最新人教版初中九年级数学上册《弧、弦、圆心角》导学案

弧、弦、圆心角
一、明确学习目标
1、了解圆心角的概念，掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个值相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值相等，及其它们在解题中的应用。

2、通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题。

二、自主预习
预习教材第83至84页内容后过错成自主预习区，并尝试解答下列问题。

三、合作探究
四、当堂检测
五、拓展提升
六、课后作业。

一、新课导入1、我们已经学习过圆，圆既是中心对称图形又是轴对称图形，把一个圆绕圆心旋转多少度可以与自身重合？2、你知道什么是圆心角吗？圆心角和这所对的弧、弦有特殊关系吗？二、学习目标1、掌握圆心角的定义，能判断一个角是否圆心角。

2、掌握圆心角、弧、弦之间的关系。

三、研读课本认真阅读课本的内容，完成以下练习。

（一）划出你认为重点的语句。

（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。

研读一、认真阅读课本要求：知道圆心角的定义，了解圆既是中心对称图形又是轴对称图形，圆还是旋转对称图形。

一边阅读一边完成检测一。

检测练习一、1、顶点在圆心的角叫圆心角。

2、下列4个图形中，只有④中的角在圆心上，所以只有④中的角是圆心角；3、圆是轴对称图形，它的对称轴是过圆心的直线；圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心；把圆绕圆心旋转任意一个角度都可以与自身重合，所以圆是旋转对称图形。

4、圆心角的两条边和圆有两个交点，这两个点之间的弧是圆心角所对的弧，连接这两个点的线段是圆心角所对的弦。

5、完成尝试应用(1)如下图所示，在⊙O中，若∠AOB=∠COD，把∠AOB绕点O旋转，当OA与OC重合时，OB与OD重合，AB与CD重合，弧AB与弧CD重合，∠AOB与∠COD重合. (2)在⊙O中，若圆心角∠AOB与圆心角∠COD相等，那么，弦AB=弦CD，弧AB=弧CD.小结：在同圆或等圆中相等的圆心角，所对的弧相等，所对的弦也相等.研读二、认真阅读课本要求：思考“探究”中的问题，探索在同圆或等圆中，两个圆心角、这两个圆心角所对的弧、这两个圆心角所对的弦之间的关系。

问题探究：6、因为圆是旋转对称图形，可得：(1)、在⊙O中，若弧AB与弧CD相等，那么，弦AB=弦CD，∠AOB=∠COD，(2)、在⊙O中，若弦AB与弦CD相等，那么，弧AB=弧CD，∠AOB=∠COD，结论：在同圆或等圆中，两个圆心角、这两个圆心角所对的弧、这两个圆心角所对的弦，这三组量中有一组量相等，其余两组量就相等。

弧、弦、圆心角导教案主编人：主审人：班级：学号：姓名：学习目标：【知识与技术】1理解圆的旋转不变性，掌握圆心角的观点以及弧、弦、圆心角之间的相等关系，并能运用这些关系解决相关的证明、计算2弧、弦、圆心角之间的相等关系是论证同圆或等圆中弧相等、角相等、线段相等的主要依照【过程与方法】经历研究发现圆的旋转不变性，证明圆心角、弦、弧之间的关系【感情、态度与价值观】学生通在研究圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间关系过程中体验其建立的愉悦【要点】弧、弦、圆心角之间的相等关系【难点】定理的证明学习过程 :一、自主学习（一）复习稳固（ 1）圆是轴图形，任何一条所在直线都是它的对称轴．（ 2）垂径定理推论．（二）自主研究如下图，∠ AOB的极点在圆心，像这样极点在圆心的角叫做．B BAA'AOB'O请同学们按以下要求作图并回答以下问题：如下图的⊙ O 中，分别作相等的圆心角∠AOB?和∠ A?′ OB?′将圆心角∠AOB绕圆心 O旋转到∠ A′OB′的地点，你能发现哪些等量关系？为何？相等的弦：；相等的弧：原因：相等，所对的弦结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的也．表达式：相同，还能够获得：相等， ?所对的在同圆或等圆中，假如两条弧相等，那么它们所对的弦也．表达式：， ?所对的在同圆或等圆中，假如两条弦相等，那么它们所对的圆心角也相等．表达式：注：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其他各组量也。

（三）、概括总结：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的弦也．在同圆或等圆中，假如两条弧相等，那么它们所对的相等， ?所对的弦也．在同圆或等圆中，假如两条弦相等，那么它们所对的圆心角，?所对的也相等．（四）自我试试：⌒ ⌒1、如图，在⊙ O中， AB=AC∠ ACB=60 °，求证∠ AOB=∠BOC=∠AOC AOB C2、如图， AB， CD是⊙ O的两条弦。

弧、弦、圆心角学习目标：认识圆心角的观点：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧、弦心距中有一个量的两个相等就能够推出其他两个量的相对应的两个值就相等，及其他们在解题中的应用．一、导学过程：（阅读教材 P82 — 83 ,达成课前预习）1、知识准备（ 1）圆是轴图形，任何一条所在直线都是它的对称轴．（ 2）垂径定理推论．2、预习导航。

（ 1）圆心角：极点在的角叫做圆心角。

（ 2）等圆：能够的圆叫做等圆，同圆或等圆的半径。

（ 3）弧、弦、弦心距、圆心角的关系：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的弦也．相同，还能够获得：在同圆或等圆中，假如两条弧相等，那么它们所对的相等， ?所对的弦也，所对的弦心距也。

在同圆或等圆中，假如两条弦相等，那么它们所对的、、相等．注：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对应的其他各组量也。

二、讲堂练习。

1．假如两个圆心角相等，那么（）A ．这两个圆心角所对的弦相等B．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D．以上说法都不对2．在同圆中，圆心角∠ AOB=2∠ COD，则两条弧 AB与 CD的关系是（）A.AB=2CD B．AB>2CDC．AB<2CDD．不可以确立3.一条弦长恰巧为半径长，则此弦所对的弧是半圆的 _________．4．如图，在⊙O中，AB=AC，∠AOB=60°，求证 : ∠ AOB=∠ BOC=∠ AOCAOB C三、讲堂小结在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的弦也．在同圆或等圆中，假如两条弧相等，那么它们所对的、、相等．四、反应检测。

1．如图，⊙ O中，假如AB=2CD，那么（）．A．AB=AC B ． AB=AC C ． AB<2AC D ．AB>2ACACOB2．如图，以平行四边形 ABCD的极点 A 为圆心， AB为半径作圆，分别交BC、AD于 E、F，若∠ D=50°，求BE的度数和BF的度数．3.如图，在⊙ O中， C、D 是直径 AB上两点，且 AC=BD，MC⊥ AB，ND⊥ AB，M、N?在⊙ O上．（ 1）求证：AM=（2）若C、D分别为OA、OB中点，则建立吗？BN AM=MN=NB4．如图，∠AOB=90°，C、D 是AB三平分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证： AE=BF=CD．C5. 如图， AB 和 DE是⊙ O的直径，弦 AC∥DE，若弦 BE=3，E 求弦 CE长度。

