§ 3.4一元二次函数的图象和性质 1． 掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征 2． 掌握一元二次函数的性质，能利用性质解决实际问题 3． 会求二次函数在指定区间上的最大（小）值 4． 掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。 １.函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。 2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。 3．任何一个二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点 式:a b a c a b x a y 44)2(2 2-++=, 性质如下: (1）图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线a b x 2-=。 （2)最大（小）值 ① 当0>a ,函数图象开口向上,y 有最小值，a b ac y 442 min -=，无最大值。 ② 当0>a ,函数图象开口向下,y 有最大值,a b a c y 442max -=,无最小值。 （３）当0>a ，函数在区间)2,(a b - -∞上是减函数，在),2(+∞-a b 上是增函数。 当0 第二节 二次函数的图像与性质 1．能够利用描点法做出函数y ＝ax 2，y=a(x-h)2 ，y ＝a(x-h)2 +k 和c bx ax y ++=2图象，能根据图象认识和理解二次函数的性质； 2．理解二次函数c bx ax y ++=2中a 、b 、c 对函数图象的影响。 一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ， 关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y ＝x 2 ，y ＝-x 2 ，y ＝2x 2 ，y ＝-2x 2 ，y ＝2（x-1）2 的图像。 一、二次函数的基本形式 1. y ＝ax 2 的性质： 2. y＝ax2＋k的性质：（k上加下减） 3. y＝a（x-h）2的性质：（h左加右减） 4. y＝a (x－h)2＋k的性质： 5. y＝ax2+bx+c的性质： 二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左 加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 六、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 一元二次函数知识点汇总 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2 ax y =）（0≠a 的顶点是原点，对称轴是y 轴. (2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系： ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；②当0a 时，开口向上；当0a 时)]，坐标为(h ,k )。 6.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ??? ? ?+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. (2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =. (3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. ★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 7.抛物线c bx ax y ++=2 中，c b a ,,的作用 (1)a 决定开口方向及开口大小，这与2 ax y =中的a 完全一样. (2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是直线a b x 2- =,故： ①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b 时,对称轴在y 轴左侧；③0c ,与y 轴交于正半轴；③0 第十五讲 二次函数的图像与性质 二次函数2y ax bx c =++图象的画法 1、二次函数的表示方法： 1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+， c bx ax y ++=2 =a b ac a b x a a c a b a b x a b x a a c x a b x a 44)2()2()2()(222222 -+ +=????? ?+-++=++ 由此可见函数c bx ax y ++=2的图像与函数2 ax y =的图像的形状、开口方向均相同， 只是位置不同，可以通过平移得到。 2、二次函数c bx ax y ++=2 的图像特征 （1）二次函数 c bx ax y ++=2( a ≠0)的图象是一条抛物线； 3、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小； 当2b x a >- 时，y 随x 的增大而增大； 当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大； 当2b x a >- 时，y 随x 的增大而减小； 当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a -． 3. 常数项c ⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； 星火教育讲义 教学步骤： 一、新授内容 1．函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。 2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。 3．任何一个二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式： a b a c a b x a y 44)2(2 2-++=， 性质如下： （1）图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线a b x 2-=。 （2）最大（小）值 ① 当0>a ，函数图象开口向上，y 有最小值，a b ac y 442 min -=，无最大值。 ② 当0>a ，函数图象开口向下，y 有最大值，a b a c y 442max -=，无最小值。 （3）当0>a ，函数在区间)2,(a b - -∞上是减函数，在),2(+∞-a b 上是增函数。 当0 例题精解 一、一元二次函数的图象的画法 【例1】求作函数642 12 ++= x x y 的图象 【解】 )128(21 642122++=++=x x x x y 2-4)(2 1 4]-4)[(21 2222+=+=x x x … -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 … y … 25 0 23- -2 2 3- 0 25 … 【例2】求作函数342 +--=x x y 的图象。 