广西桂林市、百色市、崇左市2017届高三上学期第一次联合调研考试文数试题 Word版含答案
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数学试卷（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2|820A x x x =+->，集合{}*|21,B x x n n N ==-∈，则A B 等于（ ） A ．{}1,1- B ．{}1,3- C ．{}1,3 D ．{}3,1,1-2.复数2241i z i +=+的虚部为 （ ）A ． -3B ．-1C ．1D ．23. 在如图所示一组数据的茎叶图中,有一个数字被污染后而模糊不清,但曾计算得该组数据的极差与中位数之和为61,则被污染的数字为( )A ． 1B ．2C ．3D ．44.若抛物线()220y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于（ ） A ．12 B ．1 C ．32D ． 2 5.已知曲线()21x a f x x +=+在点()()1,1f 处切线的斜率为1，则实数a 的值为（ ）A ． 34-B ．-1 C. 32D ．2 6.已知()0,x π∈，且2cos 2sin 2x x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan 4x π⎛⎫- ⎪⎝⎭等于 （ ）A ．13 B ．13- C. 3 D ．-3 7.如图是一个程序框图，则输出的S 的值是 （ ）A ． 18B ． 20 C. 87 D ．908.已知函数()1log log 8a af x x =+（0a >，且1a ≠），在集合111,,,3,4,5,6,7432⎧⎫⎨⎬⎩⎭中任取一个数为a ，则()()3120f a f a +>>的概率为（ ） A ．14 B ．38 C. 12 D ．349.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 （ ）A ． 6B ． 9 C. 12 D ．1810.已知12x π=是函数()()()()2cos 20f x x x ϕϕϕπ=+++<<图象的一条对称轴，将函数()f x 的图象向右平移34π个单位后得到函数()g x 的图象，则函数()g x 在,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为 （ ）A ． -1B ．-2 C. D ．11.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点分别为(),0F c -，圆()222:F x c y c -+=，直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直且在x 轴上的截距为23a .若圆F 被直线l，则双曲线的离心率为（ ） A ．43 B ．53C. 2 D ．3 12.已知函数()xf x e =，函数()5,44,4x ex xg x e x -≤⎧=⎨>⎩，对任意的[]()1,m 1x m ∈>，都有()()2f x g x -≤，则m 的取值范围是（ ）A ． ()1,2ln 2+B ．72,ln 22⎛⎫+ ⎪⎝⎭C. ()ln 2,2 D ．71,ln 22⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题 ，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.已知向量()()3,m ,1,2a b ==- ，若230a b b += ，则m = ．14.如果实数,x y 满足条件1022010x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则43z x y =+的最小值为 ．15.设ABC ∆三个内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若1sin ,cos ,3a B C C ABC ==∆的面积为4，则c = ．16.已知长方体1111ABCD A B C D -内接于球O ，底面ABCD 是边长为2的正方形，E 为1AA 的中点，OA ⊥平面BDE ，则球O 的表面积为 ．三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*21n n S n N =-∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设4log 1n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18. （本小题满分12分）为了解某班学生喜好体育运动是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知按喜好体育运动与否，采用分层抽样法抽取容量为10的样本，则抽到喜好体育运动的人数为6.（1）请将上面的列联表补充完整；（2）能否在犯错概率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关？说明你的理由.（参考公式：()()()()()22n ad bc K a c b d a b c d -=++++.(n a b c d =+++)）独立性检验临界值表：19. （本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，090,60,ABC ACD BAC CAD PA ∠=∠=∠=∠=⊥平面,ABCD E 为PD 的中点，22PA AB ==.（1）求证：PC AE ⊥； （2）求证：//CE 平面PAB . 20. （本小题满分12分）已知点M ⎛ ⎝在椭圆()2222:10x y G a b a b +=>>上，且点M 到两焦点距离之和为.（1）求椭圆G 的方程；（2）若斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A B 、两点，以AB 为底作等腰三角形，顶点为()3,2P -，求PAB ∆的面积.21. （本小题满分12分）已知()(]()ln ln ,0,,xf x ax x x eg x x=-∈=，其中e 是自然常数，a R ∈. （1）当1a =时，求()f x 的极值，并证明()()12f xg x >+恒成立；（2）是否存在实数a ，使()f x 的最小值为3？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，圆C 的极坐标方程是2sin a ρθ=，直线l 的参数方程是3545x t a y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）. （1）若2,a M =为直线l 与x 轴的交点，N 是圆C 上一动点，求MN 的最大值； （2）若直线l 被圆C截得的弦长为，求a 的值. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()1f x x =+.（1）求不等式()2f x x <的解集； （2）若()28f x x a+->对任意x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CABDB 6-10: ACBBA 11、12：CD二、填空题13. 