等于2的实数组成的集合，所以{|2}{|2}x x m m ≥=≥，故C 正确；对于D ，空集是任何非空集合的真子集，故D 错误.故选：C.12．下列各组对象不能构成集合的是（ ）A ．北京大学2020级大学一年级新生B ．2020年高考数学容易题C ．大于3的整数D ．海拔在4000米以上的山峰答案：B解析：由于集合中的元素满足确定性，ACD 选项中的对象均满足确定性，而B 选项中的对象不满足确定性，故B 选项中的对象不能构成集合.故选：B.13．下列对象能构成集合的是（ ）A ．某中学所有聪明的学生B ．不小于5的所有自然数C ．中国各地的美丽乡村D ．NBA 联盟中所有优秀的球员答案：B解析：根据集合中的元素具有确定性知，某中学所有聪明的学生，中国各地的美丽乡村，NBA 联盟中所有优秀的球员，都不能构成集合，不小于5的所有自然数具有确定性，可以构成集合.故选：B14．下列对象能构成集合的是（ ）A ．高一年级全体较胖的同学B ．接近于0的数C ．全体很大的自然数D ．平面内到ABC 三个顶点距离相等的所有点答案：D解析：解：A 中的“较胖”、B 中的“接近于”和C 中的“很大”都没有一个明确的标准， 不满足元素的确定性，所以A ，B ，C 中的对象均不能构成集合，显然D 中的对象满足元素的确定性，则能构成集合．故选：D ．15．下列各个全体中，能表示为集合的是（ ）A ．某届某校较优秀的毕业生；B 的所有实数；C ．某班身高较高的男生；D ．数轴上所有的有理数点．16．下列关于集合的说法正确的有（ ）①很小的整数可以构成集合； ②集合{}221y y x =+与集合(){}2,21x y y x =+是同一个集合； ③1，2，12-，0.5，12这些数组成的集合有5个元素． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个17．下列四个命题中，其中真命题的个数为（ ）①与0非常接近的全体实数能构成集合；②{}21,(1)--表示一个集合；③空集是任何一个集合的真子集；④任何一个非空集合至少有两个子集．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个210x x +-=的实数根④全国著名的高等院校.以上能构成集合的是（ ）A ．①③B ．①②C ．①②③D ．①②③④答案：A解析：解：① 联合国的常任理事国有：中国、法国、美国、俄罗斯、英国.所以可以构成集合. ② 中的元素是不确定的，不满足集合确定性的条件，不能构成集合.③ 方程210x x +-=的实数根是确定，所以能构成集合.④ 全国著名的高等院校.不满足集合确定性的条件，不构成集合.故选：A19．下列判断正确的是（ ）A ．个子高的人可以组成集合B ．0∅=C ．{|2}{|2}x x m m ≥=≥D ．空集是任何集合的真子集答案：C解析：对于A ，个子高没有界定的标准，个子高的人对象不确定，个子高的人不能形成集合，A 不正确；对于B ，∅是集合，且空集不含任何元素，而0是一个数，两者不可能相等，B 不正确； 对于C ，描述法表示集合时，可用不同字母作同一集合的代表元，集合{|2}x x ≥与{|2}m m ≥都表示不小于2的实数形成的集合，因此{|2}{|2}x x m m ≥=≥，C 正确；对于D ，空集是空集的子集，空集没有真子集，D 不正确.故选：C20．下列说法正确的是（ ）A ．所有著名的作家可以形成一个集合B ．0与 {}0的意义相同C ．集合1,A x x n N n +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭是有限集 D ．方程2210x x ++=的解集只有一个元素。

1.1集合的概念专项练习解析版一、单选题1．若1∈{x ，x 2}，则x =( )A ．1B ．1-C ．0或1D ．0或1或1- 【答案】B【分析】根据元素与集合关系分类讨论，再验证互异性得结果【详解】根据题意，若1∈{x ，x 2}，则必有x =1或x 2=1，进而分类讨论：∈、当x =1时，x 2=1，不符合集合中元素的互异性，舍去，∈、当x 2=1，解可得x =-1或x =1(舍)，当x =-1时，x 2=1，符合题意，综合可得，x =-1，故选B ．【点睛】本题考查元素与集合关系以及集合中元素互异性，考查基本分析求解能力，属基础题.2．已知集合A ＝{a ，|a |，a －2}，若2∈A ，则实数a 的值为( )A ．－2B ．2C ．4D ．2或4 【答案】A【分析】根据元素和集合的关系以及集合元素的互异性确定正确选项.【详解】依题意2A ∈，若2a =，则2=a ，不满足集合元素的互异性，所以2a ≠； 若2=a ，则2a =-或2a =(舍去)，此时{}2,2,4A =--，符合题意；若22a -=，则4a =，而4a =，不满足集合元素的互异性，所以4a ≠.综上所述，a 的值为2-.故选：A【点睛】本小题主要考查元素与集合的关系，考查集合元素的互异性，属于基础题.3．下列关系中，正确的有( ) ∈1R 2；5Q ；∈3N ；∈2Q ∈.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据元素与集合之间的关系判断可得答案.【详解】12|3|3-=是非负整数，2是有理数.因此，∈∈∈∈正确，故选：D .4．考查下列每组对象，能组成一个集合的是( )∈一中高一年级聪明的学生；∈直角坐标系中横、纵坐标相等的点；∈不小于3的正整数；值．A ．∈∈B ．∈∈C ．∈∈D ．∈∈ 【答案】C【分析】利用集合中的元素满足确定性判断可得出结论.【详解】∈“一中高一年级聪明的学生”的标准不确定，因而不能构成集合；∈“直角坐标系中横、纵坐标相等的点”的标准确定，能构成集合；∈“不小于3的正整数”的标准确定，能构成集合；”的标准不确定，不能构成集合．故选：C.5．下列各组对象不能构成集合的是( )A ．参加运动会的学生B 的正整数C ．2022年高考数学试卷上的难题D ．所有有理数【答案】C【分析】根据集合的基本概念辨析即可.【详解】解：对于A 选项，参加运动会的学生，是确定的，没有重复的，所以能构成集合；对于B 对于C 选项，2022年高考数学试卷上的难题，多难的题才算是难题，有一定的不确定性，不符合集合中元素的确定性，故不能构成集合；对于D 选项，所有有理数，所研究的有理数，是确定的，没有重复的，所以能构成集合；故选：C.6．已知集合{}21,2,22A a a a =---，若1A -∈，则实数a 的值为( ) A ．1B ．1或12-C ．12-D ．1-或12-【分析】由题可知21a -=-或2221a a --=-，即求.【详解】∈1A -∈，∈21a -=-或2221a a --=-，∈1a =或12a =-， 经检验得12a =-.故选：C.7．已知集合A ＝{x |ax 2﹣3x +2＝0}只有一个元素，则实数a 的值为( )A ．98B ．0C ．98或0D ．1【答案】C 【分析】根据a 是否为0分类讨论．【详解】0a =时，2{|320}{}3A x x =-+==，满足题意； 0a ≠时，980a ∆=-=，98a =，此时294|320}83A x x x ⎧⎧⎫=-+==⎨⎨⎬⎩⎭⎩，满足题意． 所以0a =或98．故选：C二、多选题8．已知{}21|A y y x ==+，(){}21|,B x y y x ==+ ，下列关系正确的是( )A ．=A BB ．()1,2A ∈C ．1B ∉D ．2A ∈【答案】CD 【分析】根据集合A 、B 的特征，结合元素与集合的关系进行判断．【详解】∈{}2|1{|1}A y y x y y ==+=是数集；{}2(,)|1B x y y x ==+为点集，∈2A ∈，2B ∉，1B ∉，故A 错误，C 、D 正确；由21y x =+知，=1x 时=2y ，∈(1,2)B ∈,(1,2)A ∉，故B 错误．故选：CD ．9．下列选项正确的有( )A ．()R Q π∈B ．13Q ∈C ．0*N ∈D 4Z【答案】ABD【分析】根据常见集合的意义和元素的性质可判断各选项中的属于关系是否成立，从而可得正确的选项.【详解】因为π为无理数，故()R Q π∈，故A 正确. 因为13为有理数，故13Q ∈，故B 正确. 因为*N 为正整数集，但*0N ∉，故C 不正确.2=Z ，故D 成立.故选：ABD.【点睛】考查常见集合的表示，注意正确区分各字母表示的常见集合，不要混淆，本题属于基础题.10．下列各组中M 、P 表示不同．．集合的是( ) A ．{3,1}M =-，{13}P =-，B ．{}{(31)},(1,3)M P ==， C ．{}21,R M y y x x ==+∈，{}t t 1P =≥D ．{}21,R M y y x x ==-∈，2{(,)|1,R}P x y y x x ==-∈【答案】BD【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案.【详解】选项A 中，根据集合的无序性可知M P =；选项B 中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M ≠P ；选项C 中，M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R}=[)1,+∞，{}t t 1P =≥=[)1,+∞，故M =P ；选项D 中，M 是二次函数y ＝x 2－1，x ∈R 的所有y 组成的集合，而集合P 是二次函数y ＝x 2－1，x ∈R 图象上所有点组成的集合，故M P ≠．故选：BD ．11．下列四个命题：其中不正确的命题为( )A ．{}0是空集B ．若N a ∈，则N a -∉；C ．集合{}2R 210x x x ∈-+=有一个元素 D ．集合6Q N x x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭是有限集. 【答案】ABD【分析】根据空集的定义可判断A ；根据元素与集合的关系可判断B ；解方程求出集合中的元素可判断C ；x 为正整数的倒数时，都有6N x∈可判断D ，进而可得正确选项. 【详解】对于A ：{}0含有一个元素0，所以{}0不是空集，故选项A 不正确；对于B ：当0a =时，N a ∈，则N a -∈，故选项B 不正确；对于C ：{}(){}{}22R 210R 101x x x x x ∈-+==∈-==只有一个元素，故选项C 正确； 对于D ：Q 表示有理数，包括整数和分数，比如x 为正整数的倒数时，都有6N x∈，所以集合6Q N x x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭是无限集，故选项D 不正确；故选：ABD.三、填空题12．已知集合{}1,2,A m =，{}13,B n =,，若A B =，则m n +=_______． 【答案】5【分析】由集合的性质，即元素的无序性和互异性可得3,2m n ==，得5m n +=.【详解】根据集合的元素具有无序性和互异性可得，3,2m n ==，所以5m n +=.故答案为：5.【点睛】(1)集合A B =的充要条件是A B ⊆，且A B ⊇；(2)集合由三个性质：确定性，互异性和无序性.13．若{}221,,2a a ∈-，则=a ______．【答案】2-【分析】结合集合的互异性来求得a .【详解】若2a =，则222a -=，不满足互异性，所以2a ≠.若222,2a a -==-或2a =(舍去)，所以2a =-.故答案为：2-四、解答题14．已知集合{}222,1,A a a a =+-，{}20,7,5B a a =--，且5A ∈，求集合B ．【答案】{}0,7,1B =【分析】根据题意，结合集合中元素的确定性与互异性，分类讨论即可求解.意；若2a =-，则26a a -=，此时{}2,5,6A =，{}0,7,1B =.而当25a a -=时，集合B 中250a a --=，根据互异性可知，不满足题意.综上，{}0,7,1B =.15．已知集合{}2210,A x ax x a R =++=∈， (1)若A 只有一个元素，试求a 的值，并求出这个元素；(2)若A 是空集，求a 的取值范围；(3)用列举法表示集合A .【答案】(1)见解析(2)1a >(3)见解析【分析】(1)分为0a =和0a ≠两种情形即可；(2)根据方程无解时，440a ∆=-<即可得结果；(3)根据(1)(2)的结果结合求根公式即可得结果.【详解】(1)∈0a =时，12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭满足题意； ∈0a ≠时，要使A 只有一个元素，则需：440a ∆=-=，即1a =，此时{}1A =-.综上：0a =时，12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭；1a =时，{}1A =-. (2)∈A =∅，0a =显然不合题意，∈440a ∆=-<，即1a >∈1a >时，A =∅.(3)由(2)得，当1a >时，方程2210ax x ++=无解，即A =∅，由(1)得0a =时，方程210x +=的解为12x =-，即12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭； 当1a =时，方程2210x x ++=的解为=1x -，即{}1A =-.当1a <时，由求根公式得2210ax x ++=的解为1x =2x =，即A =⎪⎪⎩⎭综上可得：当1a >时，A =∅；当0a =时，12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，当1a =时，{}1A =-；当1a <时，A =⎪⎪⎩⎭. 【点睛】考查了用描述法表示集合，含有参数一元二次方程的解，分类讨论思想的应用，属于中档题。

集合知识点及题型归纳总结知识点精讲一、集合的有关概念 1．集合的含义与表示某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．2．集合元素的特征（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素． （2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现． （3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关．如{}{},,,,a b c a c b =． 3．集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图、数轴)和区间法． 4．常用数集的表示R 一实数集 Q 一有理数集 Z 一整数集 N 一自然数集*N 或N +一正整数集 C 一复数集二、集合间的关系1．元素与集合之间的关系元素与集合之间的关系包括属于(记作a A ∈)和不属于(记作a A ∉)两种． 空集：不含有任何元素的集合，记作∅． 2．集合与集合之间的关系 （1）包含关系．子集：如果对任意a A A B ∈⇒∈，则集合A 是集合B 的子集，记为A B ⊆或B A ⊇，显然A A ⊆．规定：A ∅⊆．（2）相等关系．对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，同时B A ⊆，那么集合A 与B 相等，记作A B =． （3）真子集关系．对于两个集合A 与B ，若A B ⊆，且存在b B ∈，但b A ∉，则集合A 是集合B 的真子集，记作AB 或B A ．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．三、集合的基本运算集合的基本运算包括集合的交集、并集和补集运算，如表11-所示．IA{|IA x x =1．交集由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B ⋂，即{}|A B x x A x B ⋂=∈∈且．2．并集由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A B ⋃，即{}|A B x x A x B ⋃=∈∈或．3．补集已知全集I ，集合A I ⊆，由I 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A 相对于全集I 的补集，记作IA ，即{}|I A x x I x A =∈∉且．四、集合运算中常用的结论 1．集合中的逻辑关系 （1）交集的运算性质．A B B A ⋂=⋂，A B A ⋂⊆，A B B ⋂⊆ A I A ⋂=，A A A ⋂=，A ⋂∅=∅． （2）并集的运算性质．A B B A ⋃=⋃，A A B ⊆⋃，B A B ⊆⋃ A I I ⋃=，A A A ⋃=，A A ⋃∅=． （3）补集的运算性质．()II A A =，I I ∅=，I I =∅ ()I A A ⋂=∅，()I A A I ⋃．补充性质：II I A B A A B B A B B A A B ⋂=⇔⋃=⇔⊆⇔⊆⇔⋂=∅．（4）结合律与分配律．结合律：()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃ ()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂． 分配律：()()()A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂ ()()()A B C A B A C ⋃⋂=⋃⋂⋃． （5）反演律（德摩根定律）．()()()II I A B A B ⋂=⋃()()()II I A B A B ⋃=⋂．即“交的补=补的并”，“并的补=补的交”． 2．由*(N )n n ∈个元素组成的集合A 的子集个数A 的子集有2n 个，非空子集有21n -个，真子集有21n -个，非空真子集有22n -个．3．容斥原理()()()()Card A B Card A Card B Card A B ⋃=+-⋂．题型归纳及思路提示I AA题型1 集合的基本概念思路提示：利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性． 例1.1 设,a b R ∈，集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -=（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-解析：由题意知{}01,,a b a ∈+，又0a ≠，故0a b +=，得1ba=-，则集合{}{}1,0,0,1,a b =-，可得1,1,2a b b a =-=-=，故选C 。

