元素与集合之间的关系

集合之间的基本关系 -回复
1. 包含关系：集合A包含集合B，表示B中的元素都属于A，用符号表示为B ⊆ A。

2. 相等关系：集合A与集合B相等，表示A和B拥有完全相同的元素，用符号表示为
A = B。

3. 真包含关系：集合A真包含集合B，表示A包含B且A与B不相等，用符号表示为
B ⊂ A。

4. 交集关系：集合A与集合B的交集，表示A和B中共有的元素的集合，用符号表示为A ∩ B。

5. 并集关系：集合A与集合B的并集，表示A和B所有元素的集合，用符号表示为A ∪ B。

6. 差集关系：集合A与集合B的差集，表示A中除去与B共有的元素剩下的元素的集合，用符号表示为A - B。

7. 对称差集关系：集合A与集合B的对称差集，表示A和B中除去共有的元素，剩下的元素的集合，用符号表示为A △ B。

8. 互斥关系：集合A与集合B互斥，表示A和B没有共有的元素，用符号表示为A ∩
B = ∅。

9. 子集关系：集合A是集合B的子集，表示A中的所有元素都属于B，用符号表示为
A ⊆ B。

10. 空集关系：空集是任何集合的子集，用符号表示为∅⊆ A。

元素与集合的概念1. 元素的概念在数学中，元素是指集合中的一个个体或成员。

元素可以是任何事物、对象、数字等。

元素是集合的构成部分，一个集合可以包含多个元素。

1.1 定义元素的定义可以通过集合论的角度进行解释。

在集合论中，元素是指集合中的一个个体，该个体可以是任何事物、对象、数字等。

元素是集合的基本构成单位，集合中的每个元素都是独立的，没有重复。

1.2 重要性元素在数学中起着非常重要的作用，它是集合论的基础概念之一。

元素的概念使得我们能够将不同的个体或事物进行分类和组织，从而建立起数学中的各种集合。

元素的概念也是数学中许多重要理论和定理的基础，例如集合的交并运算、集合的包含关系等。

1.3 应用元素的概念在数学中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：•集合论：元素是集合论的基本概念，集合论研究的对象就是集合和其中的元素之间的关系和性质。

•数论：元素可以是整数、有理数、实数等，用于研究数的性质和规律。

•几何学：元素可以是点、线、面等几何图形的基本构成单位，用于研究几何图形的性质和关系。

•概率论：元素可以是随机试验的结果，用于研究随机事件的概率和统计规律。

2. 集合的概念集合是由一些确定的元素组成的整体，是数学中最基本的概念之一。

集合可以包含有限个元素，也可以包含无限个元素。

集合可以用不同的方式表示和描述，例如列举法、描述法、集合运算等。

2.1 定义集合的定义可以从直观和集合论两个角度进行解释。

•直观定义：集合是由一些确定的元素组成的整体。

集合中的元素可以是任何事物、对象、数字等。

集合中的元素是独立的，没有重复。

•集合论定义：集合是一个确定的对象，该对象的性质是一个个体是否属于该对象。

例如，集合A表示所有满足某个条件的元素的集合，可以表示为A={x|x满足某个条件}。

2.2 重要性集合在数学中起着非常重要的作用，它是数学的基础概念之一。

集合的概念使得我们能够将不同的元素进行分类和组织，从而建立起数学中的各种结构和理论。

集合与常用逻辑用语一、知识总结1、集合（1）元素与集合：①集合元素的特征性： 、 、 ；②元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有 和 两种，表示符号分别为 和 ；③常见集合的符号表示：自然数集 、正整数集 、整数集 、有理数集 、实数集（R ）；④集合的表示方法 、 、 。

（2）集合与集合间的关系：①如果集合A 中 元素都是集合B 的元素，则A 叫做B 的子集；空集φ，它是任何非空集合的 ；②若B A ⊆，且A B ⊆，则 。

（3）集合的运算：设A 、B 是两个集合，全集为U ，则{}B x A x x B A ∈∈=且I ，{}B x A x x B A ∈∈=或Y ，{}A x U x x A C U ∉∈=且。