【解】)34(342 2-+-=+--=x x x x y 7)2[(]7)2[(2 2++-=-+-=x x 先画出图角在对称轴2-=x 的右边部分，列表 【点评】画二次函数图象步骤： (1)配方； (2)列表； (3)描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。 二、一元二次函数性质 【例3】求函数962 ++=x x y 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。 【解】 7)3(796262 22-+=-++=++=x x x x x y 由配方结果可知：顶点坐标为)73(--，，对称轴为3-=x ； 01>Θ ∴当3-=x 时， 7min -=y 函数在区间]3(--∞，上是减函数，在区间)3[∞+-，上是增函数。 【例4】求函数1352 ++-=x x y 图象的顶点坐标、对称轴、最值。 10 3 )5(232=-?-=-a b Θ，2029)5(431)5(44422=-?-?-?=-a b ac x -2 -1 0 1 2 y 7 6 5 4 3 《二次函数的图像及性质》教学案例及反思 教师：同学们，我们上一节课一起研究了二次函数的表达式，那么我们一起来回忆一下表达式是什么？ 学生齐答：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a不为0) 教师：好，那么请同学们在黑板上写出一些常数较简单的二次函数表达式. （学生表现很踊跃，一下写出了十多个） 教师：黑板上这些二次函数大致有几个类型？ 学生：（讨论了3分钟）四大类!有y=ax2+bx+c;y=ax2+bx;y=ax2+c;y=ax2! 教师：太棒了！同学们归纳的很好，今天我们就一起来研究比较简单的一种y=ax2的图像及性质！ 教师在学生板书的函数中选了四个，并把复杂的系数换成简单的常数，找到如下函数：y=x2;y=-x2;y=2x2;y=-2x2.(教师在这里让学生自己准备素材！) 教师启发学生利用函数中的“列表，描点，连线”的方法，把画上述四个函数的任务分配给A,B,C,D小组，一组一个在已画好的坐标系的小黑板上动手操作.生在自己提供的素材上进行再“加工”，兴趣很大，合作交流充分，课堂气氛活跃.教师到每组巡视、指导，在确认画图全部正确的情况下，提出了要求，开始了探究之旅. 教师：请同学们小组之间比较一下，你们画的图象位置一样吗？ 学生；不一样. 教师：有什么不一样？（开始聚焦矛盾） 学生:开口不一样. 学生A：走向不一样. 学生B：经过的象限不一样. 学生C：我们的图象在原点的上方，他们的图象在原点的下方. 教师：看来是有些不一样，那么它们位置的不一样是由什么要素决定的？（教师指明了探究方向，但未指明具体的探究之路，这是明智的） 学生：是由二次项系数的取值确定的. 教师：好了，根据同学们的回答，能得到图象或函数的那些结论？（顺水推舟，放手让学生一搏） 热烈讨论后，学生D回答并板书，当a>0时，图象在原点的上方，当a<0时，图象在原点的下方。 学生E:当a>0时，图象开口向上；当a<0时，图象开口向下. 学生A站起来补充:还有顶点,顶点坐标(0,0),对称轴为y轴! （这个过程约用了十多分时间，学生体会非常充分，从学生的神情看，绝大多数学生已接受了这几个学生的板书，但教师未对结论进行优化。怎么没有一个学生说出二次函数的性质呢？短暂停顿后，教师确定了思路） 教师：刚才你们是研究图象的性质，你们能否由图象性质得出相应的函数的性质？ 看着学生茫然的目光,我在思考是不是我的问题---- 教师：请看同学们的板书，能揣摩图象“走向”的意思吗？ 学生：（七嘴八舌）当a>0时，图象从左上向下走到原点后在向右上爬；当a<0时，图象从左下向上爬到原点后在向右下走（未出现教师所预期的结论） 教师：好，你们从图象的直观形象来理解的图象性质，很贴切，你们能从自变量与函数值之间的变化角度来说明“向上爬”和“向下走”吗？ 20.4二次函数的性质 教学目标： 1.从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质. 2.了解二次函数与二次方程的相互关系. 3.探索二次函数的变化规律,掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念,会求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性 教学重点：二次函数的最大值,最小值及增减性的理解和求法. 教学难点：二次函数的性质的应用. 教学过程： 一、复习引入 二次函数: y=ax2 +bx + c (a 1 0)的图象是一条抛物线,它的开口由什么决定呢? 补充: 当a的绝对值相等时,其形状完全相同,当a的绝对值越大,则开口越小,反之成立. 二、新课教学: 1.探索填空: 根据下边已画好抛物线y= -2x2的顶点坐标 是, 对称轴是，在侧，即x_____0时, y随着x的增大而增大；在侧，即x_____0时, y随着x的增大而减小. 当x= 时，函数y最大值是____. 当x____0时,y<0. 2. 探索填空:：据上边已画好的函数图象填空：抛物线y= 2x2的顶点坐标 是, 对称轴是，在侧，即x_____0时, y随着x的增大而减少；在侧，即x_____0时, y随着x的增大而增大. 当x= 时，函数y最小值是____. 当x____0时,y>0 3.归纳: 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 (1).顶点坐标与对称轴 (2).位置与开口方向 (3).增减性与最值 当a ﹥0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大；当时，函数y有最小值。当a ﹤0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小。当时，函数y有最大值 4.探索二次函数与一元二次方程 二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示. (1).每个图象与x轴有几个交点？ (2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗? (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 归纳: (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: ①有两个交点, ②有一个交点, ③没有交点. 当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时, 交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根. 湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析一元二次 函数性质及其综合考查 It was last revised on January 2, 2021 湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析2：一元二次函数性质及 其 综 合 考 查 一、一元二次函数图象与性质：（学生画出函数图象，写出函数性质） 二.