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．下列符号表述正确的是（ ） A ．*0N ∈ B ．1.732Q ∉ C ．{}0∅∈ D ．{}2x x ∅⊆≤答案：D解析：根据元素与集合、集合与集合的关系可判断各选项的正误. 详解：对于A 选项，0N *∉，A 选项错误；对于B 选项，1.732Q ∈，B 选项错误； 对于C 选项，{}0∅⊆，C 选项错误；对于D 选项，{}2x x ∅⊆≤，D 选项正确. 故选：D. 点睛：本题考查元素与集合、集合与集合关系的判断，属于基础题.2．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}1,B y y x x A ==-∈，则下列关系正确的是（ ） A ．A B = B ．A B ⊆ C ．B A ⊆ D ．A B =∅ 答案：C解析：求出B 后可判断,A B 的关系. 详解：由集合{}2,1,0,1,2A =--，{}1,B y y x x A ==-∈， 得{}1,0,1B =-．又因为集合{}2,1,0,1,2A =--，所以B A ⊆．故选C ． 点睛：判断两个集合是否具有包含关系，只需根据子集的定义检验即可，此类问题为容易题. 3．下列关系中正确的个数为（ ）（1）{}00∈；（2）{}0∅⊆；（3）{}(){}0,10,1⊆； （4）(){}(){},,a b b a =；（5）{}{},,a b b a =. A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C解析：利用元素与集合的关系符号表示、集合与集合之间的关系符号表示即可判断. 详解：对于（1），0是集合{}0中的元素，即{}00∈，故正确； 对于（2），空集是任何集合的子集，故{}0∅⊆，故正确；对于(3)，集合{}0,1中的元素为0，1，集合(){}0,1中的元素为()0,1，故错误； 对于(4)，集合(){},a b 中的元素为(),a b ，集合(){},b a 中的元素为(),b a ，故错误. 对于（5），{},a b 中的元素为,a b ，{},b a 中的元素为,a b ，故正确. 故选：C4．下列四个集合中，是空集的是（ ） A ．{|33}x x B ．2{|0}x x ≤C ．2{|10,}x x x x R -+=∈D ．22{(,)|,,}x y y x x y R =-∈答案：C解析：利用空集的定义直接判断选项是否是空集，即可． 详解： 解：33x +=，0x ∴=，所以{|33}{0}x x +==，A不是空集．20x ，0x ∴=，所以2}{|0}{0x x ≤=,B 不是空集．210x x -+=，x ∈R ，()2141130∆=--⨯⨯=-<，2{|10,}x x x x R ∴-+=∈=∅；即C 是空集．22y x =-，x ，y R ∈，即220y x +=0x y =⎧∴⎨=⎩，所以{}22){(,)|,,(0,0}x y y x x y R ==-∈；D 不是空集． 故选：C ．5．已知集合{}2320A x x x =-+=，{}06B x x =∈<<N ，则满足条件A C B ⊆的集合C 的个数为（ ） A ．7 B ．8C ．15D ．16答案：A解析：先求出集A ，B ，再由件A C B ⊆，确定集合C 即可 详解：解：由题意得{}{}1,2,1,2,3,4,5A B ==, 因为A C B ⊆所以{}1,2 {}1,2,3,4,5C ⊆，所以集合C 的个数为集合{}3,4,5的非空子集的个数为3217-=， 故选：A.6．已知集合{}21,2,2A a =+，{}1,3B a =，若B A ⊆，则a =（ ）A ．1或2B ．2C ．3D ．1或2或23答案：D解析：利用子集的定义讨论即可. 详解：因为B A ⊆，集合{}21,2,2A a =+，{}1,3B a =，若32a =，则23a =，符合；若223+=a a ，则1a =或2，经检验均符合. 故选：D. 7．若1,2,3} A ⊆1,2,3,4,5}，则集合A 的个数为 A ．2 B ．3C ．4D ．5答案：B 详解：集合1,2,3}是集合A 的真子集，同时集合A 又是集合1,2,3,4,5}的子集，所以集合A 只能取集合1,2,3,4}，1,2,3,5}和1,2,3,4,5}． 考点：集合间的基本关系.8．已知集合{}1,2A =，()(){}|10,B x x x a a R =--=∈.若A B =，则a 的值为（ ） A ．2 B ．1 C ．-1 D ．-2答案：A解析：首先化简集合B ，再根据两个集合相等，里面的元素相等即可求出a 的值. 详解：由题意得()(){}{}|10,1,B x x x a a R a =--=∈=，因为A B =，所以2a =. 故选：A 点睛：本题主要考查了集合的相等，属于基础题.9．设集合A=｛x|1<x<2｝,B=｛x|x<a ｝满足A ⊆B ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,+∞) B ．(-∞，1]C ．(2,+∞)D ．(-∞，2]答案：A解析：根据子集的定义、以及A 、B 两个集合的范围，建立实数a 的不等式，求解即可得到a 的取值范围． 详解：由于 集合A ＝x|1＜x ＜2}，B ＝x|x ＜a}，且满足A ⊆B ， ∴a≥2， 故选：A ． 点睛：本题主要考查集合间的关系，子集的定义，属于基础题．10．已知P 2{|1,x x n n ==+∈}N ，Q 2{|41,y y m m m ==-+∈}N ，则P 与Q 关系是（ ） A ．P Q = B ．P QC ．P QD ．以上都不对答案：D解析：根据2P ∈,但2Q ∉,以及2Q -∈但2P -∉可得. 详解：当1n =时,2x =,所以2P ∈,令2412m m -+=,即2410m m --=,解得2m =N ∉, 所以2Q ∉,当1m =时,1412y =-+=-Q ∈,所以2Q -∈,而2P -∉, 故选D . 点睛：本题考查了集合之间的基本关系,属于基础题. 二、填空题1．设集合{1,2,3,4,5,6},{4,5,6,7,8}A B ==,则满足S A ⊆且S B φ⋂≠的集合S 的个数是__________个答案：56解析：正难则反，S B φ⋂≠，从这个条件出发，可先求S B φ⋂=的个数，再用全部子集的个数减去S B φ⋂=的个数即可 详解：集合A 的子集有:{1},{2},{3},{4},{5},{6} ,{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,2,3,4,5,6},∅,共64个; 又,{4,5,6,7,8}S B B ⋂≠∅=,所以S 不能为:{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},∅共8个,则满足S A ⊆且S B ⋂≠∅的集合S 的个数是64856-=. 点睛：集合中元素个数若为n 个，则子集个数为2n 个2．设集合P 满足{}{}1,20,1,2,3,4P ≠⊆⊂，满足条件的P 的个数为 ______________ .答案：7个解析：由{}1,2P ⊆可知P 中必含有1,2；由{}0,1,2,3,4P ≠⊂，可知0,3,4不全为P 中元素，以此可得P 集合，进而得到结果.详解：{}1,2P ⊆ P ∴中必含有元素1,2，又{}0,1,2,3,4P ≠⊂ {}1,2P ∴=，{}0,1,2，{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,0,3，{}1,2,0,4，{}1,2,3,4 ∴满足条件的P 共有7个故答案为：7个 点睛：本题考查根据集合的包含关系确定集合个数的问题，关键是能够根据包含关系确定所求集合中所包含的元素情况.3．设集合{}1A =-,{}1B x ax ==，若B A ⊆,则a =___________．答案：0或1-解析：方程1ax =的根为1-或无实解． 详解：0a =时，1ax =无解，满足题意，0a ≠时，由1ax =得11x a==-，1a =-． 综上a 的值为0或1-． 故答案为：0或1-． 点睛：本题考查集合的包含关系，解题时要注意空集是任何集合的子集． 4．已知集合，集合，若，则实数=_________．答案：1解析：试题分析：由条件B A ⊆可知集合B 是集合A 的子集，所以有221m m =-或21m =-（舍），解得：1m =． 考点：集合间的关系．5．已知数列{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，数列{}n b 是公比为()1q q ≠的等比数列，记集合{},n n M n a b n N *==∈，则集合M 的子集最多有________个．答案：4解析：分类讨论1q ≠-和1q =-两种情况，推导出集合(){},n A n a n N *=∈与集合(){},n B n b n N*=∈中的点不可能有三个公共点，得出集合M 至多只有两个元素，再利用集合子集个数公式可得出所求结果. 详解：1q ≠，当1q ≠-时，集合(){},nB n b n N *=∈中的点不可能出现三点共线，而集合(){},nA n a n N *=∈所有的点都在同一条直线上，此时，集合M 至多只有两个元素；当1q =-时，假设集合(){},nA n a n N *=∈与集合(){},nB n b n N *=∈有三个公共点(),k k b 、(),ss b 、()(),,,,t t b k s t k s t N *<<∈，则k b 、s b 、t b 中至少有两个相等，则ka 、s a 、t a 中至少有两个相等，这与0d ≠矛盾，此时，集合M 至多只有两个元素. 因此，集合M 的子集个数最多是224=个. 故答案为4. 三、解答题1．已知集合{|12},{|||1}A x ax B x x =<<=<，是否存在实数a ，使得A B ⊆.若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由.答案：存在；0a =或2a ≥或2a ≤-.解析：先确定集合B 中的元素，然后求集合A ，根据a 分类：0,0,0a a a =><分类解不等式求得集合A ，然后再由包含关系得关于a 的不等关系，从而得出结论． 详解：∵{}|11B x x =-<<，而集合A 与a 的取值范围有关. ①当0a =时，A =∅，显然A B ⊆. ②当0a >时，12A xx aa ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，∵A B ⊆，如图1所示，∴11,21,aa⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩∴2a ≥.③当0a <时，21A xx aa ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，∵A B ⊆，如图2所示，∴11,21,aa⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩∴2a -.综上可知，所求实数a 的取值范围为0a =或2a ≥或2a ≤-. 点睛：本题考查集合的包含关系，掌握子集的定义是解题关键．解不等式时要注意对未知数的系数分类讨论．2．已知集合A ＝x|1－a<x≤1＋a}，集合B ＝122xx ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭∣. （1）若A ⊆B ，求实数a 的取值范围； （2）若B ⊆A ，求实数a 的取值范围；（3）是否存在实数a 使A ，B 相等？若存在，求出a ；若不存在，请说明理由.答案：（1）a≤1；（2）a≥32；（3）不存在，答案见解析. 解析：（1）根据集合的包含关系，即可列出不等式组，求解即可； （2）根据集合的包含关系，即可列出不等式组，求解即可； （3）根据（1）（2）所求，即可判断. 详解：（1）∵A ⊆B ，∴a≤0或112120a a a ⎧-≥-⎪⎪+≤⎨⎪>⎪⎩解得a≤1.（2）∵B ⊆A ，∴11212a a ⎧-≤-⎪⎨⎪+≥⎩解得a≥32. （3）不存在.理由：若A B =，需满足A ⊆B ，且B ⊆A ，即a≤1且a≥32，显然不存在这样的a.故不存在a使得A B.点睛：本题考查根据集合的包含关系，以及集合相等求参数范围，属综合基础题.3．已知二次函数满足条件，（为已知实数）.（1）求函数的解析式；（2）设，，当时，求实数的取值范围.答案：（1）；（2）.解析：（1）先由题意，设二次函数，根据，得到，即可求出结果；（2）先化简集合，解方程，分别讨论，，三种情况，即可得出结果.详解：（1）因为二次函数满足条件，设二次函数，又，所以，因此，所以，所以；（2）因为，解方程得或，当时，满足；当时，，由得，解得，所以；当时，，由得，解得，所以， 综上，实数的取值范围是.点睛：本题主要考查求二次函数的解析式，以及由集合的包含关系求参数的问题，熟记待定系数法求函数解析，熟记集合间的基本关系即可，属于常考题型. 4．已知集合U =R ，集合()(){}230A x x x =--<，函数()22lg x a y a x-+=-的定义域为集合B .(1)若12a =，求集合()UA B ；(2)若A B ⊆，求实数a 的取值范围.答案：(1)934xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭；(2)(][]1]1,2-∞-⋃，. 解析：（1）根据不等式求出集合A ，求出函数的定义域B ，即可求解补集和交集； （2）根据集合的包含关系比较端点的大小列不等式求解即可. 详解：(1)集合{}|23A x x =<<，因为12a =.所以函数()2924lglg12x x a y a xx --+==--，由94012x x->-，可得集合1924B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭.{1|2UB x x =≤或94x ⎫≥⎬⎭，故()934U A B x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭. (2)因为A B ⊆，由{}23A x x =<<，而集合B 应满足()220x a a x-+>-，因为22172024a a a ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，故{}22B x a x a =<<+，依题意：2223a a ≤⎧⎨+≥⎩，即1a ≤-或12a ≤≤， 所以实数a 的取值范围是(][]1]1,2-∞-⋃，. 点睛：此题考查集合的基本运算，根据集合的包含关系求解参数的取值范围，在第二问需要考虑解集端点的大小关系.5．下列集合间是否有包含关系？ （1）{}1,2,3A =，{}1,2,3,4B =，{}2,3,4C = （2）N ，Z ，Q ，R（3）{}13A x x =<≤，{}|14B x x =≤≤答案：（1）A B ⊆，C B ⊆，A 与C 无包含关系（2）N Z Q R ⊆⊆⊆（3）A B ⊆解析：（1）由题意可知，集合A 中的元素都属于集合B ，集合C 中的元素都属于集合B ，1C ∉，4A ∉，根据包含关系的定义，求解即可.（2）由题意可知，N 为自然数集，Z 为整数集，Q 为有理数集，R 为实数集，根据包含关系的定义，求解即可.（3）由题意可知，集合A 中的元素都属于集合B .根据包含关系的定义，求解即可. 详解：（1）因为集合A 中的元素都属于集合B ，集合C 中的元素都属于集合B ，1C ∉，4A ∉，所以A B ⊆，C B ⊆，A 与C 无包含关系.（2）因为N 为自然数集，Z 为整数集，Q 为有理数集，R 为实数集，所以N Z Q R ⊆⊆⊆. （3）因为A={}|13x x <≤，B={}|14x x ≤≤，所以集合A 中的元素都属于集合B ，则A B ⊆. 点睛：本题考查集合之间的关系，属于较易题.。