人教版数学九年级上册《24.1.3弧、弦、圆心角》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册《24.1.3弧、弦、圆心角》是本册教材的重要内容之一。

它主要介绍了弧、弦、圆心角的定义及其相互关系。

这部分内容对于学生来说，有助于深化对圆的理解，为后续学习圆的性质和应用打下基础。

教材通过生动的实例和丰富的练习，引导学生探索和发现弧、弦、圆心角之间的规律，培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和变换有一定的了解。

他们对圆的概念和性质有一定的认识，但弧、弦、圆心角的概念和关系可能还比较模糊。

因此，在教学过程中，教师需要从学生的实际出发，通过直观的教具和生动的实例，帮助学生理解和掌握弧、弦、圆心角的定义和相互关系。

三. 教学目标1.理解弧、弦、圆心角的定义，掌握它们的相互关系。

2.能够运用弧、弦、圆心角的性质解决实际问题。

3.培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。

四. 教学重难点1.弧、弦、圆心角的定义及其相互关系。

2.运用弧、弦、圆心角的性质解决实际问题。

五. 教学方法1.直观演示法：通过实物演示和动画展示，让学生直观地理解弧、弦、圆心角的定义和相互关系。

2.引导发现法：教师引导学生观察、思考和探索，发现弧、弦、圆心角之间的规律。

3.练习法：通过丰富的练习题，巩固学生对弧、弦、圆心角的理解和应用。

六. 教学准备1.准备相关的实物教具，如圆板、量角器等。

2.制作课件，包括弧、弦、圆心角的定义和相互关系的动画演示。

3.准备练习题，涵盖各种类型的题目，以便进行巩固和拓展。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过实物演示，如拿一个圆板，让学生观察和描述圆板上的弧、弦和圆心角。

引导学生回顾圆的基本概念，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）教师利用课件，生动地展示弧、弦、圆心角的定义和相互关系。

通过动画演示，让学生直观地理解弧、弦、圆心角之间的关系。

24.1 圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角一、教学目标【知识与技能】1.理解圆心角概念和圆的旋转不变性.2.掌握在同圆或等圆中,圆心角、弧、弦之间的关系,以及它们在解题过程中的应用.【过程与方法】通过学生动手或计算机演示使学生感受圆的旋转不变性,发展学生的观察分析能力.【情感态度与价值观】培养学生勇于探索的良好习惯,激发学生探究,发现数学问题的兴趣.二、课型新授课三、课时1课时。

四、教学重难点【教学重点】圆心角、弧、弦之间的关系,并能运用此关系进行有关计算和证明.【教学难点】理解圆的旋转不变性和定理推论的应用.五、课前准备课件、图片、直尺等.六、教学过程（一）导入新课熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块,你会分吗？分成八块呢？（出示课件2）（二）探索新知探究一圆心角的概念教师问：圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?（出示课件4）学生思考并观察教师操作进而得出结论.操作1：将圆绕圆心旋转180°后,得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？（出示课件5）结论：圆是中心对称图形.操作2：把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？（出示课件6）结论：圆是旋转对称图形,具有旋转不变性.出示课件6：教师问：观察在⊙O中,这些角有什么共同特点？（出示课件7）学生答：顶点在圆心上.由此得到:（出示课件8）1.圆心角：顶点在圆心的角,如∠AOB.2.圆心角∠AOB所对的弧AB⌒.3.圆心角∠AOB所对的弦为AB.练一练：判别下列各图中的角是不是圆心角,并说明理由.（出示课件9）生观察后独立解答：①顶点在圆内,但不是圆心,不是圆心角；②顶点在圆外,不是圆心角；③顶点在圆周上,不是圆心角；④是圆心角.探究二圆心角、弧、弦之间的关系如图,在⊙O中,将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A'OB'的位置,你能发现哪些等量关系？为什么？（出示课件10）学生观察后口答：∠AOB ＝∠A ′OB ′；得到：AB =A ＇B ＇. 在⊙O 中,如果∠AOB= ∠COD,那么,AB 与CD,弦AB 与弦CD 有怎样的数量关系？（出示课件11）学生观察思考后,教师归纳：由圆的旋转不变性,可得：在⊙O 中,如果∠AOB=∠COD,那么,,弦AB=弦CD.如图,在等圆中,如果∠AOB ＝∠CO ′ D,你发现的等量关系是否依然成立？为什么？（出示课件12）学生观察思考后,教师归纳：通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆,可得,如果∠AOB=∠COD,那么,AB=CD,师生共同归纳：在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的弧相等,所对的弦也相等．（出示课件13）''.AB A B ︵︵即出示课件14：教师问：定理“在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等．”中,可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？学生思考后口答：不可以,如图.师生共同归纳,进一步强化认知：（出示课件15）教师强调：弧、弦与圆心角关系定理的推论（出示课件16,17）在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等．在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的优弧和劣弧分别相等．关系结构图出示课件18：例1 如图,AB是⊙O 的直径,BC=CD=DE.∠COD=35°,求∠AOE 的度数．学生独立思考后,师生共同解决.解：,∴∠=∠=∠，BOC COD DOE=35=∴∠=-⨯75.180335AOE巩固练习：判断正误.（出示课件19）(1)等弦所对的弧相等.（）(2)等弧所对的弦相等.（）(3)圆心角相等,所对的弦相等.（）生思考后口答：⑴×⑵×⑶×出示课件20：例2 如图,在⊙O中,,∠ACB=60°.求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.学生思考交流后,师生共同解答.证明：∴AB=AC,△ABC是等腰三角形.又∵∠ACB=60°,∴△ABC是等边三角形,AB=BC=CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.出示课件21,22：巩固练习：填一填.如图,AB、CD是⊙O的两条弦．（1）如果AB=CD,那么________,________．（2）如果,那么________,__________．（3）如果∠AOB=∠COD,那么__________,_________．（4）如果AB=CD,OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,OE与OF相等吗？为什么？学生观察图形交流后,⑴⑵⑶问口答,⑷问板演：⑴；∠AOB=∠COD；⑵AB=CD；∠AOB=∠COD；⑶；AB=CD；⑷解：OE=OF.∴又＝　,＝AB CD AE CF.＝　≌∴∆∆OA OC AOE COF,Rt Rt.∴=.OE OF（三）课堂练习（出示课件23-27）1.把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开,图中的虚线表示折痕,则∠BOC的度数是（）A．120°B．135°C．150°D．165°2.如果两个圆心角相等,那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D．以上说法都不对3.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于.4.在同圆中,圆心角∠AOB=2∠COD,则AB与CD的关系是（）5.如图,已知AB 、CD 为⊙O 的两条弦,,求证:AB ＝CD.6.如图,在⊙O 中,2∠AOB=∠COD,那么成立吗？CD=2AB 也成立吗？请说明理由；如不是,那它们之间的关系又是什么？参考答案：1.C 解析：如图所示：连接BO,过点O 作OE ⊥AB 于点E,由题意可得：EO=12BO,AB ∥DC, 可得∠EBO=30°,故∠BOD=30°,则∠BOC=150°．2.D3.60°4.A5..AO BO CO DO 连接,,,证明：,∴∠=∠AOD BOC.∴∠∠∠∠+=+AOD BOD BOC BOD.即，∠=∠AOB COD∴=AB CD.6.解：成立,CD=2AB不成立.取的中点E,连接OE.那么∠AOB=∠COE=∠DOE,所以AB⌒=CE⌒=DE⌒.得CD⌒=2AB⌒.CE+DE=2AB,在△CDE中,CE+DE>CD,即CD＜2AB.教师提醒：在同圆或等圆中,由弧相等可推出对应的弦相等；但当弧有倍数关系时,弦不具备此关系.（四）课堂小结通过这堂课的学习,你掌握了哪些基本概念和基本方法?（五）课前预习预习下节课（24.1.4）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：1.本节课学生通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动,得出了圆的中心对称性、圆心角定理及推论,可以发展学生勇于探索的良好习惯,培养动手解决问题的能力.2.本节课中,教师应让学生掌握解题方法,即要证弦相等或弧相等或圆心角相等,可先证其中一组量对应相等.掌握这个解题方法有助于提升学生的抽象思维能力.。

