北师大版九年级数学上册导学案

第一章证明（二）单元总览1.1你能证明它们吗（1）目标导航1.了解作为证明基础的几条公理的内容；掌握证明的基本步骤和书写格式.2.能够用综合法证明等腰三角形的有关性质（等边对等角，三线合一）.基础过关1.边边边公理的内容是.2.边角边公理的内容是.3.角边角公理的内容是.4.全等三角形的相等，相等.5.角角边推论的内容是.6.三角形ABC中，如果AB=AC，则.7.等腰三角形的、、互相重合.8.等边三角形的各边都，各角都是.能力提升9.下列说法中，正确的是（）A.两边及一角对应相等的两个三角形全等B.有一边对应相等的两个等腰三角形全等C.两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.两边对应相等的两个三角形全等10.若等腰△ABC 的顶角为∠A ，底角为∠B =α，则α的取值范围是（ ）A. α＜45°B. α＜90°C.0°＜α＜90°D.90°＜α＜180°11.△ABC 中， AB =AC ， CD 是△ABC 的角平分线， 延长BA 到E 使DE =DC ， 连结EC ， 若 ∠E =51°，则∠B 等于（ ）A.68°B.52°C.51°D.78° 12.等腰三角形的顶角是n °，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于（ ）A.290 n -B.90－2 nC.2n D.90°－n °13.等腰三角形的两边分别是7 cm 和3 cm ，则周长为_________.14.等腰三角形的一边长为23，周长为43+7，则此等腰三角形的腰长为_________. 15.如图，∆ABC 中，AB=AC, ∠BAD=︒30 ,AE=AD,则∠EDC= .EDCBA15题图 16题图16.如图，在△ABC 中，∠A =20°，D 在AB 上，AD =DC ，∠ACD ∶∠BCD =2∶3，求：∠ABC 的度数.17.已知：如图∆ABD 、∆ACE 都是等边三角形，求证：BE=DC.EDCBA18.如图，在∆ABC 中，AB=AC,点D 在AC 上，且BD=BC=AD,求∠ADB 的度数.DCBA聚沙成塔已知：如图，D 是等腰ABC 底边BC 上一点，它到两腰AB 、AC 的距离分别为DE 、DF.当D 点在什么位置时，DE=DF ？并加以证明.1.1你能证明它们吗（2）目标导航1.能够用综合法证明等腰三角形的有关性质.2.了解并能证明等腰三角形的判定定理.3.结合实例体会反证法的含义. 基础过关1.一个等腰三角形有一角是70°，则其余两角分别为_________.2.一个等腰三角形的两边长为5和8，则此三角形的周长为_________.3.等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是________________，这个逆命题是_________命题.4.在△ABC 中，AB=AC ，∠A=︒36，BD 是的角平分线，图中等腰三角形有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个5.在下列三角形中，若AB=AC ，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ） A.（1）（2）（3） B.（1）（2）（4） C.（2）（3）（4） D.（1）（3）（4）BAC BAC B AC B AP EDCBA(1) (2) （3） （4） 7题图 能力提升6.三角形三边分别为a 、b 、c ，且a 2－bc =a (b －c )，则这个三角形（按边分类）一定是_________三角形.7.如图，在△ABC 中，BC=5cm,BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且PD//AB ，PE//AC ，则△PDE 的周长是 .8.等腰△ABC 中，AC =2BC ，周长为60，则BC 的长为（ ）A.15B.12C.15或12D.以上都不正确 9.已知：如图，AB =AC ，DE ∥AC ，求证：△DBE 是等腰三角形.10.如图，△ABC 中，AB =AC ，∠1=∠2，求证：AD 平分∠BAC.11.用反证法证明：△ABC 中至少有两个角是锐角.12.如图，小明欲测量河宽，选择河流北岸的一棵树（点A ）为目标，然后在这棵树得正南岸（点B ）插一小旗作标志，从B 点沿南偏东︒60方向走一段距离到C 处，使∠ACB 为︒30，这时小明测得BC 的长度，认为河宽AB=BC ，他说得对吗？为什么？60︒CBA13.如图，在ABC Rt ∆中，∠CAB=︒90，AD ⊥BC 于D ，∠ACB 的平分线交AD 于E ，交AB 于F.求证：△AEF 为等腰三角形.F EDCBA14.如图，在△ABC 中，AB=AC,P 是BC 上一点，PE ⊥AB, PF ⊥AC,垂足为E 、F,BD 是等腰三 角形腰AC 上的高， ⑴求证：BD=PE ＋PF.⑵当点P 在BC 边的延长线上时，而其它条件不变，又有什么样的结论呢？请用文字加以说明本题的结论.FEPC A D聚沙成塔如图所示，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB=110。

认识一元二次方程（1）一，自主探究活动内容：问题一：一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为８m，宽为５m．地毯中央长方形图案的面积为１８m2。

根据这一情境，结合已知量你想求哪些量？你能根据条件列出关于这个量的什么关系式？问题二：你能找到关于102、112、122、132、142这五个数之间的等式吗？得到等式102+112+122=132+142之后你的猜想是什么？根据猜想继续找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。

问题三：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m.那么梯子的底端滑动多少米？8二，总结归纳活动内容：归纳一元二次方程的概念：结合上面三个问题得到的三个方程，观察它们的共同点，得到一元二次方程的概念及其各部分的名称。

一元二次方程概念：含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的整式方程。

经过整理后，一个一元二次方程可化简为ax2+bx+c=0(a≠0)，即它的一般形式：ax2+bx+c=0(a ≠0)。

应从两方面理解一元二次方程的一般形式：(1)若ax2+bx+c=0是一元二次方程，则有a≠0；(2) 若a≠0(b、c可以为零)，则ax2+bx+c=0是一元二次方程。

判断一个方程是不是一元二次方程，满足三个条件：①含有一个未知数并且未知数的最高次数是2;②必须是整式方程；③二次项系数不能为零。

简而言之是指经化简后，若符合ax2+bx+c=0(a≠0) ，则为一元二次方程，否则不是。

三，学以致用活动内容：1、把方程(3x ＋2)2＝4(x －3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．2．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．易错易混点1. 下列关于x 的方程：(1) ax 2+bx+c=0 ；(2)532=+aa ；(3)0322=--x x ；(4)0223=+-x x x 中，一元二次方程的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 判断方程m 2(x 2+m)+2x=x(x+2m)-1是不是关于x 的一元二次方程。

北师大版九年级数学上册全册导学案第一章 证明（二）§1.1 你能证明它们吗（1）撰稿人 王可 审稿人 龚敏林 日期教学目标1.了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式2.经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理3.运用等腰三角形的性质定理及其推论证明与等腰三角形有关的角相等或线段相等 教学重点、难点:1.了解作为证明基础的几条公理的内容2.掌握证明的基本步骤和书写格式教学过程一、预习反馈 明确目标1.等腰三角形知识回顾1） 如图1，在△ABC 中，AB = AC ，则顶角为 ，底角为 ，腰为 ，底边为 。

2） AD 是△ABC 的中线，则 ；AD 是△ABC 的角平分线，则 ；AD 是△ABC 的垂线，则 ； 3） 如图，在△ABC 中，AB = AC ，点D 在AC 上，且BD = BC = AD 。

找出所有的等腰三角形 。

2.说出学过的公理及推论3.已知∠D =∠C ，∠A =∠B ，且AE = BF 。

求证：AD = BC 。

二、创设情境 自主探究1. 议一议 等腰三角形的性质 等腰三角形的两个底角相等 (等边对等角)我们如何验证这个命题成立呢？我们以前是用度量、折纸的方法得到的，但要说明一个结论成立，仅仅依靠观察或度量是不够的，证明是必要的。

那么，我们应该如何证明呢？ 2.讲解例题 已知，如图，在△ABC 中，AB = AC 。

求证：∠B =∠C 。

分析：要想证明∠B=∠C ，根据以前所学的证明方法，只需证明分别包括∠B 和∠C 的两个三角形全等。

但图中只有一个三角形。

我们应该如何作辅助线呢？引导学生作出辅导线，得出证明过程。

发散学生思维，让学生找出其它的证明方法。

除了作顶角的平分线还可以怎样作辅助线？顶角的平分线 底边上的中线 底边上的高ABCDDCBAABCA A A ABCA BCDE F三、展示交流 点拨提高如图，在△ABC 中，D 为AC 上一点，并且AB = AD ，DB = DC ，若∠C = 29°，求∠A 。