1.1 集合与命题一、解答题。

1. 集合与元素(1)集合元素的三个特征：________、________、________．(2)元素与集合的关系是________或________关系，用符号________或________表示．(3)集合的表示法：________、________、________．2. 集合间的关系(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A________B（或________）．(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A________B（或B________A）．(3)空集：空集是任意集合的子集，是任何非空集合的真子集．即⌀⊆A，⌀________B （B≠⌀）．(4)若A含有n个元素，则A的子集有________个，A的非空子集有________个，非空真子集有________个．(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则________．3. 集合的运算4. 命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以________的陈述句叫做命题．其中________的语句叫真命题，________的语句叫假命题．（常见结构：若p，则q）5. 简单的逻辑联结词(1)命题中的“________”、“________”、“________”叫做逻辑联结词．含逻辑联接词的命题称为复合命题．(2)简单复合命题的真值表：记忆口诀：“p∧q命题”________；“p∨q命题”有真为真；“¬p命题”________．6. 四种命题及相互关系7. 四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性________关系．8. （2019·河北衡水中学模拟）已知集合A={x|y=√x2−2x}，B={y|y=x2+1}，则A∩B=（）A.[1,+∞）B.[2,+∞)C.(−∞,0]∪[2,+∞)D.[0,+∞）9. 已知集合A={x|−1<x<2}，B={y|y=x+a,x∈A}，C={z|z=x2,x∈A}，若B⊆C求实数a的取值范围．10. 已知p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根；q：不等式4x2+4(m−2)x+1>0的解集为R．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．11. 命题p：函数y=3x−3−x是R上的增函数．命题q：函数y=3x+3−x是R上的减函数．则在命题p∨q，p∧q，(¬p)∧q，p∧(¬q)中，真命题个数是________．12. （2019·济南一中模拟）原命题：“a，b为两个实数，若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”，下列说法错误的是（）A.逆命题为：a，b为两个实数，若a，b中至少有一个不小于1，则a+b≥2，为假命题B.否命题为：a，b为两个实数，若a+b<2，则a，b都小于1，为假命题C.逆否命题为：a，b为两个实数，若a，b都小于1，则a+b<2，为真命题D.a，b为两个实数，“a+b≥2”是“a，b中至少有一个不小于1”的必要不充分条件13. 设A={x|x2+px+q=0}≠⌀，M={1,3,5,7,9}，N={1,4,7,10}．若A∩M=⌀，A∩N=A，求p、q的值．14. 小结与反思___________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ __________________15. 已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x−2,x∈A}，则A∩B=（）A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}16. 设集合A={x∈N|14≤2x≤16}，B={x|y=ln(x2−3x)}，则A∩B中元素的个数是（）A.1B.2C.3D.417. 命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是（）A.若x+y是偶数，则x与y不都是偶数B.若x+y是偶数，则x与y都不是偶数C.若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数D.若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数18. 已知集合A={1,3,√m}，B={1,m}，A∪B=A，则m=（）A.0或√3B.0或3C.1或√3D.1或319. 已知c>0且c≠1，设P：函数y=c x在R上单调递减；Q：不等式x+|x−2c|>1的解集为R，若“P或Q”是真命题，“P且Q”是假命题，则c的取值范围是（）A.(12,+∞) B.(1,+∞) C.(0,12] D.(0,12]∪(1,+∞)20. 已知命题“若函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是增函数，则m ≤1”，则下列结论正确的是（ ）A.否命题“若函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是减函数，则m >1”是真命题B.逆命题“若m ≤1，则函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是增函数”是假命题C.逆否命题“若m >1，则函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是减函数”是真命题D.逆否命题“若m >1，则函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上不是增函数”是真命题21. 下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“若ab =0，则a =0”的否命题；③“正三角形的三个角均为60∘”的逆否命题．其中真命题的序号是________（把所有真命题的序号填在横线上）22. 已知M ={(x,y)|y−3x−2=a +1}，N ={(x,y)|(a 2−1)x +(a −1)y =15}，若M ∩N =⌀，则a 的值为________．23. 非空数集A 如果满足：①0∉A ；②若对∀x ∈A ，有1x ∈A ，则称A 是“互倒集”．给出以下数集：①{x ∈R |x 2+ax +1=0}；②{x|x 2−4x +1<0}；③{y|y =ln x x ，x ∈[1e ,1)∪(1,e]}；④{y|y ={2x +25，x ∈[0,1)x +1x，x ∈[1,2]}． 其中“互倒集”的个数是________．24. 已知集合A ={x|x 2−2x −3≤0},B ={x|x 2−2mx +m 2−4≤0,x ∈R ,m ∈R } 若A ∩B =[0,3]，求实数m 的值；若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．25. 已知集合A ={y|y 2−(a 2+a +1)y +a (a 2+1)>0}，B ={y|y =12x 2−x +52,0≤x ≤3}．若A ∩B =⌀，求a 的取值范围；当a 取使不等式x 2+1≥ax 恒成立的a 的最小值时，求(∁R A)∩B ．26. 已知全集U=R，非空集合A={x|x−2x−(3a+1)<0}，B={x|x−a2−2x−a<0}．当a=12时，求(∁U B)∩A；命题p:x∈A，命题q:x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析1.1 集合与命题一、解答题。

第一周 元素与集合、集合与集合的关系重点知识梳理1．集合元素的三个特性：确定性，互异性，无序性． ①确定性：集合中的元素必须是明确的，不能含糊不清；②互异性：一个集合中的元素是唯一的，不能有相同元素，相同元素只能出现一次； ③无序性：即一个集合中的元素出现没有顺序，只要两个集合的元素完全相同，这两个集合就是相同的．2．元素与集合的关系：集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，元素与集合是从属关系，如a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ，a 不属于集合A ，记作a ∉A . 3．集合间的基本关系(1)子集：如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊆B . (2)真子集：如果A ⊆B 且A ≠B ，那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B .(3)相等：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，即A ＝B . (4)常用结论①任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆A ；②空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集； ③如果A ⊆B ，B ⊆C ，那么A ⊆C ； ④如果A ⊆B ，同时B ⊆A ，那么A ＝B .典型例题剖析例1 已知集合A ＝{x |ax 2－2x －1＝0，x ∈R }，若集合A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．【方法指导】集合A 中至多有一元素，即为对应方程至多只有一根，这样通过讨论方程根的情况来求a 的取值范围即可．【解析】(1)当a ＝0时，方程只有一个根－12，则a ＝0符合题意；(2)当a ≠0时，关于x 的方程ax 2－2x －1＝0是一元二次方程，则该方程有两个相等的实数根或没有实数根，所以Δ＝4＋4a ≤0，解得a ≤－1，所以实数a 的取值范围是{a |a ≤－1}． 综上所述，实数a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≤－1}． 【提示】以下解法是错误的：由于集合A 中至多有一个元素，则一元二次方程ax 2－2x －1＝0有两个相等的实数根或没有实数根，所以Δ＝4＋4a ≤0，解得a ≤－1，所以实数a 的取值范围是{a |a ≤－1}．错误原因 方程ax 2－2x －1＝0不一定是一元二次方程，若方程不是一元二次方程，则不能利用判别式Δ判断其实根的个数．淘出优秀的你2【小结】本题体现了转会与化归的思想，解答时将问题转化为关于x 的方程ax 2－2x －1＝0的实数根的个数问题，这样就容易解决了．同时，要注意若方程的二次项系数含有字母，则需对其是否为零进行讨论．变式训练 已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若A 是单元素集(只含有一个元素的集合)，求a 的值及集合A ； (2)求集合P ＝{a ∈R |a 使得A 至少含有一个元素}． 【解析】(1)当a ＝0时，A ＝{23}，符合题意；当a ≠0时，要使方程有两个相等的实根，则Δ＝9－8a ＝0，即a ＝98，此时A ＝{43}．综上所述，当a ＝0时，A ＝{23}；当a ＝98时，A ＝{43}．(2)由(1)知，当a ＝0时，A ＝{23}含有一个元素，符合题意．由a ≠0时，要使方程有实根，则Δ＝9－8a ≥0，即a ≤98.综上所述，P ＝{a ∈R |a 使得A 至少含有一个元素}＝{a |a ≤98}．例2 已知－3∈A ，A 中含有的元素有a －3,2a －1，a 2＋1，求a 的值． 【解析】由－3∈A 且a 2＋1≥1，可知a －3＝－3或2a －1＝－3， 当a －3＝－3时，a ＝0； 当2a －1＝－3时，a ＝－1. 经检验，0与－1都符合要求． ∴a ＝0或a ＝－1.变式训练 已知互异的两数a ，b 满足ab ≠0，集合{a ，b }＝{a 2，b 2}，则a ＋b 等于( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1 【答案】D【解析】由{a ，b }＝{a 2，b 2}，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝a 2b ＝b 2① 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2b ＝a 2，② 由①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝1b ＝0或b ＝1，∵ab ≠0，∴a ≠0且b ≠0，即a ＝1，b ＝1，此时集合{1,1}不满足条件． 由②两式相减得a 2－b 2＝b －a ，∵两数a ，b 互异，∴b －a ≠0，即a ＋b ＝－1，故选D.例3 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围． 【解析】A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}， 且B ⊆A .①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，解得m <2， 此时有B ⊆A ；②若B ≠∅，则m ＋1≤2m －1，即m ≥2， 由B ⊆A ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2m ＋1≥－22m －1≤5，解得2≤m ≤3. 由①②得m ≤3.∴实数m 的取值范围是{m |m ≤3}．【小结】对于这类含有字母参数的集合的包含关系，应注意空集是任何集合的子集，如本题中，应讨论集合B 为空集的情形．变式训练 已知集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，集合Q ＝{x |ax ＋1＝0}，且Q ⊆P ，求实数a 的取值构成的集合A .【解析】∵x 2＋x －6＝0， ∴(x ＋3)(x －2)＝0， 即x ＝－3或x ＝2. ∴P ＝{－3,2}． 又∵Q ＝{x |ax ＋1＝0}， 当a ＝0时，Q ＝∅，满足Q ⊆P ； 当a ≠0时，有－1a ＝－3或－1a ＝2，∴a ＝13或a ＝－12，故a ＝0或a ＝13或a ＝－12.∴A ＝{－12，0，13}．跟踪训练1．若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}其中只有一个元素，则a 等于( ) A ．4 B ．2 C ．0 D ．0或42．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N *|12x ∈Z 中含有的元素个数为( )淘出优秀的你4A ．4B ．6C ．8D ．123．若集合A ＝{x |ax 2＋(a －6)x ＋2＝0}是单元素集合，则实数a 等于( ) A ．2或18 B ．0或2 C ．0或18D ．0或2或184．已知集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，那么a 为( ) A ．2 B ．2或4 C ．4 D ．05．集合A 满足关系式(a ，b )⊆A ⊆{a ，b ，c ，d ，e }，则集合A 的个数是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．86．若非空数集A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |3≤x ≤22}，则能使A ⊆B 成立的所有a 的集合是( ) A ．{a |1≤a ≤9} B ．{a |6≤a ≤9} C ．{a |a ≤9}D ．∅7．若集合A ＝{x |x 2－5x ＋6≤0}，集合B ＝{x |ax －2＝0，a ∈Z }，且B ⊆A ，则实数a ＝________.8．若集合M ＝{}1，m 2，集合N ＝{2,4}，M ∪N ＝{1,2,4}，则实数m 的值的个数是________．9．如果有一集合含有三个元素1，x ，x 2－x ，则实数x 的取值范围是________________． 10．已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}，且M ＝N ，则有序实数对(a ，b )的值为________． 11．设集合A ＝{3,3m 2}，B ＝{3m,3}，且A ＝B ，则实数m 的值是________．12．已知集合A ＝{x |2a －2<x ≤a ＋2}，B ＝{x |－2≤x <3}且A ⊆B ，求实数a 的取值范围． 13．已知由实数构成的集合A 满足条件：若a ∈A ，则1＋a1－a∈A (a ≠0且a ≠±1)，则集合A 中至少有几个元素？证明你的结论．参考答案1．A 当a ＝0时，方程为1＝0不成立，不满足条件；当a ≠0时，Δ＝a 2－4a ＝0，解得a ＝4. 故选A.2．B 由题意，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N *|12x ∈Z 中的元素满足x 是正整数，且12x 是整数，由此列出下表根据表格，可得符合条件的x 共有6个，即集合⎩⎨⎭⎬x ∈N *|12x ∈Z 中有6个元素，故选B.3．D a ＝0时，－6x ＋2＝0，x ＝13，只有一个解，集合A ＝{13}，满足题意．a ≠0时，方程ax 2＋(a －6)x ＋2＝0有两个相等实根． 判别式Δ＝0， Δ＝(a －6)2－8a ＝0， a 2－20a ＋36＝0， 解得a ＝2或a ＝18， ∴实数a 为0或2或18. 故选D.4．B 集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ， a ＝2∈A,6－a ＝4∈A ，∴a ＝2， 或者a ＝4∈A,6－a ＝2∈A ，∴a ＝4， 综上所述，a ＝2,4. 故选B.5．D 由题意知集合A 中的元素a ，b 必取，另外可从c ，d ，e 中取，满足题意的集合A 的个数等于集合{c ，d ，e }的子集个数，因为{c ，d ，e }的子集个数为23＝8，则集合A 的个数是8. 故选D. 6．B 7．0或1 8．49．x ≠0,1,2，1±52解析 由集合元素的互异性可得x ≠1，x 2－x ≠1，x 2－x ≠x ，解得x ≠0,1,2，1±52.淘出优秀的你610．(0,1)或(14，12)解析 ∵M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}，且M ＝N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2b ＝2a ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0或⎩⎨⎧a ＝14b ＝12，当a ＝0，b ＝0时，集合M ＝{2,0,0}不成立， ∴有序实数对(a ，b )的值为(0,1)或(14，12)故答案为(0,1)或(14，12)．11．0解析 依题意，3m ＝3m 2，所以m ＝0或m ＝1.当m ＝1时，违反元素互异性(舍去)． 12．解析 由已知A ⊆B 可得， (1)当A ＝∅时，有2a －2≥a ＋2⇒a ≥4. (2)当A ≠∅时，由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a ＋2，2a －2≥－2，a ＋2<3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <4，a ≥0，⇒0≤a <1a <1. 综合(1)(2)，实数a 的取值范围是{a |a ≥4或0≤a <1}． 13．解析 ∵a ∈A ，则1＋a1－a ∈A ，∴1＋1＋a 1－a 1－1＋a1－a ＝－1a ∈A ，进而有1＋⎝⎛⎭⎫－1a 1－⎝⎛⎭⎫－1a ＝a －1a ＋1∈A ，∴又有1＋a －1a ＋11－a －1a ＋1＝a ∈A .∵a ∈R ，∴a ≠－1a.假设a ＝1＋a1－a ，则a 2＝－1，矛盾，∴a ≠1＋a 1－a.类似方法可得a 、1＋a 1－a 、－1a 和a －1a ＋1四个数互不相等，故集合A 中至少有四个元素．。

1、“①难解的题目;②方程012=+x;③平面直角坐标系内第四象限的一些点;④很多多项式”中，能组成集合的是( ).之袁州冬雪创作 A .②B .①③C .②④D .①②④2、下列命题正确的个数为…………………( ).（1）很小两实数可以构成集合；（2）}1|{2-=x y y 与}1|),{(2-=x y y x 是同一集合 （3）5.0,21,46,23,1-这些数组成的集合有5个数；（4）集合},,0|),{(R y x xy y x ∈≤是指第二、四象限内的点集； A .0个 B .1个 C .2个 D .3个3、,R x ∈则}2,,3{2x x x -中的元素x 应知足什么条件？ 4、⑴用罗列法暗示下列集合：①},,20,20|),{(Z y x y x y x ∈<≤<≤=②_;__________},,,|{},2,1,0{=≠∈+===b a M b a b a x x P M ①所有正偶数组成的集合 ②被9除余2的数组成的集合052=++c x ax 的解集是},31,21{求a .c 的值.}05|{>+x x 与集合},0|{R a a x x ∈<-有公共元素的a 的取值范围.8.若},,2|{Z b Z a b a x R x B ∈∈+=∈=， 则2231-B .9．集合{(x ，y)|y ＝2x －1}暗示( )A ．方程y ＝2x －1B ．点(x ，y)C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合10．设集合M ＝{x∈R|x≤33}，a ＝26，则( )A ．a ∉MB ．a∈MC ．{a}∈M D．{a|a ＝26}∈M11．方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1x －y ＝9的解集是( )A ．(－5,4)B ．(5，－4)C ．{(－5,4)}D ．{(5，－4)}12．下列命题正确的有( )(1)很小的实数可以构成集合；(2)集合{y|y ＝x2－1}与集合{(x ，y)|y ＝x2－1}是同一个集合；(3)1，32，64，|－12|,0.5这些数组成的集合有5个元素； (4)集合{(x ，y)|xy≤0，x ，y∈R}是指第二和第四象限内的点集．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个13．下列集合中，分歧于别的三个集合的是( )A ．{0}B ．{y|y2＝0}C ．{x|x ＝0}D ．{x ＝0}14．设P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{4,5,6,7,8}，定义P*Q ＝{(a ，b)|a∈P，b∈Q，a≠b}，则P*Q 中元素的个数为( )A ．4B ．5C ．19D ．2015．由实数x ，－x ，x2，－3x3所组成的集合外面元素最多有________个．1.A2.A3.⎪⎩⎪⎨⎧≠-≠≠013x x x 4.①{)1,1(),0,1(),1,0(),0,0(}；②}4,3,2,1,0{=P5.①},2|{*N k k x x ∈=②},29|{Z k k x x ∈+=6.⎩⎨⎧-=-=.16c a7.5->a8.∈。

