【解析】北京市第四十四中学2021届高三上学期期中考试数学试题

2021-2022学年北京十四中高三（上）期中数学试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）设集合A ＝{x |−12＜x ＜2}，B ＝{x |x 2≤1}，则A ∪B ＝（ ） A ．{x |﹣1≤x ＜2}B ．{x|−12＜x ≤1}C ．{x |x ＜2}D ．{x |1≤x ＜2}2．（4分）已知平面向量a →=（1，2），b →=（﹣2，m ），且a →∥b →，则m 的值为（ ） A ．1B ．﹣1C ．4D ．﹣43．（4分）若等比数列{a n }满足a 1+a 3＝5，且公比q ＝2，则a 3+a 5＝（ ） A ．10B ．13C ．20D ．254．（4分）已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则（ ） A ．1x −1y＞0B ．sin x ﹣sin y ＞0C ．（12）x﹣（12）y ＜0D ．lnx +lny ＞05．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边与单位圆交于点（√33，−√63），则cos （π+α）＝（ ） A ．−√33B ．√33C ．−√63D ．√636．（4分）有四个关于三角函数的命题： P 1：∃x ∈R ，sin 2x2+cos 2x2=12；P 2：∃x 、y ∈R ，sin （x ﹣y ）＝sin x ﹣sin y ； P 3：∀x ∈[0，π]，√1−cos2x2=sin x ； P 4：sin x ＝cos y ⇒x +y =π2． 其中假命题的是（ ） A ．P 1，P 4B ．P 2，P 4C ．P 1，P 3D ．P 2，P 37．（4分）设a →，b →是非零向量，且a →，b →不共线．则“|a →|＝|b →|”是“|a →+2b →|＝|2a →+b →|”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．（4分）函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e ﹣x关于x 轴对称，则f （x ）＝（ ）A．e x+1B．e x﹣1C．﹣e﹣x﹣1D．﹣e﹣x+19．（4分）渔民出海打鱼，为了保证运回的鱼的新鲜度（以鱼肉内的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度．三甲胺量是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的．三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质进而腐败），鱼被打上船后，要在最短时间内将其分拣、冷藏．已知某种鱼失去的新鲜度h与其出海后时间t（分）满足的函数关系式为h＝m•a t．若出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，出海后30分钟，这种鱼失去的新鲜度为40%，那么若不及时处理，打上船的这种鱼大约在多长时间后刚好失去50%的新鲜度（）（参考数据：lg2＝0.3）A．33分钟B．43分钟C．50分钟D．56分钟10．（4分）函数f（x）是定义域为R的奇函数，满足f(π2−x)=f(π2+x)，且当x∈[0，π）时，f(x)=sinxx2−πx+π，给出下列四个结论：①f（π）＝0；②π是函数f（x）的周期；③函数f（x）在区间（﹣1，1）上单调递增；④函数g（x）＝f（x）﹣sin1（x∈[﹣10，10]）所有零点之和为3π．其中，所有正确结论的序号是（）A．①③B．①④C．①③④D．①②③④二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）抛物线x2＝4y的准线方程为．12．（5分）函数y＝x+4x−1（x＞1）的最小值是．13．（5分）在等差数列{a n}中，a1＝2，a4＝﹣4，则公差为；a1+a3+⋯+a2n+3＝．14．（5分）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|≤π2)，x=−π4为f（x）的零点，x=π4为y＝f（x）图像的对称轴，且f（x）在(π36，5π36)单调，则ω的最大值是．15．（5分）已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，则称集合是“好集合”，给出下列4个集合：①M＝{（x，y）|y=1x}；②M＝{（x，y）|y＝ex﹣2}；③M＝{（x，y）|y＝cos x}；④M＝{（x，y）|y＝lnx}．其中为“好集合”的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共85分）16．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝4，P A＝AD＝CD＝2，点E为PB的中点．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面P AC；（Ⅱ）求二面角E﹣CD﹣A的余弦值．17．（13分）在△ABC中，A=π3，b﹣a＝1，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）sin（A+B）的值；（Ⅱ）△ABC的面积．条件①：c＝5；条件②：cos B=−1 7．18．（14分）每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]，（12，14]，（14，16]，（16，18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在（12，14]，（14，16]，（16，18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在（14，16]内的学生人数为X ，求X 的分布列；（Ⅲ）以调查结果的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取20名学生，用“P 20（k ）”表示这20名学生中恰有k 名学生日平均阅读时间在（10，12]（单位：小时）内的概率，其中k ＝0，1，2，…，20．当P 20（k ）最大时，写出k 的值．（只需写出结论） 19．（15分）已知函数f （x ）＝（x +a ）e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R ． （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）当a ＜1时，试确定函数g （x ）＝f （x ﹣a ）﹣x 2的零点个数，并说明理由． 20．（15分）已知椭圆C ：x 216+y 212=1的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点P （m ，0）（m ＞4）满足条件|FA||AP|=e ．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记△PMF 和△PNF 的面积分别为S 1，S 2，求证：S 1S 2=|PM||PN|．21．（15分）对于实数数列{a n }，记m n =a 1+a 2+⋯+a nn．（Ⅰ）若m 1＝1，m 2＝2，m 3＝4，m 4＝8，写出a 1，a 2，a 3，a 4的值；（Ⅱ）若数列{a n }是等差数列，求证：对任意三元数组（i ，j ，k ）（i ，j ，k 两两不相等），总有（i ﹣j ）m k +（j ﹣k ）m i +（k ﹣i ）m j ＝0；（Ⅲ）若对任意三元数组（i ，j ，k ）（i ，j ，k 两两不相等），存在常数c ，使得（i ﹣j ）m k +（j ﹣k ）m i +（k ﹣i ）m j ＝c ，求证：{a n }是等差数列．2021-2022学年北京十四中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）设集合A ＝{x |−12＜x ＜2}，B ＝{x |x 2≤1}，则A ∪B ＝（ ） A ．{x |﹣1≤x ＜2}B ．{x|−12＜x ≤1}C ．{x |x ＜2}D ．{x |1≤x ＜2}【解答】解：∵A ={x|−12＜x ＜2}，B ＝{x |x 2≤1}＝{x |﹣1≤x ≤1} ∴A ∪B ＝{x |﹣1≤x ＜2}， 故选：A ．2．（4分）已知平面向量a →=（1，2），b →=（﹣2，m ），且a →∥b →，则m 的值为（ ） A ．1B ．﹣1C ．4D ．﹣4【解答】解：∵a →∥b →∴1×m ＝2×（﹣2）∴m ＝﹣4 故选：D ．3．（4分）若等比数列{a n }满足a 1+a 3＝5，且公比q ＝2，则a 3+a 5＝（ ） A ．10B ．13C ．20D ．25【解答】解：由等比数列{a n }满足a 1+a 3＝5，且公比q ＝2，∴a 3+a 5＝a 1q 2+a 3q 2＝q 2（a 1+a 3）＝20， 故选：C ．4．（4分）已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则（ ） A ．1x −1y＞0B ．sin x ﹣sin y ＞0C ．（12）x ﹣（12）y ＜0D ．lnx +lny ＞0【解答】解：∵x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则1x＜1y，sin x 与sin y 的大小关系不确定，(12)x ＜(12)y ，即(12)x −(12)y ＜0，lnx +lny 与0的大小关系不确定． 故选：C ．5．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边与单位圆交于点（√33，−√63），则cos （π+α）＝（ ）A ．−√33B ．√33C ．−√63D ．√63【解答】解：∵平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边与单位圆交于点（√33，−√63）， ∴cos α=√33，∴cos （π+α）＝﹣cos α=−√33． 故选：A ．6．（4分）有四个关于三角函数的命题： P 1：∃x ∈R ，sin 2x2+cos 2x2=12；P 2：∃x 、y ∈R ，sin （x ﹣y ）＝sin x ﹣sin y ； P 3：∀x ∈[0，π]，√1−cos2x2=sin x ； P 4：sin x ＝cos y ⇒x +y =π2． 其中假命题的是（ ） A ．P 1，P 4B ．P 2，P 4C ．P 1，P 3D ．P 2，P 3【解答】解：P 1：∀x ∈R 都有sin 2x2+cos 2x2=1，故P 1错误； P 2：x ＝y ＝0时满足式子，故P 2正确；P 3：∀x ∈[0，π]，sin x ＞0，且1﹣cos2x ＝2sin 2x ，所以√1−cos2x2=sin x ，故P 3正确； P 4：x ＝0，y =3π2，sin x ＝cos y ＝0，故P 4错误． 故选：A ．7．（4分）设a →，b →是非零向量，且a →，b →不共线．则“|a →|＝|b →|”是“|a →+2b →|＝|2a →+b →|”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由“|a →+2b →|＝|2a →+b →|”平方得“|a →|2+4a →•b →+4|b →|2＝4|a →|2+4a →•b →+|b →|2， 即“|a →|2＝|b →|2”，即“|a →|＝|b →|”，反之也成立， 即“|a →|＝|b →|”是“|a →+2b →|＝|2a →+b →|”充要条件， 故选：C ．8．（4分）函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e ﹣x关于x 轴对称，则f （x ）＝（ ） A ．e x +1B ．e x ﹣1C ．﹣e﹣x ﹣1D ．﹣e﹣x +1【解答】解：∵函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e ﹣x关于x 轴对称． ∴y ＝e﹣x关于x 轴对称的函数﹣y ＝e ﹣x ，即y ＝﹣e ﹣x ，再将些函数的图象向左平移一个单位长度就得到f （x ）的图象． ∴f （x ）＝﹣e ﹣（x +1）＝﹣e﹣x ﹣1．故选：C ．9．（4分）渔民出海打鱼，为了保证运回的鱼的新鲜度（以鱼肉内的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度．三甲胺量是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的．三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质进而腐败），鱼被打上船后，要在最短时间内将其分拣、冷藏．已知某种鱼失去的新鲜度h 与其出海后时间t （分）满足的函数关系式为h ＝m •a t ．若出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，出海后30分钟，这种鱼失去的新鲜度为40%，那么若不及时处理，打上船的这种鱼大约在多长时间后刚好失去50%的新鲜度（ ）（参考数据：lg 2＝0.3） A ．33分钟B ．43分钟C ．50分钟D ．56分钟【解答】解：由题意可知{20%=ma 2040%=ma 30，解得{m =120a =√210， ∴ℎ=120(√210)t ， ∴50%=120×(√210)t ， ∴t ＝10×log 210≈33， 故选：A ．10．（4分）函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，满足f(π2−x)=f(π2+x)，且当x ∈[0，π）时，f(x)=sinxx 2−πx+π，给出下列四个结论：①f （π）＝0；②π是函数f （x ）的周期；③函数f （x ）在区间（﹣1，1）上单调递增；④函数g （x ）＝f （x ）﹣sin1（x ∈[﹣10，10]）所有零点之和为3π． 其中，所有正确结论的序号是（ ） A ．①③B ．①④C ．①③④D ．①②③④【解答】解：对于①，因为f(π2−x)=f(π2+x)，且函数f （x ）是定义域为R 的奇函数， 则f （π）=f(π2+π2)=f(π2−π2)=f(0)=0， 故选项①正确；对于②，假设π是函数f （x ）的周期， 则f （−π2）＝f （π2），又f （x ）是定义在R 上的奇函数， 则f （−π2）＝﹣f （π2），所以f （π2）＝0，因为当x ∈[0，π）时，f(x)=sinxx 2−πx+π，所以f （π2）≠0，所以矛盾，则假设不成立，所以π不是函数f （x ）的周期， 故选项②错误；对于③，因为当x ∈[0，π）时，f(x)=sinxx 2−πx+π，所以f '（x ）=cosx(x 2−πx+π)+sinx(π−2x)(x 2−πx+π)2，当x ∈[0，π2)时，f '（x ）＞0，则f （x ）单调递增， 所以f （x ）在（0，1）上单调递增， 又f （x ）是R 上的奇函数，则函数f （x ）在区间（﹣1，1）上单调递增， 故选项③正确；对于④，由③可知，f （x ）在x ∈[0，π2)上单调递增， 又因为满足f(π2−x)=f(π2+x)，所以f（x）关于x=π2对称，则f（x+2π）=f[π2+(3π2+x)]=f[π2−(3π2+x)]=−f(π+x)=−f[π2+(π2+x)]=−f[π2−(π2+x)]=−f(−x)=f(x)，故函数f（x）的周期为2π，在一个周期内函数g（x）＝f（x）﹣sin1两个零点之和为π，在[﹣10，10]内有三个周期，所以所有零点之和为3π，故选项④正确．故正确的为①③④．故选：C．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）抛物线x2＝4y的准线方程为y＝﹣1．【解答】解：∵抛物线方程为x2＝4y，∴其准线方程为：y＝﹣1．故答案为：y＝﹣1．12．