高考题热身 1.若不等式x 2＋ax ＋10对于一切x （0，12 〕成立，则a 的取值范围是（ ） A ．0 B. –2 5 2 2.已知函数f(x)=ax 2+2ax+4(a>0),若x 1 专题08 一元二次函数的图像和性质一、知识点精讲 【问题1】函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？ 为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝1 2 x2，y＝－2x2的图象，通过这些函数图象与函数y＝x2 的图象之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系． 先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象． 先列表： x …－3 －2 －1 0 1 2 3 … x2…9 4 1 0 1 4 9 … 2x2…18 8 2 0 2 8 18 从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了． 再描点、连线，就分别得到了函数y＝x2，y＝2x2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y＝2x2的图象可以由函数y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到． 同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝1 2 x2，y＝－2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数y＝ x2的图象之间的关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小． 【问题2】函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？ 同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点． 类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数y ＝a(x ＋h)2＋k(a≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”． 由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象的方法： 由于y ＝ax 2 ＋bx ＋c ＝a(x 2 ＋b x a )＋c ＝a(x 2 ＋b x a ＋224b a )＋c － 24b a 2 24()24b ac b a x a a -=++ ， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)具有下列性质： （1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为2 4(,)24b ac b a a --， 对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a - 时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2b a -时，函数取最小值y ＝2 44ac b a -． 二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 2.2 =+的性质： y ax c 上加下减。 =-的性质： y a x h 左加右减。 4.()2 y a x h k =-+的性质： 1.平移步骤： 方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者 通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确 定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我 们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对 称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值2 44ac b a -． 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 高考数学二轮复习一元二次函数性质及其综合考查 一、一元二次函数图象与性质：（学生画出函数图象，写出函数性质） 二.高考题热身 1.若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈（0，1 2 〕成立，则a的取值范围是（） A．0 B. –2 C.-5 2 D.-3 2.已知函数f(x)=ax2+2ax+4(a>0),若x1 二次函数的图像和性质 1.二次函数的图像与性质： 解析式 a 的取值 开口方向 函数值的增减 顶点坐标 对称轴 图像与y 轴的交点 时当0>a ；开口向上；在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的 右侧y 随x 的增大而增大。 时当0k 时向上平移；当0>k 时向下平移。 （2）抛物线2 )(h x a y +=的图像是由抛物线2 y ax =的图像平移h 个单位而得到 的。当0>h 时向左平移；当0 3.二次函数的最值公式： 形如 c bx ax y ++=2 的二次函数。时当0>a ，图像有最低点，函数有最小值 a b ac y 442-= 最小值 ；时当0?时抛物线与x 轴有两个交点；当0=?抛物线与x 轴有一个交点；当 0 1.3 二次函数的性质 一、基础训练 1．若抛物线y=x2－2x+m与x轴只有一个公共点，则m=______． 2．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2－3x+a－1的图象，那么a的值是_____． 3．若抛物线y=x2+（m－2）x－m与x轴的两个交点关于y轴对称，则m=______．4．二次函数y=－x2+4x+m的值恒小于0，则m的取值范围是______．5．不论k取任何实数，抛物线y=a（x+k）2+k（a≠0）的顶点都在（）A．直线y=x上B．直线y=－x上C．x轴上D．y轴上 6．已知抛物线y=ax2+bx+c上的两点（2，0），（4，0），那么它的对称轴是直线（） A．x=－3 B．x=1 C．x=2 D．x=3 7．已知直角三角形的两直角边之和为4，求斜边长的最小值及当斜边长达到最小值时的两条直角边长． 1 8．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系：y=－0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30）．y值越大，表示接受能力越强． （1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ （2）第几分钟，学生的接受能力最强？ 二、提高训练 9．已知二次函数y=x2－4x－a，下列说法正确的是（） A．当x<0时，y随x的增大而减小 B．