1.1 集合的概念一、单选题1．下列四个选项表示的关系正确的是（ ）A ．0Z ∉B ．Q π∈C ．{}R ϕ⊆D ．5N ∈2．定义集合运算：()2{|1,,}A B z z x y x A y B ⋅==-∈∈.设{}1,1A =-，{}0,2B =，则集合A B ⋅中的所有元素之和为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 3．已知集合A=a-2，2a 2+5a ，12}，-3∈A，则a 的值为（ ） A ．1-B ．32- C ．1或32- D ．1-或32- 4．若元素{}21,a a ∈，则实数a 的值为（ ）．A ．1-B ．1,1-C ．1,0-D ．0,1 5．已知全集U =Z ，集合1}{2|,M x x x Z -<<∈=，{1,0,1,2}N =-，则()C U M N ⋂=（ ） A ．{1,2}- B ．{1,0}- C ．{0,1} D ．{1,2}6．已知集合{}1,2,3M =，(){},,,N x y x M y M x y M =∈∈+∈，则集合N 中的元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．8D ．9 7．已知集合223{()|}Ax y x y x N y Z ≤∈∈＝，＋，，，则A 中元素的个数为（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 8．下列各组中的两个集合表示同一个集合的是（ ）A ．{}M π=，{3.1415926}N =B ．{0,1}M =，{(0,1)}N =C ．2{|1}M x x =∈=R ，{0,1}N =D ．*{|11}M x x =∈-<≤N ，{1}N = 9．下列说法正确的是A ．我校爱好足球的同学组成一个集合B ．{}1,2,3是不大于3的自然数组成的集合C ．集合{}1,2,3,4,5和{}5,4,3,2,1表示同一个集合D ．由1，0，12，325个元素 二、填空题1．已知集合{}221,(1),33A m m m m =+--+，若1A ∈，则2021m =__________. 2．设A ＝4，a}，B ＝2，ab}，若A 与B 的元素相同，则a ＋b ＝______．3．定义集合A 、B 的一种运算：{}1212*,,,A B x x x x x A x B ==+∈∈其中.若{}1,2,3A =，{}1,2B =，则A*B 中的所有元素数字之和为____.4．若集合{}240,A x x x k x R =++=∈中只有一个元素，则实数k 的值为_______．5．若集合{}{}1102A B =-=，，，，则集合{}z z x y x A y B =+∈∈，，中的元素个数为____________． 三、解答题1．用适当的方法表示下列集合：（1）由1，2，3三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合；（2|2|0y -=的解集.2．已知集合(){},20A x y x y m =-+>，(){},0B x y x y n =+-≤，若()2,3A ∈，()2,3B ∉，试求实数m ，n 的取值范围．3．已知集合{}22,A y y x x x ==-∈R ，{}226,B y y x x x ==-++∈R ．（1）求A B ；（2）若集合A ，B 中的元素都为整数，求A B ．（3）若集合A 变为{}22,A x y x x x ==-∈R ，其他条件不变，求A B ；（4）若集合A ，B 分别变为(){}2,2,A x y y x x x ==-∈R ，(){}2,26,B x y y x x x ==-++∈R ，求A B ．参考答案一、单选题1．D解析：元素与集合的关系判断．详解：0是整数，π是无理数，R 与{}ϕ没有包含关系，而5是自然数，只有D 正确．故选：D ．2．A解析：根据定义，逐个分析,x y 的取值情况，由此得到z 的取值情况，从而集合A B ⋅可确定，则集合中所有元素的和可求.详解：当1,0x y =-=时，()()21011z =-⨯-=-；当1,2x y =-=时，()()21211z =-⨯-=；当1,0x y ==时，()21011z =⨯-=-；当1,2x y ==时，()21211z =⨯-=； 所以{}1,1A B ⋅=-，所以A B ⋅中所有元素之和为0，故选：A.点睛：关键点点睛：解答本题的关键是理解A B ⋅的运算方法，由此采用逐个列举的方法可完成结果的求解.3．B解析：根据元素与集合关系分类讨论，再验证互异性得结果详解：∵-3∈A∴-3=a-2或-3=2a 2+5a∴a=-1或a=-32，∴当a=-1时，a-2=-3，2a 2+5a=-3，不符合集合中元素的互异性，故a=-1应舍去 当a=-32时，a-2=-72，2a 2+5a=-3，满足．∴a=-32．故选B ．点睛：本题考查元素与集合关系以及集合中元素互异性，考查基本分析求解能力，属基础题.4．A解析：根据元素与集合的关系及集合中元素的互异性,列出关于实数a 的方程,解方程并进行取舍即可.详解：因为元素{}21,a a ∈, 所以当21a =,即1a =±时,若1a =,此时集合为{}1,1,不符合集合中元素的互异性,故1a =不符合题意;若1a =-,此时集合为{}1,1-符合题意;综上可知,实数a 的值为1-.故选:A点睛：本题考查元素与集合的关系及集合中元素的互异性;利用集合中元素的互异性对实数a 进行取舍是本题的易错点;属于基础题、常考题型.5．A解析：根据集合M ，求出C U M ，然后再根据交集运算即可求出结果.详解：{|12,}{0,1}M x x x =-<<∈=Z∴()C {1,2}U M N ⋂=-.故选:A.点睛：本题主要考查集合的交集和补集运算，属于基础题.6．B解析：由,,x M y M x y M ∈∈+∈即可求解满足题意的点(),x y 的坐标.详解：解：由题意，满足条件的平面内以(),x y 为坐标的点集合()()(){}1,1,1,2,2,1N =，所以集合N 的元素个数为3.故选：B.7．D解析：根据223x y ≤＋知这个是一个圆,再根据x N y Z ∈∈，找到圆内满足条件的点即可. 详解：解：223{()|}Ax y x y x N y Z ≤∈∈＝，＋，，, 223x y ≤＋表示平面内圆心为(0,0),半径3r =的圆,又因为x N y Z ∈∈，,依题意画图,可得集合A 中元素的个数为6．故选D点睛：本题考查集合元素的个数,要知道集合是一个点集.8．D解析：判断两个集合为同一集合即判断集合中的元素是否一致,由此依次判断选项即可 详解：A 选项,集合M 中元素为无理数,集合N 中元素为有理数,故M 与N 不是同一个集合；B 选项,集合M 中元素为实数,集合N 中元素为有序数对,故M 与N 不是同一个集合；C 选项,集合M 中元素为1-,1,集合N 中元素为0,1,故M 与N 不是同一个集合；D 选项,集合M 中的元素为1,故M 与N 是同一个集合故选：D点睛：本题考查同一集合问题,考查描述法、列举法表示集合,属于基础题9．C解析：根据集合中的元素具有：确定性，互异性，无序性对选项逐一判断可得正确选项. 详解：对于选项A:不满足集合中的元素的确定性，所以A 错误；对于选项B:不大于3的自然数组成的集合是{0,1,2,3},所以B 错误；对于选项C:由于集合中的元素具有无序性,所以集合{}1,2,3,4,5和{}5,4,3,2,1表示同一个集合，所以C 正确；；对于选项D 12，集合中的元素具有互异性，所以由1，0，12，32有4个元素, 所以D 错误；故选C.点睛：本题考查了集合中的元素的特征：确定性,无序性,互异性，属于基础题.二、填空题1．1解析：分别令三个元素为1，求m 后，验证互异性，即可求解.详解：依题意，分别令11m +=，得0m =，此时()211m -=，不满足互异性；当()211m -=，得0m =或2m =，检验后，都不满足互异性；当2331m m -+=，解得：1m =或2m =，经检验，1m =，成立，所以20211=m .故答案为：12．4解析：根据集合的元素相同，找到对应的相等关系，列出方程组求得,a b 的值，进而得解. 详解：因为A 与B 的元素相同，所以24a ab =⎧⎨=⎩, 即a ＝2，b ＝2,故a ＋b ＝4.答案：4.3．14.详解：A*B 中元素为2，3，4，5，故其所有元素数字之和为14.故答案为144．4解析：∵240x x k ++=由唯一的实根，∴164k 0=-=，解得：4k =故答案为：45．3解析：根据集合的元素关系确定集合即可．详解：解：A ＝﹣1，1}，B ＝0，2}，∵x∈A，y∈B，∴x＝1或x ＝﹣1，y ＝0或y ＝2，则z ＝x+y ＝﹣1，1，3，即为﹣1，1，3}．故答案为：3．点睛：本题主要考查集合元素个数的确定，利用条件确定集合的元素即可，比较基础．三、解答题1．（1）{12,21,13,31,23,32}（2）1(,)|22x x y y ⎧⎧⎫=-⎪⎪⎪⎨⎨⎬⎪⎪⎪=⎩⎭⎩解析：(1)由列举法对所求的集合一一列举即可；(2)由偶次方根和绝对值的非负性，且非负数的和为零，可得每个非负数均为零，则由020y =-=⎪⎩即可解得方程的解集. 详解：解析（1）由1，2，3三个数字中的两个数字（没有重复数字）组成的自然数有12，21，13，31，23，32，用列举法可表示为{12,21,13,31,23,32}.（2|2|0y -=，得21020x y +=⎧⎨-=⎩所以1,22,x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩|2|0y -=的所有解组成的集合用描述法可表示为1(,)|22x x y y ⎧⎧⎫=-⎪⎪⎪⎨⎨⎬⎪⎪⎪=⎩⎭⎩. 点睛：本题考查了集合列举法的应用，考查了偶次方根和绝对值的非负性，属于一般难度的题.2．{}1m m >-，{}5n n <．解析：根据()2,3A ∈，()2,3B ∉，得到不等式2230m ⨯-+>和230n +->，即可求解，得到答案．详解：由题意，因为()2,3A ∈，可得2230m ⨯-+>，解得1m >-，又由()2,3B ∉，可得230n +->，解答5n <，所以实数m ，n 的取值范围分别是{}1m m >-，{}5n n <．点睛：本题主要考查了集合的表示方法，以及元素与集合的关系的应用，其中解答中熟练应用元素与集合的关系，代入运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．（1）{}17A B y y ⋂=-≤≤（2）{}1,0,1,2,3,4,5,6,7A B =-（3）{}7A B y y ⋂=≤（4）()(){}3,3,1,3A B =-解析：（1）将二次函数配方，得到其二次函数的值域，从而求得A B ；（2）由于集合A ，B 中的元素都为整数，所以题意就是求（1）中所得的A B 中的整数元素，可得解；（3）集合A 表示的是二次函数22,y x x x =-∈R 的定义域，所以得A =R ，再求A B ；（4）集合A 、B 表示的是二次函数图象上的点，求A B 实际上是求这两个二次函数的交点，联立其方程可得解.详解：（1）∵()222111y x x x =-=--≥-，()2226177y x x x =-++=--+≤， ∴{}1A y y =≥-，{}7B y y =≤，∴{}17A B y y ⋂=-≤≤．（2）由已知，得{}1A y y =∈≥-Z ，{}7B y y =∈≤Z ， 所以{}17A B y y ⋂=∈-≤≤Z∴{}1,0,1,2,3,4,5,6,7A B =-．（3）由已知，得A =R ，{}7B y y =≤，∴{}7A B y y ⋂=≤．（4）由22226y x x y x x ⎧=-⎨=-++⎩，得2230x x --=，解得3x =或1x =-．∴33x y =⎧⎨=⎩，或13x y =-⎧⎨=⎩， ∴()(){}3,3,1,3A B =-．故得解.点睛：本题考查集合的交集运算，求解的关键是理解集合中的元素具体含义，特别是分清集合表示的是点集还是数集，属于基础题.。

【补充练习】1.判断正误:(1)空集没有子集. ( )(2)空集是任何一个集合的真子集. ( )(3)任一集合必有两个或两个以上子集. ( )(4)若B⊆A,那么凡不属于集合A的元素,则必不属于B. ( )分析:关于判断题应确实把握好概念的实质.解：该题的5个命题,只有(4)是正确的,其余全错.对于(1)、(2)来讲,由规定:空集是任何一个集合的子集,且是任一非空集合的真子集.对于(3)来讲,可举反例,空集这一个集合就只有自身一个子集.对于(4)来讲,当x∈B时必有x∈A,则x∉A时也必有x∉B.2.集合A={x|-1<x<3,x∈Z},写出A的真子集.分析:区分子集与真子集的概念,空集是任一非空集合的真子集,一个含有n个元素的子集有2n个,真子集有2n-1个,则该题先找该集合元素,后找真子集.解：因-1<x<3,x∈Z,故x=0,1,2,即a={x|-1<x<3,x∈Z}={0,1,2}.真子集:∅、{1}、{2}、{0}、{0,1}、{0,2}、{1,2},共7个.3.(1)下列命题正确的是 ( )A.无限集的真子集是有限集B.任何一个集合必定有两个子集C.自然数集是整数集的真子集D.{1}是质数集的真子集(2)以下五个式子中,错误的个数为 ( )①{1}∈{0,1,2} ②{1,-3}={-3,1} ③{0,1,2}⊆{1,0,2}④∅∈{0,1,2} ⑤∅∈{0}.2 C(3)M={x|3<x<4},a=π,则下列关系正确的是 ( )∉ C.{a}∈M D.{a}M分析:(1)该题要在四个选择肢中找到符合条件的选择肢,必须对概念把握准确,无限集的真子集有可能是无限集,如N是R的真子集,排除A;由于∅只有一个子集,即它本身,排除B;由于1不是质数,排除D.(2)该题涉及到的是元素与集合,集合与集合的关系.①应是{1}⊆{0,1,2},④应是∅⊆{0,1,2},⑤应是∅⊆{0}.故错误的有①④⑤.(3)M={x|3<x<4},a=π.因3<a<4,故a是M的一个元素.{a}是{x|3<x<4}的子集,那么{a}M.答案：(1)C (2)C (3)D4.判断如下集合A与B之间有怎样的包含或相等关系:(1)A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z};(2)A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z}.解：(1)因A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z},故A、B都是由奇数构成的,即A=B. (2)因A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z},又x=4n=2·2n,在x=2m 中,m 可以取奇数,也可以取偶数;而在x=4n 中,2n 只能是偶数.故集合A 、B 的元素都是偶数.但B 中元素是由A 中部分元素构成,则有B A.点评：此题是集合中较抽象的题目.要注意其元素的合理寻求.5.已知集合P={x|x 2+x-6=0},Q ={x|ax+1=0}满足QP,求a 所取的一切值. 解：因P={x|x 2+x-6=0}={2,-3},当a=0时,Q ={x|ax+1=0}=∅,QP 成立. 又当a≠0时,Q ={x|ax+1=0}={a 1-},要Q P 成立,则有a 1-=2或a 1-=-3,a=21-或a=31. 综上所述,a=0或a=21-或a=31. 点评：这类题目给的条件中含有字母,一般需分类讨论.本题易漏掉a=0,ax+1=0无解,即Q 为空集的情况,而当Q =∅时,满足Q P.6.已知集合A={x ∈R |x 2-3x+4=0},B={x ∈R |(x+1)(x 2+3x-4)=0},要使A P ⊆B,求满足条件的集合P.解：由A={x ∈R|x 2-3x+4=0}=∅,B={x ∈R |(x+1)(x 2+3x-4)=0}={-1,1,-4},由A P ⊆B 知集合P 非空,且其元素全属于B,即有满足条件的集合P 为 {1}或{-1}或{-4}或{-1,1}或{-1,-4}或{1,-4}或{-1,1,-4}.点评：要解决该题,必须确定满足条件的集合P 的元素,而做到这点,必须明确A 、B,充分把握子集、真子集的概念,准确化简集合是解决问题的首要条件.7.设A={0,1},B={x|x ⊆A},则A 与B 应具有何种关系解：因A={0,1},B={x|x ⊆A},故x 为∅,{0},{1},{0,1},即{0,1}是B 中一元素.故A ∈B.点评：注意该题的特殊性,一集合是另一集合的元素.8.集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m -1},(1)若B ⊆A,求实数m 的取值范围;(2)当x ∈Z 时,求A 的非空真子集个数;(3)当x ∈R 时,没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立,求实数m 的取值范围.解：(1)当m+1>2m-1即m<2时,B=∅满足B ⊆A.当m+1≤2m -1即m≥2时,要使B ⊆A 成立,需⎩⎨⎧>+-≥+51,121m m m 可得2≤m≤3.综上所得实数m 的取值范围m≤3. (2)当x ∈Z 时,A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},所以,A 的非空真子集个数为2上标8-2=254.(3)∵x ∈R ,且A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m -1},又没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立.则①若B≠∅即m+1>2m-1,得m<2时满足条件;②若B≠∅,则要满足条件有:⎩⎨⎧>+-≤+51,121m m m 或⎩⎨⎧-<--≤+212,121m m m 解之,得m>4. 综上有m<2或m>4.点评：此问题解决要注意：不应忽略∅;找A 中的元素;分类讨论思想的运用.。