第四章图形的相似学习目标与考点分析学习目标：1、熟练理解运用线段的比AB:CD=m:n以及黄金分割2、明确理解相似三角形和相似多边形的性质3、熟练运用相似多边形边角关系考点分析：1、相似比的性质和黄金分割2、相似多边形的性质和判定定理学习重点重点：1、线段比例和黄金分割2、相似三角形的性质3、相似三角形的额判定定理学习方法讲练结合练习巩固学习内容与过程【知识点梳理】一. 线段的比※1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n ,或写成 .※2. 四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d的比,即,那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段.※3. 注意点:①a:b=k,说明a是b的k倍;②由于线段a、b的长度都是正数,所以k是正数;③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;④除了a=b之外,a:b≠b:a, 与互为倒数;⑤比例的基本性质:若, 则ad=bc; 若ad=bc, 则二. 黄金分割※1. 如图1,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.※2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点.四. 相似多边形¤1. 一般地,形状相同的图形称为相似图形.※2. 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.五. 相似三角形※1. 在相似多边形中,最为简简单的就是相似三角形.※2. 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.※3. 全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1. 注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.※4. 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.※5. 相似三角形周长的比等于相似比.※6. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.六.探索三角形相似的条件※1. 相似三角形的判定方法:一般三角形直角三角形基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.①两角对应相等;②两边对应成比例,且夹角相等;③三边对应成比例. ①一个锐角对应相等;②两条边对应成比例:a. 两直角边对应成比例;b. 斜边和一直角边对应成比例.※2. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图2, l1 // l2 // l3,则 .※3. 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.八. 相似的多边形的性质※相似多边形的周长比等于相似比;面积比等于相似比的平方.九. 图形的位似※1. 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形; 这个点叫做位似中心; 这时的相似比又称为位似比.※2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.◎3. 位似变换:①变换后的图形,不仅与原图相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心.②一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形.③利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小.【例题讲解】（一）线段的比1.两条线段的比的概念：两条线段的比就是两条线段长度的比注：同一长度单位的两条线段AB 、CD 的长度分别为m 、n ，那么这两条线段的比AB ：CD =m n ：或，其中、分别叫做这个线段比的前项和后项，如果AB CD mnAB CD =把表示成比值，那么或·。

第1课时矩形的性质1.掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系.2.理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明;3.会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力．自学指导：阅读课本P11~14，完成下列问题.1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.生活中你见到过的矩形有五星红旗、毛巾.3.矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质.4.矩形的四个角都是直角.5.矩形的对角线相等.6.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.知识探究1.在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上(作出对角线)，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状.(1)随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？(2)当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？操作、思考、交流、归纳后得到矩形的性质.矩形性质1 矩形的四个角都是直角.矩形性质2 矩形的对角线相等.2.如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OB与AC是什么关系？解：由矩形性质2得：AC=BD，再由平行四边形性质得：AO=OC，BO=OD，所以AO=BO=CO=DO=12AC=12BD.因此可得直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.3.请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考。

（1）矩形是不是中心对称图形? 如果是，那么对称中心是什么？（2）矩形是不是轴对称图形?如果是，那么对称轴有几条?解：矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.自学反馈1.矩形是轴对称图形吗?如果是的话它有几条对称轴?2.请用所学的知识诊断下面的语句,若正确请在括号里打“√”，若“有病”请开药方：(1).矩形是特殊的平行四边形,特殊之处就是有一个角是直角.( )(2).平行四边形是矩形.( )(3).平行四边形具有的性质(如平行四边形的对边平行且相等;平行四边形的对角相等;平行四边形的对角线互相平分)矩形也具有.( )3.已知△ABC 是Rt △,∠ABC=90°,BD 是斜边AC 上的中线.若BD=3㎝,则AC ＝_____㎝;活动1 小组讨论例1 如图，在矩形ABCD 中，两条对角线相交于点O ，∠AOD=120°，AB=2.5cm ，求矩形对角线的长.证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴ AC=BD(矩形的对角线相等),OA=OC=21AC ，OB=OD=21BD. ∴OA=OD.∵∠AOD=120°，∴∠ODA=∠OAD=21(180°-120°)= 30°. 又∵∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角),∴BD=2AB =2×2.5=5.活动2 跟踪训练1.矩形具有一般平行四边形不具有的性质是（ ）A ．对边相互平行B ．对角线相等C ．对角线相互平分D ．对角相等2.如果矩形的两条对角线所成的钝角是120°，那么对角线与矩形短边的长度之比为（ ）A.3∶2B.2∶1C.1.5∶1D.1∶13.如图，在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，AC ，BD 相交于点O ，则图中等腰三角形的个数是（ ）A.8B.6C.4D.24.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 、E 为AB 、AC 的中点．则下列结论中错误的是（ ）A.CD ＝ADB.∠B ＝∠BCDC.∠AED ＝90°D.AC ＝2DEA B CDE5.在直角三角形中，两条直角边的长分别为12和5，则斜边上中线长为 .6.矩形的一条对角线长10cm ，且两条对角线的一个夹角为60°，则矩形的宽为 cm .7.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别是AO 、AD 的中点，若AB=6cm ，BC=8cm ，则△AEF 的周长= cm ．8.如图，矩形ABCD 中，E 为AD 上一点，EF ⊥CE 交AB 于F ，若DE ＝2，矩形的周长为16，且CE ＝EF ，则AE ＝_______．A BCDEF9.在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE=AD ，DF ⊥AE ，垂足为F.求证：DF=DC ．课堂小结1.矩形的定义及性质.2.矩形是角特殊的平行四边形，决定了矩形的四个角都是直角，对角线相等.3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.教学至此，敬请使用《名校课堂》相应课时部分.【预习导学】自学反馈1.解：既是轴对称图形，也是中心对称图形，对称轴有两条.2.(1)√ (2)× (3)√3.6【合作探究】活动2 跟踪训练1.B2.B3.C4.D5.6.5 6.57.98.39.解：连接DE．∵AD=AE，∴∠AED=∠ADE．∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∠C=90°．∴∠ADE=∠DEC，∴∠DEC=∠AED．又∵DF⊥AE，∴∠DFE=∠C=90°．∵DE=DE，∴△DFE≌△DCE．∴DF=DC．第2课时矩形的判定1.能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论；2.经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力，培养学生找到解题思路的能力，使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用；3.学生通过对比前面所学知识，体会证明过程中所运用的归纳、概括以及转化等数学思想方法；4.通过学生独立完成证明的过程，让学生体会数学是严谨的科学，增强学生对待科学的严谨治学态度，从而养成良好的习惯。

第1课时菱形的性质1.经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；2.体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理能力；3.在证明性质和运用性质解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推理能力.自学指导：阅读课本P2~4，完成下列问题.1.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.3.菱形具有平行四边形的一切性质.2.菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴.它有两条对称轴,两条对称轴互相垂直.4.菱形的四条边都相等.5.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.知识探究1.请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：(1)菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？(2)菱形中有哪些相等的线段？解：（1）菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱形领条对角线所在的直线。

