高二数学教案：9.2空间的平行直线与异面直线(3)

9.2空间的平行直线与异面直线
异面直空间的平行直线与异面直线
新课
定义：在空间中,不同在任何一个平面内的两条直线叫 异面直线，此时两条异面直线即不相交也不平行。 异面直线的判定： 连结平面内一点与平面外一点的直 线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。 例：正方体 ABCD—A1B1C1D1 的 12 条棱中，有 16 组 异面直线，那些棱与对角线AC1是异面直线。 异面直线所成的角： BC、CD、A1B1、A1D1、BB1、DD1 过空间中任意一点作与两条异面直线ａ、ｂ分别平行 且相交的两条直线所成的锐角（或直角）叫做这两条异 面直线所成的角（或夹角）。当两条异成直线所成的角 是直角时，这两条异面直线互相垂直，记为ａ⊥ｂ。
9.2空间的平行直线与异面直线
练习与作业
[小结]：了解异面直线的意义及异面直线的判定； 理解异面直线所成角的定义及空间两条直线垂直的 意义；熟练运用平移的方法求两条异面直线所成角 的大小。 练习：P14，练习：1——4 作业：P15，习题9.2：5、7
9.2空间的平行直线与异面直线
新课
练习： 1 、在棱长为 2a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中， E 、 F 分别是棱CC1、A1B1的中点。 （1）与棱AB异面且垂直的棱有那些？ （2）求异面直线A1B与DC所成的角； （2）45º （3）求异面直线A1B与AC所成的角； （3）60º （4）求异面直线D1E与AC所成的角；D1 C1 （5）求异面直线D1E与BF所成的角。 F B1 E （1）CC1、DD1、A1D1、B1C1 A1 D C 10 4 (4)arccos (5)arccos 5 5 A B