24.1.3 弧、弦、圆心角 - 人教版九年级数学上册教案
一、教学目标
1.掌握弧、弦、圆心角的基本概念、性质及相互关系。

2.能够准确地应用所学知识解决与弧、弦、圆心角相关的问题。

二、教学重点和难点
1.弧、弦、圆心角的概念，包括它们之间的相互关系。

2.如何应用所学知识解决实际问题。

三、教学内容及步骤
1. 弧、弦、圆心角的概念
1.讲解弧、弦、圆心角的概念，并通过示例让学生理解它们之间的相互关系。

2.练习题：请画出如下各图中的弧、弦、圆心角，并标注名称。

2. 弧、弦、圆心角的性质和相互关系
1.讲解弧、弦、圆心角的性质，包括弦长定理、圆心角定理等。

2.通过练习题让学生巩固所学知识。

3. 实际问题的解决
1.通过实际问题的讲解，让学生学会如何应用所学知识解决各类相关问题。

练习题：
1.已知圆O的半径为5cm，弧AB的长度为8cm，求弦AB的长度以及圆心角AOB的度数。

2.如图，圆O的半径为6cm，弦AB的长度为9cm，求圆心角AOB的度数。

四、教学反思
通过本节课的学习，学生们对弧、弦、圆心角的概念及性质有了更深的认识，并学会了如何应用所学知识解决实际问题。

教学效果良好，达到了预期教学目标。

新人教版九年级数学上册24.1.3 弧、弦、圆心角导学案学习目标：理解弧、弦、圆心角之间的关系， 并运用这些关系解决有关的问题. 重难点：弧、弦、圆心角之间的关系的定理及应用. 学习过程： 一、预习导学1.圆是轴对称图形，其对称轴是 ； 圆还是 对称图形，其对称中心是 .2.圆绕 旋转 都可以与自身重合， 由此可得： 圆具有 ． 二、学习研讨1.圆心角： 顶点在 的角，叫做圆心角.2.探究：(1)如图，⊙O 中，AOB A OB ∠=∠'',则 _____ AB ______A B ''. 归纳：. 思考：能否把定理中的“在同圆或等圆中”去掉吗？为什么？则_____AOB A OB ∠∠''，AB ______A B ''. (2)如图，⊙O 中，归纳：.(3)如图，⊙O 中，AB A B =''，则_____AOB A OB ∠∠''，综上，可把以上三个结论用一句话来概括：判断：(打“√”或“×”)1.相等的圆心角所对的弧相等. ( )简记A′B′oABA BA 'B '=A 'B 'A B A 'B 'A BODCABCBAO2.顶点在圆上的角叫圆心角. ( )3.相等的弦所对的弧相等. ( )4.等弧所对的弦相等. ( )5.弦相等则所对的圆心角相等. ( ) 三、新知运用 例 如图，在⊙O 中,,∠ACB=60°求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.练习：如图，在⊙O 中，AD=BC,比较AB 与CD 的长度，并证明你的结论.学后反思：简记=A C A B。

图2 图3C图1 24.1.3 弧、弦、圆心角导学案一、自主学习：1.圆（填“是”或“不是”）中心对称图形，若是，它的对称中心在哪里？2.把圆绕圆心旋转角度后，仍与原来的圆重合．把圆的这个性质叫圆的旋转不变性.3. 的角叫做圆心角．若把圆的圆心角等分成360 份，则每一份的圆心角是，同时整个圆也被分成了360 份，每一份这样的弧叫做的弧。

由此可得圆心角的性质：圆心角的度数和它所对弧的度数.例如，图1中，若∠AOB=50°，则AB的度数为，BC的度数为4.如图2，①∠AOB所对的弧为，所对的弦为；②AB所对的圆心角为，所对的弦为；③弦AB所对的圆心角为，所对的弧为.5.阅读教材83—84页，思考：①教材中是如何证明“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”的？（1）如图3所示的⊙O中，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？（2）类比（1），当AB=A'B'时，能得到哪些等量关系？若AB=A'B'呢？②教材84页的三个定理表述上有什么不同？为什么不说“在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等”呢？③为什么要强调“在同圆或等圆中”？你能画图说明吗？④如何用数学符号语言表示“弧、弦、圆心角之间的关系”？二、练习作业：1．如图，AB、CE是⊙O的直径，∠COD=60°，且弧AD=弧BC，那么与∠AOE相等的角有，与∠AOC相等的角有_________．2．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为________．3．弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是________，弦所对的圆心角是_____．4．如图，AB为圆O的直径，弧BD=弧BC，∠A=25°，则∠BOD=______．5．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，M、N分别为AB、CD的中点，且∠AMN=∠CNM，AB=6，则CD=_______．6．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为_________．7．如图，已知C为弧AB的中点，OA⊥CD于M，CN⊥OB于N，若OA=r，ON=a，则CD=_ _ __．8．如果两条弦相等，那么（）A．这两条弦所对的弧相等B．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦的弦心距相等D．以上答案都不对9．如图，在圆O中，直径MN⊥AB，垂足为C，则下列结论中错误的是（）A．AC=BC B．弧AN=弧BN C．弧AM=弧BM D．OC=CN10．在⊙O中，圆心角∠AOB=90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径的长为（）A．42B．82C．24 D．1611. 在半径为2cm的⊙O中有长为2cm的弦AB，则弦AB所对的圆心角为（）A．60°B．90°C．120°D．150°12.如图，在半径为2cm的⊙O内有长为23cm的弦AB，则此弦所对的圆心角∠AOB为（）A．60°B．90°C．120°D．150°13．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立．．．．．的是（）A．∠COE=∠DOE B．CE=DE C．OE=BE D．弧BD=弧BC14．如图，在△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三边所得的弦长相等，∠BOC=（）A．140°B．135°C．130°D．125°ONCA B第9题第12题OA BAEBOC D第13题OB第14题。