1.1 集合的概念一、单选题1．下列元素与集合的关系表示不正确的是（）A．0N∈B．0Z∈C．32Q∈D．Qπ∈答案：D解析：根据元素与集合的关系直接判断即可. 详解：根据元素与集合的关系可得0N∈，0Z∈，32Q∈，Qπ∉，故D不正确，符合题意.故选：D.2．已知集合M=－2，3}，N=－4,5,6}，依次从集合M，N中各取出一个数分别作为点P的横坐标和纵坐标，则在平面直角坐标系中位于第一、二象限内的点P的个数是A．4 B．5 C．6 D．7答案：A解析：由对于集合M中的元素作为点的横坐标，N中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有2个，在第二象限的点共有2个，由分类计数原理，即可求解．详解：由题意，要使得点P在平面直角坐标系中位于第一、二象限内，对于集合M中的元素作为点的横坐标，N中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有122⨯=个；在第二象限的点共有122⨯=个；由分类计数原理可得点的个数为224+=个，故选A．点睛：本题主要考查了分类计数原理的应用，其中解答中解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．3．已知2{1,0,}x x∈，则实数x的值为（）A．0B．1C．1-D．±1答案：C解析：根据集合元素和集合的关系确定x 的值，注意元素的互异性的应用．详解：解：{}21,0,x x ∈，21x ∴=，20x =，2x x =，由21x =得1x =±，由20x =，得0x =，由2x x =得0x =或1x =．综上1x =±，或0x =．当0x =时，集合为{}1,0,0不成立．当1x =时，集合为{}1,0,1不成立．当1x =-时，集合为{}1,0,1-，满足条件．故1x =-．故选C ．点睛：本题主要考查集合元素和集合之间的关系的应用，注意要利用元素的互异性进行检验．4．设{|1},A a a =<则（ ）A ．0A ⊆B ．{0}A ∈C ．{0}A ⊆D ．A ∅∈答案：C解析：0A ∈,{} 0A ⊆, A ∅⊆,选C. 5．已知{}|330A x N x =∈->，则下列成立的是（ ）A ．1A ∈B ．0A ∈C ．1A -∈D ．0.5A ∈答案：B解析：集合{}|330A x N x =∈->＝0}，即可得出结论．详解：集合{}|330A x N x =∈->＝ x N ∈ |x ＜1}＝0}， 则0∈A，故选：B ．点睛：本题考查集合的含义与表示，考查了元素与集合的关系，比较基础．6．若用列举法表示集合26(,)|3x y A x y x y +=⎧⎧⎫=⎨⎨⎬-=⎩⎭⎩，则下列表示正确的是（ ） A ．{3,0}x y == B ．{(3,0)} C ．{3,0} D ．{0,3}答案：B解析：解方程组得30x y =⎧⎨=⎩，即可得到集合. 详解：由263x y x y +=⎧⎨-=⎩解得30x y =⎧⎨=⎩所以{(3,0)}A =. 故选：B点睛：此题考查集合概念理解，关键在于准确识别描述法表示的集合，根据题意求解方程组，准确表示成所求形式.7．下列表示正确的是（ ）A ．所有实数}R =B ．整数集ZC ．{}∅=∅D ．1∈有理数}答案：D解析：本题可根据集合的性质得出结果.详解：A 项：因为符号“{}” 已包含“所有”的含义，所以不需要再加“所有”，A 不正确；B 项：Z 表示整数集，不能加“{}”，B 不正确；C 项：∅表示空集，不能加“{}”，C 不正确；D 项：1∈有理数}，显然正确，D 正确，故选：D.8．已知集合(){}10A x x x =-=，那么下列结论正确的是（ ）A ．0A ∈B ．1A ∉C ．1A -∈D ．0A ∉答案：A解析：求解A 中的方程，得到集合A=0,1}，进而作出判定.详解： (){}{}100,1x x x -==，,1A A ∈∈∴0，故选A ．点睛：本题考查元素与集合的关系，是容易题.9．设集合A ＝0，1，2}，B ＝1，2}，C ＝x|x ＝ab ，a∈A，b∈B}，则集合C 中元素的个数为A ．3B ．4C ．5D ．6答案：B解析：按照集合C 的定义求得它的元素．详解：∵A＝0，1，2}，B ＝1，2}，C ＝x|x ＝ab ，a∈A，b∈B}，∴{0,1,2,4}C =，共4个元素． 故选：B.点睛：本题考查集合的定义，考查求集合中的元素．属于基础题．二、填空题1．下列四个说法中正确的个数是___________.①集合N 中最小数为1；②若a∈N，则-a ∉N ；③若a∈N，b∈N，则a+b 的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合.答案：0个解析：直接由元素与集合的关系逐一判断即可.详解：①集合N 中最小数为0，故①错误；②若0∈N，则-0∈N ，故②错误；③若a∈N，b∈N，则a+b 的最小值为2，错误，当0a b 时，0a b +=；④所有小的正数组成一个集合，不符合集合中元素的确定性.故答案为：0个2．已知{}20,1,x x ∈，则实数的值是________．答案：1-解析：试题分析:因,故,故应填答案. 考点：元素与集合的关系及运用．3．下列关系中 ①－433∉Q ；③|－20|∉N *2|∈Q；⑤－5∉Z ；⑥0∈N.其正确的是________.答案：①②⑥|－20|=20∈N * ,|∉Q ；－5∈Z；所以正确的是①②⑥4．若集合{}1,A a =，集合{}21,B a =，且A B =，则实数a =____________答案：0解析：根据集合相等和集合中元素的互异性，即可直接求解.详解： 解：集合{1A =，}a ，集合{1B =，2}a ，且A B =，∴21a a a ⎧=⎨≠⎩，解得：0a =. 故答案为：0.点睛：本题考查集合相等和集合中元素的互异性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．设集合{1,2,}A a a =-，若3A ∈，则实数a =_________．答案：5解析：推导出a ﹣2＝3或a ＝3，再由集合中元素的互异性，能求出结果．详解：解：∵集合{1,2,}A a a =-，3A ∈，∴23a -=或3a =，当23a -=时，5a =，成立；当3a =时，21a -=，不满足集合中元素的互异性，不成立．∴实数5a =故答案为：5．点睛：本题考查实数值的求法，考查集合中元素的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．三、解答题1．用描述法表示下列集合：①正偶数集；②被3除余2的正整数的集合；③平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.答案：①*{|2,}x x n n N =∈； ②2,{|3}x x n n N =+∈；③{(,)|0}x y xy =. 解析：描述法表示集合即为{}()x p x ，()p x 为元素的性质，根据这个概念写出集合即可. 详解：①偶数可用2,x n n Z =∈表示，当x 为正偶数时，*n N ∈，所以正偶数集可表示为*{|2,}x x n n N =∈.②设被3除余2的数为x ，则32,x n n Z =+∈，但元素为正整数，故32,x n n N =+∈，所以被3除余2的正整数集合可表示为2,{|3}x x n n N =+∈.③坐标轴上的点(,)x y 的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即0xy =，故坐标轴上的点的集合可表示为{(,)|0}x y xy =.点睛：本题考查描述法表示集合，数集与点集，属于基础题.2．已知集合{}2210A x ax x =-+=.（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并求集合A .答案：（1）1a >；（2）答案见解析.解析：（1）若A 是空集，则只需二次方程2210-+=ax x 无解，∆<0；（2）若A 为空集，当0a =时显然成立，当0a ≠时，只需0∆=.详解：解：（1）若A 是空集，则关于x 的方程2210-+=ax x 没有实数解.当0a =时，12x =，不满足题意，所以0a ≠，且440a ∆=-<，所以1a >. （2）若A 中只有一个元素. ①当0a =时，12x =，满足题意； ②当0a ≠时，440a ∆=-=，所以1a =.综上所述，a 的集合为{}0,1.若0a =，则有12A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；若1a =，则有{}1A =. 点睛：本题考查根据集合中元素的个数求参数的取值范围，较简单，根据方程根的个数求解即可.3．用适当的方法表示下列集合.（1）小于5的自然数构成的集合；（2）直角坐标系内第三象限的点集；（3）偶数集.（4）如图，用适当的方法表示阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M.答案：（1）{}01234，，，，；（2）(){|00}x y x y <<，，；（3）{|2}x x k k Z =∈，；（4）()5302122M x y xy x y ⎧⎫=≥-≤≤-≤≤⎨⎬⎩⎭，，，.解析：（1）利用列举法表示集合；（2）利用描述法表示集合；（3）利用描述法表示集合；（4）根据图形利用描述法表示集合；详解：解：（1）小于5的自然数构成的集合，利用列举法表示为{}01234，，，，；（2）直角坐标系内第三象限的点集；利用描述法表示为(){},|00x y x y <<，；（3）偶数集.利用描述法表示为{}|2x x k k Z =∈，（4）由图形阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合表示为()53,02122M x y xy x y ⎧⎫=≥-≤≤-≤≤⎨⎬⎩⎭，，点睛：本题考查集合的表示方法，属于基础题.。