（5分）函数y＝x+4x−1（x＞1）的最小值是5．【解答】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0．∴函数y＝x+4x−1=（x﹣1）+4x−1+1≥2√(x−1)⋅4x−1+1=5，当且仅当x﹣1＝2，即x＝3时取等号．故答案为：5．13．（5分）在等差数列{a n}中，a1＝2，a4＝﹣4，则公差为﹣2；a1+a3+⋯+a2n+3＝﹣n2﹣n+2．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵数列{a n}是等差数列，a1＝2，a4＝﹣4，∴a4＝a1+3d，即﹣4＝2+3d，解得d＝﹣2；∴a1+a3+⋯+a2n+3＝（n+2）a1+12（n+2）（n+1）d＝（n+2）×2+12（n+2）（n+1）×（﹣2）＝﹣n2﹣n+2．故答案为：﹣2；﹣n2﹣n+2．14．（5分）已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|≤π2)，x =−π4为f （x ）的零点，x =π4为y ＝f （x ）图像的对称轴，且f （x ）在(π36，5π36)单调，则ω的最大值是 9 ． 【解答】解：因为x =−π4为f （x ）的零点，x =π4为y ＝f （x ）图像的对称轴， 所以2n+14⋅T =π2，即2n+14⋅2πω=π2，n ∈Z ，所以ω＝2n +1，n ∈Z ，又ω＞0， 故ω为正奇数， 因为f （x ）在(π36，5π36)单调， ①若f （x ）在(π36，5π36)上单调递增， 则ω⋅π36+φ≥2kπ−π2且ω⋅5π36+φ≤2kπ+π2，k ∈Z ， 解得4ωπ36≤π，即ω≤9，故有奇数ω的最大值为9， 当ω＝9时，−9π4+φ＝k π，k ∈Z ， 因为|φ|≤π2， 所以φ=π4，此时f （x ）＝sin （9x +π4）在(π36，5π36)上单调递减，不符合题意； ②若f （x ）在(π36，5π36)上单调递减， 则ω⋅π36+φ≥2kπ+π2且ω⋅5π36+φ≤2kπ+3π2，k ∈Z ， 解得4ωπ36≤π，即ω≤9，故有奇数ω的最大值为9， 当ω＝9时，−9π4+φ＝k π，k ∈Z ， 因为|φ|≤π2， 所以φ=π4，此时f （x ）＝sin （9x +π4）在(π36，5π36)上单调递减，符合题意；故ω的最大值为9．综上所述，ω的最大值为9．故答案为：9．15．（5分）已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，则称集合是“好集合”，给出下列4个集合：①M＝{（x，y）|y=1x}；②M＝{（x，y）|y＝ex﹣2}；③M＝{（x，y）|y＝cos x}；④M＝{（x，y）|y＝lnx}．其中为“好集合”的序号是②③．【解答】解：对于①，注意到x1x2+1x1x2=0无实数解，因此①不是“好集合”；对于②，如下左图，注意到过原点任意作一条直线与曲线y＝e x﹣2相交，过原点与该直线垂直的直线必与曲线y＝e x﹣2相交，因此②是“好集合”；对于③，如下中图，注意到过原点任意作一条直线与曲线y＝cos x相交，过原点与该直线垂直的直线必与曲线y＝cos x相交，因此③是“好集合”；对于④，如下右图，注意到对于点（1，0），不存在（x2，y2）∈M，使得1×x2+0×lnx2＝0，因为x2＝0与真数的限制条件x2＞0矛盾，因此④不是“好集合”．故答案为：②③三、解答题（本大题共6小题，共85分）16．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝4，P A＝AD＝CD＝2，点E为PB的中点．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面P AC；（Ⅱ）求二面角E﹣CD﹣A的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取AB 的中点F ，连接CF ，∴AF ＝CD 又∵AF ∥CD ，∴四边形AFCD 为平行四边形， ∵AB ⊥AD ，AD ＝CD ，∴四边形AFCD 是正方形， 则AB ⊥CF ，CF ＝AD ＝2，得AC ＝BC ＝2√2， ∴AC 2+BC 2＝AB 2，得BC ⊥AC ，∵P A ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥BC ， 又AC ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ， ∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面P AC ；（Ⅱ）解：∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AD ，P A ⊥AB ， 则P A 、AD 、AB 两两相互垂直，以A 为坐标原点，分别以AD 、AB 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 则A （0，0，0），P （0，0，2），B （0，4，0），C （2，2，0）， D （2，0，0），E （0，2，1），∴DC →=(0，2，0)，CE →=(−2，0，1)， 设平面CDE 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，由{n →⋅DC →=2y =0n →⋅CE →=−2x +z =0，取x ＝1，得n →=(1，0，2)； 又平面ACD 的一个法向量m →=(0，0，1)．∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=2√5×1=2√55，由图可知，二面角E ﹣CD ﹣A 为锐角， ∴二面角E ﹣CD ﹣A 的余弦值为2√55．17．（13分）在△ABC中，A=π3，b﹣a＝1，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）sin（A+B）的值；（Ⅱ）△ABC的面积．条件①：c＝5；条件②：cos B=−1 7．【解答】解：选择条件①：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得a2＝（a+1）2+25﹣2×（a+1）×5×12，解得a＝7，由正弦定理asinA =csinC，所以√32=5sinC，因此sin C=5√314，在△ABC中，A+B+C＝π，有sin（A+B）＝sin C=5√314．（Ⅱ）当a＝7时，b＝8，则S△ABC=12bc sin A＝10√3．选择条件②：（Ⅰ）在△ABC中，0＜B＜π，因为cos B=−17，则sin B=4√37，又因为A=π3，所以sin（A+B）＝sin（π3+B）＝sinπ3cos B+cosπ3sin B=√32×(−17)+12×4√37=3√314，即sin（A+B）=3√3 14．（Ⅱ）在△ABC 中，由正弦定理a b=sinA sinB=√324√37=78，又因为b ﹣a ＝1， 所以a ＝7，b ＝8， 则S △ABC =12bc sin A ＝6√3．18．（14分）每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]，（12，14]，（14，16]，（16，18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在（12，14]，（14，16]，（16，18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在（14，16]内的学生人数为X ，求X 的分布列；（Ⅲ）以调查结果的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取20名学生，用“P 20（k ）”表示这20名学生中恰有k 名学生日平均阅读时间在（10，12]（单位：小时）内的概率，其中k ＝0，1，2，…，20．当P 20（k ）最大时，写出k 的值．（只需写出结论） 【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：2（0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a +0.05+0.04+0.01）＝1， 解得a ＝0.10．（Ⅱ）由频率分布直方图得：这500名学生中日平均阅读时间在（12，14]，（14，16]，（16，18]三组内的学生人数分别为：500×0.10＝50人，500×0.08＝40人，500×0.02＝10人，若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在（14，16]内的学生中抽取：4050+40+10×10=4人，现从这10人中随机抽取3人，则X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）=C63C103=20120=16，P（X＝1）=C41C62C103=60120=12，P（X＝2）=C42C61C103=36120=310，P（X＝3）=C43C103=4120=130，∴X的分布列为：X0123P1612310130（Ⅲ）当P20（k）最大时，k＝4．19．（15分）已知函数f（x）＝（x+a）e x，其中e是自然对数的底数，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＜1时，试确定函数g（x）＝f（x﹣a）﹣x2的零点个数，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）＝（x+a）e x，x∈R，所以f′（x）＝（x+a+1）e x．令f′（x）＝0，得x＝﹣a﹣1．当x变化时，f（x）和f′（x）的变化情况如下：x（﹣∞，﹣a﹣1）﹣a﹣1（﹣a﹣1，+∞）f′（x）﹣0+f（x）↘极小值↗故f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣a﹣1）；单调增区间为（﹣a﹣1，+∞）．（Ⅱ）结论：函数g（x）有且仅有一个零点．理由如下：由g （x ）＝f （x ﹣a ）﹣x 2，得方程xe x ﹣a ＝x 2，显然x ＝0为此方程的一个实数解． 所以x ＝0是函数g （x ）的一个零点． 当x ≠0时，方程可化简为e x ﹣a ＝x ．设函数F （x ）＝e x ﹣a ﹣x ，则F ′（x ）＝e x ﹣a ﹣1，令F ′（x ）＝0，得x ＝a ．当x 变化时，F （x ）和F ′（x ）的变化情况如下：x （﹣∞，a ）a （a ，+∞）F ′（x ） ﹣ 0 + F （x ）↘极小值↗即F （x ）的单调增区间为（a ，+∞）；单调减区间为（﹣∞，a ）． 所以F （x ）的最小值F （x ）min ＝F （a ）＝1﹣a ． 因为 a ＜1，所以F （x ）min ＝F （a ）＝1﹣a ＞0， 所以对于任意x ∈R ，F （x ）＞0， 因此方程e x ﹣a ＝x 无实数解．所以当x ≠0时，函数g （x ）不存在零点． 综上，函数g （x ）有且仅有一个零点． 20．（15分）已知椭圆C ：x 216+y 212=1的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点P （m ，0）（m ＞4）满足条件|FA||AP|=e ．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记△PMF 和△PNF 的面积分别为S 1，S 2，求证：S 1S 2=|PM||PN|．【解答】（Ⅰ）解：因为椭圆C 的方程为x 216+y 212=1，所以a ＝4，b =2√3，c =√a 2−b 2=2，…（2分） 则e =c a =12，|F A |＝2，|AP |＝m ﹣4．…（3分）因为|FA||AP|=2m−4=12，所以m ＝8．…（5分）（Ⅱ）证明：若直线l 的斜率不存在，则有S 1＝S 2，|PM |＝|PN |，符合题意．…（6分） 若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣2），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．由{x 216+y 212=1y =k(x −2)得（4k 2+3）x 2﹣16k 2x +16k 2﹣48＝0，…（7分） 可知Δ＞0恒成立，且 x 1+x 2=16k24k 2+3，x 1x 2=16k 2−484k 2+3．…（8分）因为 k PM +k PN =y 1x 1−8+y 2x 2−8=k(x 1−2)x 1−8+k(x 2−2)x 2−8⋯（10分）=k(x 1−2)(x 2−8)+k(x 2−2)(x 1−8)(x 1−8)(x 2−8)=2kx 1x 2−10k(x 1+x 2)+32k(x 1−8)(x 2−8)=2k⋅16k 2−484k 2+3−10k⋅16k 24k 2+3+32k(x 1−8)(x 2−8)=0，所以∠MPF ＝∠NPF ．…（12分）因为△PMF 和△PNF 的面积分别为S 1=12|PF|⋅|PM|⋅sin∠MPF ， S 2=12|PF|⋅|PN|⋅sin∠NPF ，…（13分） 所以S 1S 2=|PM||PN|．…（14分）21．（15分）对于实数数列{a n }，记m n =a 1+a 2+⋯+a nn．（Ⅰ）若m 1＝1，m 2＝2，m 3＝4，m 4＝8，写出a 1，a 2，a 3，a 4的值；（Ⅱ）若数列{a n }是等差数列，求证：对任意三元数组（i ，j ，k ）（i ，j ，k 两两不相等），总有（i ﹣j ）m k +（j ﹣k ）m i +（k ﹣i ）m j ＝0；（Ⅲ）若对任意三元数组（i ，j ，k ）（i ，j ，k 两两不相等），存在常数c ，使得（i ﹣j ）m k +（j ﹣k ）m i +（k ﹣i ）m j ＝c ，求证：{a n }是等差数列． 【解答】解：（Ⅰ）a 1＝m 1＝1，a 1+a 2＝2m 2＝4，则a 2＝3， a 1+a 2+a 3＝3m 3＝12，则a 3＝8， a 1+a 2+a 3+a 4＝4m 4＝32，则a 4＝20，证明：（Ⅱ）由等差数列的通项公式可得a p ﹣a q ＝（p ﹣q ）（a 2﹣a 1），可得p ﹣q =a p −a qa 2−a 1，并注意到m s =a 1+a 2+⋯+a s n =(a 1+a s )n 2n=a 1+a s2， 于是（i ﹣j ）m k +（j ﹣k ）m i +（k ﹣i ）m j =a i −a j a 2−a 1m k +a i −a k a 2−a 1m i +a k −ai a 2−a 1m j ， =2a 2−a 1[（a i ﹣a j ）（a 1+a k ）+（a i ﹣a k ）（a 1+a i ）+（a k ﹣a i ）（a 1+a j ）]， =2a 2−a 1[（a i ﹣a j ）a k +（a i ﹣a k ）a i +（a k ﹣a i ）a j ]＝0；证明：（Ⅲ）首项交换（i ﹣j ）m k +（j ﹣k ）m i +（k ﹣i ）m j ＝c 中的i ，j 可得（j ﹣i ）m k +（i ﹣k ）m i +（k ﹣j ）m i ＝c ， 两式相加可得c ＝0，于是对任意三元数组（i ，j ，k ）（i ，j ，k 两两不相等，总有（i ﹣j ）m k +（j ﹣k ）m i +（k ﹣i ）m j ＝0，取i ＝n ，i ＝n +1，k ＝n +2， 得2m n +1＝m n +2+m n ，即m n +2﹣m n +1＝m n +1﹣m n ＝…＝a 2﹣a 1，于是数列{m n }是等差数列， 故m n ＝m 1+（n ﹣1）•a 2−a 12=a 1+（n ﹣1）•a 2−a 12，另一方面m n =a 1+a 2+⋯+a nn， 于是a 1+a 2+…+a n ＝n （a 1+（n ﹣1）•a 2−a 12），当n ≥2时，用n ﹣1替换n 得，a 1+a 2+…+a n ﹣1＝（n ﹣1）（a 1+（n ﹣2）•a 2−a 12），两式相减得a n ＝a 1+（n ﹣1）（a 2﹣a 1），n ≥2， a 1也满足上式，故{a n }是等差数列。