若B A ⊆，则A B A =I ，B B A =Y 。

2、命题及其关系、充分条件与必要条件 （1）命题的概念：在数学中用语言、符号或式子表达的，可以 的陈述句叫做命题，其中的语句叫真命题， 的语句叫假命题。

（2)四中命题及其关系：用q p 和分别表示原命题的条件和结论，用p ⌝和q ⌝分别表示两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性，是等价关系。

两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系。

（3）充分条件与必要条件：①如果q p ⇒，则p 是q 的 ，q 是p 的 ；若q p ⇔，则p 是q 的 。

②若p 不能推出q ，且q 不能推出p ，则p 是q 的 . 3、逻辑连接词与量词（1）逻辑连接词：①用联结词“且”联结命题p 和命题q ，记作 ，读作“p 且q ”。

②用联结词“或”联结命题p 和命题q ，记作 读作“p 或q ”。

③对一个命题p 全盘否定记作 读作“非p ”或“p 的否定”。

（2）全称量词与存在量词：①全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“ ”表示。

存在量词：存在一个，至少有一个，有些，用符号“ ”表示。

②含有全称量词的命题，叫做 ；“对M 中任意一个x ，有()x p 成立”可用符号简记为： 。

第一章集合第一节集合的概念一、要点透析（一）集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的。

我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。

集合中的每个对象叫做这个集合的元素。

1、集合的概念（1）元素：某些特定的研究对象叫做元素（2）集合：一些元素集在一起就形成一个集合（简称集）2、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A∈（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a A∉3、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）例1.下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数（）（2）好心的人（）（3）1，2，2，3，4，5．（）4、（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……（2）“∈”的开口方向，不能把a A ∈颠倒过来写5、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合，记作N ，{}0,1,2,N = （2）正整数集：非负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，{}*1,2,3,N = （3）整数集：全体整数的集合，记作Z ，{}012Z =±± ，，，（4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q ，{}Q =整数与分数（5）实数集：全体实数的集合，记作R ，{}R =数轴上所有点所对应的数（6）空集：不含任何元素的集合，记作∅注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成*Z例2.用适当的符号（∈∉，）填空：(1)3_____N;(2)0_____{Φ};(3)32____Z,0.5Q Q ，；2（二）集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程210x -=的所有解组成的集合，可以表示为{1,1}-注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51,52,53,,100} ；所有正奇数组成的集合：{1,3,5,7,}（2）a 与{}a 不同：a 表示一个元素，{}a 表示一个集合，该集合只有一个元素例3、设a,b 是非零实数，那么ba +可能取的值组成集合的元素是：练习、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（）（A ）2个元素（B ）3个元素（C ）4个元素（D ）5个元素2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{|()}x A P x ∈含义：在集合A 中满足条件()P x 的x 的集合例如，不等式32x ->的解集可以表示为：{|32}x R x ∈->或{|32}x x ->所有直角三角形的集合可以表示为：{|}x x 是直角三角形例4、已知集合{}R a x ax x A ∈=+-=,023|2；（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法4、何时用列举法？何时用描述法？（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合2322{,32,5,}x x y x x y +-+（2）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合2{(,)|1}x y y x =+；集合{1000}以内的质数思考：集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？（三）有限集与无限集有限集：含有有限个元素的集合无限集：含有无限个元素的集合空集：不含任何元素的集合，记作∅，如：2{|10}x R x ∈+=二、题型解析（一）集合的基本概念1以下元素的全体不能够构成集合的是（）A．中国古代四大发明B．地球上的小河流C．方程210x -=的实数解D．周长为10cm 的三角形2方程组23211x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集是（）A．{5,1}B．{1,5}C．{(5,1)}D．{(1,5)}3给出下列关系：①12R ∈；Q ；③3N +∈；④0Z ∈，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．44下列各组中的两个集合M 和N ，表示同一集合的是（）A．{}M π=，{3.14159}N =B．{2,3}M =，{(2,3)}N =C．{|11,}M x x x N =-<≤∈，{1}N =D．{}M π=，{,1,|N π=5已知实数2a =，集合{|13}B x x =-<<，则a 与B 的关系是6用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有：17A ；5-A ；17B 7已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为（二）集合的表示方法1用列举法表示下列集合①{|15}x N x ∈是的约数②{(,)|{1,2},{1,2}}x y x y ∈∈③2(,)24x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭④{|(1),}nx x n N =-∈⑤{(,)|3216,,}x y x y x N y N +=∈∈⑥{(,)|,4}x y x y 分别是的正整数约数2用描述法表示下列集合①{1,4,7,10,13}②{2,4,6,8,10}-----③{1,5,25,125,625}④12340,,,,,251017⎧⎫±±±±⎨⎬⎩⎭（三）集合的分类1关于x 的方程0ax b +=，当a ，b 满足条件_____时，解集是有限集；当a ，b 满足条件_____时，解集是无限集2下列四个集合中，是空集的是（）A．}33|{=+x x B．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C．}0|{2≤x x D．},01|{2R x x x x ∈=+-三、课下训练1、有下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；（3）方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{1,1,2}；（4）集合{|45}x x <<是有限集，其中正确的说法是（）A．只有（1）和（4）B．只有（2）和（3）C．只有（2）D．以上四种说法都不对2、试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数223y x x =-+的函数值组成的集合；（2）函数232y x =-的自变量的值组成的集合3、已知集合4{|}3A x N Z x =∈∈-，试用列举法表示集合4、给出下列集合：①{(,)|1,1,2,3}x y x y x y ≠≠≠≠-；②12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎬≠≠-⎩⎩⎪⎪⎩⎭且③12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎬≠≠-⎩⎩⎪⎪⎩⎭或；④{}2222(,)[(1)(1)][(2)(3)]0x y x y x y -+-⋅-++≠其中不能表示“在直角坐标系xOy 平面内，除去点(1,1)，(2,3)-之外的所有点的集合”的序号有5、已知集合2{|12x a A a x +==-有唯一实施解}，试用列举法表示集合A。