弧弦圆心角教案教案内容：一、教学内容本节课的教学内容来自人教版初中数学九年级上册第17章“圆”，具体是第1节“弧、弦、圆心角”。

本节课主要讲解弧、弦、圆心角的定义及它们之间的关系。

二、教学目标1. 理解弧、弦、圆心角的定义，掌握它们之间的关系。

2. 能够运用弧、弦、圆心角的知识解决实际问题。

3. 培养学生的观察能力、思考能力和动手操作能力。

三、教学难点与重点重点：弧、弦、圆心角的定义及它们之间的关系。

难点：如何运用弧、弦、圆心角的知识解决实际问题。

四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、圆规、直尺、量角器。

学具：每人一份弧、弦、圆心角的模型，一份练习题。

五、教学过程1. 情景引入：教师展示一个圆形，引导学生观察并思考：圆上有哪些特殊的点？特殊的线段？特殊的角？2. 讲解弧、弦、圆心角的定义：教师用粉笔在黑板上画出弧、弦、圆心角的模型，并讲解它们的定义。

3. 实践操作：学生分组讨论，用量角器、圆规等工具测量弧、弦、圆心角的大小，并记录下来。

4. 例题讲解：教师选择一道关于弧、弦、圆心角的例题，引导学生思考解题思路，并讲解解题步骤。

5. 随堂练习：学生独立完成练习题，教师巡回指导。

7. 作业布置：教师布置一道关于弧、弦、圆心角的作业，要求学生独立完成，并提交答案。

六、板书设计板书内容：弧、弦、圆心角的定义弧：圆上任意两点间的部分。

弦：圆上任意两点间的线段。

圆心角：以圆心为顶点的角。

七、作业设计作业题目：1. 请根据下列图形，计算圆心角∠ACB的大小。

答案：圆心角∠ACB的大小为90°。

八、课后反思及拓展延伸课后反思：1. 本节课学生对弧、弦、圆心角的定义及它们之间的关系有了初步的了解。

2. 学生在实践操作中掌握了测量弧、弦、圆心角的方法。

3. 学生在例题讲解和随堂练习中能够运用弧、弦、圆心角的知识解决问题。

拓展延伸：1. 研究弧、弦、圆心角在圆周角定理中的作用。

2. 探索弧、弦、圆心角在圆的内接四边形中的性质。

24.1.3 弧、弦、圆心角1. 通过学习圆的旋转性，理解圆的弧、弦、圆心角之间的关系．2. 运用上述三者之间的关系来计算或证明有关问题．重点：圆的弧、弦、圆心角之间的关系定理．难点：探索推导定理及其应用．一、自学指导．自学：自学教材P 83～84内容，回答下列问题．探究：1．顶点在__圆心__的角叫做圆心角，能够重合的圆叫做__等圆__；能够__重合__的弧叫做等弧；圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的图形重合，这就是圆的__旋转性__．2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相等__，所对的弦也__相等__．3．在同圆或等圆中，两个__圆心角__，两条__弦__，两条__弧__中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4．在⊙O 中，AB ，CD 是两条弦，(1)如果AB ＝CD ，那么__AB ︵＝CD ︵，__∠AOB ＝∠COD__；(2)如果AB ︵＝CD ︵，那么__AB ＝CD__，__∠AOB ＝∠COD ；(3)如果∠AOB ＝∠COD ，那么__AB ＝CD__，AB ︵＝CD ︵__．二、自学检测：1．如图，AD 是⊙O 的直径，AB ＝AC ，∠CAB ＝120°，根据以上条件写出三个正确结论．(半径相等除外)(1)__△ACO_≌_△ABO__；(2)__AD 垂直平分BC__；(3)AB ︵＝AC ︵.2．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝60°，求证：∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC.证明：∵AB ︵＝AC ︵，∴AB ＝AC.又∵∠ACB ＝60°，∴△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ，∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC.,第2题图),第3题图)3．如图，(1)已知AD ︵＝BC ︵.求证：AB ＝CD.(2)如果AD ＝BC ，求证：DC ︵＝AB ︵.证明：(1)∵AD ︵＝BC ︵，∴AD ︵＋AC ︵＝BC ︵＋AC ︵，∴DC ︵＝AB ︵，∴AB ＝CD.(2)∵AD ＝BC ，∴AD ︵＝BC ︵，∴AD ︵＋AC ︵＝BC ︵＋AC ︵，即DC ︵＝AB ︵.一、小组合作：1．⊙O 中，一条弦AB 所对的劣弧为圆周的14，则弦AB 所对的圆心角为__90°__．点拨精讲：整个圆周所对的圆心角即以圆心为顶点的周角．2．在半径为2的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离为1，则弦AB 所对的圆心角的度数为__120°__．3．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝75°，求∠BAC 的度数．解：30°.,第3题图),第4题图)4．如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，且AB 与CD 不平行，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，AB ＝CD ，那么∠AMN 与∠CNM 的大小关系是什么？为什么？点拨精讲：(1)OM ，ON 具备垂径定理推论的条件．(2)同圆或等圆中，等弦的弦心距也相等．解：∠AMN ＝∠CNM.∵AB ＝CD ，M ，N 为AB ，CD 中点，∴OM ＝ON ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，∴∠OMA ＝∠ONC ，∠OMN ＝∠ONM ，∴∠OMA －∠OMN ＝∠ONC －∠ONM.即∠AMN ＝∠CNM.二、跟踪练习：1．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝35°，求∠AOE 的度数．解：75°.,第1题图) ,第2题图)2．如图所示，CD 为⊙O 的弦，在CD 上截取CE ＝DF ，连接OE ，OF ，它们的延长线交⊙O 于点A ，B.(1)试判断△OEF 的形状，并说明理由；(2)求证：AC ︵＝BD ︵.解：(1)△OEF 为等腰三角形．理由：过点O 作OG ⊥CD 于点G ，则CG ＝DG .∵CE ＝DF ，∴CG －CE ＝DG －DF.∴EG ＝FG .∵OG ⊥CD ，∴OG 为线段EF 的垂直平分线．∴OE ＝OF ，∴△OEF 为等腰三角形．(2)证明：连接AC ，BD.由(1)知OE ＝OF ，又∵OA ＝OB ，∴AE ＝BF ，∠OEF ＝∠OFE.∵∠CEA ＝∠OEF ，∠DFB ＝∠OFE ，∴∠CEA ＝∠DFB.在△CEA 与△DFB 中，AE ＝BF ，∠CEA ＝∠BFD ，CE ＝DF ，∴△CEA ≌△DFB ，∴AC ＝BD ，∴AC ︵＝BD ︵.点拨精讲：(1)过圆心作垂径；(2)连接AC ，BD ，通过证弦相等来证弧相等．师生总结本堂课的收获．圆心角定理是圆中证弧相等、弦相等、圆心角相等的常用方法．使用本课时对应训练部分．。

人教版数学九年级上册教学设计24.1.3《弧、弦、圆心角》一. 教材分析《弧、弦、圆心角》是人教版数学九年级上册第24章的一部分，主要介绍了圆的基本概念和性质。

这一节内容通过讲解弧、弦和圆心角的关系，使学生掌握圆的性质和圆心角、弧、弦之间的联系。

教材以生活中的实例引入，激发学生的学习兴趣，接着通过观察、操作、推理等过程，让学生在实践中掌握知识。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对图形有了一定的认识。