【高三】精品解析：北京市海淀区2021届高三上学期期中考试（数学理）试卷说明：北京市海淀区2021届高三上学期期中考试数学理题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合，，则( )A. B. C. D.]2.下列函数中，值域为的函数是( )A. B. C. D.3.在中，若，则=( )A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：因为，在中，若，所以，，，故选B.考点：任意角的三角函数4.在平面直角坐标系中，已知点，若，则实数的值为( )A. B. C. D. 5.若，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知数列的通项公式，则数列的前项和的最小值是（）A. B. C. D. 【答案】B7.已知，函数若，则实数的取值范围为（）A. B.C.D. 8.已知函数，在下列给出结论中：①是的一个周期；②的图象关于直线对称；③在上单调递减.其中，正确结论的个数为（）A. 0个B.1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】试题分析：因为，，第Ⅱ卷（共90分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9.___________.【答案】2【解析】试题分析：，故答案为2.考点：定积分的计算10.已知数列为等比数列，若，则公比____________.11.已知，则的大小关系为____________.12..函数的图象如图所示，则______________，__________.13.已知是正三角形，若与向量的夹角大于，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】试题分析：建立如图所示坐标系，不妨设，则，所以，，14.定义在上的函数满足：①当时，；②.设关于的函数的零点从小到大依次为.若，则 ________ ；若，则________________.【答案】14，【解析】试题分析：因为，定义在上的函数满足：①当时，；②.所以，的构成规律是：对于任意整数，在每一个区间，，，且在此区间满足；当时，的零点从小到大依次为，……，所以，当时，的零点从小到大依次满足，所以，考点：分段函数，函数的零点，等比数列的求和.三、解答题: 本大题共6小题，共80分。

2021北京四中高三（上）期中数学（理）(1)2021北京四中高三（上）期中数学（科学）（试卷满分：150分考试时间：120分钟）一、多项选择题1．已知集合a?{x?z(x?2)(x?1)?0}，b?{?2,?1}，那么aub等于a、 {2,1,0,1}b.{2,1,0}c.{2,1}d.{1}2．若tan??0，则a、罪？？03．已知向量a,b满足a?2b=0，(a?b)?b=2，则|b|?A.b．cos??0c．sin2??0d．cos2??01b。