若图象与x轴有交点，则a≤4 2 C．当a=3时，不等式x2－4x+a>0的解集是1 § 3.4一元二次函数的图象和性质教学设计 1． 掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征 2． 掌握一元二次函数的性质，能利用性质解决实际问题 3． 会求二次函数在指定区间上的最大（小）值 4． 掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。 1．函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。 2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。 3．任何一个二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式： a b a c a b x a y 44)2(2 2-++=， 性质如下： （1）图象的顶点坐标为)44,2(2a b a c a b -- ，对称轴是直线a b x 2-=。 （2）最大（小）值 ① 当0>a ，函数图象开口向上，y 有最小值，a b ac y 442 min -=，无最大值。 ② 当0>a ，函数图象开口向下，y 有最大值，a b a c y 442max -=，无最小值。 （3）当0>a ，函数在区间)2,(a b - -∞上是减函数，在),2(+∞-a b 上是增函数。 当0 二次函数y=ax 2 +bx+c(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（基础） 撰稿：张晓新 审稿：杜少波 【学习目标】 1. 会用描点法画二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象；会用配方法将二次函数2 y ax bx c =++的解析式写成2 ()y a x h k =-+的形式； 2.通过图象能熟练地掌握二次函数2 y ax bx c =++的性质； 3.经历探索2 y ax bx c =++与2()y a x h k =-+的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想． 【要点梳理】 要点一、二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠与=-+≠2 ()(0)y a x h k a 之间的相互关系 1.顶点式化成一般式 从函数解析式2 ()y a x h k =-+我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称 2()y a x h k =-+为顶点式，将顶点式2()y a x h k =-+去括号，合并同类项就可化成一般式2y ax bx c =++． 2.一般式化成顶点式 22 2 2222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ?? ??????=++=++=++-+?? ? ? ?????????? ? 2 2424b ac b a x a a -? ?=++ ?? ?． 对照2 ()y a x h k =-+，可知2b h a =-，244ac b k a -=． ∴ 抛物线2 y ax bx c =++的对称轴是直线2b x a =-，顶点坐标是24,24b ac b a a ??-- ??? ． 要点诠释： 1．抛物线2 y ax bx c =++的对称轴是直线2b x a =-，顶点坐标是24,24b ac b a a ??-- ???，可以当作公 式加以记忆和运用． 2．求抛物线2 y ax bx c =++的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 二次函数的图像与性质 一、知识点梳理 二次函数的概念： 一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ， ，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二次函数各种形式之间的变换 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2 的形式，其中 a b a c k a b h 4422 -=-=，. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2 h x a y -=； ④()k h x a y +-=2 ；⑤c bx ax y ++=2. 抛物线2y ax bx c =++的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0 湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析2：一元二次函数 性质及其综合考查 一、一元二次函数图象与性质：（学生画出函数图象，写出函数性质） 二.高考题热身 1.若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈（0，1 2 〕成立，则a的取值范围是（） A．0 B. –2 C.- 5 2 D.-3 2. 已知函数f(x)=ax2+2ax+4(a>0),若x1 第二节 二次函数的图像与性质 1．能够利用描点法做出函数y ＝ax 2 ，y=a(x-h)2，y ＝a(x-h)2 +k 和c bx ax y ++=2 图象， 能根据图象认识和理解二次函数的性质； 2．理解二次函数c bx ax y ++=2 中a 、b 、c 对函数图象的影响。 一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y ＝x 2 ，y ＝-x 2 ，y ＝2x 2 ，y ＝-2x 2 ，y ＝2（x-1）2 的图像。 一、二次函数的基本形式 1. y ＝ax 2 的性质： x y O 2. y＝ax2＋k的性质：（k上加下减） 3. y＝a（x-h）2的性质：（h左加右减） 4. y＝a (x－h)2＋k的性质： 5. y＝ax2+bx+c的性质： 二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式() 2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字 “左加右减，上加下减”． 方法二：二次函数的图像与性质知识点及练习
一元二次函数知识点汇总 (2)
二次函数图像及一元二次方程与二次函数关系
(完整版)一元二次函数的图像性质
二次函数的图像及性质
二次函数的性质
湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析一元二次函数性质及其综合考查
专题08 一元二次函数的图像和性质(原卷版)
二次函数图像与性质总结
高考数学一元二次函数性质综合考查
二次函数的图像和性质总结
【浙教版初中数学】《二次函数的性质》综合练习
一元二次函数的图像和性质教学设计
二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与性质—知识讲解(基础)
二次函数图像与性质
高考数学二轮复习考点解析2：一元二次函数性质及其综合考查
二次函数的图像和性质知识点与练习
相关主题
文本预览