他们在学习本节课的内容时，需要将已有的知识与新的知识相结合，理解圆心角、弧、弦之间的关系。

同时，学生需要具备观察、操作、推理的能力，通过实践来验证圆的性质。

三. 教学目标1.理解圆心角、弧、弦的概念及它们之间的关系。

2.掌握圆的性质，能运用圆的性质解决实际问题。

3.培养学生的观察能力、操作能力和推理能力。

四. 教学重难点1.重点：圆心角、弧、弦的概念及它们之间的关系。

2.难点：圆的性质的证明和应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过观察、操作、推理来探究圆的性质。

2.运用实例引入，激发学生的学习兴趣。

3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.准备相关教学图片和实例，用于导入和讲解。

2.准备圆规、直尺等学具，让学生动手操作。

3.准备练习题和拓展题，用于巩固和拓展知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示生活中的圆形物体，如自行车轮、地球等，引导学生关注圆的形状。

提问：“你们知道这些物体为什么是圆形的吗？”让学生思考圆的特性。

2.呈现（10分钟）介绍圆心角、弧、弦的概念，并用图片和实物进行展示。

讲解圆心角、弧、弦之间的关系，引导学生理解圆的性质。

3.操练（10分钟）让学生分组，利用圆规、直尺等学具，自己画出一个圆，并尝试找出圆心角、弧、弦。

各小组汇报结果，教师点评并讲解。

4.巩固（10分钟）出示一组练习题，让学生独立完成。

题目包括判断题、选择题和填空题，涵盖圆心角、弧、弦的概念和性质。

24.1.3弧、弦、圆心角●情景导入(1)观察图片，我们会发现圆绕着圆心旋转任意一个角度，所得的图形与原图形重合．(2)如图①，∠AOB的顶点在圆心上，我们把顶点在圆心的角叫做圆心角．(3)如图②，连接AB，圆心角∠AOB所对的弦为弦AB，所对的弧为AB，那么圆心角与它所对的弧、弦这三个量之间有什么关系呢？【教学与建议】教学：通过实验操作，探索圆的旋转不变性与“如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧、弦是不是相等”，激发学生的学习兴趣．建议：尽量让学生自己动手操作，引导学生得出等量关系．●归纳导入(1)圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？【归纳】圆是中心对称图形，对称中心是O点．(2)如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，我们发现∠AOB__＝__∠A′OB′，弦AB__＝__A′B′，AB__＝__A′B′.【教学与建议】教学：通过归纳中心对称图形的定义，引入圆这个中心对称图形和圆的旋转性质，得出圆心角、弧、弦之间的关系．建议：让学生操作试验，得出圆心角、弧、弦的等量关系．命题角度1利用弧、弦、圆心角之间的关系进行计算在同圆或等圆中，两个相等圆心角，它们所对的弧、弦、弦心距对应相等．【例1】(1)如图，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是(D)A．CE＝DE B．BC＝BDC．∠BAC＝∠BAD D．AC＞AD[第（1）题图][第（2）题图](2)如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M，N，BA，DC的延长线交于点P.连接OP.下列四个说法中：①AB＝CD；②OM＝ON；③PB＝PD；④∠BPO＝∠DPO，其中正确的是__①②③④__．(填序号)命题角度2利用弧、弦、圆心角之间的关系进行证明在同圆或等圆中，利用弧、弦、圆心角之间的关系定理证明圆心角、弧、弦相等.【例2】(1)如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BD∥OC.求证：AC＝CD.证明：∵OB＝OD，∴∠D＝∠B.∵BD∥OC，∴∠D＝∠COD，∠AOC＝∠B，∴∠AOC＝∠COD，∴AC＝CD.(2)如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，且OD∥BC.求证：AD＝DC.证明：如图，连接OC.∵OD∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠3.又∵OB＝OC，∴∠B＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DC.高效课堂教学设计1．能识别圆心角．2．探索并掌握弧、弦、圆心角的关系，了解圆的中心对称性和旋转不变性．3．能用弧、弦、圆心角的关系解决圆中的计算题、证明题．▲重点探索圆心角、弧、弦之间的关系定理并利用其解决相关问题．▲难点圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆中”条件的理解及定理的证明．◆活动1新课导入1．你能举出生活中的圆形商标的实例吗？(至少三个)宝马车商标：星巴克标志：曼秀雷敦标志：2．把这些圆形图案绕圆心旋转一定的角度，你有什么发现？旋转前后圆中的弧、弦会有变化吗？答：图案绕圆心旋转一定的角度后能与自身重合，旋转前后圆中的弧、弦不会有变化．◆活动2探究新知1．材料P83探究．提出问题：(1)把圆绕圆心旋转180°，所得图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论？(2)圆是中心对称图形吗？对称中心是什么？(3)把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得图形与原图形重合吗？学生完成并交流展示．2．教材P84思考．提出问题：(1)我们把∠AOB连同AB绕圆心O旋转，使OA与OA′重合，旋转前后你能发现哪些等量关系？(2)若∠AOB和∠A′OB′分别在两个相等的圆中，上述等量关系还存在吗？(3)总结你所发现的规律；(4)反过来，在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角、所对的弦有什么关系？如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角、所对的弧有什么关系？◆活动3知识归纳1．顶点在__圆心__的角叫做圆心角，能够重合的圆叫做__等圆__；能够__重合__的弧叫做等弧；圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的的图形重合，这就是圆的__旋转不变__性．2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相等__，所对的弦也__相等__．3．在同圆或等圆中，两个__圆心角__，两条__弦__，两条__弧__中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．◆活动4例题与练习例1教材P84例3.例2下列说法正确吗？为什么？(1)如图，因为∠AOB＝∠A′OB′，所以AB＝A′B′；(2)在⊙O和⊙O′中，如果弦AB＝A′B′，那么AB＝A′B′.解：(1)(2)都是不对的．在图中，因为不在同圆或等圆中，不能用定理．对于(2)也缺少了等圆的条件．例3如图，AD＝BC.求证：AB＝CD.证明：∵AD＝BC，∴AD＝BC.∵AC＝AC，∴AC＋AD＝AC＋BC.∴DC＝AB.∴AB＝CD.练习1．教材P85练习第1，2题．2．如图，在⊙O中，已知弦AB＝DE，OC⊥AB，OF⊥DE，垂足分别为C，F，则下列说法中正确的有(D)①∠DOE＝∠AOB；②AB＝DE；③OF＝OC；④AC＝EF.A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，AB是⊙O的直径，AC＝CD，∠COD＝60°.(1)△AOC是等边三角形吗？请说明理由；(2)求证：OC∥BD.解：(1)△AOC是等边三角形．理由如下：∵AC＝CD，∴∠AOC＝∠COD＝60°.又∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形；(2)∵AC＝CD，∴OC⊥AD.∵∠AOC＝∠COD＝60°，∴∠BOD＝180°－(∠AOC＋∠COD)＝60°.∵OD＝OB，∴△ODB为等边三角形．∴∠ODB＝60°，∴∠ODB＝∠COD＝60°，∴OC∥BD.◆活动5课堂小结弧、弦、圆心角之间的关系是证明圆中等弧、等弦、等圆心角的常用方法．1．作业布置(1)教材P89习题24.1第2，3题；(2)对应课时练习．2．教学反思。