课题：9．2空间的平行直线与异面直线(一)教学目的：1.会判断两条直线的位置关系.2.理解公理四,并能运用公理四证明线线平行.3.掌握等角定理,并能运用它解决有关问题.4.了解平移的概念，初步了解平几中成立的结论哪些在立几中成立5. 掌握空间两直线的位置关系，掌握异面直线的概念，会用反证法和异面直线的判定定理证明两直线异面；6.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角教学重点：公理4及等角定理的运用异面直线所成的角.教学难点：公理4及等角定理的运用异面直线所成的角.授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节共有两个知识点，平行直线、异面直线理和平面基本性质为基础进一步学习平行直线的性质，把平行公理和平行线的传递性推广到空间并引出平移概念，在这一节还由直线平行的性质学习异面直线及其夹角的概念要求学生正确掌握空间平行直线性质和异面直线及其夹角的概念，这样就为学生学习向量和空间图形的性质打下了基础教学过程：一、复习引入：把一张纸对折几次，为什么它们的折痕平行？（答：把一张长方形的纸对折两次，打开后得4个全等的矩形，每个矩形的竖边是互相平行的，再应用平行公理，可得知它们的折痕是互相平行的）你还能举出生活中的相关应用的例子吗？二、讲解新课：1 空间两直线的位置关系（1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点；（3）异面——不在任何．．一个平面内，没有公共点；2 平行直线（1）公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：//,////⇒．a b b c a c说明：（1）公理4表述的性质叫做空间平行线的传递性；（2）几何学中，通常用互相平行的直线表示空间里一个确定的方向；（3）如果空间图形F的所有点都沿同一个方向移动相同的距离到F'的位置，则就说图形F作了一次平移（2）空间四边形：顺次连结不共面的四点A,B,C,D所组成的四边形叫空间四边形，相对顶点的连线AC,BD叫空间四边形的对角线（3）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等分析：在平面内，这个结论我们已经证明成立了．在空间中，这个结论是否成立，还需通过证明．要证明两个角相等，常用的方法有：证明两个三角形全等或相似，则对应角相等；证明两直线平行，则同位角、内错角相等；证明平行四边形，则它的对角相等，等等．根据题意，我们只能证明两个三角形全等或相似，为此需要构造两个三角形，这也是本题证明的关键所在．已知：BAC ∠和B A C '''∠的边//,//AB A B AC A C ''''，并且方向相同，求证：BAC B A C '''∠=∠．证明：在BAC ∠和B A C '''∠的两边分别截取,AD A D AE A E ''''==，∵//,AD A D AD A D ''''=，∴A D DA ''是平行四边形，∴//,AA DD AA DD ''''=，同理//,AA EE AA EE ''''=，∴//,EE DD EE DD ''''=，即D E ED ''是平行四边形，∴ED E D ''=，∴ADE A D E '''∆≅∆，所以，BAC B A C '''∠=∠．(4)等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.指出:等角定理及其推论,说明了空间角通过任意平行移动具有保值性,因而成为异面直线所成角的基础.3.空间两条异面直线的画法4．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线A推理模式：,,,A B l B l ααα∉∈⊂∉⇒AB 与l 是异面直线 证明 ：（反证法）假设 直线AB 与l 共面，∵,,B l B l αα∈⊂∉，∴点B 和l 确定的平面为α，∴直线AB 与l 共面于α，∴A α∈，与A α∉矛盾，所以，AB 与l 是异面直线．5．异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上 异面直线所成的角的范围：]2,0(π6．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥．7．求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么b ′Ob a这两条相交直线所成的角即为所求 三、讲解范例： 例1 已知四边形ABCD 是空间四边形，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点，且32==CD CG CB CF ，求证：四边形EFGH 是梯形分析：梯形就是一组对边平行且不相等的四边形考虑哪组对边会平行呢？为什么？（平行公理）证明对边不相等可以利用平行线分线段成比例证明：如图，连接BD∵EH 是△ABD 的中位线，∴EH//BD,EH=21BD.又在△BCD 中，32==CD CG CB CF ，∴FG//BD,FG=32BD. 根据公理4，EH//FG又FG ＞EH,∴四边形EFGH 的一组对边平行但不相等例2 如图，A 是平面BCD 外的一点,G H 分别是,ABC ACD∆∆的重心，求证：//GH BD ．证明：连结,AG AH 分别交,BC CD 于,M N ，连结MN ，∵,G H 分别是,ABC ACD ∆∆的重心，DB∴,M N 分别是,BC CD 的中点，∴//MN BD ，又∵23AG AH AM AN ==， ∴//GH MN ，由公理4知//GH BD ．例3 如图，已知不共面的直线,,a b c 相交于O 点，,M P 是直线a 上的两点，,N Q 分别是,b c 上的一点 求证：MN 和PQ 是异面直线证（法一）：假设MN 和PQ 不是异面直线，则MN 与PQ 在同一平面内，设为α， ∵,,,M P a M P α∈∈，∴a α⊂，又o a ∈，∴o α∈，∵,,N O b N b α∈∈∈，∴b α⊂，同理c α⊂，∴,,a b c 共面于α，与已知,,a b c 不共面相矛盾，所以，MN 和PQ 是异面直线（法二）：∵a c O =，∴直线,a c 确定一平面设为β，∵,P a Q c ∈∈，∴,P Q ββ∈∈，∴PQ β⊂且,M M PQ β∈∉，又,,a b c 不共面，N b ∈，∴N β∉，所以，MN 与PQ 为异面直线A ′C例4 正方体ABCD A B C D ''''-中．那些棱所在的直线与直线BA '是异面直线？求BA '与CC '夹角的度数．那些棱所在的直线与直线AA '垂直？