两条对称轴互相垂直。

（1）菱形的邻边相等，对边相等，四条边都相等.自学反馈如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.(1)图中有哪些线段是相等的？哪些角是相等的？(2)有哪些特殊的三角形?活动1 小组讨论例1已知：如图，在菱形ABCD 中，AB=AD,对角线AC 与BD 相交于点O. 求证：（1）AB=BC=CD=AD ； （2）AC ⊥BD.证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB = CD ，AD= BC （菱形的对边相等）. 又∵AB=AD ， ∴AB=BC=CD=AD. (2)∵AB=AD,∴△ABD 是等腰三角形. 又∵四边形ABCD 是菱形,∴OB=OD （菱形的对角线互相平分）. 在等腰三角形ABD 中， ∵OB=OD, ∴AO ⊥BD, 即AC ⊥BD.例2 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O, ∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB 和对角线AC 的长.解：∵ 四边形ABCD 是菱形， ∴AB=AD(菱形的四条边都相等)， AC ⊥BD （菱形的对角线互相垂直） ， OB=OD=21BD=21×6=3（菱形的对角线互相平分）.在等腰三角形ABD 中， ∵∠BAD=60°, ∴△ABD 是等边三角形. ∴AB=BD=6.在Rt △AOB 中，由勾股定理，得OA 2+OB 2=AB 2 .∴OA=.333362222=-=-OB AB∴AC=2OA=.36此题由菱形的性质可知AB=AD ，结合∠BAD=60°，即可得到△ABD 是等边三角形，从而可求AB 的长度.在根据菱形的对角线互相垂直，可以得到直角三角形，通过勾股定理可求AO,继而求出AC.活动2 跟踪训练1.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，下列说法错误．．的是（ ） A ．AB ∥DC B ．AC=BD C ．AC ⊥BD D ．OA=OCABCDO2.如图，在菱形ABCD 中，AC ＝6, BD ＝8,则菱形的边长为（ ）A.5B.10C.6D.83.已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm ，则菱形的面积为（ ）A.B.C.23cmD.223cm4.菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOC OC ∠==°，，则点B 的坐标为（ ） A ．(21)，B ．(12)，C ．(211)+，D ．(121)+，5.如图，在菱形ABCD 中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC 等于 .6.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于 ．7.如图，点E是菱形ABCD的对角线BD上任意一点连结AE、CE，请找出图中一对全等三角形为______________.8.如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC= 60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=12 BE.课堂小结1.菱形的定义.2.菱形的性质.3.菱形与平行四边形的关系.教学至此，敬请使用《名校课堂》相应课时部分.【预习导学】自学反馈解：（1）相等的线段：AB=CD=AD=BC，OA=OC，OB=OD.相等的角：∠DAB=∠BCD，∠ABC=∠CDA，∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC=90°，∠1=∠2=∠3=∠4，∠5=∠6=∠7=∠8.（2）等腰三角形：△ABC △DBC △ACD △ABD直角三角形：Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD Rt△DOA【合作探究】活动2 跟踪训练1.B2.A3.D4.C5.56.37.ABD CDB△≌△（或ADE CDE△≌△或ABE CBE△≌△）8.∵ABCD是菱形，∴AD//BC，AB=BC=CD=DA.又∵∠ABC= 60°，∴BC=AC=AD.∵DE∥AC，∴ACED为平行四边形.∴CE=AD=BC，DE=AC. ∴DE=CE=BC，∴DE=12 BE.第2课时菱形的判定理解菱形的判别条件及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题自学指导：阅读课本P5~7，完成下列问题.知识探究1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四边相等的四边形是菱形.自学反馈1.判断下列说法是否正确：(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；( )(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；( )(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；( )(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形.( )2.□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，(1)若AB=AD，则□ABCD是形；(2)若AC⊥BD，则□ABCD是形；(3)若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是形.活动1 小组讨论例1. 已知:如图,在□ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AC⊥BD.求证: □ABCD是菱形.[ 证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC.又∵AC⊥BD,∴BD是线段AC的垂直平分线.∴BA=BC.∴四边形ABCD是菱形(菱形定义).例2已知:如图,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.求证:四边形ABCD是菱形.证明:∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AB=BC,∴四边形ABCD是菱形(菱形定义).活动2 跟踪训练1.如图，在ABCD中，添加下列条件不能判定是菱形的是( )A．AB=BC B．AC⊥BD C．BD平分∠ABC D．AC=BD2.已知DE∥AC、DF∥AB，添加下列条件后，不能判断四边形DEAF为菱形的是（）A．AD平分∠BAC B．AB＝AC，且BD＝CDC．AD为中线 D．EF⊥ADAB D CFE3.将一张矩形纸片对折，如图所示，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（）A.三角形B.不规则的四边形C.菱形D.一般平行四边形②①4.如图，在ABCD中，AE、CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线.添加一个条件，仍无法判断四边形AECF 为菱形的是（）A．AE=AF B．EF⊥ACC．∠B=600 D．AC是∠EAF平分线5.如图所示，在ABCD中，AC BD⊥，E为AB中点，若OE＝3，则ABCD的周长是 .6.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE=DF．求证：（1）△ADE≌△CDF；（2）四边形ABCD是菱形．7.如图，□ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，A B=5，AC=8，DB=6.求证:四边形ABCD是菱形.课堂小结菱形常用的判定方法：1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.有四条边相等的四边形是菱形.教学至此，敬请使用《名校课堂》相应课时部分.【预习导学】自学反馈1.（1）×（2）√（3）×（4）×2.（1）菱（2）菱（3）菱【合作探究】活动2 跟踪训练1.D2. C3. C4. C5. 246.证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C.∵在△AED和△CFD中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠,,DFDECACFDAED，∴△AED≌△CFD（AAS）.(2)∵△AED≌△CFD，∴AD=CD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．7.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=4,OB=OD=3.又AB=5，则32+42=52，即OA2+OB2=AB2.∴∠AOB=90°,即AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形.第3课时菱形的性质与判定的综合1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法.2.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法.3.在学习过程中感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；在学习过程中通过小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力.阅读教材P8-9，能灵活运用菱形的性质及判定.自学反馈1.如图所示：在菱形ABCD中，AB=6，(1)三条边AD、DC、BC的长度分别是多少？(2)对角线AC与BD有什么位置关系？(3)若∠ADC=120°，求AC的长.(4)菱形ABCD的面积.活动1 小组讨论例1 如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长为10cm.求：(1)对角线AC的长度；(2)菱形ABCD的面积.解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,即∠AED=90°，DE=12BD×10=5（cm）∴在Rt△ADE中，由勾股定理可得：∴AC=2AE=2×12=24(cm).（2）S菱形ABCD = S△ABD+ S△CBD=2×S△ABD=2××BD×AE= BD×AE=10×12=120(cm2).菱形的面积除了以上求法，还可以用对角线相乘除以2.活动2 跟踪训练1.如图，菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线BD长10cm，则∠ABC= °，AC= cm.2.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC=4cm，BD=8cm，则这个菱形的面积是cm2．3. 如图，四边形ABC D中，AB=AC=AD，BC=CD，锐角∠BAC的角平分线AE交BC于点E，AF是CD边上的中线，且PC⊥CD与AE交于点P,QC⊥BC与AF交于点Q．求证：四边形APCQ是菱形．课堂小结通过本节课的学习你有哪些收获，你还存在什么疑问？教学至此，敬请使用《名校课堂》相应课时部分.【预习导学】自学反馈解：(1)6.(2)垂直平分.(3)36.(4)318.【合作探究】活动2 跟踪训练51.120°32.163.解：由AB=AC=AD，可知△ABC、△ADC是等腰三角形．∵AE是∠BAC的角平分线，AF是CD边上的中线，则∠AEC＝∠AFC＝90°．∵PC⊥CD，QC⊥BC，∴∠QCE＝∠PCD＝90°．∴AE∥QC，PC∥AF，∴四边形APCQ是平行四边形．在Rt△PEC和Rt△QFC中，∠PEC＝∠QFC＝90°，∠PCE＝90°－∠PCQ＝∠QCF，由BC=CD，可知EC＝CF，∴Rt△PEC≌Rt△QFC，∴PC＝CQ．∴平行四边形APCQ是菱形．第1课时矩形的性质1.掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系.2.理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明;3.会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力．自学指导：阅读课本P11~14，完成下列问题.1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.生活中你见到过的矩形有五星红旗、毛巾.3.矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质.4.矩形的四个角都是直角.5.矩形的对角线相等.6.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.知识探究1.在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上(作出对角线)，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状.(1)随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？(2)当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？操作、思考、交流、归纳后得到矩形的性质.矩形性质1 矩形的四个角都是直角.矩形性质2 矩形的对角线相等.2.如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OB与AC是什么关系？[解：由矩形性质2得：AC=BD，再由平行四边形性质得：AO=OC，BO=OD，所以AO=BO=CO=DO=12AC=BD.因此可得直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.3.请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考。