集合的概念及元素、集合与集合间关系（讲案）【教学目标】一、集合的概念、表示【知识点】1.定义：一般地，把确定的，不同的对象看成一个整体，这个整体叫做集合，这些对象称为元素。

集合通常用大写英文字母来表示，例如集合A，集合B、集合C，元素常用小写英文字母来表示，例如a b c。

,,2.常用数集：①非负整数集（自然数集），记作N②正整数集，记作*N或N+③整数集，记作Z④有理数集，记作Q⑤全体实数集，记作R3.集合的分类：①有限集：含有有限个元素的集合②无限集：含有无限个元素的集合③空集：不含任何元素的集合，记作∅4.集合的表示方法：① 列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在“{}”内表示集合的方法。

使用列举法时元素间用分隔号“,”隔开，不重复，无顺序，对于含较多元素的集合，如果元素间有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表达清楚后才能用省略号。

② 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写成“(){}|x p x ”，x 为该集合的代表元素，()p x 是元素具有的性质③ venn 图示法：为了形象的描述集合，我们常常画一条封闭的曲线，用他的内部来表示集合。

【例题讲解】★☆☆例题1．下列语句是否能确定一个集合 ．（1）所有质数全体；（2）某校高一性格开朗的学生全体；（3）与1接近的实数的全体；（4）平面直角坐标系内以原点为圆心，以1为半径的圆内所有的点（不包括圆上的点）；★☆☆练习1．A.接近于0的数的全体； B.比较小的正整数全体；C.平面上到点O 的距离等于1的点的全体；D.正三角形的全体；.其中能构成集合的是（ ）★☆☆例题2：用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程2x x =的所有实数根组成的集合；（3）由1~20以内所有的质数组成的集合★☆☆练习1．用列举法表示下列集合：（1）我国古代四大发明组成的集合；（2）大于2且小于15的所有素数组成的集合；（3）方程22x =的所有实数根组成的集合.★☆☆练习2.用列举法表示下列给定的集合：（1）大于1- 且小于5的整数组成的集合A ；（2）方程290x -＝ 的实数根组成的集合B ；（3）小于8 的质数组成的集合.C★☆☆例题3.用合适的方法表示下列集合，并说明是有限集还是无限集.（1）到A 、B 两点距离相等的点的集合（2）满足不等式21x >的x 的集合（3）全体偶数（4）被5除余1的数（5）20以内的质数（6）{(,)|6,,}x y x y x N y N **+=∈∈ （7）方程()0,x x a a R -=∈的解集★☆☆练习1.用描述法表示下列集合.（1）方程22x =的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合。