1c。

2d。

221.13.14. 设定一个目标？log37，b？2，c？那么0.8a．b?a?cb．c?a?bc．c?b?ad．a?c?b5.认识一个？（1，x？1），b？（x？1,3），那么x？2是a吗？Ba．充分不必要条件b．必要不充分条件c．充分必要条件6.功能y？图中显示了F（x）的图像，然后可以导出F（x）的解析公式d．既不充分也不必要条件Y1132a.f(x)??xb.f(x)??xxx11f（x）？？exd。

f（x）？？lnxc。

xx问题6？十、3.如果Z？斧头？Y的最大值是3A？9.最小值为3A？3.那么实数a的取值范围是7。

实数x和Y满足以下要求：？十、Y0 x？Y6.0A.[1,0]b.[0,1]c.[1,1]d.（？？，1]？[1，？）8．设函数f(x)的定义域为d，如果存在正实数m，使得对任意x?d，都有f(x?m)?f(x)，则称f(x)为d1/9上的“m型增函数”．已知函数f(x)是定义在r上的奇函数，且当x?0时，f(x)?x?a?a(a?r)．若f(x)为r上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是a、 a？0b.a？5c.a？10d.a？二十二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.x3，x？69.如果函数f（x）？？，那么f（f（2））等于____log2x,x610.在平面直角坐标系xoy中，如果向量OA？AB，然后是实数k?___________.11.已知函数f（x）=sin（？x+？）(?>0,?) 的导数函数y=f'（x）的局部图像如图2所示，导数函数f'（x）的最小值为-2，那么？=_____________________12.已知正数x,y满足x?y?1，则14? 的最小值为XY的图11x2?6x?e2?5e?2,x?e,13.已知函数f(x)??（其中e为自然对数的底数，且e?2.718），若十、E十、2lnx，f（6？a2）？F（a），那么实数a的取值范围是____14．以a表示值域为r的函数组成的集合，b表示具有如下性质的函数?(x)组成的集合：对于函数?(x)，存在一个正数m，使得函数?(x)的值域包含于区间[?m,m]．例如，当?1(x)?x，?2(x)?sinx时，?1(x)?a，3.2（x）？b、现有的主张如下：①设函数f(x)的定义域为d，则“f(x)?a”的充要条件是“?b?r,?a?d,f(a)?b”；②若函数f(x)?b，则f(x)有最大值和最小值；③ 函数f（x）和G（x）的定义域是否相同，以及f（x）？a、 g（x）？b、那么f （x）？g（x）？B④ 如果函数f（x）？aln（x？2）？（所有真实命题的数量）2/9如果x（x×2，a×R）有最大值，那么f（x）？b、其中，真正的命题是____________________________已知集合a?{x|x2?10x?21?0},b?{x|1?log2x?log210},c?{x|2x?2a}.（一）寻找（时代）？B（ⅱ）已知p:x?a，q:x?c，若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围.16.（本子题满分为13分）在锐角?abc中，内角a,b,c所对的边长分别为a,b,c，已知b?5，sina?7，?abc的面积4s?abc?157.4（ⅰ）求c的值；（ⅱ）求sinc的值.17.（本分题满分13分）已知函数f(x)?2(3cosx?sinx)sinx,x?r.（ⅰ）求函数f(x)的最小正周期与单调增区间；（ⅱ）求函数f(x)在?0,18.（本分题满分13分）已知函数f(x)?alnx上的最大值与最小值.??4?1，a?r．x（ⅰ）若曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x?2y?0垂直，求a的值；（二）什么时候开始？1点钟时，问曲线y？F（x）和直线y？2倍？有公共3吗？如果是，找出所有的共同点；如果没有，请解释原因19.（本小题满分14分）已知函数f（x）？x2？（a？2）x？Alnx（a是实常数）（I）如果a？？2.找到曲线y？F（x）在x中？切线方程1；3/9（二）讨论[1，e]上函数f（x）的单调性；（ⅲ）若存在x?1,e，使得f(x)?0成立，求实数a的取值范围.20.（本分题满分14分）设f?x?是定义在d上的函数，若对d中的任意两数x1,x2（x1?x2），恒有2.12? 1f？x1？x2？？Fx1？？Fx2F十、C函数是在D上定义的吗3?33?3（ⅰ）试判断函数f?x??x是否为定义域上的c函数，并说明理由；2（II）如果函数f？十、是R上的奇数函数，试着证明f？十、不是R上的C函数；（ⅲ）设f?x?是定义在d上的函数，若对任何实数??[0,1]以及d中的任意两数x1,x2（x1?x2），恒有Fx1？？1.x2Fx1 1.Fx2F十、定义在D上的π函数已知吗？十、是R上的π函数，m是给定的正整数，设an?f?n?,n?0,1,2,l,m，且a0?0,am?2m，记sf?a1?a2?l?am.对于满足条件有函数f吗？十、试着找出SF的最大值4/9数学问题的答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.题号答案1b2c3c4b5a6c7c8b二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.题号答案题号答案931291041311?=2，?=14①③④?3(?3,2)三、共回答6个问题，共计80分。

2021年高三年级第一学期期中测验数学试卷（理科）（最新版）-Word文档，下载后可任意编辑和处理-北京市四中2021—2021年高三年级第一学期期中测验数学试卷（理科）（试卷满分150分，考试时间为120分钟）一、选择题（每小题5分，共40分） 1．若，则= （）A． B．C． D．R2．方程的解集为 （）A．B．C．D．3．若等比数列的公比为2，但前4项和为1，则这个等比数列的前8项和等于（）A．21B．19 C．17 D．154．下列求导正确的是 （）A．B．C． D．5．函数在区间内分别为（）A．单调递减，单调递增B．单调递增，单调递增C．单调递增，单调递减D．单调递减，单调递减6．等差数列的公差d不为0，a1=9d，若ak是a1与ak­的等比中项，则k= （）A．2B．4 C．6 D．87．命题p：函数的图象必过定点（－1，1）；命题q：如果函数的图象关于（3，0）对称，那么函数的图象关于原点对称，则有（）A．“p 且q”为真B．“p或q”为假 C．p真q假D．p假q真8．定义在R上的周期函数，其周期T=2，直线x=2是它的图象的上的一条对称轴，且上是减函数，如果A、B是锐角三角形的两个内角，则（）A．B．C． D．二、填空题（每小题5分共30分）9．曲线在处的切线的倾斜角为________.1,3,510．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5……的第100项是________.11．已知函数的最小正周期为________.12．已知是定义在（）上的减函数，其图象经过，B（0，－1）两点，的反函数是的值是________；不等式的解集为________.13．已知数列的前n项和则其通项an­=________；若它的第k 项满足________.14．对于函数有以下四个结论：①的定义域为R；②上是增函数；③是偶函数；④若已知a,其中正确的命题序号是________.三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（本小题13分）已知：函数（1）若的单调递增区间；（2）若时，的最大值为4，求：a的值，并指出这时x的值. 16．（本小题满分13分）已知：函数（1）若在上是增函数，求：实数a的取值范围；（2）若是的极值点，求在上的最小值和最大值.17．（本小题13分）已知：数列满足.（1）求数列的通项；（2）设求数列的前n项和Sn.18．（本小题13分）已知：△ABC中，角A、B、C所对的三边a，b，c成等比数列.（1）求证：；（2）求：函数的值域.19．（本小题14分）已知：二次函数满足条件：①②③对任意实数恒成立.（1）求：的表达式；（2）数列，若对任意的实数x都满足是定义在实数集R上的一个函数.求：数列的通项公式.20．（本小题14分）已知：定义在（－1，1）上的函数满足：对任意都有.（1）求证：函数是奇函数；（2）如果当求证：在（－1，1）上是单调递减函数；（3）在（2）的条件下解不等式：北京市四中2021—2021年高三年级第一学期期中测验数学试卷（理科）参考答案一、选择题（每小题5分，共40分）1．B 2．C 3．C 4．D 5．A 6．B 7．C 8．A 1,3,5二、填空题（每小题5分共30分）9．10．14 11．12．4 （－2，2）13．，8 14．①②④三、解答题15．解析：（1）解不等式得的单调区间为（2）∴当，此时.16．解析：（1）当x≥1时，是增函数，其最小值为（2） .x1(1,3)3(3,4)4－+－6]－18Z－12∴在上的最小值是，最大值是17．（Ⅰ）验证n=1时也满足上式：（Ⅱ）18．因为a、b、c成等比数列，所以，由余弦定理得：又因为，所以（2）由又因为即原函数的值域是19．解：（1）由条件得………………2分由恒成立………………4分………………5分（2）又恒成立令………………7分………………10分20．（1）证明：令………………2分令，即函数是奇函数.………………4分（2）证明：设因此，∴函数上是减函数.……………………9分（3）解：不等式∵函数上是减函数，……………………11分解得：∴原不等式的解集为………………14分。

北京四中高三数学期中测试卷(文)试卷总分值共计150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分1．集合，，那么〔〕A．B．C．D．2．复数〔〕A．B．C．D．3．曲线在点处的切线方程为〔〕A．B．C．D．4．等比数列中，，前3项之和，那么数列的公比为〔〕A．1 B．C．1或D．或5．假设向量，，那么以下结论中正确的选项是〔〕A．B．C．D．与垂直6．函数，下面结论错误的选项是〔〕A．函数的最小正周期为B．函数在区间上是增函数C．函数的图象关于直线对称D．函数是奇函数7．如果是定义在的增函数，且，那么一定是〔〕A．奇函数，且在上是增函数B．奇函数，且在上是减函数C．偶函数，且在上是增函数D．偶函数，且在上是减函数8．设，假设，且，那么的取值范围是〔〕A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分9．设点是线段的中点，点在直线外，假设，，那么__________。

10．函数的图象与函数的图象关于直线对称，那么__________。

11．函数的单调减区间是__________，极小值是___________。

12．三个数成等差数列，其比为3:4:5，又最小数加上1后，三个数成等比数列，那么原三个数是___。

13．假设二次函数满足且，那么实数的取值范围是____。

14．假设、是等腰直角斜边上的三等分点，那么__________。

三、解答题：本大题共6小题，共80分15．〔本小题总分值13分〕：函数〔其中〕的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为。