解：（1）由异面直线的判定方法可知，与直线BA '成异面直线的有直线,,,,,B C AD CC DD DC D C ''''''，（2）由//BB CC ''，可知B BA ''∠等于异面直线BA '与CC '的夹角，所以异面直线BA '与CC '的夹角为45．（3）直线,,,,,,,AB BC CD DA A B B C C D D A ''''''''与直线AA '都垂直例 5 两条异面直线 的公垂线指的是( )(A)和两条异面直线都垂直的直线(B)和两条异面直线都垂直相交的直线(C)和两条异面直线都垂直相交且夹在两交点之间的线段(D)和两条异面直线都垂直的所有直线答案：B例6 在棱长为a 的正方体中，与AD 成异面直线且距离等于a 的棱共有 ( )(A)2条 (B)3条 (C)4条 (D)5条答案：BB 1, CC 1, A 1B 1, C 1D 1共四条 C.例7若a 、b 是两条异面直线，则下列命题中，正确的是( )(A)与a 、b 都垂直的直线只有一条 (B)a 与b 的公垂线只有一条(C)a 与b 的公垂线有无数条(D)a 与b 的公垂线的长就是a 、b 两异面直线的距离 答案：B例8已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则棱A 1B 1所在直线与面对角线BC 1所在直线间的距离是 ( )（A ）a 22 （B ）a （C ）a 2 （D ）2 答案：A 四、课堂练习：〖课堂小练习〗1判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”（1）平行于同一直线的两条直线平行 . （ ）（2）垂直于同一直线的两条直线平行 . （ ）AC 1CA（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 . （ ）（4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条. （ ）（5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（ ）（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. （ ）（7）向量AB 与11B A ，AC 与11C A 是两组方向相同的共线向量，那么111BAC B AC ∠=∠．（ ）答案：（1）√（2）×（3）√（4）×（5）×（6）√（7）√2．选择题（1）“a ，b 是异面直线”是指① a ∩b =Φ且a 不平行于b ；② a 平面，b 平面且a ∩b =Φ③a平面，b平面④不存在平面，能使a且b成立上述结论中，正确的是（）（A）①②（B）①③（C）①④（D）③④（2）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有（）（A）2对（B）3对（C）6对（D）12对（3）两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a，b的位置关系是（）（A）一定是异面直线（B）一定是相交直线（C）可能是平行直线（D）可能是异面直线，也可能是相交直线（4）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( )（A）平行（B）相交（C）异面（D）相交或异面答案：（1）C（2）C（3）A（4）D3．两条直线互相垂直，它们一定相交吗？答：不一定，还可能异面．4.垂直于同一直线的两条直线，有几种位置关系？答：三种：相交，平行，异面．5．画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线．解：6．选择题（1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（）（A）异面（B）平行（C）相交（D）以上都有可能（2）异面直线a,b满足a,b,∩=l，则l与a,b的位置关系一定是（）（A）l至多与a，b中的一条相交（B）l至少与a，b中的一条相交（C）l与a，b都相交（D）l至少与a，b中的一条平行（3）两异面直线所成的角的范围是（）（A）（0°,90°）（B）[0°,90°) （C）（0°,90°]（D）[0°,90°]答案（1）D（2）B（3）：C7．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”（1）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行（）（2）和两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线（）（3）平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变（）（4）四边相等且四个角也相等的四边形是正方形（）答案：×，×，√，×五、小结：这节课我们学习了两条直线的位置关系（平行、相交、异面），平行公理和等角定理及其推论．异面直线的概念、判断及异面直线夹角的概念；证明两直线异面的一般方法是“反证法”或“判定定理”；求异面直线的夹角的一般步骤是：“作—证—算—答”六、课后作业：1AC A1．如图，有哪些直线和直线D 1C 是异面直线，它们所成的角分别是什么？并求出这些角的大小2．如图正方体1111D C B A ABCD 中，E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点，P 、Q 分别为A 1C 1与EF 、AC 与BD 的交点，（1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面；（2）若A 1C 与面DBFE 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线提示：（1）证明四点共面，也就是证明什么？有什么公理或定理可用？（2）证明三点共线的方法是什么？想一想前面我们证明过没有？关键是引导学生自己动手，逐步建立学生的空间立体感3．如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，G 、H 分别为AB 、AD 上的点，且AG ：GB ≠AH ：HD 证明：GH 与EF 为异面直线提示：什么叫异面直线？其相对的线线位置关系是什么？考虑：（1）如果直接证明，就必须证明GHE 1A 1C A和EF不在同一平面内，有这样的定理或公理吗？（2）从（1）知，正面证明是不可取，那么我们可以考虑从反而来考虑——平行或相交七、板书设计（略）八、课后记：。