人教版九年级数学上册导学案第二十四章圆24.1.3 弧、弦、圆心角【学习目标】1.理解圆心角的概念和圆的旋转不变性，会辨析圆心角。

2.掌握在同圆或等圆中，圆心角与其所对的弦、弧之间的关系，并能应用此关系的证明和计算。

3.能利用圆心角、弦、弧之间的关系解决有关问题。

【课前预习】1．在半径为1的弦所对的弧的度数为（）A．90°B．145度C．90°或270°D．270度或145度2．一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（）A．2.5 cm或6.5 cm B．2.5 cm C．6.5 cm D．5 cm或13cm3．下列命题①若a＞b，则am²＞bm²②相等的圆心角所对的弧相等③各边都相等的多边形是正多边形是±4．其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．34．若AB和CD的度数相等，则下列命题中正确的是（）A．AB=CD B．AB和CD的长度相等C．AB所对的弦和CD所对的弦相等D．AB所对的圆心角与CD所对的圆心角相等5．下列说法中错误的有（）①过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧；②弦的垂线平分它所对的两条弧；③过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧；④平分不是直径的弦的直径平分弦所对的两条弧．A．1个B．2个C．3个D．4个6．下列说法错误的是（）A．垂直于弦的直径平分这条弦B．平分弦的直径垂直于这条弦C．弦的垂直平分线经过圆心D．同圆或等园中相等的弧所对的圆周角相等7．下列命题正确的是（ ）A ．点(1,3)关于x 轴的对称点是(1,3)-B ．函数23y x =-+中，y 随x 的增大而增大C ．若一组数据3，x ，4，5，6的众数是3，则中位数是3D ．同圆中的两条平行弦所夹的弧相等8．如图，扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，半径6,OA C =是AB 的中点，//CD OA ，交AB 于点D ，则CD 的长为（）A ．2BC ．2D ．69．如图，△ABC 中，AB=5，AC=4，BC=2，以A 为圆心AB 为半径作圆A ，延长BC 交圆A 于点D ，则CD 长为（）A ．5B ．4C ．92 D ．10．如图，弧 AB 等于弧CD ，OE AB ⊥于点E ，OF CD ⊥于点F ，下列结论中错误．．的是（ ）A ．OE=OFB ．AB=CDC ．∠AOB =∠COD D ．OE ＞OF【学习探究】自主学习阅读课本，完成下列问题1、填空：（1）圆心角的概念：顶点在_______的角叫做圆心角。