〔1〕求：的解析式；〔2〕当，求：函数的值域。

16．〔本小题总分值13分〕：假设是公差不为0的等差数列的前项和，且、、成等比数列。

〔1〕求：数列、、的公比；〔2〕假设，求：数列的通项公式。

17．〔本小题总分值13分〕：定义在R上的函数，其中a为常数。

〔1〕假设，求：的图象在点处的切线方程；〔2〕假设是函数的一个极值点，求：实数a的值；〔3〕假设函数在区间上是增函数，求：实数a的取值范围。

2021-2022学年北京四中高三（上）期中数学试卷一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合A ＝{x ∈Z ||2x ﹣3|＜5}，B ＝{﹣4，1，3，5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣4，1} B ．{1，5} C ．{3，5} D ．{1，3}2．下列命题中的假命题是（ ） A ．∃x ＞0，x 2＞x 3 B ．∀x ∈R ，lnx ＞0C ．∃x ∈R ，sin x ＞﹣1D ．∀x ∈R ，2x ＞03．若tan α＞0，则（ ） A ．sin α＞0 B ．cos α＞0 C ．sin2α＞0 D ．cos2α＞04．为了得到函数y ＝e 2x +1的图像，只需把函数y ＝e 2x 的图像（ ） A ．向左平移1个单位长度 B ．向右平移1个单位长度C ．向左平移12个单位长度D ．向右平移12个单位长度5．若1a ＜1b＜0，则下列不等式中，正确的是（ ）A ．a ＜bB ．a 2＞b 2C ．a +b ＜abD ．a −1a ＜b −1b6．y ＝（sin x ﹣1）2﹣cos 2x 的（ ） A ．最大值为4，最小正周期为2π B ．最大值为4，最小正周期为π C ．最小值为0，最小正周期为2πD ．最小值为0，最小正周期为π7．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x +1）＝﹣f （x ），且在[﹣1，0]上单调递增，a ＝f （3），b ＝f （√2），c ＝f （2），则a ，b ，c 大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞c ＞a D ．c ＞b ＞a8．已知平面向量a →，b →满足|a →−2b →|=√19，|a →|＝3，若cos ＜a →，b →＞=14，则|b →|＝（ ） A ．1 B ．2 C ．54D ．529．在△ABC 中，“cos A ＜cos B ”是“sin A ＞sin B ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．对于定义在R 上的函数y ＝f （x ），若存在非零实数x 0，使y ＝f （x ）在（﹣∞，x 0）和（x 0，+∞）上均有零点，则称x 0为y ＝f （x ）的一个“折点”，下列四个函数存在“折点”的是（ ） A ．f （x ）＝3|x ﹣1|+2B ．f(x)=lg(|x|+3)−12C ．f(x)=x 33−x −1D ．f(x)=x+1x 2+4二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分） 11．函数f(x)=log 3(x+2)x的定义域是 ．12．已知向量a →=（﹣4，5），b →=（6，m ），且（a →+b →）∥a →，则m ＝ ．13．已知α为第三象限角，且tan α＝3，则sin （α﹣π）＝ ；cos(α+π4)= ．14．唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮船航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子的半径为3m ，他以1rad /s 的角速度逆时针旋转，轮子外边沿有一点P ，点P 到船底的距离是H （单位：m ），轮子旋转时间为t （单位：s ）．当t ＝0时，点P 在轮子的最高处．（1）当点P 第一次入水时，t ＝ ． （2）当t =134π时，H ＝ ．15．已知函数y＝f（x），任取t∈R，定义集合At＝{y|y＝f（x），点P（t，f（t）），Q（x，f（x））满足|PQ|≤√2}．设M t，m t分别表示集合A t中元素的最大值和最小值，记h（t）＝M t﹣m t，给出以下四个结论：①若函数f（x）＝x2，则h（0）＝1；②若函数f（x）＝x2，则h（t）的最大值为2√2；③若函数f(x)=sin π2x，则h（t）在（1，2）上单调递增；④若函数f(x)=sin π2x，则h（t）的最小正周期为2．其中所有正确结论的序号为．三、解答题（共6小题，共85分解答写出文字说明、演算步骤或证明过程．）16．（14分）已知集合A＝{x|﹣x2+7x﹣10≥0}，B={x|12＜2x+1＜4a}．（1）若a＝2，求A∪B；（2）若A∩B≠∅，求a的取值范围．17．（14分）如图，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1，CD＝3，cos B=√33．（1）求AC的长；（2）若_____，求△ABC的面积．从①∠BCA=π3，②BC=√6，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．18．（14分）已知函数f(x)=12x2−3x+4ln(x+2)．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；（Ⅱ）若方程f（x）＝k恰有三个不同的解，求实数k的取值范围．19．（14分）已知函数f(x)=(sinx +√3cosx)2−2cos2x ． （Ⅰ）求f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）若f （x ）在区间[0，m ]（m ＞0）上的最大值是4，求m 的取值范围；（Ⅲ）令g （x ）＝f （ωx ）（ω＞0），如果曲线y ＝g （x ）与直线y ＝3相邻两个交点间的距离为π9，求ω的所有可能取值（直接写出结论）．20．（15分）设函数f（x）＝（x﹣1）e x+ax2，其中a∈R．（Ⅰ）若x＝1是函数f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）当a＜0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）当a＝0时，设函数g（x）＝lnx+x﹣e x+1，证明：f（x）﹣g（x）≥0．21．（14分）数列A n：a1，a2，…，a n（n≥4）满足a1＝1，a n＝m，a k+1﹣a k＝0或1（k＝1，2，…，n﹣1）对任意i，j，都存在s，t，使得a i+a j＝a s+a t，其中i，j，s，t∈{1，2，…，n}且两两不相等．（Ⅰ）若m＝2时，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列序号；①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2，2．（Ⅱ）记S＝a1+a2+…+a n，若m＝3，证明：S≥20；（Ⅲ）若m＝1000，求n的最小值．2021-2022学年北京四中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合A ＝{x ∈Z ||2x ﹣3|＜5}，B ＝{﹣4，1，3，5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣4，1}B ．{1，5}C ．{3，5}D ．{1，3}解：∵集合A ＝{x ∈Z ||2x ﹣3|＜5}＝{x ∈Z |﹣1＜x ＜4}＝{0，1，2，3}， B ＝{﹣4，1，3，5}， ∴A ∩B ＝{1，3}． 故选：D ．2．下列命题中的假命题是（ ） A ．∃x ＞0，x 2＞x 3 B ．∀x ∈R ，lnx ＞0C ．∃x ∈R ，sin x ＞﹣1D ．∀x ∈R ，2x ＞0解：对于A ，当x =12时，（12）2＞（12）3，所以∃x ＞0，x 2＞x 3，故A 正确；对于B ，由y ＝lnx 的单调性可知，当x ＞1时，lnx ＞0，当0＜x ＜1时，lnx ＜0，当x ＝1时，lnx ＝0，故B 错误；对于C ，由y ＝sin x 的值域为[﹣1，1]可知C 正确； 对于D ，由y ＝2x 的值域为（0，+∞）可知D 正确； 故选：B ．3．若tan α＞0，则（ ） A ．sin α＞0 B ．cos α＞0 C ．sin2α＞0 D ．cos2α＞0解：∵tan α＞0， ∴sinαcosα＞0，则sin2α＝2sin αcos α＞0． 故选：C ．4．为了得到函数y ＝e 2x +1的图像，只需把函数y ＝e 2x 的图像（ ） A ．向左平移1个单位长度 B ．向右平移1个单位长度C ．向左平移12个单位长度D ．向右平移12个单位长度解：y ＝e2x +1=e2(x+12)，即只需把函数y ＝e 2x 的图像向左平移12个单位即可，故选：C ． 5．若1a ＜1b＜0，则下列不等式中，正确的是（ ）A ．a ＜bB ．a 2＞b 2C ．a +b ＜abD ．a −1a ＜b −1b解：∵1a ＜1b＜0，∴b ＜a ＜0，所以A 不正确；|b |＞|a |，所以a 2＜b 2，所以B 不正确； ∴a +b ＜0＜ab ，所以C 正确； ∵1a ＜1b＜0，∴b ＜a ＜0，−1b ＜−1a ，所以a −1a＞b −1b，所以D 不正确； 故选：C ．6．y ＝（sin x ﹣1）2﹣cos 2x 的（ ） A ．最大值为4，最小正周期为2πB ．最大值为4，最小正周期为πC ．最小值为0，最小正周期为2πD ．最小值为0，最小正周期为π解：y ＝（sin x ﹣1）2﹣cos 2x ＝sin 2x ﹣2sin x +1﹣cos 2x ＝2sin 2x ﹣2sin x ， 可得函数的最小正周期为2π，且y ＝2（sin x −12）2﹣2×14=2（sin x −12）2−12， 当sin x =12时，函数取到最小值−12，当sin x ＝﹣1时，函数由最大值2×（﹣1）2﹣2×（﹣1）＝4， 故选：A ．7．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x +1）＝﹣f （x ），且在[﹣1，0]上单调递增，a ＝f （3），b ＝f （√2），c ＝f （2），则a ，b ，c 大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞c ＞aD ．c ＞b ＞a解：由条件f （x +1）＝﹣f （x ），可以得：f （x +2）＝f （（x +1）+1）＝﹣f （x +1）＝f （x ），所以f （x ）是个周期函数．周期为2． 又因为f （x ）是偶函数，所以图象在[0，1]上是减函数． a ＝f （3）＝f （1+2）＝f （1），b ＝f （√2）＝f （√2−2）＝f （2−√2）c ＝f （2）＝f （0） 0＜2−√2＜1 所以a ＜b ＜c 故选：D ．8．已知平面向量a →，b →满足|a →−2b →|=√19，|a →|＝3，若cos ＜a →，b →＞=14，则|b →|＝（ ） A ．1B ．2C ．54D ．52解：∵|a →−2b →|=√19，|a →|＝3，若cos ＜a →，b →＞=14， ∴a →2−4a →•b →+4b →2=9﹣4×3|b →|×14+4|b →|2=19， 解得：|b →|＝2或|b →|=−54（舍去）， 故选：B ．9．在△ABC 中，“cos A ＜cos B ”是“sin A ＞sin B ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：在△ABC 中，cos A ＜cos B ⇔A ＞B ⇔sin A ＞sin B ， 故“cos A ＜cos B ”是“sin A ＞sin B ”的充要条件， 故选：C ．10．对于定义在R 上的函数y ＝f （x ），若存在非零实数x 0，使y ＝f （x ）在（﹣∞，x 0）和（x 0，+∞）上均有零点，则称x 0为y ＝f （x ）的一个“折点”，下列四个函数存在“折点”的是（ ） A ．f （x ）＝3|x ﹣1|+2B ．f(x)=lg(|x|+3)−12C ．f(x)=x 33−x −1 D ．f(x)=x+1x 2+4解：对于A ，f （x ）＝3|x﹣1|+2≥30+2＝3，所以函数f （x ）没有零点，故A 错误；对于B ，当x ＞0时，f （x ）＝lg （x +3）−12，此时f （x ）为单调递增函数，当x =√10−3时，f （x ）＝0，即（0，+∞）时f （x ）有零点，因为f （x ）定义域为R ，f （﹣x ）＝f （x ），所以函数为偶函数，根据偶函数的对称性可知，在（﹣∞，0）上也有零点，故B 正确；对于C ，因为f （x ）=x 33−x ﹣1，f ′（x ）＝x 2﹣1，当﹣1＜x ＜1时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减； 当x ＞1时，f （x ）＞0，f （x ）单调递增，所以f （x ）在x ＝﹣1处取得极大值f （﹣1）=−13， 在x ＝1处取得极小值f （1）=−53＜0， 其图象为，而f （3）＝5＞0，所以f （x ）在R 上有且只有一个零点，从而f （x ）没有“折点”故C 不符合题意； 对于D ，f （x ）=x+1x 2+4， 定义域为R ， f ′（x ）=−(x 2+2x+4)(x 2+4)2=−(x+1)2+3(x 2+4)2＜0，所以f （x ）在R 上单调递减，所以函数f （x ）至多有一个零点，不符合题意，故D 错误； 故选：B ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分） 11．函数f(x)=log 3(x+2)x的定义域是 （﹣2，0）∪（0，+∞） ． 解：由题意得：{x +2＞0x ≠0，解得：x ＞﹣2且x ≠0， 故函数的定义域是（﹣2，0）∪（0，+∞）， 故答案为：（﹣2，0）∪（0，+∞）．12．已知向量a →=（﹣4，5），b →=（6，m ），且（a →+b →）∥a →，则m ＝ −152 ． 解：根据题意，向量a →=（﹣4，5），b →=（6，m ），则a →+b →=（2，m +5）， 若（a →+b →）∥a →，则2m ＝6（m +5）， 解可得：m =−152，故答案为：−152． 13．已知α为第三象限角，且tan α＝3，则sin （α﹣π）＝ 3√1010 ；cos(α+π4)= √55．解：已知α为第三象限角，且tan α＝3， 所以sin α=10，cos α=10； 故sin （α﹣π）＝﹣sin α=3√1010，cos （α+π4）=cosαcos π4−sinαsin π4=−√1010×√22+3√1010×√22=4√520=√55．