AB C DE 第四节：空间的平行直线与异面直线教学目标：了解空间直线平行的性质。

教学重点：空间平行线的传递性。

教学过程： 一、复习： 1.直观图的概念 2．斜二测画法的规则。

二、新授：1．空间的平行直线 平面几何的两条性质：平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行。

平行线性质：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

这两条性质都可以推广到空间。

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

也即：已知直线a 、b 、c ，且a ∥b,b ∥c,则a ∥c 。

公理4表述的性质，通常又叫做空间平行线的传递性。

这个公理表明，空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行。

它们具有相同的方向向量。

2．定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

已知：∠BAC 和∠C A B '''的边AB ∥B A ''，AC ∥C A ''，且方向相同。

求证：∠BAC=∠C A B '''证明：在∠BAC 和∠C A B '''的两边上分别截取D A AD ''=，E A AE ''=。

∵AD ∥D A ''，D A AD ''=， ∴DA D A ''是平行四边形。

∴A A '∥D D '，A A '=D D '。

同理有A A '∥E E '，A A '=E E '。

BACD根据公理4得D D '∥E E '，又可得D D '=E E ' ∴四边形ED E D ''是平行四边形。

∴ED =D E ''∴△ADE ≌△E D A '''。

课 题：9．2空间的平行直线与异面直线(二)教学目的：1. 掌握两异面直线的公垂线和距离的概念；2. 掌握两异面直线所成角及距离的求法．3. 能求出一些较特殊的异面直线的距离教学重点：两异面直线的公垂线及距离的概念. 教学难点：两异面直线所成角及距离的求法. 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1 空间两直线的位置关系（1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点； （3）异面——不在任何．．一个平面内，没有公共点； 2.公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：//,////a b b c a c ⇒．3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.5.空间两条异面直线的画法ab1A A6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：,,,A B l B l ααα∉∈⊂∉⇒AB 与l 是异面直线7．异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：]2,0(π8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥．9．求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线； （2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求二、讲解新课：两条异面直线的公垂线、距离和两条异面直线都垂直相交．．．．的直线，我们称之为异面直线的公垂线理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义．定义：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离． 两条异面直线的公垂线有且只有一条三、讲解范例：例1 设图中的正方体的棱长为a（1）图中哪些棱所在的直线与直线BA 1成异面直线？ （2）求直线BA 1和CC 1所成的角的大小． （3）求异面直线BC 和AA 1的距离． 解：（l ）∵A 1不在平面BC 1，而点B 和直线CC 1都在平面BC 1内，且B ∉CC 1. ∴直线BA 1与CC 1是异面直线．