第二章一元二次方程第一节认识一元二次方程(1)学习目标：1．探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识．2．在探索问题的过程中使学生感受到方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系．3．通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．学习重点：一元二次方程的概念．学习难点：如何把实际问题转化为数学方程．预习案一、预习教材二、感知填空先阅读教材“议一议”前面的内容，然后完成下面问题：1．在第一个问题中，地毯的长可以表示为_____________，宽可以表示为_____________，由矩形的面积公式可以列出方程为_________________________．2．在第二个问题中，如果设五个连续整数中间的一个数为x ，你又能列出怎样的方程呢？ 答：设五个连续整数中间的一个数为x ，由题意可列方程，得_________________________.三、自主提问探究案一、探究一：一元二次方程的概念例1：问题1：有一块矩形铁皮，长100cm ，宽50cm .在它的四个角分别切去一个面积相同的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm 2，那铁皮各角应切去多大的正方形？你能设出未知数，列出相应的方程吗？归纳结论：方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax 2＋b x ＋c ＝0(a 、b 、c 为常数，a ≠0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax 2是二次项，a 是二次项的系数；b x 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项． 跟踪练习：1．下列方程中，是一元二次方程的是( )A ．x 2＋2y －1＝0B ．x ＋2y 2＝5C ．2x 2＝2x －1D ．x 2＋1x－2＝0 2．将方程(x ＋3)2＝8x 化成一般形式为_______，其二次项系数为___，一次项系数是___，常数项是____．二、探究二：一元二次方程有关概念的应用例2：关于x 的方程mx 2－3x ＝x 2－mx ＋2是一元二次方程，m 应满足什么条件？跟踪练习：1．关于x 的方程(a －1)x 2＋3x ＝0是一元二次方程，则a 的取值范围是______．2．已知方程(m ＋2)x 2＋(m ＋1)x －m ＝0，当m 满足______时，它是一元一次方程；当m 满足________时，它是一元二次方程．作业案一、过关习题1．在下列方程中，是一元二次方程的有( )①2x 2－1＝0；②ax 2＋b x ＋c ＝0；③(x ＋2)(x －3)＝x 2－3；④2x 2－1x＝0. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．把方程(x －5)(x ＋5)＋(2x －1)2＝0化成一元二次方程的一般形式为( )A ．5x 2－4x －4＝0B ．x 2－5＝0C ．5x 2－2x ＋1＝0D ．5x 2－4x ＋6＝03．下列方程是一元二次方程的是（ ）A. 12=-y xB. 2560x x ++=C. ()()230x x ++=D. 122,3x x =-=-4．方程2354x x -=中，关于a 、b 、c 的说法正确的是（ ）A. 3,4,5a b c ===-B. 3,5,4a b c ==-=C. 3,4,5a b c =-=-=-D. 3,4,5a b c ==-=-二、能力提升1．阅读材料，解答问题：有一块长80cm ，宽60cm 的薄钢片，在四个角上截去四个相同的正方形，然后做成底面积为1500cm 2的无盖盒子，想一想，应该怎样求出截去的小正方形的边长？问题：(1)如果设小正方形的边长为x cm ，那么盒子底面的长为____________；宽为__________，根据题意，所列方程为____________________．(2)所列方程的一般形式是什么？是哪一种方程？并指出其各项的系数．2．已知关于x 的方程(m －2)x |m |＋3x －4＝0是一元二次方程，那么m 的值是( )A ．2B ．±2C ．－2D ．1第一节认识一元二次方程(2)学习目标：1．会进行简单的一元二次方程的试解．2．根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及利用试解方法解决一些具体问题．3．理解方程的解的概念，培养有条理的思考与表达的能力．学习重点：判定一个数是否是方程的根．学习难点：会在简单的实际问题中估算方程的解，理解方程解的实际意义．预习案一、预习教材二、感知填空请同学独立完成下列问题．问题1：如图，一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ，那么梯子的底端距墙多少米？设梯子底端距墙为xm ，那么，根据题意，可得方程为___________列表：x0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 2－36 设苗圃的宽为x m ，则长为_________.根据题意，得________．整理，得______________．列表：探究案一、探究一：探索一元二次方程的近似解例1：(1)问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？(2)如果抛开实际问题，问题1中还有其他解吗？问题2呢？跟踪练习：1．已知关于x的方程x2－k x－6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为() A．1B．－1C．2D．－22．下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.二、探究二：一元二次方程根的判定及应用例2：若x＝1是关于x的一元二次方程ax2＋b x＋c＝1(a≠0)的一个根，求代数式2016(a＋b ＋c)的值．跟踪练习：1．若x＝1是一元二次方程ax2＋b x＋c＝0的解，则a＋b＋c＝___；若x＝－1是一元二次方程ax2＋b x＋c＝0的解，则a－b＋c＝____．2．如果x＝1是方程ax2＋b x＋3＝0的一个根，求(a－b)2＋4a b的值．作业案一、过关习题1．已知长方形宽为xcm，长为3xcm，面积为24cm2，则x最大不超过()A．1B．2C．3D．422则方程x＋p x＋q＝0的正数解满足( )A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.1 D．1.1＜x＜1.2二、能力提升1.2＋2x－10＝0的一个近似解为x≈_________．(精确到0.1)分析表格中的数据，估计方程（x+8）﹣826=0的一个正数解x的大致范围为（）A. 20.5＜x＜20.6B. 20.6＜x＜20.7C. 20.7＜x＜20.8D. 20.8＜x＜20.93．若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013﹣a﹣b的值是（）A. 2018 B. 2008 C. 2014 D. 2012第二节用配方法求解一元二次方程(1)学习目标：1．会用开平方法解形如(x ＋m )2＝n(n≥0)的方程．2．理解一元二次方程的解法——配方法．3．会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程． 学习重点：会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程．学习难点：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤．预习案一、预习教材二、感知填空1．如果一个数的平方等于4，则这个数是________．2．已知x 2＝9，则x ＝______．3．填上适当的数，使下列等式成立．(1)x 2＋12x ＋____＝(x ＋6)2；x 2－6x ＋_____＝(x －3)2.三、自主提问探究案一、探究一：应用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程例1：用配方法解方程x 2－2x －3＝0归纳结论：通过配成完全平方式的方法，将一元二次方程转化成(x ＋m )2＝n(n≥0)的形式，进而得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．跟踪练习：用配方法解方程：x 2＋2x －1＝0.作业案一、过关习题1．用配方法解方程，原方程应变形为（ ） A. B. C. D.2．用配方法解方程x 2＋4x －5＝0，则x 2＋4x ＋____＝5＋____，所以x 1＝______，x 2＝________．3．若三角形的两边长分别是6和8，第三边的长是一元二次方程(x －8)2＝4的一个根，则此三角形的周长为________．4．下列解方程的过程中，正确的是( )A ．x 2＝－2，解方程，得x ＝±2B ．(x －2)2＝4，解方程，得x －2＝2，x ＝4C ．4(x －1)2＝9，解方程，得4(x －1)＝±3，x 1＝74，x 2＝14D ．(2x ＋3)2＝25，解方程，得2x ＋3＝±5，x 1＝1，x 2＝－45．解下列方程：(1)()2590x --=(2)4(x +6) 2-9=0(3)x 2－10x ＋25＝7 (4)x 2－14x ＝8(5)x 2＋3x ＝1 (6)x 2＋2x ＋2＝8x ＋4二、能力提升1.若2246130a a b b ++-+=，则a b +=（）A. 1B. 1-C. 5D. 5-2．若a ，b ，c 是△ABC 的三条边，且a 2＋b 2＋c 2＋50＝6a ＋8b ＋10c ，试判断这个三角形的形状．第二节 用配方法解一般一元二次方程(2)学习目标:1．理解配方法的意义，会用配方法解一般一元二次方程．2．通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法．3．学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣．学习重点：用配方法解一般一元二次方程．学习难点：用配方法解一元二次方程的一般步骤．预习案一、预习教材二、感知填空1．用配方法解一元二次方程x 2－3x ＝5，应把方程两边同时( )A ．加上32B ．加上94C ．减去32D ．减去942．解方程(x －3)2＝8，得方程的根是( )A ．x ＝3＋22B ．x ＝3－22C ．x ＝－3±22D ．x ＝3±2 23．方程x 2－3x －4＝0的两个根是____________．三、自主提问探究案一、探究一：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程例1:用配方法解方程2x 2－6x ＋1＝0用配方法求解一般一元二次方程的步骤是什么？归纳结论：(1)把二次项系数化为1，方程的两边同时除以二次项系数；(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；(3)配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为(x ＋h)2＝k 的形式；(4)用直接开平方法解变形后的方程．跟踪练习：一小球以15m /s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m )与时间t(s )满足关系：h ＝15t －5t 2，小球何时能达到10米的高度？作业案一、过关习题1．要使方程x 2－72x ＝－32左边配方成完全平方式，应在方程两边同时加上( ) A.2)27( B ．72 C.32 D.2)47(- 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A. x 2-2x-99=0化为(x-1)2=100B. x 2+8x+9=0化为(x+4)2=25C. 2t 2-7t-4=0化为2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭D. 3y 2-4y-2=0化为221039y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3.把方程21503x x --=,化成(x +m)2=n 的形式得（） A. 232722x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ B. 232924x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C. 236924x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ D. 235124x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 4．用配方法解方程：(1)4x 2＋8x －3＝0 (2)3x 2－9x ＋2＝0 (3)2x 2＋6＝7x二、能力提升先化简，再求值： 2352362m m m m m -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭，其中m 是方程2310x x +-=的根. 第三节 用公式法求解一元二次方程学习目标：1．理解求根公式的推导过程和判别公式．2．使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程．3．通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想． 学习重点：求根公式的推导和公式法的应用．学习难点：理解求根公式的推导过程及判别公式的应用．预习案一、预习教材二、感知填空1．方程3x 2－x ＝2化成一般形式后，式中( )A ．a ＝3，b ＝－1，c ＝2B ．a ＝2， b ＝1，c ＝－2C ．a ＝3，b ＝－1，c ＝－2D ．a ＝3，b ＝1，c ＝－22．用配方法解下列方程：(1)x 2－x －1＝0 (2)2x 2－4x ＝1三、自主提问探究案一、探究一：探索一元二次方程的求根公式例1：用配方法解方程：ax 2＋b x ＋c ＝0(a ≠0)．归纳总结：由上可知，一元二次方程ax 2＋b x ＋c ＝0(a ≠0)的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋b x ＋c ＝0，当b 2－4a c≥0时，将a 、b 、c 代入式子x ＝－b±b 2－4ac 2a，就可求出方程的根；(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式；(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法；(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．二、探究二：用公式求解一元二次方程例2：用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？(1)2x 2－3x ＝0 (2)3x 2－23x ＋1＝0 (3)4x 2＋x ＋1＝0.归纳总结：(1)当Δ＝b 2－4a c ＞0时，一元二次方程ax 2＋b x ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根，即x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a；(2)当Δ＝b 2－4a c ＝0时，一元二次方程ax2＋b x＋c＝0(a≠0)有两个相等实数根即x1＝x2＝－b2a；(3)当Δ＝b2－4a c＜0时，一元二次方程ax2＋b x＋c＝0(a≠0)没有实数根．作业案一、过关习题1．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是()A．x2－3x＋1＝0B．x2＋1＝0 C．x2－2x＋1＝0 D．x2＋2x＋3＝0 2．关于x的一元二次方程2x+(k-4)x2+6=0没有实数根，则k的最小整数值是()A. -1B. 2C. 3D. 53．把一元二次方程x2＝3(2x－3)化为一般形式是_________，b2－4a c＝0，则该方程根的情况为___________．4．方程2x2－5x＝7的两个根分别为x1＝________，x2＝__________．二、能力提升1.已知关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围．2.已知关于x的一元二次方程(x-3)(x-4)=a²（1）求证：对于任意实数a，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是1，求a的值及方程的另一个根．第四节用因式分解法求解一元二次方程学习目标：1．会用分解因式(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．2．能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．学习重点：用因式分解法解一元二次方程．学习难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．预习案一、预习教材二、感知填空1．将下列各式分解因式：(1)x2－2x(2)x2－4x＋4(3)x2－16(4)x(x－2)－(x－2)2．分解因式法解一元二次方程的根据是：若a·b＝0，则a＝____或b＝_____．如：若(x＋2)(x－3)＝0，那么x＋2＝0或者________．这就是说，求一元二次方程(x＋2)(x－3)＝0的解，就相当于求一次方程x＋2＝0或x－3＝0的解．三、自主提问探究案一、探究一：用因式分解法解下列方程(1)5x2＋3x＝0(2)7x(3－x)＝4(x－3)(3)9(x－2)2＝4(x＋1)2.跟踪练习：解下列方程：x2－5x＋6＝0作业案一、过关习题1．如果(x－1)(x＋2)＝0，那么以下结论正确的是()A．x＝1或x＝－2B．必须x＝1 C．x＝2或x＝－1 D．必须x＝1且x＝－2 2．方程x2－3x＝0的解为()A ．x ＝0B ．x ＝3C ．x 1＝0，x 2＝－3D ．x 1＝0，x 2＝33.方程29180x x -+=的两个根分别是一个等腰三角形的底和腰的长，则这个等腰三角形的周长为．4．解下列方程(1) x 2=2x+35 (2)2(1)160x --= (3) 3(1=22x x x --）二、能力提升1．已知(a 2＋b 2)2－(a 2＋b 2)－6＝0，求a 2＋b 2的值．2.阅读下面的例题：解方程220x x --=的过程如下：（1）当0x ≥时，原方程化为220x x --=，解得： 12x =， 21x =-（不合题意，舍去）．（2）当0x <时，原方程可化为220x x +-=，解得： 12x =-， 21x =（不合题意，舍去）．所以，原方程的解是： 12x =， 22x =-．请参照例题解方程： 2110x x ---= 第五节 一元二次方程的根与系数的关系学习目标：1．掌握一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系．2．能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知系数．3．会利用根与系数的关系求关于两根代数式的值．学习重点：根与系数的关系及运用．学习难点：定理发现及运用．预习案一、预习教材二、感知填空1．一元二次方程ax 2＋b x ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式是_________________________________．2．一元二次方程3x 2－6x ＝0的两个根是_______________3．一元二次方程x 2－6x ＋9＝0的两个根是________________三、自主提问探究案一、探究一：一元二次方程的根与系数的关系例1：解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x 1＋x 2，x 1·x 2的值，它们与对归纳总结：一般地，对于关于x 的一元二次方程ax 2＋b x ＋c ＝0(a ≠0)，用求根公式求出它的两个根x 1、x 2，由一元二次方程ax 2＋b x ＋c ＝0的求根公式知x 1＝－b ＋b 2－4ac2a ，x 2＝－b －b 2－4ac2a ，能得出以下结果：x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a. 二、探究二：一元二次方程根与系数关系定理的应用例2;已知方程5x 2＋kx －6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k 的值．例3：若一元二次方程2x 2＋3x －1＝0的两个根为212221211121,,x x x x x x ++）（）（ 跟踪练习：1．设一元二次方程x 2－6x ＋4＝0的两实根分别为x 1和x 2，则(x 1＋x 2)－x 1·x 2＝( )A ．－10B ．10C ．2D ．－22．设a ，b 是方程x 2＋x －2016＝0的两个不相等的实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为_________．作业案一、过关习题1．已知一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0有一个根为2，则另一个根为( )A ．2B ．3C ．4D ．82．若α，β是方程x 2－2x －3＝0的两个实数根，则α2＋β2的值为( )A ．10B ．9C ．7D ．53．菱形的两条对角线长分别是方程x 2－14x ＋48＝0的两实根，则菱形的面积为_______．4.已知x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，则x 1﹣x 1x 2+x 2的值是（ ）A. B. C. D.二、能力提升1． 已知x 的方程x 2＋(2k ＋1)x ＋k 2－2＝0的两实根的平方和等于11，则k ＝_______．2.已知关于x 的一元二次方程()28170x m x m --+-=． （1）m 为何值时，方程有一根为零？（2）m 为何值时，方程的两个根互为相反数？（3）是否存在m ，使方程的两个根互为倒数？若存在，请求出m 的值；不存在，请说明理由．第六节 应用一元二次方程（1）学习目标：1．使学生会用一元二次方程解应用题．2．进一步培养学生将实际问题转化为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力，培养学生运用数学的意识．3．通过列方程解应用题，进一步体会运用代数中方程的思想方法解应用题的优越性． 学习重点：运用面积和速度等公式建立数学模型并运用它们解决实际问题．学习难点：寻找等量关系，用一元二次方程解决实际问题．预习案一、预习教材二、感知填空1．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，则AB＝_____cm.2．在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，若BC＝10cm，则DE＝_____cm.三、自主提问探究案一、探究一：利用一元二次方程求解几何问题例1：用一根长40cm的铁丝围成一个面积为91cm2的矩形，问这个矩形长是多少？跟踪练习：一个直角三角形的斜边长为7cm，一条直角边比另一条直角边长1cm，那么这个直角三角形的面积是多少？作业案一、过关习题1．用长为100cm的金属丝制成一个矩形框子，框子的面积不可能是()A．375cm2B．500cm2C．625cm2D．700cm22．一块矩形耕地大小尺寸如图所示，要在这块耕地上沿东西和南北方向分别挖两条和四条水渠，如果水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为9600m2，那么水渠的宽为()A．2m B．4m C．1m D．3m3．一个矩形的面积是48平方厘米，它的长比宽多8厘米，设矩形的宽x厘米，应满足方程_____________．解方程求得x＝______．二、能力提升1．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD.求该矩形草坪BC边的长．2．在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路(两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直)，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为570平方米，问道路应为多宽？3.如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动．（1）P、Q两点从出发开始到几秒？四边形PBCQ的面积为33cm2；（2）P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的距离是10cm．第六节应用一元二次方程（2）学习目标：1．会用一元二次方程解决销量随销售单价变化而变化的市场营销类应用题．2．通过列方程解应用题，进一步认识方程模型的重要性，提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力．学习重点：会用一元二次方程求解营销类问题．学习难点：将实际问题抽象为一元二次方程的模型，寻找等量关系，用一元二次方程解决实际问题．预习案一、预习教材二、感知填空1.利润＝_____________；2商品的利润率＝_______________3.商品的总利润＝一件商品的利润×销售商品的数量．三、自主提问．探究案一、探究一：利用一元二次方程求解营销类问题例1：某商场将销售成本为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月销售600个．市场调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，每月平均销售数量将减少10个．若销售利润率不得高于100%，那么销售这种台灯每月要获利10000元，台灯的售价应定为多少元？跟踪练习：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经试销发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？二、探究二：利用一元二次方程求解增长率问题例2：某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划12月的营业额要达到3600万元，求该公司11,12两个月营业额的月均增长率。