故答案为：3√1010；√55． 14．唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮船航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子的半径为3m ，他以1rad /s 的角速度逆时针旋转，轮子外边沿有一点P ，点P 到船底的距离是H （单位：m ），轮子旋转时间为t （单位：s ）．当t ＝0时，点P 在轮子的最高处． （1）当点P 第一次入水时，t ＝ 2π3．（2）当t =134π时，H ＝ 4−3√22．解：（1）如图所示，当P 第一次入水时到达A 点，由几何关系知|OB |=32， 又圆的半径为3，故∠AOB =π3，此时轮子旋转的圆心角为：π−π3=2π3，故t =θω=2π31=2π3，（2）由题可知H （t ）＝4+3cos θ，θ＝ωt ，即H （t ）＝4+3cos t ， 当t =13π4时，H （13π4）＝4+3cos 13π4=4+3×cos 5π4=4﹣3×√22=4−3√22． 故答案为：2π3，4−3√22．15．已知函数y ＝f （x ），任取t ∈R ，定义集合At ＝{y |y ＝f （x ），点P （t ，f （t ）），Q （x ，f （x ））满足|PQ |≤√2}．设M t ，m t 分别表示集合A t 中元素的最大值和最小值，记h （t ）＝M t ﹣m t ，给出以下四个结论： ①若函数f （x ）＝x 2，则h （0）＝1；②若函数f （x ）＝x 2，则h （t ）的最大值为2√2；③若函数f(x)=sin π2x ，则h （t ）在（1，2）上单调递增； ④若函数f(x)=sin π2x ，则h （t ）的最小正周期为2． 其中所有正确结论的序号为 ①②③④． ． 解：对于①，∵函数f （x ）＝x 2，当t ＝0时，P （0，0），Q （x ，x 2），且√(x −0)2+(x 2−0)2≤√2，即x 2+x 4≤2， 令x 2＝m ，即m 2+m ≤2，解得0≤m ≤1， ∴M t ＝1，m t ＝0，h （0）＝1﹣0＝1，故①正确，由题意可得，Q 的轨迹是以P 为圆心，√2为半径的圆及其内部．当点P 在曲线上运动，h （t ）的最大值与最小值的差一定小于等于圆的直径2√2，故②正确， 对于③和④，如图所示，若函数f （x ）=sin π2x ，此时函数的最小正周期为2ππ2=4，点P （t ，sinπt 2），Q （x ，sinπx 2），当P 在A 点时，点O 在曲线OAB 上，M t ＝1，m t ＝0，h （t ）＝M t ﹣m t ＝1，当点P 在曲线从A 接近B 时，h （t ）逐渐增大，当点P 在B 点时，M t ＝1，m t ＝﹣1，h （t ）＝M t ﹣m t ＝2，当点P 在曲线从B 接近C 时，h （t ）逐渐减小，当点P 在C 点时，M t ＝1，m t ＝0，h （t ）＝M t ﹣m t ＝1，当点P 在曲线从C 接近D 时，h （t ）逐渐增大，当点P 在D 点时，M t ＝1，m t ＝﹣1，h （t ）＝M t ﹣m t ＝2，当点P 在曲线从D 接近E 时，h （t ）逐渐减小，当点P 在E 点时，M t ＝1，m t ＝0，h （t ）＝M t ﹣m t ＝1，依次类推，发现h （t ）的最小正周期为2，同时h （t ）在（1，2）上单调递增． 故答案为：①②③④．三、解答题（共6小题，共85分解答写出文字说明、演算步骤或证明过程．） 16．（14分）已知集合A ＝{x |﹣x 2+7x ﹣10≥0}，B ={x|12＜2x+1＜4a }． （1）若a ＝2，求A ∪B ；（2）若A ∩B ≠∅，求a 的取值范围．解：（1）A ＝{x |﹣x 2+7x ﹣10≥0}＝{x |2≤x ≤5}，a ＝2时，B ={x|12＜2x+1＜4a }={x |2﹣1＜2x +1＜24}＝{x |﹣1＜x +1＜4}＝{x |﹣2＜x ＜3}，故A ∪B ＝{x |﹣2＜x ≤5}；（2）B ={x|12＜2x+1＜4a }={x |2﹣1＜2x +1＜22a }＝{x |﹣1＜x +1＜2a }＝{x |﹣2＜x ＜2a ﹣1}，若A ∩B ≠∅，则2a ﹣1＞2，解得：a ＞32， 故a 的取值范围是（32，+∞）．17．（14分）如图，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1，CD ＝3，cos B =√33． （1）求AC 的长；（2）若_____，求△ABC 的面积．从①∠BCA =π3，②BC =√6，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．解：（1）∵∠D ＝2∠B ，cos B =√33， ∴cos D ＝cos2B ＝2cos 2B ﹣1=−13， 在三角形ADC 中，AD ＝1，CD ＝3，∴AC =√AD 2+DC 2−2AD ×DC ×cosD =√1+9−2×1×3×(−13)=2√3； （2）选①：∠BCA =π3，由（1）知AC ＝2√3， 由cos B =√33，可得sin B =√63，所以sin ∠BAC ＝sin （B +∠BCA ）＝sin B cos ∠BCA +sin ∠BCA cos B =3+√66，在△ABC 中，由正弦定理，得ACsinB=ABsin∠BCA，则AB =3√62，所以S △ABC =12AB •AC •sin ∠BAC =12×3√62×2√3×3+√66=9√2+6√34． 选②：BC =√6，由（1）知AC ＝2√3，由cos B =√33，得sin B =√63，在△ABC 中，由余弦定理，得cos B =BC 2+AB 2−AC22BC⋅AB ，即√33=22√6AB，解得AB ＝3√2， 所以S △ABC =12AB •BC •sin ∠B =12×3√2×√6×√63=3√2． 18．（14分）已知函数f(x)=12x 2−3x +4ln(x +2)． （Ⅰ）求曲线y ＝f （x ）在x ＝0处的切线方程；（Ⅱ）若方程f （x ）＝k 恰有三个不同的解，求实数k 的取值范围． 解：（Ⅰ）f ′（x ）＝x ﹣3+4x+2⇒f ′（0）＝﹣1， 又f （0）＝4ln 2，所以y ＝f （x ）在x ＝0处的切线方程为：y ﹣4ln 2＝﹣x ，即x +y ﹣4ln 2＝0；（Ⅱ）方程f （x ）＝k 恰有三个不同的解⇔直线y ＝k 与曲线f(x)=12x 2−3x +4ln(x +2)（x ＞﹣2）有三个不同的交点，因为f ′（x ）＝x ﹣3+4x+2=(x+1)(x−2)x+2（x ＞﹣2）， 所以①当﹣2＜x ＜﹣1或x ＞2时，f '（x ）＞0， ②当﹣1＜x ＜2时，f '（x ）＜0，所以f （x ）在（﹣2，﹣1），（2，+∞）上为增函数，在（﹣1，2）上为减函数，所以当x ＝﹣1时，f （x ）取得极大值f （﹣1）=72，当x ＝2时，f （x ）取得极小值f （2）＝4ln 4﹣4； 又当x →（﹣2）+时，f （x ）→﹣∞；x →+∞时，f （x ）→+∞， 所以若f （x ）＝k 恰有三个不同的解， 则4ln 4﹣4＝8ln 2﹣4＜k ＜72，所以实数k 的取值范围为（8ln 2﹣4，72）．19．（14分）已知函数f(x)=(sinx +√3cosx)2−2cos2x ． （Ⅰ）求f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）若f （x ）在区间[0，m ]（m ＞0）上的最大值是4，求m 的取值范围；（Ⅲ）令g （x ）＝f （ωx ）（ω＞0），如果曲线y ＝g （x ）与直线y ＝3相邻两个交点间的距离为π9，求ω的所有可能取值（直接写出结论）．解：（Ⅰ）因为f(x)=(sinx +√3cosx)2−2cos2x ＝sin 2x +3cos 2x +2√3sin x cos x ﹣2cos2x =1−cos2x2+3•1+cos2x 2+√3sin2x ﹣2cos2x=√3sin2x ﹣cos2x +2 ＝2sin （2x −π6）+2，令−π2+2k π≤2x −π6≤π2+2k π，k ∈Z ， 可得：−π6+k π≤x ≤π3+k π，k ∈Z ，所以f （x ）的单调递增区间为[−π6+k π，π3+k π]，k ∈Z ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f （x ）＝2sin （2x −π6）+2， 若f （x ）在区间[0，m ]（m ＞0）上的最大值是4， 则y ＝sin （2x −π6）在[0，m ]（m ＞0）上的最大值是1， 由0≤x ≤m ，可得−π6≤2x −π6≤2m −π6， 所以2m −π6≥π2，可得：m ≥π3， 所以m 的取值范围为[π3，+∞）．（Ⅲ）令g （x ）＝f （ωx ）＝2in （2ωx −π6）+2＝3，可得sin （2ωx −π6）=12， 所以2ωx −π6=π6+2k π，（k ∈Z ），或2ωx −π6=5π6+2k π，（k ∈Z ）， 可得x =π6ω+kπω，k ∈Z ，或x =π2ω+kπω，k ∈Z ，因为曲线y ＝g （x ）与直线y ＝3相邻两个交点间的距离为π9，所以π2ω+kπω−（π6ω+kπω）=π9，可得ω＝3，或π6ω+(k+1)πω−（π2ω+kπω）=π9，可得ω＝6，所以ω的所有可能取值为3或6．20．（15分）设函数f （x ）＝（x ﹣1）e x +ax 2，其中a ∈R ． （Ⅰ）若x ＝1是函数f （x ）的极值点，求a 的值；（Ⅱ）当a＜0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）当a＝0时，设函数g（x）＝lnx+x﹣e x+1，证明：f（x）﹣g（x）≥0．解：（Ⅰ）f′（x）＝e x+（x﹣1）e x+2ax＝xe x+2ax，因为x＝1是函数f（x）的极值点，所以f′（1）＝0，即e+2a＝0，所以a=−e2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）＝xe x+2ax＝x（e x+2a），a＜0，令f′（x）＝0，得x＝0或x＝ln（﹣2a），当−12＜a＜0时，令f'（x）＞0，解得x＜ln（﹣2a）或x＞0，令f'（x）＜0，解得ln（﹣2a）＜x＜0，当a=−12时，f'（x）≥0恒成立，当a＜−12时，f'（x）＞0，解得x＞ln（﹣2a）或x＜0，令f'（x）＜0，解得0＜x＜ln（﹣2a），综上所述，当−12＜a＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））和（0，+∞）单调递增，f（x）在（ln（﹣2a），0）上单调递减，当a=−12时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，当a＜−12时，f（x）在（﹣∞，0）和（ln（﹣2a），+∞）单调递增，在（0，ln（﹣2a））上单调递减．（Ⅲ）证明：当a＝0时，f（x）﹣g（x）＝（x﹣1）e x+e x﹣lnx﹣x﹣1，设h（x）＝xe x﹣lnx﹣x﹣1，定义域为（0，+∞），则证明h（x）＞0即可，因为h′（x）＝（x+1）e x−x+1 x，所以h′（0.1）＜0，h′（1）＞0，又因为h″（x）＝（x+2）e x+1x2＞0，所以函数h′（x）在（0，+∞）上单调递增，所以h′（x）＝0有唯一的实根x0∈（0，1），且e x0=1x，当0＜x＜x0时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞x0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，所以函数h（x）的最小值h（x0）所以h（x）≥h（x0）＝x0e x0−lnx0﹣x0﹣1＝1+x0﹣x0﹣1＝0，所以f（x）﹣g（x）≥0．21．（14分）数列A n：a1，a2，…，a n（n≥4）满足a1＝1，a n＝m，a k+1﹣a k＝0或1（k＝1，2，…，n﹣1）对任意i，j，都存在s，t，使得a i+a j＝a s+a t，其中i，j，s，t∈{1，2，…，n}且两两不相等．（Ⅰ）若m＝2时，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列序号；①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2，2．（Ⅱ）记S＝a1+a2+…+a n，若m＝3，证明：S≥20；（Ⅲ）若m＝1000，求n的最小值．解：（1）由题可知，数列A n必满足：a1＝l，a n＝m，a k+1﹣a k＝0或1，对任意i，j，都存在s，t，使得a i+a j＝a s+a t．i，j，s，t∈{1.2...…．n}且两两不相等，对①，a1+a2＝2，不满足a i+a j＝a s+a t，故①不符合；对②，当a i+a j＝2时，存在a s+a t＝2，同理当a i+a j＝4时，存在a s+a t＝4，当a i+a j＝3时，存在a s+a t＝3，故②符合；同理对③也满足，故满足题目条件的序列号为：②③；（2）证明：当m＝3时，设数列A n中1，2，3出现的频次为q1，q2，q3，由题意知，q i≥1，假设q1＜4时，a1+a2＜a s+a t（对任意s＞t＞2），与已知矛盾，故q1≥4，同理可证q3≥4，假设q2＝1，数列A n可表示为：1，l，l，1，2，3，3，3，3，显然，a4+a5≠a s+a t，故q2≥2，经验证q2＝2时，显然符合a i+a j＝a s+a t，所以q1≥4，q2≥2，q3≥4，数列A的最短数列可表示为：1，1，1，1，2，2，3，3，3，3，故S＝4+4+12＝20；解：（3）由（2）知，数列A n首尾应该满足B n：1，1，1，1，2，2，3，•，998，999，999，1000，1000，1000，1000，假设中间3.4.5，•，998各出现一次，此时n＝1008，显然满足a k+1﹣a k＝0或l，对a i＝a j＝1或a i＝a j＝1000时显然满足a i+a j＝a s+a t（q1＝4，q1000＝4）；对a i＝1，a j＝2或a i＝999，a j＝1000时显然满足a i+a j＝a s+a t（q1＝4，q2＝2，q999＝2，q1000＝4）；对a i＝1，a j＞2时，则可选取a s＝2，a k＝a j﹣1，满足a i+a j＝a s+a t，同理若a i＝1000，a j＜999，则可选取a s＝999，a i＝a j+1，满足a i+a j＝a s+a t；如果1＜a i≤a j＜1000，则可取a d＝a i﹣1，a t＝a j+1，这种情况下每个数最多被选取一次，因此也成立，故对任意i，j，都存在s，t，使得a i+a j＝a s+a t，其中i，j，s，t∈{1，2..…．n}且两两不相等，故n的最小值为1008．。