元素与集合一． 集合的概念对任给的一个性质P ，存在一个集合S ，它的元素恰好是具有性质P 的所有对象。

即{|()}S x P x =，其中()P x 表示“x 具有性质P ”。

由此，我们知道集合的元素是完全确定的，同时它的元素之间具有互异性和无序性。

集合的元素个数为有限数的集合称为有限集，元素个数为无限数的集合称为无限集。

如果有限集A 的元素个数为n ，则称A 为n 元集，记作||A n =。

空集不含任何元素。

例1 设集合25{|0,}ax M x x R x a -=<∈-，若3,5M M ∈∉，求实数a 的取值范围。

例2 设集合22{|,,}M a a x y x y Z ==-∈，n 为整数，分别判断数4,41,42,43n n n n +++与集合M 的关系。

例3 设集合22,,0}S m n N m n =∈+>。

证明：对一切,x y S ∈，且x y <，总存在z S ∈，使得x z y <<。

二． 集合与集合的关系在两个集合的关系中，子集是一个重要的概念，它的两个特例是真子集和集合相等。

从下面“充分必要条件”的角度来理解子集、真子集和集合相等的概念是十分有益的：子集：,A B x A x B ⊆⇔∈∈对任意恒有；真子集：A B A B x B x A⊆⎧⊂⇔⎨∈∉⎩存在，但； 集合相等：,A B A B B A =⇔⊆⊆。

容易证明两个集合之间关系的如下性质：1. ,()A A A ∅⊆∅⊂≠∅;2. ,A B B C A C ⊆⊆⇒⊆；3. n 元集A 总共有2n 个不同的子集。

如果,A B 是两个相等的数集，那么可以得到A B =的两个非常有用的必要条件：两个集合的元素之和相等；两个集合的元素之积相等。

例4 若集合{1,2,,50}的子集不包含形如{,3}x x 的子集，则称该子集为“特殊子集”，含元素个数最多的特殊子集称为“超特殊子集”。

求超特殊子集含有多少个元素，且存在多少个不同的超特殊子集？例 5 设,,a b c 是互不相同的正整数，n 为正整数。

元素与集合1. 特征：确定性，无序性，互异性。

2. 集合中元素的关系：.3. 一些常见的集合 符号：N ,+N ,Z, Q, R, C,4. 集合的表示法：列举法，描述法，图示法。

描述法中：特别注意元素的代表形式。

}|),{(},|{},|{222x y y x x y y x y x ===均表示不同的集合。

集合之间的关系：1.包含于⊂，真包含于⊂。

相等、子集、真子集。

2.空集φ是任何集合的子集。

3.特别的：｛φ｝与φ的关系。

集合的基本运算：A ∪B,A ∩B,A CU(补集)。

集合的运算性质：A ∩A=_____；A ∩B=____（交换律）； A ∩φ =____；A ∩B____A\B;若AB ⊆,则A ∩B=_____； A ∪A=_____;A ∪B=_____（交换律）;A ∪φ=_____;A\B____(A ∪B);若A B ⊆,则A ∪B_____; A ∪ACU=_____;A ∩ACU=_______;)(A CC UU=______;φCU=_____;UCU=_______;_____)(_____;)(==B A B A C C U U;()()______;_____;______;)(____;)(====C B A C B A C B A C B A命题 量词 逻辑命题是能判断真假的语句；：存在：所有的；∃∀:逻辑连接词：或、且、非；pp p q p ⌝∨∧,,;命题的否定：()())(,:),(,,,,x p m x x p m x x p m x x p m x ⌝∈∀∈∃⌝∈∃∈∀的否定为的否定为：qp q p p q q p p q q p q p ⇔⇒⇒⇒的充要条件。