第三章概率的进一步认识3.1 用树状图或表格求概率第1课时画树状图法和列表法当一次事件涉及到三个因素或三步时，学会用树状图法求概率自学指导阅读教材第60至61页，完成下列问题.自学反馈问题：甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和2；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数字3、4和5；从两个口袋中各随机地取出1个小球。

用列表法写出所有可能的结果解：1 23 31 324 41 425 51 52如果还有丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I。

从甲、乙、丙三个口袋中各随机地取出1个小球。

此时可以继续用列表法吗？你有没有更好的方法？与同学交流一下。

当一次试验涉及两个因素时，且可能出现的结果较多时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用列表法。

当一次试验涉及三个因素时，列表法就不方便了，那么为不重不漏地列出所有可能的结果，我们该怎么办呢？活动1 小组讨论例例1 甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C、D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I。

从3个口袋中各随机地取出1个小球。

从三个口袋中随机取出一球，试写出所有可能的结果什么时候用“列表法”方便，什么时候用“树形图”方便？（当一次试验涉及两个因素时，且可能出现的结果较多时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用列表法，当一次试验涉及3个因素或3个以上的因素时，列表法就不方便了，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用树形图）活动2 跟踪训练1.从1，2，－3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是（ B ） A. 0 B. 13 C. 23 D. 12.“五·一”期间，小明与小亮两家准备从东营港、黄河入海口、龙悦湖中选择一景点游玩，小明与小亮通过抽签方式确定景点，则两家抽到同一景点的概率是（ A ）A.13B.16C.19D.14 3.在x 2□2xy□y 2的空格□中，分别填上“＋”或“－”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是（ C ）A ．1B ．43C ．21D ．41 4.经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能左转或右转，如果这三种可能性大小相同，同向而行的三辆汽车都经过这个十字路口时，求下列事件的概率：（1）三辆车全部继续直行（2）两辆车右转，一辆车左转（3）至少有两辆车左转解：（1）127，（2）19，（3）427活动3 课堂小结本堂课你学到了哪些知识与方法？在运用时有哪些细节注意呢？请使用《名校课堂》相应的练习部分。