12021届北京四中高三第一学期期中考试数学（文科）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．设函数y =√x −2018的定义域为M ，函数y =e x 的值域为P ，则M ∩P = A ．(0,+∞) B ．[2018,+∞) C ．[0,+∞) D ．(2018,+∞) 2．在下列函数中，是偶函数,且在（0，1）内单调递减的是 A ．y =2x B ．y =1x C ．y =lgx D ．y =cosx3．执行如图所示的程序框图．若输出的结果是16，则判断框内的条件是4．在△ABC 中，a ＝3√3，b ＝3，A ＝π3，则C 为A ．π6B ．π4C ．π2D ．2π35．函数y =A sin (ωx +φ)（ω>0,|φ|<π2,x ∈R ）的部分图像如图所示，则函数表达式为A ．y =−4sin(π8x −π4) B ．y =−4sin(π8x +π4) C ．y =4sin(π8x −π4) D ．y =4sin(π8x +π4)6．设m,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m =λn ”是“m ⋅n <0”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．已知函数()2222,2{log ,2x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2054f x m m ≤- 成立，则实数m 的取值范围为A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．设x ∈R ，定义符合函数sgn(x)={1,x >00,x =0−1,x <0 ，则下列等式正确的是A ．sinx ⋅sgn(x)=sin|x|B ．sinx ⋅sgn(x)=|sinx|C ．|sinx |⋅sgn(x)=sin |x |D ．sin |x |⋅sgn(x)=|sinx |二、填空题9．i 为虚数单位，计算(−3−i)i =_______________。