弧、弦、圆⼼⾓（教案、导学案）24.1.3 弧、弦、圆⼼⾓【知识与技能】1.理解圆⼼⾓概念和圆的旋转不变性.2.掌握在同圆或等圆中，圆⼼⾓、弧、弦之间的关系，以及它们在解题过程中的应⽤.【过程与⽅法】通过学⽣动⼿或计算机演⽰使学⽣感受圆的旋转不变性，发展学⽣的观察分析能⼒.【情感态度】培养学⽣勇于探索的良好习惯，激发学⽣探究，发现数学问题的兴趣.【教学重点】圆⼼⾓、弧、弦之间的关系，并能运⽤此关系进⾏有关计算和证明.【教学难点】理解圆的旋转不变性和定理推论的应⽤.⼀、情境导⼊，初步认识汽车能正常⾏驶（其他情况正常）得益于车轮；⽽车轮⼜是具有什么性质才具有如此奇妙的作⽤呢？教师拿出做好的教具，在纸上画下任意圆，任意画出两条半径，构成⼀个顶点在圆⼼上的⾓α，将这个圆绕圆⼼O旋转任意⾓度α，你会发现什么？像α这样，顶点在圆⼼上的⾓叫圆⼼⾓.这节课我们将要研究与它有关的⼀些定理，引⼊课题.⼆、思考探究，获取新知1.圆的旋转不变性由上述探究活动中，我们不难发现：围绕圆⼼O旋转任意⾓度α，都能与原来的图形重合，所以圆是中⼼对称图形，并且具有旋转不变的特征.这也是车轮具有的特征，所以汽车才能正常⾏驶.2.弧、弦、圆⼼⾓之间的关系探究如图，将圆⼼⾓∠AOB绕圆⼼O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系，为什么？【教学说明】让学⽣利⽤学具动⼿演⽰，观察，思考，同学之间合作交流，并归纳总结.教师提问⼏位学⽣代表回答他们发现的等量关系，教师同时在⿊板上写出他们的结论.=''AB=A′B′【归纳结论】AB A B∴由圆的旋转不变性可得出下⾯的定理：在同圆或等圆中，相等的圆⼼⾓所对的弧相等，所对的弦也相同.议⼀议（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆⼼⾓相等吗？所对的弦相等吗？（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆⼼⾓相等吗？所对的弧相等吗？【教学说明】学⽣利⽤学具，结合圆的旋转不变性，很容易得出结论.这两个问题是为了使学⽣深切体会，圆⼼⾓、弧、弦三者在同圆或等圆中之间存在的关系.推论：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆⼼⾓相等，所对的弦也相等.在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆⼼⾓相等，所对的弧也相等.请同学们根据图形给出定理及其推论的符号语⾔.【教学说明】培养学⽣⽤符号语⾔表⽰结论，发展学⽣⽤符号语⾔说理的能⼒.由此可总结为：在同圆或等圆中，圆⼼⾓相等弧相等弦相等.3.圆⼼⾓、弧、弦定理及推论的应⽤例1如图，在⊙O中，AB=AC，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.分析：在⊙O中，要使圆⼼⾓相等，可通过证明圆⼼⾓所对的弦或弧相等解题.证明：∵AB=AC，∴AB=AC，△ABC是等腰三⾓形.⼜∠ACB=60°，∴△ABC是等边三⾓形，AB=BC=CA.∴∠AOB=∠BOC=∠AOC.例2如图所⽰，以ABCD的顶点A为圆⼼，AB为半径作⊙A，分别交BC、AD于E、F两点，交BA的延长线于G，判断EF和FG是否相等，并说明理由.证明：如图.连接AE，∵在ABCD中，AD∥BC，∴∠1=∠2，∠3=∠4⼜∵在⊙A中，AB=AE，∴∠2=∠3，∴∠1=∠4∴EF=FG（在同圆或等圆中，相等的圆⼼⾓所对的弧相等）【教学说明】巩固定理内容，加深对定理的理解，初步应⽤定理解决问题，培养学⽣的逻辑推理能⼒及运⽤知识的能⼒.三、运⽤新知，深化理解1.观察下列选项中的图形及推理，其中正确的是：∵∠AOB=∠A′OB′∵AD=BC∴AB=A′B′∴AB=CD（1）（2）∵∠AOC=∠BOC∴AD=BC（3）2.如图所⽰，C、D为半圆O的三等分点，AB为直径，则下列说法正确的有个.①AD=CD=BC②∠AOD=∠DOC=∠BOC③四边形ADCO为菱形【教学说明】这两道题要求学⽣当堂完成，学⽣独⽴思考并回答问题，教师作点评，要强调定理及推论的应⽤范围，以及对应量之间的关系.对回答好的同学及时给予⿎励表扬，增强学习数学的信⼼和热情.【答案】 1.（2） 2.3四、师⽣互动，课堂⼩结通过这堂课的学习，你掌握了哪些基本概念和基本⽅法?如圆⼼⾓的概念，弧、弦、圆⼼⾓三者之间的关系等，试着与同伴交流.【教学说明】先让学⽣对上述问题进⾏回顾与思考，完善知识体系，教师再进⾏补充说明.1.布置作业：从教材“习题24.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.1.本节课学⽣通过观察、⽐较、操作、推理、归纳等活动，得出了圆的中⼼对称性、圆⼼⾓定理及推论，可以发展学⽣勇于探索的良好习惯，培养动⼿解决问题的能⼒.2.本节课中，教师应让学⽣掌握解题⽅法，即要证弦相等或弧相等或圆⼼⾓相等，可先证其中⼀组量对应相等.掌握这个解题⽅法有助于提升学⽣的抽象思维能⼒.24.1.3 弧、弦、圆⼼⾓⼀、新课导⼊1.导⼊课题：问题1：圆是中⼼对称图形吗？它的对称中⼼在哪⾥？问题2：把圆绕着圆⼼旋转⼀个任意⾓度，旋转之后的图形还能与原图形重合吗？这节课我们利⽤圆的任意旋转不变性来探究圆的另⼀个重要定理.(板书课题)2.学习⽬标：(1)知道圆是中⼼对称图形，并且具有任意旋转不变性.(2)知道什么样的⾓是圆⼼⾓，探究并得出弧、弦、圆⼼⾓的关系定理.(3)初步学会运⽤弧、弦、圆⼼⾓定理解决⼀些简单的问题.3.学习重、难点：重点：弧、弦、圆⼼⾓关系定理.难点：探究并证明弧、弦、圆⼼⾓关系定理.⼆、分层学习1.⾃学指导：(1)⾃学内容：教材第83页⾄第84页例3之前的内容.(2)⾃学时间：8分钟.(3)⾃学⽅法：完成探究提纲.(4)探究参考提纲：①剪⼀个圆形纸⽚，把它绕圆⼼旋转180°和任意⾓度，观察旋转前后的两个图形是否重合，并填空：圆是中⼼对称图形，圆⼼是它的对称中⼼；把圆绕着圆⼼旋转任意⼀个⾓度，旋转之后的图形都与原图形重合.②顶点在圆⼼的⾓叫做圆⼼⾓.重合④结论：在在同圆或等圆中，两个圆⼼⾓、两条弧、两条弦中如果有⼀组量相等，则它们所对应的其余各组量都相等.2.⾃学：学⽣结合⾃学指导进⾏⾃学.3.助学：(1)师助⽣：①明了学情：观察学⽣能否在提纲的指导下顺利完成整个探究活动.②差异指导：根据学情进⾏个别指导或分类指导.(2)⽣助⽣：⼩组内相互交流、研讨.4.强化：(1)弧、弦、圆⼼⾓关系定理，尤其是定理成⽴的前提条件是“在同圆或等圆中”.(2)该定理可以实现⾓、线段(弦)、弧的相互转换.(3)练习：如图，AB,CD是⊙O的两条弦.解：相等.理由：∵OE⊥AB,OF⊥CD，由垂径定理得AE=BE=AB，CF=DF=CD.⼜AB=CD,∴AE=CF.在Rt△AOE和Rt△COF中，OA=OC,AE=CF,∴Rt△AOE≌Rt△COF，∴OE=OF.1.⾃学指导：(1)⾃学内容：教材第84页例3.(2)⾃学时间：3分钟.(3)⾃学⽅法：阅读理解，推理论证.(4)⾃学参考提纲：它们所对的弦AB=BC=AC，或证明它们都是120°.b.在每⼀步后⾯填上相应的依据:证明：∴AB=AC(在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的弦相等).⼜∠ACB=60°，∴△ABC是等边三⾓形(有⼀个⾓是60°的等腰三⾓形是等边三⾓形).即AB=BC=AC，∴∠AOB=∠BOC=∠AOC(在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆⼼⾓相等).c. 你还有其他的证法吗？∴AB＝AC. ⼜∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三⾓形.易证△AOB≌△BOC≌△AOC,∴∠AOB=∠BOC=∠AOC.2.⾃学：学⽣结合⾃学指导进⾏⾃学.3.助学：(1)师助⽣：①明了学情：观察学⽣是否会⽤定理实现⾓、线段、弧的转换.②差异指导：看图逐步适应从直线到曲线的过渡.(2)⽣助⽣：⼩组内相互交流、研讨.4.强化：弧、弦、圆⼼⾓的关系定理是证弧等、弦等、⾓等的常⽤定理.三、评价1.学⽣的⾃我评价(围绕三维⽬标)：这节课你学到了哪些知识？还存在哪些疑惑？2.教师对学⽣的评价：(1)表现性评价：点评学⽣的学习态度、积极性，⼩组合作情况、存在的问题等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的⾃我评价(教学反思)：(1)本节课学⽣通过观察、⽐较、操作、推理、归纳等活动，得出了圆的中⼼对称性、圆⼼⾓定理及推论，可以发展学⽣勇于探究的良好习惯，培养动⼿解决问题的能⼒.(2)本节课中，教师应让学⽣掌握解题⽅法，即要证弦相等或弧相等或圆⼼⾓相等，可先证其中⼀组量对应相等.掌握这个解题⽅法有助于提升学⽣的抽象思维能⼒.(时间：12分钟满分：100分)⼀、基础巩固(70分)A．36°B．72°C．108°D．48°2.(15分)如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是半圆上两个三等分点，则∠COD=60°.3.(15分)如图，在⊙O中，点C是的中点，∠A=50°，则∠BOC=40°．⼆、综合应⽤(20分)6. (20分)如图，A,B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C的中点，求证：四边形OACB是菱形.证明：∵C是AB的中点，∴AC=BC，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°.⼜∵OA=OC=OB,∴△AOC与△BOC是等边三⾓形.∴∠A=60°.⼜∠AOB=120°,∴AC∥OB.∵AC=OC=OB,∴四边形OACB是平⾏四边形.⼜OA=AC,∴四边形OACB是菱形.三、拓展延伸(10分)7.(10分)如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD．(1)求证：△AEC≌△DEB；(2)点B与点C关于直线OE对称吗？试说明理由．(2)解：对称.理由：连接OB、OC. 则OB=OC. 由(1)知BE=CE，连接BC，则OE垂直平分BC.∴点B与点C关于直线OE对称.。

人教版数学九年级上册《24.1.3弧、弦、圆心角》教学设计1一. 教材分析《24.1.3弧、弦、圆心角》是人教版数学九年级上册的一章，主要介绍了圆的基本概念和性质。