即是的必要条件。

是的充要条件，是.,,四种命题的关系：原命题：若p 则q;否命题：若非p ，则非q ； 逆命题： q 则p;逆否命题： 非p ，则非q ；一元二次不等式及其解法1. 若一元二次不等式b ax >,⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≥=<<>>R b b a abx a abx a 解集为解集为则则解集为若,0,0,0.,0,,0.φ2. 不等式组（)βα<;(1).{}βαβα<<<>x x x 解集为,, (2).φβα解集为><x x（3）.{}ββα>>>x x x 解集为.,(4).{}αβα<<<x x x 解集为3.一元二次不等式,4),0(022ac b a c bx ax -=∆≠>++其中21,x x 是方程c bx ax ++2=0（0≠a ）的两个根，且21x x <.(1) 当时，o a >()()()∞+∞<∆+∞-∞=∆∞+⋃∞>∆，解集为若（，解集为若，解集为若-,0),2)2,(0-,0,21aba b x x (2) 当时，o a <_______,0_______0_____,0解集为若，解集为若解集为若<∆=∆>∆4.一元()3,,0,0*22110≥∈≠∈>++++--n N n a R a a x a xa x a n n n n n n n次不等式可为()()()()()()()()()()的解集。

2023年高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语第1节集合考试要求1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；5.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A 与集合B 中的所有元素都相同A ＝B 子集A 中任意一个元素均为B 中的元素A ⊆B 真子集A 中任意一个元素均为B 中的元素，且B 中至少有一个元素不是A 中的元素A B空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A ∪BA ∩B若全集为U ，则集合A 的补集为∁U A图形表示集合{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}表示4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(∁U A)＝，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B.4.∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集.()(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.()(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.()(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.()2.若集合P＝{x∈N|x≤2023}，a＝22，则()A.a∈PB.{a}∈PC.{a}⊆PD.a∉P3.(2021·新高考Ⅰ卷)设集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝()A.{2}B.{2，3}C.{3，4}D.{2，3，4}4.(易错题)(2021·南昌调研)集合A＝{－1，2}，B＝{x|ax－2＝0}，若B⊆A，则由实数a的取值组成的集合为()A.{－2}B.{1}C.{－2，1}D.{－2，1，0}5.(2021·西安五校联考)设全集U＝R，A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝2x，x∈R}，则(∁U A)∩B＝()A.{x|x<0}B.{x|0<x≤1}C.{x|1<x≤2}D.{x|x>2}6.(2021·全国乙卷)设集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T ＝()A. B.S C.T D.Z考点一集合的基本概念1.已知集合U＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x∈Z，y∈Z}，则集合U中元素的个数为()A.3B.4C.5D.62.若集合A＝{a－3，2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.3.(2022·武汉调研)用列举法表示集合A＝{x|x∈Z且86－x∈N}＝________.4.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”.给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个.考点二集合间的基本关系例1(1)已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}.若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为()A.{－1}B.{1}C.{－1，1}D.{－1，0，1}(2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，则实数m的取值范围是________.训练1(1)(2022·大连模拟)设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，若A＝B，则a2022＋b2023的值为()A.0B.1C.－2D.0或－1(2)已知集合A＝{x|log2(x－1)<1}，B＝{x||x－a|<2}，若A⊆B，则实数a的取值范围为()A.(1，3)B.[1，3]C.[1，＋∞)D.(－∞，3]考点三集合的运算角度1集合的基本运算例2(1)(2021·全国乙卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则∁U(M∪N)＝()A.{5}B.{1，2}C.