9 14. 4 15. 6 16. 16π三、解答题17.解：（1）当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=，…………………………………2分 当1n =时，1211a =-=，满足12n n a -=，……………………………………4分 ∴数列的通项公式为()1*2n n a n N -=∈……………………………………5分∴()211324n n n n n T nb d -+=+=…………………………………12分 18.解：（1）设喜好体育运动的人数为x 人，由已知得解得 30x =，…………………2分 列联表补充如下：……………………………………………………………………7分（2）∵()225020151058.333 6.63530202525K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯……………………………10分∴可以在犯错概率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关…………………………12分 19.（1）证明：在Rt ABC ∆中，01,60AB BAC =∠=，∴2BC AC ==，取PC 中点F ，连AF ，则∵2PA AC ==，∴PC AF ⊥…………………………………………1分 ∵PA ⊥平面,ABCD CD ⊂平面ABCD ，∴PA CD ⊥，又090ACD ∠=，即CD AC ⊥，………………………2分 又∵PA AC A = ，∴CD ⊥平面PAC ，又∵PC ⊂面PAC ， ∴CD PC ⊥，………………………………………3分EF 是PCD ∆的中位线，∴//CD EF ，∴EF PC ⊥……………………4分又∵AF EF F = ，∴PC ⊥平面AEF .∵AE ⊂平面AEF ， ∴PC AE ⊥……………………………5分 （2）取AD 中点M ，连,EM CM .则//EM PA ……………………………………6分 ∵EM ⊄平面,PAB PA ⊂平面PAB ，∴//EM 平面PAB ………………………………………7分 在Rt ACD ∆中，060,2CAD AC AM ∠===，∴060ACM ∠=，而060BAC ∠=，∴//MC AB ………………………………8分 ∵MC ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴//MC 平面PAB …………………………………………………9分 ∵EMC ，∴平面//EMC 平面PAB ……………………………………10分 ∵EC ⊂平面EMC ，∴//EC 平面PAB ………………………………………12分 20.解：（1）∵2a =，∴a =.又点M ⎛⎝在椭圆上，∴224133b +=，解得24b =，……………………………4分∴椭圆G 的方程为221124x y +=…………………………………………5分（2）设直线l 的方程为y x m =+，由221124y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22463120x mx m ++-=.①设A B 、的坐标分别为()()()112212,,,,x y x y x x AB <的中点为()00,E x y ，则120003,y 244x x m mx x m +==-=+=. 因为AB 是等腰PAB ∆的底边，所以PE AB ⊥.所以PE 的斜率241334mk m -==--+，解得2m =…………………………………………10分此时方程①为24120x x +=，解得123,0x x =-=，所以121,2y y =-=，所以AB =.此时，点()3,2P -到直线:20AB x y -+=的距离d ，所以PAB ∆的面积1922S AB d == …………………………………12分 21.（1）证明：∵()()11ln ,1x f x x x f x x x-'=-=-= (1)分∴当01x <<时，()0f x '<，此时()f x 单调递减；当1x e <<时，()0f x '>，此时()f x 单调递增………………………………………2分 ∴()f x 的极小值为()11f =……………………………………………3分 即()f x 在(]0,e 上的最小值为1， 令()()()21ln 11ln ,22x xh x g x h x x x-'=+=+=，…………………………………………4分 当0x e <<时，()0h x '>，()h x 在(]0,e 上单调递增，…………………………………5分 ∴()()()max min 11111222h x h e f x e ==+<+==. ∴()()12f xg x >+恒成立…………………………………………………6分 （2）解：假设存在实数a ，使()(]()ln 0,f x ax x x e =-∈有最小值3，()11ax f x a x x-'=-=……………………………………………………7分 ①当0a ≤时，()f x 在(]0,e 上单调递减，()()min 413,f x f e ae a e==-==（舍去）， ∴0a ≤时，不存在a 使()f x 的最小值为3……………………………………………8分 ②当10e a <<时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， ∴()2min 11ln 3,f x f a a e a ⎛⎫==+== ⎪⎝⎭，满足条件……………………………10分 ③当1e a ≥时，()f x 在(]0,e 上单调递减，()()min 413,f x f e ae a e==-==（舍去）， ∴1e a≥时，不存在a 使()f x 的最小值为3. 综上，存在实数2a e =，使得当(]0,x e ∈时，()f x 有最小值3……………………………12分22.解：（1）由24sin ρρθ=得圆C 可化为2240x y y +-=，……………………1分 将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得()423y x =--，…………………………2分 令0y =，得2x =，即点M 的坐标为()2,0………………………………3分又圆C 的圆心坐标为()0,2，半径2r =，则MC =，………………………………4分所以MN 的最大值为2MC r +=…………………………………5分（2）因为圆()222:C x y a a +-=，直线:4340l x y a +-=，………………………………6分所以圆心C 到直线l 的距离3455a a a d -==，………………………………7分所以=9分 解得52a =±……………………………………10分 23.解：（1）由()2f x x <得12x x +<，则212x x x -<+<，………………………………………2分 即1212x xx x+<⎧⎨+>-⎩，…………………………………………………3分解得1x >，∴不等式()2f x x <的解集为()1,+∞…………………………………5分 （2）∵()111f x x a x x a x x a a +-=++-≥+-+=+，……………………7分 又()3282f x x a+->=对任意x R ∈恒成立，即()3f x x a +->对任意x R ∈恒成立，………………8分∴13a +>，解得4a <-或2a >，∴实数a 的取值范围是()(),42,-∞-+∞ ………………………………10分。