同理，直线C 1D 1、D 1D 、DC 、AD 、B 1C 1都和直线BA 1成异面直线． （2）∵CC 1∥BB 1∴BA 1和BB 1所成的锐角就是BA 1和CC 1所成的角． ∵∠A 1BB 1=45°，∴BA 1和CC 1所成的角是45°． （3）∵AB ⊥AA 1，AB ∩AA 1=A ， 又∵AB ⊥BC ，AB ∩BC=B ，∴AB 是BC 和AA 1的公垂线段．∵AB=a ，∴BC 和AA 1的距离是a ．说明：本题是判定异面直线，求异面直线所成角与距离的综合题，解题时要注意书写规范．例2 已知,,,E F G H 分别是空间四边形四条边,,,AB BC CD DA 的中点，（1）求证四边形EFGH 是平行四边形（2）若AC ⊥BD 时，求证：EFGH 为矩形；（3）若BD =2，AC =6，求22HF EG +；（4）若AC 、BD 成30º角，AC =6，BD =4，求四边形EFGH 的面积； （5）若AB =BC =CD =DA =AC =BD =2，求AC 与BD 间的距离. 证明（1）：连结,AC BD ，∵,E F 是ABC ∆的边,AB BC 上的中点，A C 1CA D B∴//EF AC ，同理，//HG AC ，∴//EF HG ， 同理，//EH FG ，所以，四边形EFGH 是平行四边形证明（2）：由（1）四边形EFGH 是平行四边形 ∵//EF AC ，//EH BD ∴由AC ⊥BD 得，EF EH ⊥ ∴EFGH 为矩形. 解（3）：由（1）四边形EFGH 是平行四边形 ∵BD =2，AC =6，∴113,122EF AC EH BD ==== ∴由平行四边形的对角线的性质 20)(22222=+=+EH EF HFEG .解（4）：由（1）四边形EFGH 是平行四边形∵BD =4，AC =6，∴113,222EF AC EH BD ==== 又∵//EF AC ，//EH BD ，AC 、BD 成30º角，∴EF 、EH 成30º角，∴四边形EFGH 的面积 330sin 0=⋅=EH EF S .解（5）：分别取AC 与BD 的中点M 、N,连接MN 、MB 、MD 、NA 、NC ， ∵AB =BC =CD =DA =AC =BD =2， ∴MB ＝MD ＝NA ＝NC ＝3 ∴BD MN AC MN ⊥⊥, ∴MN 是AC 与BD 的公垂线段 且222=-=NB MB MN ∴AC 与BD 间的距离为2.例3 平行四边形ABCD 的内角C=60°,CD=2BC,沿对角线BD 将平行四边形所在平面折成直二面角;求AC 、BD 所成的角.解：如图,折起前,∠A=∠C=60°,AD=BC=a,AB=DC=2a. 由余弦定理得BD 2=a 2＋4a 2－a ·2a=3a 2, ∴BD=a 3.∵AD 2＋BD 2=AB 2, ∴△ABD 是直角三角形. 即∠ADB=90°.同理∠DBC=90°. 折起后∠ADB=∠CBD=90°.D BD如图,过A 作AE BD,连结AC 、CE 、BE,四边形AEBD 是矩形,BD ⊥BE,DB ⊥BC.∴∠CBE 是二面角A —BD —C 的平面角. ∴∠CBE=90°,EC 2=2a 2. ∵DB ⊥平面EBC,∴DB ⊥EC. ∵AE ⊥EC,AC 2=AE 2＋EC 2=5a 2,由AE ‖BD 得∠CAE ，即为AC 与BD 所成的角. 在Rt △AEC 中,cos ∠CAE=51553==ACAE. 于是AC 与BD 所成角为arccos515. 例4 空间四边形ABCD 中，2AD BC ==，,E F 分别是,AB CD的中点，EF =异面直线,AD BC 所成的角解：取BD 中点G ，连结,,EG FG EF ，∵,E F 分别是,AB CD 的中点，∴//,//,EG AD FG BC 且111,122EG AD FG BC ====，∴异面直线,AD BC 所成的角即为,EG FG 所成的角，在EGF ∆中，2221cos 22EG FG EF EGF EG FG +-∠==-⋅， ∴120EGF ∠=，异面直线,AD BC 所成的角为60．说明：异面直线所成的角是锐角或直角，当三角形EGF ∆内角EGF ∠是钝角时，表示异面直线,AD BC 所成的角是它的补角例5 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,求(1)A 1B 与B 1D 1所成角;(2)AC 与BD 1所成角.解(1)如图,连结BD,A 1D,∵ABCD-A 1B 1C 1D 1是正方体,∴DD 1平行且相等BB 1. ∴DBB 1D 1为平行四边形,∴BD//B 1D 1.∴A 1B,BD,A 1D 是全等的正方形的对角线. ∴A 1B=BD=A 1D,△A 1BD 是正三角形,∴∠A 1BD=60o, ∵∠A 1BD 是锐角,∴∠A 1BD 是异面直线A 1B 与B 1D 1所成的角.