北师版九年级数学上册导学案第一章 特殊平行四边形1.1 菱形的性质与判定第1课时 菱形的性质学习目标：①通过折、剪纸张的方法，探索菱形独特的性质。

②通过学生间的交流、计论、分析、类比、归纳、运用已学过的知识总结菱形的特征。

教学重点：菱形的概念和菱形的性质，菱形的面积公式的推导。

教学难点：菱形的性质的理解及菱形性质的灵活运用。

【预习案】学习过程： 活动一：自学课本例题以上的内容，完成下列问题： 1. 如何从一个平行四边形中剪出一个菱形来？的四边形叫做菱形，生活中的菱形有 。

【探究案】2. 按探究步骤剪下一个四边形。

①所得四边形为什么一定是菱形？②菱形为什么是轴对称图形？ 有 对称轴。

图中相等的线段有： 图中相等的角有：③你能从菱形的轴对称性中得到菱形所具有的特有的性质吗？自己完成证明。

性质：证明：平行四边形菱形活动二：对比菱形与平行四边形的对角线菱形的对角线：平行四边的对角线：活动三：菱形性质的应用1.菱形的两条对角线的长分别是6cm和8c m，求菱形的周长和面积。

【训练案】2.如图，菱形花坛ABCD的边长为20cm，∠ABC=60°沿菱形的两条对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积。

课效检测：一、填空（1）菱形的两条对角线长分别是12cm，16cm，它的周长等于，面积等于。

（2）菱形的一条边与它的两条对角线所夹的角比是3：2，菱形的四个内角是。

（3）已知：菱形的周长是20cm，两个相邻的角的度数比为1：2，则较短的对角线长是。

（4）已知：菱形的周长是52 cm，一条对角线长是24 cm，则它的面积是。

二、解答题已知：如图，在菱形ABCD中，周长为8cm，∠BAD=1200 对角线AC，BD交于点O，求这个菱形的对角线长和面积。

第2课时 菱形的判定学习目标：1.理解并掌握菱形的判定方法，以及符号语言的应用；2.灵活运用判定方法进行有关的证明和计算. 重点：掌握并会应用菱形的判定方法. 难点：菱形判定方法的应用.【预习案】课前预习你还记得菱形的定义吗？菱形有哪些特殊性质？边：__________________________;______________________________ 角：__________________________;______________________________ 对角线：_____________________________________________________对称性：【探究案】1.木工在做菱形的窗格时,总是保证四条边框一样长,你知道其中的道理吗?借助以下图形探索：如图,在四边形ABCD 中,AB=BC=CD=DA,试说明四边形ABCD 是菱形. 证明：我发现, 的四边形是菱形。

北师大版九年级数学上册第四章 4.6利用相似三角形测高导学案一、预习目标1．本节介绍了三种测量旗杆高度的方法，分别是利用阳光下的影子，利用标杆，利用镜子的反射．2．上述测量旗杆高度的方法都是依据相似三角形的性质的原理而设计的．3．同一时刻，物高与影长成正比．二、课堂精讲精练【例1】如图，小华用长为3.2 m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8 m与旗杆相距22 m，则旗杆的高为(A)A．12 m B．10 m C．8 m D．7 m【跟踪训练1】如图，身高为1.7 m的小明AB站在小河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD在水中的倒影为C′D，A，E，C′在一条线上．如果小河BD的宽度为12 m，BE＝3 m，那么这棵树CD的高为5.1m.【例2】《铁血红安》在中央一台热播后，吸引了众多游客前往影视基地游玩．某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上(如图)．已知小明的眼睛离地面1.65米，凉亭顶端离地面2米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为40米，小亮身高1.7米．请根据以上数据求出城楼的高度．解：过点A作AM⊥EF于点M，交CD于点N，由题意可得：AN＝2米，CN＝2－1.65＝0.35(米)，MN＝40米，AM＝AN＋MN＝42米．MF ＝1.65米．∵CN ∥EM ， ∴△ACN ∽△AEM. ∴CN EM ＝AN AM . ∴242＝0.35EM . 解得EM ＝7.35.∴EF ＝EM ＋MF ＝7.35＋1.65＝9(米)． ∴城楼的高度为9－1.7＝7.3(米)．【跟踪训练2】如图，一位同学通过调整自己的位置，设法使三角板DEF 的斜边DF 保持水平，并且边DE 与树顶B 在同一直线上，已知两条边DE ＝0.2 m ，EF ＝0.1 m ，测得边DF 离地面的高度AC ＝1.5 m ，CD ＝4 m ，则树高AB 为3.5m.【例3】 如图，为了测量一栋楼的高度OE ，小明同学先在操场上A 处放一面镜子，向后退到B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部E ；再将镜子放到C 处，然后后退到D 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O ，A ，B ，C ，D 在同一条直线上)，测得AC ＝2 m ，BD ＝2.1 m ，如果小明眼睛距地面高度BF ，DG 为1.6 m ，试确定楼的高度OE.解：令OE ＝a m ，AO ＝b m ，CB ＝x m ， 则由△GDC ∽△EOC ，得GD EO ＝CDOC ，即1.6a ＝2.1－x 2＋b， 整理，得3.2＋1.6b ＝2.1a －ax ①， 由△FBA ∽△EOA ，得FB EO ＝AB OA，即1.6a ＝2－x b， 整理，得1.6b ＝2a －ax ②，将②代入①，得3.2＋2a －ax ＝2.1a －ax ， ∴a ＝32，即OE ＝32， 答：楼的高度OE 为32 m.【跟踪训练3】如图，丁轩同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行20 m 到达Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部．已知丁轩同学的身高是1.5 m ，两个路灯的高度都是9 m ，则两路灯之间的距离是30m.三、课堂巩固训练1．如图，利用标杆BE 测量建筑物的高度．已知标杆BE 高1.2 m ，测得AB ＝1.6 m ，BC ＝12.4 m ，则建筑物CD 的高是(B)A ．9.3 mB ．10.5 mC ．12.4 mD ．14 m2．如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A ，D 两个端点之间的距离为10 m ，AO BO ＝DO CO ＝23，则容器的内径是(C)A ．5 cmB ．10 cmC ．15 cmD ．20 cm3．在“测量学校教学楼的高度”的数学活动中，小刚同学使用镜面反射法进行测量，如图所示．若a1＝1米，a2＝10米，h＝1.5米，则这个学校教学楼的高度为15米．4．如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10 cm，已知AC与BC之比为5∶1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压50cm.5．如图，小超想要测量窗外的路灯PH的高度．星期天晚上，他发现灯光透过窗户照射在房间的地板上，窗户的最高点C落在地板B处，窗户的最低点落在地板A处，小超测得窗户距地面的高度QD＝1 m，窗高CD＝1.5 m，并测得AQ＝1 m，AB＝2 m．请根据以上测量数据，求窗外的路灯PH的高度．解：∵DQ⊥BP，∴∠CQB＝90°.∵QD＝1 m，QA＝1 m，∴∠QAD＝45°.∵PH⊥PB，∴∠HAP＝∠HPA＝45°.∴PH＝PA，设PH＝PA＝x m，∵PH⊥PB，CQ⊥PB，∴PH∥CQ，∴△PBH∽△QBC，∴HPCQ＝PBQB，即x1＋1.5＝x＋21＋2.解得x＝10.答：窗外的路灯PH的高度是10 m.四、课堂总结1．测量旗杆的高度有三种方法：(1)利用阳光下的影子；(2)利用标杆(对应“A”字形)；(3)利用镜子反射(对应“8”字形)．它们都利用相似三角形的性质，在练习时一定要重视两个三角形为什么相似．2．对影子没“落地”问题的两种处理方法：①人为“抬高地平线”；②设法消除“障碍物”，让光线与水平地面相交，转化为常规影长问题．。