集合关系练习题及答案集合关系是数学中的一个重要概念，它涉及到集合之间的包含、相等、子集等关系。

以下是一些集合关系的练习题及答案，供同学们学习和练习。

# 练习题1：判断下列集合之间的关系设集合 A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，C = {1, 2, 3, 4}。

1. A 是否是 B 的子集？2. B 是否是 A 的子集？3. C 是否是 A 的子集？4. A 和 B 是否相等？# 答案1：1. A 不是 B 的子集，因为 A 中的元素 1 和 2 不在 B 中。

2. B 不是 A 的子集，因为 B 中的元素 4 和 5 不在 A 中。

3. C 是 A 的子集，因为 A 中的所有元素都在 C 中。

4. A 和 B 不相等，因为它们包含不同的元素。

# 练习题2：求集合的交集和并集设集合 D = {1, 2, 5}，E = {2, 3, 5, 7}。

1. 求 D 和 E 的交集。

2. 求 D 和 E 的并集。

# 答案2：1. D 和 E 的交集是 {2, 5}，因为这两个元素同时出现在 D 和 E 中。

2. D 和 E 的并集是 {1, 2, 3, 5, 7}，包含了 D 和 E 中的所有元素。

# 练习题3：使用韦恩图表示集合关系使用韦恩图表示以下集合的关系：集合 F = {1, 3, 5, 7}，G = {2, 4, 6, 8}，H = {3, 4, 5, 6}。

# 答案3：韦恩图是一种图形化表示集合之间关系的工具。

在这个例子中，F、G和 H 没有共同元素，因此它们的韦恩图将显示三个不相交的集合。

# 练习题4：求集合的补集设全集 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，I = {2, 4, 6, 8}。

1. 求 I 在 U 中的补集。

2. 如果 J = {1, 3, 5, 7, 9}，求 J 在 U 中的补集。

# 答案4：1. I 在 U 中的补集是 {1, 3, 5, 7, 9}，因为这些元素在 U 中但不在 I 中。

新高考数学复习考点知识与题型专题讲解1 集合的概念考点知识讲解1 元素与集合1．元素与集合的概念(1)元素：一般地，把统称为元素．元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的叫做集合(简称为__)．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的是一样的，就称这两个集合是相等的．(4)元素的特性：、、．答案：（1）研究对象（2）总体集（3）元素（4）确定性无序性互异性2．元素与集合的关系答案：∈∈NN*或N＋ZQR考点知识讲解2 集合的表示方法1．列举法把集合的元素出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．温馨提示：运用列举法表示集合，应注意：(1)元素间用“，”分隔，不能用其它符号代替；(2)元素不重复；(3)元素间无顺序；(4)“{}”表示“所有”、“整体”的含义，不能省略2．描述法(1)定义：用集合所含元素的表示集合的方法称为描述法．(2)书写形式：，其中x代表集合中的元素，p(x)为集合中元素所具备的共同特征．要注意竖线不能省略，同时表达要力求简练、明确．答案：一一列举共同特征{x|p(x)}题型一对集合含义的理解1．考察下列每组对象，能构成集合的是（）①中国各地最美的乡村；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．A．③④B．②③④C．②③D．②④【答案】B【解析】①中“最美”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合.故选：B.2．下列每组对象能构成一个集合是________(填序号).（1）某校2019年在校的所有高个子同学；（2）不超过20的非负数；（3）帅哥；（4）平面直角坐标系内第一象限的一些点；（5.【答案】（2）【解析】（1）“高个子”没有明确的标准，因此（1）不能构成集合. （2）任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，故“不超过20的非负数”能构成集合；（3）“帅哥”没有一个明确的标准，因此不能构成集合；（4）“一些点”无明确的标准，因此不能构成集合；（5）”不明确精确到什么程度，所以不能构成集合.故答案为：（2）题型二元素与集合的关系3．下面有四个语句:①集合N*中最小的数是0;②-a∉N，则a∈N;③a∈N，b∈N，则a+b的最小值是2;④x2+1=2x的解集中含有两个元素.其中说法正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】因为N*是不含0的自然数，所以①错误;取a∉N，∉N，所以②错误;对于③，当a =b =0时，a +b 取得最小值是0，而不是2，所以③错误; 对于④，解集中只含有元素1，故④错误. 故选：A4．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是（ ）A ．P 是由元素1π构成的集合，Q 是由元素π，1，|构成的集合B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合C ．P 是由2，3构成的集合，Q 是由有序数对(2，3)构成的集合D ．P 是由满足不等式-1≤x ≤1的整数构成的集合，Q 是由方程x ()()1-1x x +=0的解构成的集合 【答案】AD【解析】由于A ，D 中P ，Q 的元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而B ，C 中P ，Q 的元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合.故选：AD. 题型三 元素的特性的应用5．已知集合A ＝{x ∈Z|2x －4x －5<0}，B ＝{x|4x >2m }，若A∩B 有三个元素，则实数m 的取值范围是( )A ．[3，6)B ．[1，2)C ．[2，4)D ．(2，4] 【答案】C【解析】∵A ＝{x ∈Z|－1<x<5}＝{0，1，2，3，4}，B ＝{x|x>}，A∩B 有三个元素，∴1≤<2，即2≤m<4. 故答案为C6．设a ，b ∈R ，集合A 中含有0，b ，ba三个元素，集合B 中含有1，a ，a +b 三个元素，且集合A 与集合B 相等，则a +2b ＝（ ）A ．1B ．0C ．﹣1D ．不确定 【答案】A【解析】由题意可知a ≠0，则只能a +b ＝0，则有以下对应关系：01a b b a a b +=⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩①或01a b b a b a⎧⎪+=⎪=⎨⎪⎪=⎩②； 由①得a ＝﹣1，b ＝1，符合题意； ②无解；则a +2b ＝﹣1+2＝1． 故选：A题型四 用列举法表示集合 7．集合M ={61aN a ∈+，且a Z ∈}，用列举法表示集合M =______________ 【答案】{}0,1,2,5 【解析】61N a ∈+016a ∴<+≤，即15a -<≤ 又a Z ∈0a ∴=时，661N a =∈+；1a =时，631N a =∈+；2a =时，621N a =∈+； 3a =时，6312N a =∉+；4a =时，6615N a =∉+；5a =时，611N a =∈+ {}0,1,2,5M ∴=本题正确结果：{}0,1,2,5 8．根据要求写出下列集合.（1）已知{}25|50x x ax -∈--=，用列举法表示集合{}2|40x x x a --=. （2）已知集合16|8A N x N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，用列举法表示集合A ．（3）已知方程组10240x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，分别用描述法、列举法表示该集合.（4）已知集合B ={(x ，y )|2x +y -5=0，x ∈N ，y ∈N }，用列举法表示该集合. （5）用适当的方法表示坐标平面内坐标轴上的点集.【答案】（1）{2}；（2）{2，4，8，16}；（3）{(x ，y )|x =1，y =2}，{(1，2)}；（4）{(0，5)，(1，3)，(2，1)}；（5）{(x ，y )|xy =0}. 【解析】（1）{}25|50x x ax -∈--=，()()25550a ∴--⨯--=，解得4a =-，2440x x -+=的解为2x =，∴用列举法表示集合{}2|40x x x a --=为{}2；（2）168N x∈-，则8x -可取的值有1，2，4，8，16，x 的可能值有7，6，4，0，8-， x N ∈，7,6,4,0x ∴=，162,4,8,168x∴=-， {}2,4,8,16A ∴=；（3）方程组10240x y x y -+=⎧⎨+-=⎩的解为12x y =⎧⎨=⎩，∴用描述法表示该集合为(){},1,2x y x y ==，列举法表示该集合为(){}1,2；（4）当0x =时，5y =；当1x =时，3y =；当2x =时，1y =，∴用列举法表示该集合为()()(){}0,5,1,3,2,1；（5）坐标轴上的点满足0x =或0y =，即0xy =， 则该集合可表示为(){},0x y xy =.题型五 用描述法表示集合9．用列举法表示集合**{(,)|5,,}A x y x y x y =+=∈∈N N 是_____________________；用描述法表示“所有被4除余1的整数组成的集合”是_____________________． 【答案】()()()(){}1,42,33,24,1，，，{}41z x z x k k ∈=+∈，【解析】由题意{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}A =，所有被4除余1的整数组成的集合为{|41,}x Z x k k Z ∈=+∈．故答案为：{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}；{|41,}x Z x k k Z ∈=+∈ 题型六 集合表示方法的综合应用10. (1)用列举法表示集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ∈Z ，且86－x ∈N ＝________.(2)集合A ＝{x ∈R |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 中只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A .(1)解析 ∵x ∈Z 且86－x ∈N ，∴1≤6－x ≤8，－2≤x ≤5.当x ＝－2时，1∈N ；当x ＝－1时，87∉N ；当x＝0时，43∉N ；当x ＝1时，85∉N ；当x ＝2时，2∈N ；当x ＝3时，83∉N ；当x ＝4时，4∈N ；当x ＝5时，8∈N .综上可知A ＝{－2,2,4,5}． 答案 {－2,2,4,5} 1．下列集合中，结果是空集的是( ) A ．{x ∈R |x 2-1=0}B ．{x |x >6或x <1} C ．{(x ，y )|x 2+y 2=0}D ．{x |x >6且x <1} 【答案】D【解析】A 选项：21{|10}x R x ±∈∈-=，不是空集；B 选项：7∃∈{x |x >6或x <1}，不是空集；C 选项：(0,0)∈{(x ，y )|x 2+y 2=0}，不是空集；D 选项：不存在既大于6又小于1的数， 即：{x |x >6且x <1}=∅. 故选：D2．下面有四个语句:①集合N*中最小的数是0;②-a∉N，则a∈N;③a∈N，b∈N，则a+b的最小值是2;④x2+1=2x的解集中含有两个元素.其中说法正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】因为N*是不含0的自然数，所以①错误;取a∉N，∉N，所以②错误;对于③，当a=b=0时，a+b取得最小值是0，而不是2，所以③错误;对于④，解集中只含有元素1，故④错误.故选：A3．下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；.其中能构成集合的组数有（）A．2组B．3组C．4组D．5组【答案】A【解析】①“接近于0的数的全体”的对象不确定，不能构成集合；②“比较小的正整数全体”的对象不确定，不能构成集合；③“平面上到点O的距离等于1的点的全体”的对象是确定的，能构成集合；④“正三角形的全体”的对象是确定的，能构成集合；⑤的近似值的全体的对象”不确定，不能构成集合；故③④正确.故选：A.4．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是（ ）A ．P 是由元素1π构成的集合，Q 是由元素π，1，|构成的集合B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合C ．P 是由2，3构成的集合，Q 是由有序数对(2，3)构成的集合D ．P 是由满足不等式-1≤x ≤1的整数构成的集合，Q 是由方程x ()()1-1x x +=0的解构成的集合 【答案】AD【解析】由于A ，D 中P ，Q 的元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而B ，C 中P ，Q 的元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合.故选：AD. 5．下列各组中的M ，P 表示同一集合的是（ ） A ．M ={3，-1}，P ={(3，-1)} B ．M ={(3，1)}，P ={(1，3)} C ．M ={y |y =x -1}，P ={t |t =x -1}D ．集合M ={m |m +1≥5}，P ={y |y =x 2+2x +5，x ∈R } 【答案】CD【解析】在A 中，M ={3，-1}是数集，P ={(3，-1)}是点集，二者不是同一集合，故错误；在B 中，M ={(3，1)}，P ={(1，3)}表示的不是同一个点的集合，二者不是同一集合，故错误；在C 中，M ={y |y =x -1}={y |y ≥-1}，P ={t |t =x -1}={t |t ≥-1}，二者表示同一集合，故正确；在D 中，M ={m |m ≥4，m ∈R }，即M 中元素为大于或等于4的所有实数，P ={y |y =(x +1)2+4}，y =(x +1)2+4≥4，所以P 中元素也为大于或等于4的所有实数，故M ，P 表示同一集合，故正确． 故选：CD 6．定义集合运算(){}|,,AB z z xy x y x A y B ==+∈∈，集合{}{}0,1,2,3A B ==，则集合A B 所有元素之和为________【答案】18【解析】当0,2,0==∴=x y z 当1,2,6==∴=x y z 当0,3,0==∴=x y z 当1,3,12==∴=x y z 和为0+6+12=18 故答案为：187．下列命题正确的个数__ （1）很小的实数可以构成集合；（2）集合{y |y ＝x 2﹣1}与集合{（x ，y ）|y ＝x 2﹣1}是同一个集合； （3）1，361,,||,0.5242-，这些数组成的集合有5个元素； （4）集合{（x ，y ）|xy ≤0，x ，y ∈R }是指第二和第四象限内的点集． 【答案】0【解析】解：对于（1）很小的实数不满足集合中元素的确定性，所以（1）不正确．对于（2）集合{y |y ＝x 2﹣1}表示的是函数y ＝x 2﹣1的值域，而集合{（x ，y ）|y ＝x 2﹣1}表示的是y ＝x 2﹣1图象上的点，故（2）不正确；对于（3）：因为3624=，10.52-=，不满足集合中的元素是互异的，故（3）不正确； 对于（4）集合{（x ，y ）|xy ≤0，x ，y ∈R }是指第二和第四象限内的点集及两个坐标轴上的点，故（4）不正确， 故答案为：0.8．设A 是由一些实数构成的集合，若a ∈A ，则11a - ∈A ，且1∉A ， （1）若3∈A ，求A .（2）证明:若a ∈A ，则11A a -∈. 【答案】（1）123,,23A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭;（2）证明见解析. 【解析】(1)因为3∈A ， 所以11132A =-∈-， 所以12131()2A =∈--， 所以13213A =∈-， 所以123,,23A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭. (2)因为a ∈A ， 所以11A a∈-， 所以1111111a A a a a -==-∈---. 9．已知集合{}2320,,A x ax x x R a R =-+=∈∈.（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并求集合A ；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围 【答案】（1）9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）当0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当98a =时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；（3）{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】（1）若A 是空集，则方程ax 2﹣3x +2＝0无解此时0,a ≠∆＝9-8a ＜0即a 98＞ 所以a 的取值范围为9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）若A 中只有一个元素则方程ax 2﹣3x +2＝0有且只有一个实根当a ＝0时方程为一元一次方程，满足条件当a ≠0，此时∆＝9﹣8a ＝0，解得：a 98=∴a ＝0或a 98= 当0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当98a =时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭（3）若A 中至多只有一个元素，则A 为空集，或有且只有一个元素 由（1），（2）得满足条件的a 的取值范围是{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭.。

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．下列式子表示正确的是（ ）A ．∅{}0⊆B ．{}{}22,3∈C ．∅{}1,2∈D ．{}00,2,3⊆答案：A解析：根据空集的性质，集合与集合的关系，元素与集合的关系逐一判断可得答案. 详解：解：根据空集的性质，空集是任何集合的子集，{}0∅⊆，故A 正确；根据集合与集合关系的表示法，{}2{}2,3，故B 错误； ∅是任意非空集合的真子集，有∅{}1,2，但{}1,2∅∈表示方法不对，故C 错误；根据元素与集合关系的表示法，{}00,2,3∈，不是{}00,2,3⊆，故D 错误；故选：A.点睛：本题考查的知识点是集合的包含关系判断及其应用，元素与集合关系的判断，集合的表示法.2．已知集合{}{}201,1,0,23A a B a ==+，，，若A B =，则a 等于（ ） A ．-1或3B ．0或1C ．3D ．-1答案：C 解析：由A B =则集合的元素完全相同，则223a a =+，求出a 的值，再检验可得答案. 详解：由A B =有223a a =+，则1a =-，3a =.当1a =-时，{}011A =，，与集合元素的互异性矛盾，所以舍去. 当3a =时, {}019=A B =，，满足条件. 故选：C.点睛：本题考查两集合相等，集合元素的特性，属于基础题.3．已知集合{}2*1,P x x n n N ==+∈，{}2*45,M x x m m m N ==-+∈，则集合P 与M 的关系是（ ）A ．P M ⊂B ．P MC ．M P ⊆D ．M P ⊂答案：A解析：把2*45,x m m m N =-+∈配方，求其值域，然后即可判断两集合关系.详解：解：因为{}{}2*222|1,11,21,31,P x x n n N ==+∈=+++，{}(){}{}22**222|45,|21,1,11,21,31,M x x m m m N x x m m N ==-+∈==-+∈=+++ 即集合M 比集合P 多一个元素1，因此P M ⊂.故选：A.点睛：考查求函数的值域以及判断集合的关系，基础题.4．已知集合2{|}A x x x ==，{1,,2}B m =，若A B ⊆，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．0C ．0或2D ．1答案：B解析：先化简集合A ，再根据A B ⊆求解.详解：已知集合{}2{|}0,1A x x x ===，{1,,2}B m =， 因为A B ⊆，所以m=0，故选：B点睛：本题主要考查集合基本关系的应用，属于基础题.5．已知2{|1}A x x ==，集合{|1}B x mx ==，若B A ⊆，则m 的取值个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3答案：D解析：由题意知，集合{}11A =-，，由B A ⊆，注意到1mx =的解要分0m =和0m ≠两种情况就可以得出正确结果．详解：解：由题意知，集合{}11A =-，， 由于1mx =，∴当0m =时，B =∅，满足B A ⊆；当0m ≠时，1B m ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，由于B A ⊆，所以11m=或11m =-，1m ∴=或1m =-，0m ∴=或1或1-．即m 的取值个数为3，故选：D ．6．已知a ，b 为实数，集合,,1bA a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，集合{}2,1,0B a =-，若A B =，则实数20212020a b +的值是（ ）A ．2020-B ．0C ．1-D ．1答案：C解析：根据集合相等得到方程组，求出,a b 的值，即可得解；详解： 解：因为集合,,1b A a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，集合{}2,1,0B a =-，且A B =， 所以2011b a a a ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩，所以0b =，1a =-， 所以()2021202120202020101a b +=-=-+.故选：C. 7．已知集合A ={0,a},B ={x|−1<x <2},且A ⊆B ,则a 可以是A ．−1B ．0C ．1D ．2答案：C解析：因为A ⊆B ，所以得到−1<a <2且a ≠0，根据选项可以确定a 的值.详解：解：因为A ⊆B ，且集合A ={0,a},B ={x|−1<x <2},所以−1<a <2且a ≠0,根据选项情况，由此可以判定只能选择C.点睛：本题考查了集合间的关系、集合中元素的性质，解题时要注意集合元素的互异性这一隐含的条件.8．若集合3| 01x A x x -=≥+⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{|10}B x ax =+≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,13⎛-⎤ ⎥⎝⎦C ．(,1)[0,)-∞-+∞D ．1[,0)(0,1)3-⋃答案：A 解析：先根据分式不等式求解出集合A ，然后对集合B 中参数a 与0的关系作分类讨论，根据子集关系确定出a 的范围.详解： 因为301x x -≥+，所以()()10310x x x +≠⎧⎨-+≥⎩，所以1x <-或3x ≥， 所以{|1A x x =<-或}3x ≥，当0a =时，10≤不成立，所以B =∅，所以B A ⊆满足，当0a >时，因为10ax +≤，所以1x a≤-，又因为B A ⊆，所以11-<-a ，所以01a <<，当0a <时，因为10ax +≤，所以1x a ≥-，又因为B A ⊆，所以13a -≥，所以103a -≤<， 综上可知：1,13a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭. 故选：A.点睛：本题考查分式不等式的求解以及根据集合间的包含关系求解参数范围，难度一般.解分式不等式的方法：将分式不等式先转化为整式不等式，然后根据一元二次不等式的解法或者高次不等式的解法（数轴穿根法）求出解集.9．设集合{}lg 0A x x =<，1222x B x⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．A B =B ．A B ⊆C ．B A ⊆D ．A B =∅答案：B解析：解对数不等式和指数不等式确定集合,A B ，再判断集合的关系．详解：由已知{|01}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，所以A B ⊆．故选：B ．点睛：本题考查集合的包含关系，确定集合中的元素是解题关键．10．已知集合M ={(x,y)|y =x}，N ={(x,y)|{2x −y =1x +4y =5} ，则下列结论中正确的是（ ）A ．M ⊆NB ．N MC ．M ND ．M =N答案：B解析：求出集合N 中的元素，进而可得集合M 与N 的关系详解：N ={(x,y)|{2x −y =1x +4y =5}={(1,1)} ，而M ={(x,y)|y =x}，集合N 中的元素在集合M 中，但M 中的元素不都在N 中，所以N M ．故选B ．点睛：本题考查了集合包含关系的判断及应用，属基础题．二、填空题1．若{}2|560A x x x =-+=，{|60}B x ax =-=，且B A ⊆，则实数a 的值为________．答案：0或2或3解析：先求得{}2,3A =，由于B A ⊆，所以先从空集考虑，当B =∅时，B A ⊆，此时0a =.B 为非空集合时，由于一元一次方程只有一个根，所以分成{}2B =和{}3B =两种情况讨论a 的取值. 详解：{}{}2|5602,3A x x x =-+==①当B =∅时，B A ⊆，此时0a =，②当{}2B =时，B A ⊆，此时260a ⨯-=，即3a =③当{}3B =时，B A ⊆，此时360a ⨯-=，即2a =综上：a 的值为0或2或3故答案为：0或2或3点睛：本题主要考查集合子集的概念，考查空集是任何集合的子集的概念.判断两集合的关系常用两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn 图帮助分析．2．若集合(){}210,x k x x k x R ++-=∈有且仅有两个子集，则实数k =________．答案：-1或12- 解析：根据集合(){}210,x k x x k x R ++-=∈有且仅有两个子集，由方程()210k x x k ++-=只有一个根求解.详解： 因为集合(){}210,x k x x k x R ++-=∈有且仅有两个子集，所以集合中仅有1个元素,即()210k x x k ++-=只有一个根，当10k +=，即 1k =-时， 1x =-成立，当10k +≠，即 1k ≠-时， ()1410k k ∆=++=，即 24410k k ++=，解得 12k =-，故答案为：-1或12-3．若集合A=1，2，3}，B=1，3，4}，则A∩B 的子集个数为____________．答案：4解析：试题分析：找出A 与B 的公共元素求出交集，找出交集的子集个数即可． 解：∵A=1，2，3}，B=1，3，4}，∴A∩B=1，3}，则A∩B 的子集个数为22=4．故选C考点：交集及其运算．4．集合A ={2,0,1,6},B ={x|x +a >0,x ∈R },A ⊆B ，则实数a 的取值范围是______． 答案：a >0详解：B ={x|x +a >0,x ∈R }=(−a,+∞),∵A ⊆B ，∴−a <0，∴a >0．5．已知集合{2,1},{0,1,1A B x =-=+}，且A B ⊆，则实数x 的值为__________．答案：-3解析：由A B ⊆，可得123x x +=-⇒=-，从而可得结果.详解：因为集合{2,1},{0,1,1A B x =-=+}，且A B ⊆，所以123x x +=-⇒=-即实数x 的值为-3.故答案为-3.本题主要考查利用包含关系求参数，属于简单题.三、解答题1．设全集为实数集R ，{}14A x x =-≤<，{}52B x x =-<<，{}122C x a x a =-<<.（1）若C =∅，求实数a 的取值范围；（2）若C ≠∅，且C A B ⊆，求实数a 的取值范围.答案：（1）14a ≤；（2）114a <≤解析：（1）根据空集的概念与不等式的解集的概念求解；（2）求出A B ，再由子集概念列式求解．详解：解：（1）由122a a -≥得，14a ≤（2）由已知得{}12A B x x ⋂=-≤<，由（1）可知()C A B ⊆⋂则12122a a -≥-⎧⎨≤⎩ 解得1a ≤，由（1）可得C ≠∅时，14a >，从而得114a <≤点睛：本题考查空集的概念，集合的交集运算，以及集合的包含关系，属于基础题．2．（1）已知集合(){}222,133A a a a a =++++,，当1A ∈，求2020a 的值；（2）已知集合{}2202020190A x x x =-+<，{}B x x a =<，若A B ⊆，求实数a 的取值范围．答案：（1）1；（2）[)2019,+∞.解析：（1）分21a +=，()211a +=，2331a a ++=三种情况，分别求得a 的值，再代入验证集合中的元素是否满足互异性可得答案；（2）先求得集合A ，借助数轴可得a 的取值范围．详解：（1）若21a +=，则1a =-，{}1,0,1A =，不合题意；若()211a +=，则0a =或-2，当0a =时，{}2,1,3A =，当2a =-时，{}0,1,1A =，不合题意； 若2331a a ++=，则1a =-或-2，都不合题意；因此0a =，所以020201=．（2）{}12019A x x =<<，A B ⊆，∴借助数轴可得2019a ≥，a ∴的取值范围为[)2019,+∞．点睛：易错点点睛：由已知集合间的关系，元素与集合间的关系求参数的值时，注意将求得的参数的值代入集合中验证：集合中的元素是否满足互异性.3．判断下列表达式是否正确：（1）2(,10]≠⊂-∞；（2）2(,10]∈-∞； （3）{2}(,10]≠⊂-∞；（4）(,10]∅∈-∞； （5）(,10]∅⊆-∞；（6）(,10]∅-∞.答案：（1）×（2）√（3）√（4）×（5）√（6）√解析：由元素与集合的关系和集合与集合的关系作答．详解：（1）元素与集合之间是属于或不属于关系，2(,10]≠⊂-∞错； （2）2是集合(,10]-∞中元素，2(,10]∈-∞，正确；（3）由（2）知{2}(,10]≠⊂-∞，正确； （4）空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集，与集合(,10]-∞不能用“∈”的关系，(,10]∅∈-∞，错误；（5）由（4）分析，(,10]∅⊆-∞，正确；（6）由（4）分析，(,10]∅-∞，正确．点睛：本题考查元素与集合，集合与集合之间的关系，元素与集合之间是“属于”“不属于”的关系，集合与集合之间是“包含”“不包含”的关系，不能弄错．4．设{}2|40A x x x =+=，{}22|2(1)10B x x a x a =+++-=，且B ≠⊂A ，求实数a 的取值范围．答案：(,1]-∞-详解：{}2|40{4,0}A x x x =+==- 若B =∅，即224(1)4(1)0,1a a a ∆=+--<<-时，满足题意若B ≠∅，即{0},{4},{0,4}B =--时，{0}B =时22(1)0,101a a a -+=-=∴=-{4}B =-时22(1)8,116a a a -+=--=∴∈∅{0,4}B =-时22(1)4,10a a a -+=--=∴∈∅综上实数a 的取值范围为(,1]-∞-5．已知2{|440}A x x x =++=，22{|2(1)10}B x x a x a =+++-=，其中a R ∈.如果A B B =，求实数a 的取值范围.答案：(,1)-∞-解析：先解一元二次方程得集合A,再将条件A B B ⋂=化为集合包含关系，最后根据数轴确定实数a 的取值范围.详解：2440x x ++=，解得2x =-，∴{}2A =-.∵A B B ⋂=，∴B =∅或{}2-.∴()()2241410a a ∆=+--≤，解得1a ≤-. 但是：1a =-时，{}0B =，舍去.∴实数a 的取值范围是(),1-∞-.点睛：将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等式(组)的解集相关．确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解．。