∴A 1B 与B 1D 1成角为60o.(2)连BD 交AC 于O,取DD 1 中点E,连EO,EA,EC. ∵O 为BD 中点,∴OE//BD 1.∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA ≌△EDC,∴EA=EC.ABCD E FG在等腰△EAC 中,∵O 是AC 的中点,∴EO ⊥AC,∴∠EOA=90o.又∴∠EOA 是异面直线AC 与BD 1所成角,∴AC 与BD 成角90o. 例6．在长方体D C B A ABCD '''-中，已知AB=a ，BC=b ，A A '=c(a ＞b)，求异面直线B D '与AC 所成角的余弦值解：在长方体的一旁，补上一个全等的长方体，则BE ≠AC ，BE D '∠（或其补角）即B D '和CD 所的角 ∵222c b a B D ++='，22b a BE +=，224c a E D +='，∴BEB D E D BE B D BE D ⋅'⋅'-+'='∠2cos 222＝0))((2222222<++++-c b a b a b a∴B D '与AC 所成角的余弦值为))((2222222c b a b a b a +++-.四、课堂练习：1．判断题（对的打“√”，错的打“×”）（1）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条 （ ）（2）两线段AB 、CD 不在同一平面内，如果AC =BD ，AD =BC ，则AB ⊥CD （ ） （3）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60º （ ） （4）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直 （ ） 答案：（1）× （2）× （3）√ （4）× 2．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中 ①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60º角；④DM 与BN 垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ） （A ）①②③ （B ）②④ （C ）③④ （D ）②③④答案：C3．已知空间四边形ABCD.(1)求证：对角线AC 与BD 是异面直线;(2)若AC ⊥BD,E,F,G,H 分别这四条边AB,BC,CD,DA 的中点,试判断四边形EFGH 的形状; (3)若AB ＝BC ＝CD ＝DA,作出异面直线AC 与BD 的公垂线段. 证明：(1)∵ABCD 是空间四边形,∴A 点不在平面BCD 上,而C ∈平面BCD,∴AC 过平面BCD 外一点A 与平面BCD 内一点C,又∵BD ⊂平面BCD,且C ∉BD.∴AC 与BD 是异面直线.(2)解如图,∵E,F 分别为AB,BC 的中点,∴EF//AC,且EF=21AC. 同理HG//AC,且HG=21AC.∴EF 平行且相等HG,∴EFGH 是平行四边形. E A F B C MND又∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FG//BD,∴∠EFG是异面直线AC与BD所成的角.∵AC⊥BD,∴∠EFG=90o.∴EFGH是矩形.(3)作法取BD中点E,AC中点F,连EF,则EF即为所求.4．完成下列证明，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P，A∈a，D∈a，B∈b，E∈c求证：BD和AE是异面直线证明：假设__ 共面于γ，则点A、E、B、D都在平面__内A∈a，D∈a，∴__⊂γ.P∈a，∴P∈__.P∈b，B∈b，P∈c，E∈c∴__⊂γ，__⊂γ，这与____矛盾∴BD、AE__________答案：假设BD、AE共面于γ，则点A、E、B、D都在平面γ内∵A∈a，D∈a，∴ a ⊂γ.∵P∈a，P∈γ.∵P∈b，B∈b，P∈c，E∈c.∴ b ⊂γ，c ⊂γ，这与a、b、c不共面矛盾∴BD、AE是异面直线五、小结：本节课我们学习了两条异面直线所成的角，以及两条异面直线间的距离和有关概念．并学会如何求两条异面直线所成角及距离，懂得将其转化为平面几何问题来解决空间四边形的中点四边形为平行四边形、矩形、菱形的条件，以及与对角线的长度夹角有关的问题的解法六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。