本章内容是学生在学习了直线、圆等基础知识后的进一步拓展，对于学生理解和掌握圆的相关知识具有重要意义。

本节课的内容包括弧、弦、圆心角的定义及其关系，通过学习，学生能够理解弧、弦、圆心角的含义，掌握它们之间的相互关系，并能运用这些知识解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对直线、圆等概念有一定的了解。

但是，对于弧、弦、圆心角这些概念，学生可能还比较陌生，需要通过实例和练习来逐渐理解和掌握。

同时，学生在这个年龄段好奇心强，善于接受新知识，但同时也可能存在一定的难度，因此需要教师在教学过程中注重启发引导，激发学生的学习兴趣，帮助他们理解和掌握知识。

三. 教学目标1.知识与技能目标：通过学习，使学生了解弧、弦、圆心角的定义及其关系，能够运用这些知识解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养他们积极思考、合作交流的良好学习习惯。

四. 教学重难点1.重点：弧、弦、圆心角的定义及其关系。

2.难点：理解和运用弧、弦、圆心角之间的关系解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实例和图片，引导学生观察和思考，激发学生的学习兴趣。

2.问题驱动法：提出问题，引导学生思考和讨论，培养学生的解决问题的能力。

3.合作学习法：小组讨论，共同解决问题，培养学生的团队合作意识。

六. 教学准备1.准备相关实例和图片，用于引导学生观察和思考。

2.准备练习题，用于巩固所学知识。

3.准备课件，用于辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例和图片，引导学生观察和思考，引出弧、弦、圆心角的概念。

2.呈现（10分钟）讲解弧、弦、圆心角的定义及其关系，通过动画和实物模型演示，帮助学生理解和掌握。

'最新人教版九年级数学上册《弧、弦、圆心角》导学案一、学习目标：1．理解圆心角的概念，掌握圆的旋转不变性（中心对称性）；2．掌握弧、弦、圆心角之间的相等关系定理及推论，并初步学会运用这些关系进行有关的计算和证明.二、设问导读：阅读课本P83-84完成下列问题： 知识点.弧、弦、圆心角的关系（难点） ☆ 圆心角：顶角在______的角叫做圆心角.☆ 圆的中心对称性：圆既是轴对称图形，又是______ 对称图形，它的对称中心是 ______.3.（1）如图1所示的⊙O 中，将圆心角∠AOB 旋转到∠A ′OB ′的位置，你发现的等量关系是___________________. （2）在等圆中，是否也能得到类似的结论？把你的想法展示给大家.（如图2）B'A '2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的________相等，所对的______也相等.如果去掉“在同圆或等圆中”结论还成立吗？为什么？举例说明.3. 同样，还可以得到以下结论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角______，•所对的弦也_______．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角______，•所对的弧也______.4.阅读课本例题1，并说明每一步的理由. 三、自学检测：1.课本P85页练习1（直接填在书上） 2．如果两个圆心角相等，那么这两个圆心角（ ）A ．所对的弦相等B ．所对的弧相等 C. 所对的弦的弦心距（圆心到弦的距离）相等 D ．以上说法都不对3.如图4，AB 是 ⊙O 的直径，C,D 是 BE上的三等分点，∠AOE=60°则 ∠COE 是（ ） A ． 40° B. 60°C. 80°D. 120 °O EDC BA （图4）图54.一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的圆心角是_________．5.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD ，则两条弧 AB 与 CD 关系是（ ） A ． AB =2 CD B ． AB > CD C ． AB <2 CDD ．不能确定 四、巩固训练：1．如图5，⊙O 中，如果 AB =2 AC ，那么（ ）． A ．AB=2AC B ．AB=AC C ．AB<2AC D ．AB>2AC2.如图6，AB 是⊙O 的直径.(1)若OD ∥AC ， CD与 BD 的大小有什么关系？为什么？图6(2)把(1)中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由.4.如图7，∠AOB=90°，C ，D 是 AB 的三等分点，AB 分别交OC ，OD 于点E ，F. 求证：AE=BF=CD ．五、拓展延伸：如图8所示，点A 是半圆上的一个三等分点，B 是劣弧的中点，点P 是直径MN 上的一个动点，⊙O 的半径为1，则AP+PB 的最小值( )．图8图7O。

24.1.3《弧、弦、圆心角》教案教材分析本节内容主要研究的是弧、弦、圆心角的关系的推导和应用.它是在学生学习了圆的有关概念和性质后学习的，是以后学习圆周角的重要基础，同时也具有培养学生逐渐养成严密的逻辑推理能力的功能.学情分析九年级学生的心理特点是形象思维大于抽象思维和认知规律从特殊到一般.结合学生实际学习情况（已较学习了圆的相关概念和性质）进行本课设计的.从引入时实物圆的构成元素的启发引导，到弧、弦、圆心角三个量的关系的学生自主探索，再到学生与学生之间的合作交流学习，都要突出学生是探索性学习活动的主体是否能充分发挥学生自主学习、探究能力的关键.教学目标知识技能1．通过观察和实验，使学生了解圆心角的概念；2．掌握圆心角定理及其推论，并应用定理和推论解决问题；3. 感悟数学思想过程与方法1．经历用圆心角和旋转的知识探索的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．情感态度1．结合本节课特点，让学生了解数学的价值，激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望．教学重点在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦也相等及其两个推论和它们的应用．教学难点探索定理和推论，以及它们的应用．教学准备与教学媒体学案、多媒体课件、教具、人教版九年级数学课本教法及学法自主、合作、探究、体验式教学法教学过程设计教学环节教学活动师生活动设计意图环节1情境引入环节2探究新知活动1：播放古老水车保稻田的视频，利用水车引入圆的有关概念和性质．1、圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.2、圆心角所对的弧和所对的弦；3、圆的性质：圆是中心对称图形，圆具有旋转不变性.活动2：探究：任意给圆心角，对应出现三个量：圆心角，圆心角所对的弦和所对的弧，这三个量之间会有什么关系呢？（出示思考题，演示教具）思考：如图，⊙O（及⊙O1和⊙O2）中，当圆心角∠AOB•和∠A•′OB•′相等时，它们所对的弧AB和''A B、弦AB和弦A′B′有怎样的数量关系？为什么？AB=''A B，AB=A′B′理由：∵半径OA与O′A′重合，且∠AOB=∠A′OB′∴半径OB与OB′重合∵点A与点A′重合，点B与点B′重合∴AB与''A B重合，弦AB与弦A′B′重合∴AB=''A B，AB=A′B′因此，在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．播放古老水车保稻田的视频，出示水车图片，学生回答在水车上看到那些圆的基本元素.教师出示思考题，并演示教具学生思考，合作讨论,教师点名回答问题.通过观看视频，感受中国人民在生产实践中表现出的聪明才智,利用水车的形象引入课题.运用教具直观形象的表示圆心角、弧、弦三组相对应的量之间的关系让学生亲自动手，进行实验、探究、得出结论，激发学生的求知欲望，进而得到成功的体验.规范学生证明过程的书写.环节4知识应用环节5大展身手练习：1、如图，AB、CD是⊙O的两条弦。