{3，4}D.{1，2，3，4}(2)(2021·西安测试)设全集U＝R，M＝{x|y＝ln(1－x)}，N＝{x|2x(x－2)<1}，那么图中阴影部分表示的集合为()A.{x|x≥1}B.{x|1≤x<2}C.{x|0<x≤1}D.{x|x≤1}角度2利用集合的运算求参数例3(1)(2021·日照检测)已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}，B＝{x|4x>2m}，若A∩B 中有三个元素，则实数m的取值范围是()A.[3，6)B.[1，2)C.[2，4)D.(2，4](2)已知集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，若A ∪B ＝B ，则实数a 的取值范围是()A.a <－2B.a ≤－2C.a >－4D.a ≤－4训练2(1)(2021·全国甲卷改编)设集合M ＝{x |0<x <4}，N x |13≤x <aM ∩N ＝N ，则a 的取值范围为()A.a ≤13B.a >4C.a ≤4D.a >13(2)集合M ＝{x |2x 2－x －1<0}，N ＝{x |2x ＋a >0}，U ＝R .若M ∩(∁U N )＝∅，则a 的取值范围是()A.(1，＋∞)B.[1，＋∞)C.(－∞，1)D.(－∞，1]Venn 图的应用用平面上封闭图形的内部代表集合，这种图称为Venn 图.集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化.利用Venn 图的直观性，可以深刻理解集合的有关概念，快速进行集合的运算.例1设全集U ＝{x |0<x <10，x ∈N +}，若A ∩B ＝{3}，A ∩(∁U B )＝{1，5，7}，(∁U A )∩(∁U B )＝{9}，则A ＝________，B ＝________.例2(2020·新高考海南卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62%B.56%C.46%D.42%例3向100名学生调查对A，B两件事的看法，得到如下结果：赞成A的人数是全体的35，其余不赞成；赞成B的人数比赞成A的人数多3人，其余不赞成.另外，对A，B都不赞成的人数比对A，B都赞成的学生人数的13多1人，则对A，B都赞成的学生人数为________，对A，B都不赞成的学生人数为________.1.(2021·新高考Ⅱ卷)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩(∁U B)＝()A.{3}B.{1，6}C.{5，6}D.{1，3}2.(2021·郑州模拟)设集合A＝{x|3x－1<m}，若1∈A且2∉A，则实数m的取值范围是()A.(2，5)B.[2，5)C.(2，5]D.[2，5]3.(2021·浙江卷)设集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|－1<x<2}，则A∩B＝()A.{x|x>－1}B.{x|x≥1}C.{x|－1<x<1}D.{x|1≤x<2}4.(2022·河南名校联考)已知集合A＝{a，a2，0}，B＝{1，2}，若A∩B＝{1}，则实数a的值为()A.－1B.0C.1D.±15.已知集合A＝{x∈Z|y＝log5(x＋1)}，B＝{x∈Z|x2－x－2<0}，则()A.A∩B＝AB.A∪B＝BC.B AD.A B6.设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，则满足M⊆(A∩B)的集合M 的个数是()A.0B.1C.2D.37.(2022·太原模拟)已知集合M＝{x|(x－2)2≤1}，N＝{y|y＝x2－1}，则(∁R M)∩N＝()A.[－1，＋∞)B.[－1，1]∪[3，＋∞)C.[－1，1)∪(3，＋∞)D.[－1，1]∪(3，＋∞)8.设集合A ＝{x |(x ＋2)(x －3)≤0}，B ＝{a }，若A ∪B ＝A ，则a 的最大值为()A.－2B.2C.3D.49.(2021·合肥模拟)已知集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，集合B ＝{x ||x －1|≤2}，则A ∩B ＝________.10.(2021·湖南雅礼中学检测)设集合A ＝{x |y ＝x －3}，B ＝{x |1<x ≤9}，则(∁R A )∩B ＝________.11.已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是________.12.已知集合A ＝{a ，b ，2}，B ＝{2，b 2，2a }，若A ＝B ，则a ＋b ＝________.13.若全集U ＝{－2，－1，0，1，2}，A ＝{－2，2}，B ＝{x |x 2－1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为()A.{－1，0，1}B.{－1，0}C.{－1，1}D.{0}14.(2020·浙江卷)设集合S ，T ，S ⊆N +，T ⊆N +，S ，T 中至少有2个元素，且S ，T 满足：①对于任意的x ，y ∈S ，若x ≠y ，则xy ∈T ；②对于任意的x ，y ∈T ，若x ＜y ，则y x ∈S .下列命题正确的是()A.若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B.若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C.若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D.若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素15.已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.16.当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”.对于集合M＝{x|ax2－1＝0，a>0}，N＝{－12，12，1}，若M与N“相交”，则a＝________.。