第一章特殊平行四边形第一章特殊平行四边形EF D C B AF ED C BA 2、如图所示,在□ABCD 中,AE,CF 分别是∠BAD 和∠BCD 的平分线，若添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是（ ） A.AE=AF B.EF ⊥ACC.∠B=60°D.AC 是∠EAF 的平分线三、例题展示例1：如图所示，ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC分别交于E 、F ．求证：四边形AFCE 是菱形．例2：如图所示，AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AC 交AB 于点E,DF∥AB 交AC 于F,试判断四边形AEDF 的形状，并证明你的结论.四、课堂检测H E 第5题第一章特殊平行四边形第一章特殊平行四边形课题 1.2矩形的性质与判定(第一课时)教师二备Q P D C B A例2:如图所示,四边形ABCD 是矩形,△PBC 和△QCD 都是等边三角形,且点P 在矩形上方,点Q 在矩形内. (1) 求证:∠PBA=∠PCQ=30°；（2）求证:PA=PQ 四．课堂检测 1 1、矩形ABCD 的边AD=3cm ，对角线AC 、BD 的夹角∠AOB=120°，则AC= ． 2 2、 Rt △ABC 的两直角边长分别为3和4，则斜边上的中线是 ，斜边上的高是 ． 3 3、矩形的面积为12cm 2，一条边长为3cm ，则矩形的对角线长为_______ 4 4、已知点E 是矩形ABCD 的边BC 的中点，那么S △AED =（_）ABCD S 矩形A.21B.41C.51D.615 5、矩形ABCD 沿AC 折叠，使点B 落在点E 处， 求证：EF=DF. 66、已知：在矩形ABCD 中，E 为DC 边上一点，BF ⊥AE 于点F ，且BF ＝BC ．求证：AE ＝AB.7、如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O,过顶点C 作BD 的平行线与AB 的延长线相交于点E,求证：△ACE 是等腰三角形教学反思 第一章 特殊平行四边形课题1.2矩形的性质与判定(第二课时)教师二备第5题 第6题F B D C A E 第7题O ED CBA第一章特殊平行四边形一、问题引入1、矩形的性质定理：除了具有与平行四边形一样的性质之外，矩形所具有的特殊性质是：①矩形的____________________都是直角； ②矩形的对角线___________.2、矩形的判定定理：①有一个角是直角的________________是矩形(定义)； ②有_____________________ 是直角的四边形．．．是矩形； ③对角线_________ ___的平行四边形是矩形. 二、基础训练1、在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，若∠AOB=60°，AB=4㎝，则AC=_______㎝.2、如图所示，已知ABCD ，下列条件：①AC=BD ，②AB=AD ，③∠1=∠2，④AB ⊥BC 中，能说明ABCD 是矩形的有（填写序号）.3、如图，矩形的对角线交于点O ，过点O 的直线交AD 、BC 于点E 、F ，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为___ _______.三、例题展示例1：在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O,AE ⊥BD 于点E,ED=3BE,求AE 的长.第2题 ２１ＤＣＢAO ED CBAA ．125B ．135C ．52D ．22、已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 的中点，四边形ABDE 是平行四边形， 求证：四边形ADCE 是矩形.3、如图，以△ABC 的三边为边，在BC 的同侧分别作3个等边三角形，即△ABD 、△BCE 、△ACF ．请回答问题并说明理由： （1）四边形ADEF 是什么四边形?（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是矩形?教学反思第一章 特殊平行四边形课题1.3正方形的性质与判定(第一课时)教师二备E D C B A 第2题图 BA CED F 第3题图第1题图第一章特殊平行四边形第一章 特殊平行四边形单元检测一、选择题一、如图,四边形ABCD 的对角线相互平分，要使它变成矩形，第1题图ODCBA需要添加的条件是（ ）A.AB=CDB.AD=BCC.AB=BCD.AC=BD二、在菱形ABCD 中,对角线AC=4,∠BAD=120°,那么菱形ABCD 的周长为( ) A.20 B.18 C.16 D.15 3、（2021•广西玉林市）以下命题是假命题的是（ ）A.四个角相等的四边形是矩形B.对角线相等的平行四边形是矩形C.对角线垂直的四边形是菱形D.对角线垂直的平行四边形是菱形 4、如图，两张宽度相等的纸条交叉重叠，重合部份是（ ） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形 五、以下条件 中,不能判定四边形ABCD 为矩形的是( ) A .AB ∥CD ,AB=CD,AC=BD B.∠A=∠B=∠D=90° C.AB=BC,AD=CD,∠C=90° D.AB=CD,AD=BC,∠A=90六、如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BC 相交于点O ，H 为AD 边中点， 菱形ABCD 的周长为28，那么OH 的长等于（ ） A3.5 B. 4 C. 7 D. 14 7、正方形具有而矩形不必然具有的性质是（ ） A ．四个角都是直角 B ．对角线相互平分 C ．对角相等 D ．对角线相互垂直八、（2021•孝感）如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 别离在x 轴、y 轴上， 点D （5，3）在边AB 上，以C 为中心，把△CDB 旋转90°， 那么旋转后，点D 的对应点D′的坐标是（ ） A ．(2,10) B.(-2,0) C.(2,10)或（-2，0） D.(10,2)或（-2，0）二、填空题 九、（2021•江苏苏州）已知正方形ABCD 的对角线AC=，那么正方形ABCD 的周长为 ． 10、（2021•山东淄博）已知□ABCD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，请你添加一个适当的条件，使□ABCD 成为一个菱形，你添加的条件是 ．1一、已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点O,∠AOB=60°，AB=4㎝,那么矩形的对角线长为 .1二、（ 2021•福建泉州）如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，D 为斜边AB 的中点，AB =10cm ，那么CD 的长为 cm ．13、（2021•四川宜宾）菱形的周长为20cm ，两个相邻的内角的度数之比为1：2，那么较长的对角线长度是 cm ．14、(2021年四川资阳)如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 是AB 边上的一点，且AE =3，点Q 为对角线AC 上的动点， BEQ 第6题图第8题图 第12题图 第4题图1五、（ 2021•福建泉州）已知：如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 别离在AB ，CD 边上，BE =DF ，连接CE ，AF ．求证：AF =CE ．1六、（2021•四川巴中）如图，在四边形ABCD 中，点H 是BC 的中点，作射线AH ，在线段AH 及其延长线上别离取点E ，F ，连结BE ，CF ．（1）请添加一个条件，使得△BEH ≌△CFH ，你添加的条件是，并证明． （2）在问题（1）中，当BH 与EH 知足什么关系时，四边形BFCE 是矩形，请说明理由．第二章 一元二次方程课题2.1 认识一元二次方程教师二备一、问题引入：1、只含有 ，并且未知数的最高次数是2的 ，称为一元二次方程．2、一元二次方程的一般形式是 （c b a ,,为常数，第15题第16题第二章一元二次方程第二章一元二次方程第二章一元二次方程第二章一元二次方程第二章一元二次方程5、（2014德州）方程01222=+++k k kx x 的两个实数根足42221=+x x ，则的值为第二章 一元二次方程课题 2.6 应用一元二次方程（一）教师二备一、问题引入：1、列方程解应用题的一般步骤： （1）“审”，即审题，分清题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系； （2）“设”，即设 ，设未知数的方法有直接设未知数和间接设未知数两种； （3）“列”，即根据题中的 关系列方程；（4）“解”，即求出所列方程的 ； （5）“检验”，即验证是否符合题意；（6）“答”，即回答题目中要解决的问题. 重点：找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出 是列方程(组)解应用题的关键． 二、基础检测：1、(2014年天津市)要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的关系式为（ ） A ．()28121=+x x B ． ()28121=-x xC ．()281=+x xD ．()281=-x x2、（2014丽水）如图，某小区规划在一个长m 30、宽m 20的长方形ABCD 上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为278cm ，那么通道的宽应设计成多少m ？设通道的宽为xm ，由题意列得方程第2题图三、例题展示：例：如图：某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头．小岛F位于BC中点．一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）分析：（1）图形中线段长表示的量：已知AB= = 海里，DE表示的路程，表示军舰的路程.（2）找出题目中的等量关系即：速度等量：V军舰= 时间等量：t军舰=t补给船根据分析正确设出未知数,写出解题过程.四、课堂检测：1、（2014年山东泰安）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（）A．（3+x）（4﹣0.5x）=15 B．（x+3）（4+0.5x）=15C．（x+4）（3﹣0.5x）=15 D．（x+1）（4﹣0.5x）=152、一个矩形的面积是48平方厘米，它的长比宽多8厘米，则矩形的宽x（厘米），应满足方程______ ___ _.教学反思3、如图，某小区规划在长32米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AD平行，一条与AB平行，其余部分种草，若使草坪的面积为566米2，问小路应为多宽？4、（2014新疆，）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？第二章一元二次方程课题 2.6 应用一元二次方程（二）教师二备一、问题引入：常见应用题类型1、增长率问题：增长率问题分正增长率问题与负增长率问题．这类问题是在原来的量的基础上增长(或降低)多少个百分比的问题．对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义后，即可利用公式()bxa=+21求解，其中ba<，对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式()bxa=-21即可求解，其中1、（2014•湖南衡阳）学校去年年底的绿化面积为5000平方米，预计到明年年底增加到7200平方米，求这两年的年平均增长率．2、2、（2013山东泰安）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个；第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x 元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问：第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？教学反思第二章 一元二次方程单元检测题(总分100分)一、选择题：(每题4分，共32分)一、假设方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，那么（ ）A ．2±=mB ．2=mC ．2-=mD ．2±≠m二、已知m 是方程012=--x x 的一个根，那么代数式m m -2的值等于（ ）A.-1B.0C.1D.2 3、方程x x 22=的解为（ ）A.2=xB.21-=x ，02=xC. 21=x ，02=xD. 0=x 4、解方程)15(3)15(2-=-x x 的适当方式是（ ）A.开平方式B.配方式C.公式法D.因式分解法 五、用配方式解以下方程时，配方有错误的选项是（ ）A.09922=--x x 化为()10012=-x B.0982=++x x 化为()2542=+xC.04722=--t t 化为1681)47(2=-t D.02432=--y y 化为910)32(2=-y六、若是关于x 的一元二次方程02=++q px x 的两根别离为31=x ，12=x，那么那个一元二次方程是（ ）A.0432=++x xB.0342=-+x xC.0342=+-x xD. 0432=-+x x7、一元二次方程0624)2(2=-+--m mx x m 有两个相等的实数根，那么m 等于 （ ）A. 6- B. 1 C. 2 D. 6-或1八、某型号的电话持续两次降价，每一个售价由原先的1225元降到了625元，设平均每次降价的百分率为x ，列出方程正确的选项是（ ） A ．()122516252=+x B. ()625112252=+xC. ()122516252=-x D.()625112252=-x二、填空题：(每题4分，共20分)九、一元二次方程x x 71322=-的二次项系数为： ，一次项系数为： ____ ，常数项为： ___.10、请写出一个一元二次方程使它有一个根为-3， .1一、关于x 的一元二次方程022=+-m mx x 的一个根为1，那么方程的另一根为 . 1二、关于x 的一元二次方程0322=-+k x x 有实数根，那么k 的取值范围是 . 13、实数范围内概念一种运算“*”，其规那么为22b a b a -=*,依照那个规那么， 方程()031=*+x 的解为 . 三、解答题：14、解以下方程：(每题6分，共12分)(1) 01862=--x x (2) 752652x x x1五、已知关于的方程（ 的两根之和为，两根之差为1，其中是△的三边长 （1）求方程的根；（2）试判定△的形状．(每题12分)1六、团委预备举行学生绘画展览，在长30cm 、宽为20cm 的矩形画面的周围镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，求彩纸的宽度．(每题12分)17、果批发商场经销一种高级水果，若是每千克盈利15元，天天可售出500kg，经市场调查发觉，在进货价不变的情形下，每涨价1元，日销售量将减少30kg，现该商场要保证天天盈利8250元，同时又要使顾客取得实惠，那么每千克应涨价多少元？(每题12分)第三章概率的进一步熟悉例：.某电脑公司现有A 、B 、C 三种型号的甲品牌电脑和D 、E 两种型号的乙品牌电脑．希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑． （1）写出所有的选购方案（利用树状图或列表法表示）；（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A 型号电脑被选中的概率是多少？四、课堂检测：1、甲口袋中有1个红球和1个黄球，乙口袋中有1个红球、1个黄球和1个绿球，这些球除颜色外都相同．从两个口袋中各随机取一个球，取出的两个球都是红的概率为（ ） A.61 B.31 C.21 D.652、一次抽奖活动中，印发奖券1000张，其中一等奖20张，二等奖80张，三等奖200张，那么第一位抽奖者（仅买一张奖券）中奖的概率是( ). A.501 B.252 C.51 D.1033、三个人站成一排，通过试验可得，甲站在中间的概率为（ ）.A.61B.31C.21D.414、甲、乙两人赛跑，则开始起跑时都迈出左腿的概率是（ ） A.1 B.21 C.31 D. 415、某校决定从两名男生和两名女生中选出两名同学作为2014年元旦联欢晚会的主持人，则恰好选出一男一女的概率是 ．6、如图是某地的灌溉系统，一个漂浮物A 流到B 处的概率为 ．7、小明说：“我投均匀的一枚硬币2次，会出现两次都为反、一正一反和两次都为正三种情况，所以出现一正一反这种情况的概率是31”教学反思第三章概率的进一步熟悉第三章 概率的进一步熟悉课题3.1用树状图或表格求概率（三）教师二备一、问题引入：1、同时抛掷硬币三次，一共有 种可能出现的结果？求三枚硬币全部正面朝上的概率 .2、用树状图和列表的方法求概率应注意各种结果出现的可能性 . 二、基础训练：1、（1）一个口袋中有4粒糖，1粒红色，1粒黄色，2粒白色，今从中任取一粒，再放回，又取一粒，两粒都是白色的概率为_________.（2）一个口袋中有4粒糖，1粒红色，1粒黄色，2粒白色，今从中任取一粒，不放回，又取一粒，两粒都是白色的概率为_________.2、有6张写有数字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上 （如右图），从中任意一张是数字3的概率是（ ） A.61 B.31 C.21 D.32 3、有长度分别为2cm 、5cm 、7cm 、10cm 的四条线段，从中任取三条线段能够组成三角形的概率是（ ）A.14 B.12 C.23 D.34三、例题展示：例1、小英和小丽用两个转盘做“配紫色”游戏，配成紫色小英胜，否则小丽胜，用树状图或表格说明这个游戏对双方公平吗？例2:红 黄蓝蓝红 红 黄小明准备今年五一到上海参观世博会，但只需要一名家长陪同前往，爸爸、妈妈都很愿意陪同，于是决定用抛掷硬币的方法决定由谁陪同．每次掷一枚硬币，连掷三次．（1）用树状图列举三次抛掷硬币的所有结果；（2）若规定：有两次或两次以上正面向上，由爸爸陪同前往上海；有两次或两次以上反面向上，则由妈妈陪同前往上海．分别求由爸爸陪同小明前往上海和由妈妈陪同小明前往上海的概率．四、课堂检测：1、一个家庭有3个小孩．这个家庭有3个男孩的概率是；2、如图是两个可以自由转动的转盘，转盘均被等分成三个扇形，并分别标上1，2，3和6，7，8这6个数字．如果同时转动两个转盘各一次（指针落在等分线上重转），则转盘停止后指针指向的数字之和为偶数的概率是．3、一布袋中有红、黄、白三种颜色的球各一个，它们除颜色外其它都一样．小亮从布袋中摸出一个球后放回去摇匀，再摸出一个球．请你利用（列表或画树状图）分析并求出小亮两次都能摸到白球的概率．4、有四张不透明的卡片（如图），除正面的数字不同外，其余都相同，现将它们背面向上洗匀，从中任意抽取两张，上面的数字之和恰好为零的概率为（）.A.15B.14C.13D.125、随机掷一枚均匀的硬币三次，三次正面都朝上的概率是.6、利用下面的转盘做“配紫色”的游戏，用树状图求出“配紫色”的概率.7、在一个不透明的盒子中，放入2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．（1）搅匀后从中任意摸出2个球，请通过列表或树状图求摸出2个球都是白球的概率；（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋中，再次搅匀后从中任意摸出1个球，则2次摸出的球都是白色的概率为；教学反思第三章概率的进一步熟悉四、课堂检测:1、在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有（）A．16个B．15个C．13个D．12个2、随机抛掷一枚图钉10000次，其中针尖朝上的次数为2500次，则抛掷这枚图钉1次，针尖朝上的概率是．3、从一本书中随机抽取若干页，其中“的”出现的频率为0.03，由此可估计这本书中“的”字出现的频率为．4、一水塘里有鲤鱼、鲢鱼共10000尾，一渔民通过多次捕捞实验后发现，鲤鱼出现的频率为31%，则水塘大约有鲢鱼尾．5、一箱灯泡的合格率是87.5%，小刚由箱中任意买一个，则他买到次品的概率是（）A.124B.87.5%C.14D.186、小鸡孵化场孵化出1000只小鸡，在60只上做记号，再放入鸡群中让其充分跑散，再任意抓出50只，其中做有记号的大约是（）A．40只B．25只C．15只D．3只7、一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有3、4、5、x，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个小球，并计算摸出的这2个小球上数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复实验，实验数据如表：摸球总次数10 20 30 60 90 120 180 240 330 450“和为8”出现的频数 2 10 13 24 30 37 58 82 110 150“和为8”出现的频率0.20 0.50 0.43 0.40 0.33 0.31 0.32 0.34 0.33 0.33解答下列问题：（1）如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率将稳定在它的概率附近，估计出现“和为8”的概率是_________．（2）如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是，那么x的值可以取7吗？请用列表法或画树状图说明理由；如果x的值不可以取7，请写出一个符合要求的x值．教学反思课题第三章概率的进一步认识单元测试教师二备。