判断元素能否构成集合1．下列几组对象可以构成集合的是（ ）A ．某校核酸检测结果为阴性的同学B ．某校品德优秀的同学C ．某校学习能力强的同学D ．某校身体素质好的同学答案：A解析：对选项B ，C ，D ，不满足集合的确定性，故不能构成集合.对选项A ，满足集合的确定性，互异性，和无序性，故A 正确.故选：A2．以下各组对象，不能构成集合的是（ ）.A ．不小于3的自然数B ．地球上的小河流C ．周长为10cm 的三角形D ．截止到2020年1月1日，参加“一带一路”的国家答案：B解析：对于B ，地球上的小河流，集合中的元素不确定，故不能构成集合.对于A 、C 、D ，集合中的元素确定.故选：B3．下列对象中，能组成集合的是（ ）A ．所有接近1的数的全体B ．某班高个子男生的全体C ．某校考试比较靠前的学生的全体D ．大于2小于7的实数的全体 答案：D解析：由集合元素的特性：ABC 不符合确定性原则，D 可表示为{|27}<<x x ， 故选：D4．下列说法中正确的是（ ）A ．班上爱好足球的同学，可以组成集合B ．方程x （x ﹣2）2＝0的解集是2，0，2}C ．集合1，2，3，4}是有限集D ．集合x|x 2+5x+6＝0}与集合x 2+5x+6＝0}是含有相同元素的集合答案：C解析：班上爱好足球的同学是不确定的，所以构不成集合，选项A 不正确；方程x （x ﹣2）2＝0的所有解的集合可表示为2，0，2}，由集合中元素的互异性知，选项B 不正确；集合1，2，3，4}中有4个元素，所以集合1，2，3，4}是有限集，选项C 正确；集合x 2+5x+6＝0}是列举法，表示一个方程的集合，x|x2+5x+6＝0}表示的是方程的解集，是两个不同的集合，选项D 不正确．故选：C ．5．下列四个命题中，其中正确命题的个数为（ ）①与1非常接近的全体实数能构成集合；②{}21,(1)--表示一个集合；③空集是任何一个集合的真子集；④任何一个非空集合必有两个以上的子集.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案：C解析：①不确定，所以不能构成集合；②可以构成集合；③空集是任何非空集合的真子集；④对于非空集合，至少有一个元素，所以子集的个数为22n ≥. ②、④正确 故选：C6．下面有四个语句:①集合N *中最小的数是0;②-a ∉N ，则a ∈N ;③a ∈N ，b ∈N ，则a +b 的最小值是2;④x 2+1=2x 的解集中含有两个元素.其中说法正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．下列说法正确的是（ ）．A ．2021年上半年发生的大事能构成一个集合B ．小于100的整数构成的集合是无限集C ．空集中含有元素0D ．自然数集中不含有元素0答案：B解析：对A ，“大事”是不确定的对象，故A 错，对B ，小于100的整数包括无穷个负数，故B 对，对C ，空集中不含有任何一个元素，故C 错，对D ，自然数集中含有元素0，故D 错，故选：B．8．考查下列每组对象，能组成一个集合的是（）①一中高一年级聪明的学生；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的正整数；A．①②B．③④C．②③D．①③9．下列说法中，正确的是（）A．很小的实数可以构成集合B．自然数集N中最小的数是1C．空集的元素个数为零D．任何一个集合必有两个或两个以上的子集答案：C解析：对于A，很小的实数不确定，不能构成集合，故A不正确；对于B，自然数集N中最小的数是0，故B不正确；对于C，空集不含有任何元素，故C正确；对于D，空集只有1个子集，故D不正确，故选C.10．下列语言叙述中，能表示集合的是（）A．数轴上离原点距离很近的所有点；B．太阳系内的所有行星C．某高一年级全体视力差的学生；D．与ABC大小相仿的所有三角形答案：B解析：对A，数轴上离原点距离很近的所有点不满足确定性，故A错误；对B，太阳系内的所有行星满足集合的性质，故B正确；对C，某高一年级全体视力差的学生不满足确定性，故C错误；对D，与ABC大小相仿的所有三角形不满足确定性，故D错误故选：B11．下列说法中，正确的个数是（）的近似值的全体构成一个集合②自然数集N中最小的元素是0③在整数集Z 中，若a ∈Z ，则a -∈Z④一个集合中不可以有两个相同的元素A ．1B ．2C ．3D ．412．下面各组对象中不能形成集合的是（ ）A ．所有的直角三角形B ．一次函数1y x =+C ．高一年级中家离学校很远的学生D ．大于2的所有实数答案：C解析：所有的直角三角形，能形成直角三角形集合，一次函数1y x =+，元素是确定的，可以形成集合，大于2的所有实数，能形成集合，而高一年级中家离学校很远的学生，这里的“很远”的标准不确定，因而这里的学生就不确定，所以高一年级中家离学校很远的学生不能形成集合，故选：C13．以下元素的全体能构成集合的是（ ） A ．中国古代四大发明B ．接近于1的所有正整数C ．未来世界的高科技产品D ．地球上的小河流答案：A解析：中国古代四大发明具有确定性，能构成集合，故A 满足；接近于1的正整数不确定，不能构成集合，故B 不满足；未来世界的高科技产品不确定，不能构成集合，故C 不满足；地球上的小河流不确定，不能构成集合，故D 不满足；故选：A14．下列说法正确的是( )A ．由1，2，3组成的集合可表示为{}1,2,3或{}3,2,1B ．∅与{}0是同一个集合C ．集合{}21x y x =-与集合{}21y y x =-是同一个集合 D ．高一数学课本中较难的题能构成一个集合答案：A15．下列各组对象不能构成集合的是（ ）A ．上课迟到的学生B ．小于π的正整数C ．2022年高考数学试卷上的难题D ．所有有理数答案：C解析：上课迟到的学生属于确定的互异的对象，所以能构成集合；小于π的正整数分别为1,2,3，所以能够组成集合；2022年高考数学试卷上的难题界定不明确，所以不能构成集合；任意给一个数都能判断是否为有理数，所以能构成集合.故选：C.16．下列各选项中能构成集合的是（ ）A ．学生中的跑步能手B ．中国科技创新人才C ．地球周围的行星D ．唐宋散文八大家答案：D解析：对于A ，学生中的跑步能手不具有确定性，所以不能构成集合，所以A 错误， 对于B ，中国科技创新人才不具有确定性，所以不能构成集合，所以B 错误， 对于C ，地球周围的行星不具有确定性，所以不能构成集合，所以C 错误，对于D ，唐宋散文八大家分别为唐代柳宗元、韩愈和宋代欧阳修、苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩八位，研究的对象是确定的，可能构成集合，所以D 正确，故选：D17．下列说法正确的是（ ）A ．集合{}0与空集∅的意义相同B ．高一某班个子比较高的同学可以形成一个集合C ．集合(){,|32,N}A x y x y x =+=∈是有限集D ．所有奇数组成的集合可表示为{}=21,Z x x n n -∈答案：D解析：对于A ，因为集合{}0表示集合中有一个元素0，而空集∅表示集合中没有任何元素，所以集合{}0与空集∅的意义不相同，所以A 错误，对于B ，高一某班个子比较高的同学无法确定，不能形成一个集合，所以B 错误，18．下列各组对象不能构成集合的是（ ）A ．参加运动会的学生B C ．2022年高考数学试卷上的难题D ．所有有理数19．下列说法中正确的是（ ）①某高级中学高一年级所有高个子男生能组成一个集合②()69a a -≤③不等式2320x x -+-<的解集为{}12x x <<④在平面直角坐标系中，第二、四象限内的点构成的集合可表示为(){},0,R,R x y xy x y <∈∈A ．①②B ．②④C ．②③④D ．①③④A ．与0非常接近的数B ．我班喜欢跳舞的同学C ．我校学生中的团员D ．我班的高个子学生答案：C解析：A. 与0非常接近的数不能构成集合，因为与0非常接近的数不具备确定性；B. 我班喜欢跳舞的同学不能构成集合，因为我班喜欢跳舞的同学不具备确定性；C. 我校学生中的团员能构成集合，因为我校学生中的团员具备确定性；D. 我班的高个子学生不能构成集合，因为我班的高个子学生不具备确定性.故选：C。