最新北师大版九年级上册数学导学案（全册共119页）目录第一章特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定第1课时菱形的性质第2课时菱形的判定1.2矩形的性质与判定第1课时矩形的性质第2课时矩形的判定1.3正方形的性质与判定第1课时正方形的性质第2课时正方形的判定第二章一元二次方程2.1 认识一元二次方程第1课时一元二次方程第2课时一元二次方程的解及其估算2.2 用配方法求解一元二次方程第1课时用配方法求解简单的一元二次方程第2课时用配方法求解较复杂的一元二次方程2.3 用公式法求解一元二次方程第1课时用公式法求解一元二次方程第2课时利用一元二次方程解决面积问题2.4 用因式分解法求解一元二次方程2.5一元二次方程的根与系数的关系2.6 应用一元二次方程第1课时几何问题及数字问题与一元二次方程第2课时第三章概率的进一步认识3.1 用树状图或表格求概率第1课时用树状图或表格求概率第2课时概率与游戏的综合运用3.2 用频率估计概率第四章图形的相似4.1 成比例线段第1课时线段的比和成比例线段第2课时比例的性质4.2 平行线分线段成比例4.3 相似多边形4.4 探索三角形相似的条件第1课时利用两角判定三角形相似第2课时利用两边及夹角判定三角形相似第3课时利用三边判定三角形相似第4课时黄金分割4.5 相似三角形判定定理的证明4.6 利用相似三角形测高4.7 相似三角形的性质第1课时相似三角形中的对应线段之比第2课时相似三角形的周长和面积之比4.8 图形的位似第1课时位似多边形及其性质第2课时平面直角坐标系中的位似变换第五章投影与视图5.1 投影第1课时投影的概念与中心投影第2课时平行投影与正投影5.2 视图第1课时简单图形的三视图第2课时复杂图形的三视图第六章反比例函数6.1 反比例函数6.2 反比例函数的图象与性质第1课时反比例函数的图象第2课时反比例函数的性质第一章 特殊平行四边形1.1 菱形的性质与判定第1课时 菱形的性质学习目标：①通过折、剪纸张的方法，探索菱形独特的性质。