(每日一练)(文末附答案)（Word版含答案）高中数学集合与常用逻辑用语典型例题单选题1、下列元素与集合的关系中，正确的是（）∉RA．−1∈N B．0∉N∗C．√3∈Q D．25答案：B分析：由N,N∗,Q,R分别表示的数集，对选项逐一判断即可.−1不属于自然数，故A错误；0不属于正整数，故B正确；√3是无理数，不属于有理数集，故C错误；2属于实数，故D错误.5故选:B.2、设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）A．–4B．–2C．2D．4答案：B分析：由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.求解二次不等式x2−4≤0可得：A={x|−2≤x≤2}，}.求解一次不等式2x+a≤0可得：B={x|x≤−a2=1，解得：a=−2.由于A∩B={x|−2≤x≤1}，故：−a2故选：B.小提示：本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3、设集合A={x|x≥2},B={x|−1<x<3}，则A∩B=（）A．{x|x≥2}B．{x|x<2}C．{x|2≤x<3}D．{x|−1≤x<2}答案：C分析：根据交集的定义求解即可由题，A∩B={x|2≤x<3}故选：C4、已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z}，T={t|t=4n+1,n∈Z}，则S∩T=（）A．∅B．S C．T D．Z答案：C分析：分析可得T⊆S，由此可得出结论.任取t∈T，则t=4n+1=2⋅(2n)+1，其中n∈Z，所以，t∈S，故T⊆S，因此，S∩T=T.故选：C.5、已知命题p：∃x∃N，e x<0（e为自然对数的底数），则命题p的否定是（）A．∃x∃N，e x<0B．∃x∃N，e x>0C．∃x∃N，e x≥0D．∃x∃N，e x≥0答案：D分析：根据命题的否定的定义判断．特称命题的否定是全称命题．命题p的否定是：∃x∃N，e x≥0．故选：D．6、已知A是由0，m，m2﹣3m+2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为（）A．2B．3C．0或3D．0，2，3均可答案：B分析：由题意可知m＝2或m2﹣3m+2＝2，求出m再检验即可．∵2∈A，∴m＝2 或m2﹣3m+2＝2．当m＝2时，m2﹣3m+2＝4﹣6+2＝0，不合题意，舍去；当m2﹣3m+2＝2时，m＝0或m＝3，但m＝0不合题意，舍去．综上可知，m＝3．故选：B．7、已知集合A={x|x2−2x=0}，则下列选项中说法不正确的是（）A．∅⊆A B．−2∈A C．{0,2}⊆A D．A⊆{y|y<3}答案：B分析：根据元素与集合的关系判断选项B，根据集合与集合的关系判断选项A、C、D.由题意得，集合A={0,2}．所以−2∉A，B错误；由于空集是任何集合的子集，所以A正确；因为A={0,2}，所以C、D中说法正确．故选：B．8、已知a、b、c、d∈R，则“max{a,b}+max{c,d}>0”是“max{a+c,b+d}>0”的（）注：max{p,q}表示p 、q 之间的较大者.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B分析：利用特殊值法、不等式的基本性质结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.充分性：取a =d =1，b =c =−1，则max {a,b }+max {c,d }=max {1,−1}+max {−1,1}=1+1>0成立， 但max {a +c,b +d }=max {0,0}=0，充分性不成立；必要性：设max {a +c,b +d }=a +c ，则max {a,b }≥a ，max {c,d }≥c ，从而可得max {a,b }+max {c,d }≥a +c >0，必要性成立.因此，“max {a,b }+max {c,d }>0”是“max {a +c,b +d }>0”的必要不充分条件.故选：B.小提示：方法点睛：判断充分条件和必要条件，一般有以下几种方法：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.9、设a,b ∈R ，A ={1,a}，B ={−1,−b}，若A ⊆B ，则a −b =（ ）A ．−1B ．−2C ．2D ．0答案：D分析：根据集合的包含关系，结合集合的性质求参数a 、b ，即可求a −b .由A ⊆B 知：A =B ，即{a =−1−b =1，得{a =−1b =−1， ∴a −b =0.10、已知集合A={x|x≤1}，B={x∈Z|0≤x≤4}，则A∩B=（）A．{x|0<x<1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|0<x≤4}D．{0,1}答案：D分析：根据集合的交运算即可求解.由B={x∈Z|0≤x≤4}得B={0,1,2,3,4}，所以A∩B={0,1}，故选：D多选题11、已知集合M={−2，3x2+3x−4，x2+x−4}，若2∈M，则满足条件的实数x可能为（）A．2B．−2C．−3D．1答案：AC解析：根据集合元素的互异性2∈M必有2=3x2+3x−4或2=x2+x−4，解出后根据元素的互异性进行验证即可．解：由题意得，2=3x2+3x−4或2=x2+x−4，若2=3x2+3x−4，即x2+x−2=0，∴x=−2或x=1，检验：当x=−2时，x2+x−4=−2，与元素互异性矛盾，舍去；当x=1时，x2+x−4=−2，与元素互异性矛盾，舍去．若2=x2+x−4，即x2+x−6=0，∴x=2或x=−3，经验证x=2或x=−3为满足条件的实数x．小提示：本题主要考查集合中元素的互异性，属于基础题．12、(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有（）A．若x，y是偶数，则x＋y是偶数B．若a＜2，则方程x2－2x＋a＝0有实根C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形D．若ab＝0，则a＝0答案：BCD分析：根据必要条件的定义逐一判断即可.A：x＋y是偶数不一定能推出x，y是偶数，因为x，y可以是奇数，不符合题意；B：当方程x2－2x＋a＝0有实根时，则有(−2)2−4a≥0⇒a≤1，显然能推出a＜2，符合题意；C：因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，符合题意；D：显然由a＝0推出ab＝0，所以符合题意，故选：BCD13、已知全集U的两个非空真子集A，B满足(∁U A)∪B=B，则下列关系一定正确的是（）A．A∩B=∅B．A∩B=BC．A∪B=U D．(∁U B)∪A=A答案：CD分析：采用特值法，可设U={1,2,3,4}，A={2,3,4}，B={1,2}，根据集合之间的基本关系，对选项A,B,C,D逐项进行检验，即可得到结果.令U={1,2,3,4}，A={2,3,4}，B={1,2}，满足(∁U A)∪B=B，但A∩B≠∅，A∩B≠B，故A，B均不正确；由(∁U A)∪B=B，知∁U A⊆B，∴U=A∪(∁U A)⊆(A∪B)，∴A∪B=U，由∁U A⊆B，知∁U B⊆A，∴(∁U B)∪A=A，故C，D均正确.14、已知集合P，Q是全集U的两个非空子集，如果P∩Q=Q且P∪Q≠Q，那么下列说法中正确的有（）A．∀∈P，有x∈Q B．∃∈P，使得x∉QC．∀∈Q，有x∈P D．∃∈Q，使得x∉P答案：BC分析：根据P∩Q=Q且P∪Q≠Q确定正确选项.由于P,Q是全集U的非空子集，P∩Q=Q且P∪Q≠Q，所以Q是P的真子集，所以∃∈P，使得x∉Q、∀∈Q，有x∈P，即BC选项正确.故选：BC15、已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则（）A．p是q的既不充分也不必要条件B．p是s的充分条件C．r是q的必要不充分条件D．s是q的充要条件答案：BD解析：由已知可得p⇒r⇒s⇒q；q⇒r⇒s，然后逐一分析四个选项得答案．解：由已知得：p⇒r⇒s⇒q；q⇒r⇒s．∴p是q的充分条件；p是s的充分条件；r是q的充要条件；s是q的充要条件．∴正确的是B、D．故选：BD．小提示：本题主要考查充分条件与必要条件的概念，属于基础题．16、（多选）下列是“a<0，b<0”的必要条件的是（）A．(a+1)2+(b+3)2=0B．a+b<0>0C．a−b<0D．ab答案：BD分析：由a<0,b<0判断各个选项是否成立可得．取a=−2，b=−4，得(a+1)2+(b+3)2=2≠0，故A不是“a<0，b<0”的必要条件；由a<0，b<0，得a+b<0，故B是“a<0，b<0”的必要条件；取a=−2，b=−4，得a−b=−2−(−4)=2>0，故C不是“a<0，b<0”的必要条件；>0，故D是“a<0，b<0”的必要条件．由a<0，b<0，得ab故选：BD．17、下列关系正确的是（）A．0∉∅B．∅⊆{0}C．{∅}⊆{0}D．∅{∅}答案：ABD分析：利用元素与集合之间的关系，集合与集合之间的关系判断即可.由空集的定义知：0∉∅，A正确.∅⊆{0},B正确.{∅}⊄{0}，C错误.∅{∅},D正确.故选：ABD.18、图中阴影部分用集合符号可以表示为（）A．A∩(B∪C)B．A∪(B∩C)C．A∩∁U(B∩C)D．(A∩B)∪(A∩C)答案：AD分析：由图可知，阴影部分是集合B与集合C的并集，再由集合A求交集，或是集A与B的交集并上集合A与C的交集，从而可得答案解：由图可知，阴影部分是集合B与集合C的并集，再由集合A求交集，或是集A与B的交集并上集合A与C 的交集，所以阴影部分用集合符号可以表示为A∩(B∪C)或(A∩B)∪(A∩C)，故选：AD19、对于集合A，B，定义A−B={x|x∈A,x∉B}，A⊕B=(A−B)∪(B−A)．设M={1,2,3,4,5,6}，N= {4,5,6,7,8,9,10}，则M⊕N中可能含有下列元素（）．A．5B．6C．7D．8答案：CD分析：根据所给定义求出M−N，N−M，即可求出M⊕N，从而判断即可；解：因为M={1,2,3,4,5,6}，N={4,5,6,7,8,9,10}，所以M−N={1,2,3},N−M={7,8,9,10}，∴M⊕N=(M−N)∪(N−M)={1,2,3,7,8,9,10}．故选：CD20、若“∀x∈M，|x|>x”为真命题，“∃x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是（）A．(−∞，−5)B．(−3，−1]C．(3，+∞)D．[0，3]答案：AB解析：根据假命题的否定为真命题可知∀x∈M，x≤3，又∀x∈M，|x|>x，求出命题成立的条件，求交集即可知M满足的条件.∵∃x∈M，x>3为假命题,∴∀x∈M，x≤3为真命题，可得M⊆(−∞,3]，又∀x∈M，|x|>x为真命题，可得M⊆(−∞,0)，所以M⊆(−∞,0)，故选：AB小提示：本题主要考查了含量词命题的真假，集合的包含关系，属于中档题.填空题21、已知p：2≤x≤10，q：a−1<x<a+1，a∈R，且p是q成立的必要非充分条件，则实数a的取值范围是________．答案：[3,9]分析：根据题意可得(a−1,a+1)[2,10]，即可建立不等关系求解. 因为p是q成立的必要非充分条件，所以(a−1,a+1)[2,10]，所以{a−1≥2a+1≤10，解得3≤a≤9，所以实数a的取值范围是[3,9].所以答案是：[3,9].22、若命题“∀x∈(3,+∞),x>a”是真命题，则a的取值范围是__________.答案：(−∞,3]分析：根据不等式恒成立求解即可.对于任意x>3,x>a恒成立，即大于3的数恒大于a,∴a⩽3.所以答案是：(−∞,3].23、已知命题p:“∀x≥3，使得2x−1≥m”是真命题，则实数m的最大值是____. 答案：分析：根据任意性的定义，结合不等式的性质进行求解即可.当x≥3时，2x≥6⇒2x−1≥5，因为“∀x≥3，使得2x−1≥m”是真命题，所以m≤5.所以答案是：511。

判断元素能否构成集合1．下列能构成集合的是（）A．中央电视台著名节目主持人B．我市跑得快的汽车C．上海市所有的中学生D．数学必修第一册课本中所有的难题答案：C解析：构成集合的元素具有确定性，选项ABD中没有明确标准，不符合集合定义，选项C正确.故选：C.2．下列各组对象能构成集合的是（）A．新冠肺炎死亡率低的国家B．19世纪中国平均气温较高的年份C．一组对边平行的四边形D．x的近似值答案：C解析：只要一组对边平行的四边形都在选项C这个全体中，那么C中所有对象能构成一个集合，而选项A、B、D都没有明确的判定标准判定某个个体是否在全体中.故选：C.3．下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；.其中能构成集合的组数有（）A．2组B．3组C．4组D．5组4．下列各项中，能组成集合的是（）A．高一（3）班的好学生B．第二章所有难题C．不等于0的实数D．我国著名的数学家答案：C解析：ABD 选项中的对象不满足确定性，故ABD 中的对象不能构成集合，C 选项中的对象满足确定性、互异性与无序性，C 选项中的对象能构成集合.故选：C.5．下列说法中，正确的是( )A ．若a Z ∈，则a -∉ZB ．R 中最小的元素是0C ．”构成一个集合D ．一个集合中不可以有两个相同的元素6．下列所给的对象不能组成集合的是（ ）A ．某班年龄较小的同学B ．二元一次方程1x y +=的解C ．我国古代的四大发明D ．平面内到定点距离等于定长的点答案：A解析：A ：某班年龄较小的同学，其中“较小”标准不确定，即不满足集合中元素的确定性，故不能组成集合；B ：二元一次方程1x y +=的解符合集合中元素的确定性互异性以及无序性，故能组成集合；C ：我国古代的四大发明包括造纸、火药、印刷术、指南针，符合集合中元素的确定性互异性以及无序性，故能组成集合；D ：平面内到定点距离等于定长的点符合集合中元素的确定性互异性以及无序性，故能组成集合；故选：A7．下面有四个说法：①所有较小的正数可以组成一个集合；②a N -∉，则a N ∈；③a N ∈，N b ∈，则a b +的最小值是2；④212x x +=的解集中含有两个元素．其中正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．30a b 时，a 方程212x x +=的解为所以正确的个数为0A8．下面给出的各组对象中，能构成集合的是（ ）A ．所有的高楼B ．sin30，sin45，cos 60，1 CD ．倒数等于它本身的实数130cos602==，不满足集合中元素的互异性，故，某个数能不能作为3的近似值，不是确定的，故，倒数等于它本身的数，即9．下列各项中，不可以组成集合的是（ ）A ．所有的正数B ．方程21x =-的实数根C ．接近于0的数D ．不等于0的偶数答案：C解析：根据集合中的元素满足三要素：确定性、互异性、无序性；“接近于0的数”是不确定的元素，故接近于0的数不能组成集合故答案选：C10．下列命题正确的有（ ）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合{}2|1,y y x x R =-∈与集合{}2(,)|1,x y y x x =-∈R 是同一个集合； （3）12，76，12-，0.5，132这些数组成的集合有5个元素； （4）集合{(),0,|},x y xy x y ≤∈R 是指第二和第四象限内的点集.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案：A解析：（1）很小的实数不确定，不能构成集合，故错误；11．下列各组对象不能组成集合的是（）A．大于6的所有整数B．高中数学的所有难题C．被3除余2的所有整数D．函数y＝x图象上所有的点答案：B解析：对于A，大于6的所有整数能构成集合，故A能组成集合；对于B，高中数学的所有难题标准不确定，所以B不能构成集合对于C，被3除余2的所有整数能构成集合，故C能组成集合；对于D，所有函数y＝x图象上所有的点能构成集合，故D能组成集合．故选：B．12．下列说法中正确的是（）A．与定点A，B等距离的点不能构成集合B．由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5C．一个集合中有三个元素a，b，c，其中a，b，c是ABC的三边长，则ABC不可能是等边三角形D．高中学生中的游泳能手能构成集合答案：C解析：解：对于A：与定点A，B等距离的点在线段AB的中垂线上，故可以组成集合，即A错误；对于B：由集合元素的互异性可知，由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为4，故B 错误；对于C：因为集合的元素具有互异性，所以a，b，c互不相等，故ABC不可能是等边三角形，即C正确；对于D：游泳能手模棱两可，不具有确定性，故D错误；故选：C13．下面能构成集合的是（）A．中国的小河流B．大于5小于11的偶数C．高一年级的优秀学生D．某班级跑得快的学生答案：B解析：由题意，对于A，我国的小河流不能构成集合，不符合集合中元素的确定性；对于B，大于5小于11的偶数为6,8,10，可以构成集合；对于C，高一年级的优秀学生不能构成集合，不符合集合中元素的确定性；对于D，某班级跑得快的学生不能构成集合，不符合集合中元素的确定性.故选：B.14．下列说法：①地球周围的行星能构成一个集合；②实数中不是有理数的所有数能构成一个集合；③1，2，3}与1，3，2}是不同的集合．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3答案：B解析：“周围”是一个模糊的概念，不满足确定性，所以①错误.实数中不是有理数的所有数,元素是确定的，所以能构成一个集合，②正确.1，2，3}与1，3，2}两个集合中的元素是一样的，所以是相同的集合，故③错误.故选：B15．判断下列元素的全体可以组成集合的是（）①湖北省所有的好学校；②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点；③n的近似值；④不大于5的自然数．A．①②B．②③C．②④D．③④答案：C解析：①“好学校”不具有确定性，因此①不能组成集合；②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点，满足集合的元素的特征，因此能组成集合；③n的近似值不具有确定性，因此③不能组成集合；④不大于5的自然数，满足集合的元素的特征，因此④能组成集合．故选：C．16．下列各组对象中不能形成集合的是（）A．高一数学课本中较难的题B．高二（2）班全体学生家长C．高三年级开设的所有课程D．高一（12）班个子高于1.7m的学生答案：A解析：对A，高一数学课本中较难的题不具有确定性，不能形成集合；对BCD，各组对象均满足确定性，互异性和无序性，能形成集合故选：A17．下列给出的对象能构成集合并且为无限集（含有无限个元素的集合）的是（）A．所有很大的实数组成的集合B 2的所有整数解组成的集合C ．所有大于4-的偶数组成的集合D ．所有到,x y 轴距离均为1的点组成的集合1,0,1,2，错误；2,Z}n >-∈的点组成的集合中只有4个元素，错误18．下列说法正确的是（ ）A ．0与{0}的意义相同B ．高一（1）班个子比较高的同学可以形成一个集合C ．若集合{}A a =，则a A ⊆D ．集合{N41}x x ∈-<∣用列举法表示为{0,1,2,3,4} 答案：D解析：对于A ，0为一个元素，{0}为0为其元素的集合，故0与{0}的意义不相同，故A 错误；对于B ，“高一（1）班个子比较高的同学”不能构成集合，因为组成它的元素是不确定的，故B 错误；对于C ，若集合{}A a =，则a A ∈，故C 错误；对于D ，集合{N41}x x ∈-<∣用列举法表示为{0,1,2,3,4}，故D 正确. 故选：D.19．下列说法中正确的是（ ）①某高级中学高一年级所有高个子男生能组成一个集合；②27∈Q ； ③不等式240x x -<的解集为{}04x <<；④在平面直角坐标系中，第二、四象限内的点构成的集合可表示为{}(,)|<0,R,R x y xy x y ∈∈. A ．①②B ．②④C ．②③④D ．③④{}(,)|0,R,R x y xy x y <∈∈，故④正确.故选：B.20．下列集合表示正确的是（ ）．A ．{}2,4B ．{}2,3,3C ．{}2,2,3D ．高个子男生}答案：A解析：由题意可知，选项B 、C 不满足集合的互异性，选项D 不满足集合的确定性， 故选：A ．。