2024北京高三（上）期中数学（答案在最后）本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，只收答题纸，不收试卷.一、单选题（本大题共10小题，共40分）1.设集合{}22M x x =<，{}13N x x =-≤≤，则M N ⋃=（）A.{1x x -≤< B.{}12x x -≤<C.{}3x x <≤ D.{}23x x -<≤【答案】C 【解析】【分析】解不等式求集合M ，进而根据并集运算求解.【详解】因为22x <，解得x <<，即{|M x x =<<，且{}13N x x =-≤≤，所以{}3M N xx =<≤∣ ．故选：C ．2.曲线3113y x =+在点()3,8--处的切线斜率为（）A.9 B.5C.8- D.10【答案】A 【解析】【分析】求导，根据导数的几何意义可得解.【详解】由已知3113y x =+，则2y x '=，当3x =-时，()239y '=-=，即切线斜率9k =，故选：A.3.在复平面内，复数z 1，z 2对应的点分别是()()2,1,1,3--，则21z z 的模是（）A .5B.C.2D.【答案】D【解析】【分析】由复数的除法运算及模长公式即可求解.【详解】由题意知，12i z =-，213i z =-，所以()()()()2113i 2i 13i 55i 1i 2i 2i 2i 5z z -+--====---+所以21z z ==，故选：D.4.已知直线6x π=是函数()sin (08)6f x x πωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭图像的一条对称轴，则ω的值为（）A.3B.4C.2D.1【答案】C 【解析】【分析】根据正弦函数图象的对称性可得,Z 662k k πππωπ⋅+=+∈，由此可得答案.【详解】依题意得()sin()1666f πππω=⋅+=±，所以,Z 662k k πππωπ⋅+=+∈，即62,Z k k ω=+∈，又08ω<<，所以2ω=.故选：C.5.若0.5.43200.4,0.5,log 4a b c ===，则a b c ，，的大小关系是（）A.a b c<< B.b c a<< C.c b a << D.c a b<<【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数和幂函数的单调性比较大小可得答案.【详解】322log 40.45===c ，因为0.4x y =在R 上为减函数，所以10.50.40.40.40.4=<=<c a ，因为0.4y x =在()0,x ∈+∞上为增函数，所以0.40.40.50.4>=b ，所以a b <，所以c a b <<，故选：D.6.在ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点．则EB =（）A.3144AB AC -B.3344AB AC -C.3144AB AC +D.3344AB AC +【答案】A 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算即可求解.【详解】因为ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，所以()1113122244EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯++=-，故选：A ．7.在长方体1111ABCD A B C D -的八个顶点任两点连线中，随机取一直线，则该直线与平面11AB D 平行的概率为A.314B.514C.328D.528【答案】C 【解析】【分析】由题意结合排列组合公式和古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.【详解】八个顶点任两点连线共有28C 28=条，其中直线与平面11AB D 平行的有BD ，1BC ， 共有3条，所以该直线与平面11AB D 平行的概率为328P =.故选：C .8.已知,a b 都大于零且不等于1，则“log 1a b >”是“(1)(1)0a b -->”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】log 1ab >等价于1b a >>或01b a <<<，(1)(1)0a b -->等价于11a b >⎧⎨>⎩或0101a b <<⎧⎨<<⎩，然后可判断出答案.【详解】由log 1a b >可得log log a a b a >，所以可得1a b a >⎧⎨>⎩或01a b a <<⎧⎨<⎩，即1b a >>或01b a <<<(1)(1)0a b -->等价于11a b >⎧⎨>⎩或0101a b <<⎧⎨<<⎩所以“log 1a b >”是“(1)(1)0a b -->”的充分不必要条件故选;：A9.已知函数()22,,x x x mf x x x m⎧-≥=⎨<⎩在R 上单调递增，则实数m 的取值范围是（）A.1m ≥B.3m ≥C.13m ≤≤D.1m ≤或3m ≥【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数的单调性及断点处左侧的函数值不大于右侧函数值得到不等式，解得即可.【详解】因为()22211y x x x =-=--在[)1,+∞上单调递增，y x =在R 上单调递增，又()22,,x x x mf x x x m ⎧-≥=⎨<⎩在R 上单调递增，所以212m m m m ≥⎧⎨≤-⎩，解得3m ≥，即实数m 的取值范围是3m ≥.故选：B10.核酸检测分析是用荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时监测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA 的数量n X 与扩增次数n 满足()0lg lg 1lg n X n p X =++，其中p 为扩增效率，n X 为DNA 的初始数量．已知某被测标本DNA 扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p 约为（）（参考数据：0.210 1.585≈，0.2100.631-≈）A.36.9% B.41.5%C.58.5%D.63.4%【答案】C 【解析】【分析】由题意，0100n X X =代入解方程即可.【详解】由题意可知，()00lg10010lg 1lg X p X =++，即002lg 10lg(1)lg X p X +=++，所以0.2110 1.585p +=≈，解得0.585p =.故选：C二、填空题（本大题共5小题，共25分）11.函数y =______.【答案】()0,2【解析】【分析】由函数特征得到不等式，求出定义域.【详解】由题意得240x x >⎧⎨->⎩，解得02x <<，故定义域为()0,2.故答案为：()0,212.已知等差数列{}n a 的前n 项和为13,1,18n S a S ==，则6S =______.【答案】81【解析】【分析】运用等差数列的性质公式计算即可.【详解】根据题意，知道131,18a S ==，则231417a a a a +==+，则416a =，若公差为d ，所以41315a a d -==，则5d =.故1234561,6,11,16,,21,26.a a a a a a ======则6161116212681S =+++++=.故答案为：8113.在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()226b a c =+-，23B π=，则ABC V 的面积是______________.【答案】332【解析】【分析】利用余弦定理求出ac 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABC V 的面积.【详解】由余弦定理可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=++，222a c b ac ∴+-=-，()2222626b a c a c ac =+-=++- ，可得222260a c b ac +-+-=，则260ac ac --=，解得6ac =，因此，ABC V的面积是11sin 62222ABC S ac B ==⨯⨯=△.故答案为：2.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.14.已知函数()()22log 2,014,03x x x a x f x x ⎧++≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩的值域是R ，则实数a 的最大值是______．【答案】8【解析】【分析】根据条件可得()f x 在[)0+∞，上的最小值小于或等于3，判断其单调性列出不等式得出a 的范围．【详解】当0x <时，1()43)(,3xf x ⎛⎫=- ∈-∞⎪⎝⎭．因为()f x 的值域为R ，则当0x ≥时，min ()3f x ≤．当0x ≥时，222(1)1y x x a x a =++=++-，故()f x 在[)0+∞，上单调递增，min ()=(0)3f x f ∴≤，即2log 3a ≤，解得08a <≤，即a 的最大值为8．故答案为：8．15.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA =AB =4．E ，F ，H 分别是棱PB ，BC ，PD 的中点，对于平面EFH 截四棱锥P ABCD -所得的截面多边形，有以下三个结论：①截面面积等于；②截面是一个五边形；③直线PC 与截面所在平面EFH 无公共点．其中，所有正确结论的序号是_____．【答案】②③【解析】【分析】根据给定条件，作出平面EFH 截四棱锥P ABCD -所得的截面多边形，再逐一判断各个命题作答.【详解】在四棱锥P ABCD -中，PA =AB =4，取CD 中点，连接FG ，GH ，BD ，AC ，如图，因底面ABCD 为正方形，,,E F H 分别是棱,,PB BC PD 的中点，则////EH BD FG ，////EF PC GH ，EFGH 是平行四边形，令FG AC J ⋂=，有14CJ AC =，在PA 上取点I ，使14PI PA =，连接,,EI HI JI ，则////JI PC EF ，点J ∈平面EFH ，有JI ⊂平面EFH ，点I ∈平面EFH ，,EI HI ⊂平面EFH ，因此五边形EFGHI 是平面EFH 截四棱锥P ABCD -所得的截面多边形，②正确；因EF ⊂平面EFH ，PC ⊄平面EFH ，而//EF PC ，则//PC 平面EFH ，直线PC 与截面所在平面EFH 无公共点，③正确；PA ⊥底面ABCD ，FG ⊂平面ABCD ，有PA FG ⊥，而BD AC ⊥，//BD FG ，则AC FG ⊥，又PA AC A = ，,PA AC ⊂平面PAC ，因此FG ⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，于是得FG PC ⊥，有FG EF ⊥，而122FG BD ==，22112322EF PC PA AC ==+，矩形EFGH 面积等于6EF FG ⋅=，3334JI PC ==，而JI EH ⊥，则IE H 边EH 上的高等于3JI EF -=1362IEH S EH == ，所以截面五边形EFGHI 面积为56.故答案为：②③【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.三、解答题（共6题，共85分）16.已知函数()()22sin cos 2cos f x x x x =+-，（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值【答案】（1）最小正周期π，单调递减区间3π7ππ,π88k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（2，最小值-1．【解析】【分析】（1）先根据二倍角公式与配角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数性质求最小正周期和单调递减区间；（2）先根据π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，确定正弦函数自变量取值范围，再根据正弦函数性质求最值.【小问1详解】()()()222πsin cos 2cos 12sin cos 2cos 1sin 21cos 224f x x x x x x x x x x ⎛⎫=+-=+-=+-+=- ⎪⎝⎭,∴最小正周期2ππ2T ==，由ππ3π22π,2π422x k k ⎡⎤-∈++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 得单调递减区间为3π7ππ,π88x k k ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；【小问2详解】由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得ππ3π2,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故当ππ242x -=时，()f x ；当ππ244x -=-时，()f x 的最小值为-1.17.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且___________.在下面的三个条件中任选一个补充到上面的问题中，并给出解答.①22cos a b c B -=，②1sin cos 62C C π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，③(,)m a c b a =-- ，(,)n a c b =+ ，m n ⊥.（1）求角C ；（2）若c =，求ABC V 周长的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）3π（2）【解析】【分析】（1）选①由正弦定理结合和角公式得出角C ；选②由和角公式结合辅助角公式得出角C ；由数量积公式结合余弦定理得出角C ；（2）由余弦定理结合基本不等式得出ABC V 周长的取值范围.【小问1详解】选①由正弦定理及22cos a b c B -=，2sin sin 2sin cos A B C B -=，又sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，2sin cos sin B C B∴=sin 0B ≠ ，1cos 2C ∴=，又(0,)C π∈，3C π∴=.选②由1sin cos 62C C π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，311sin cos cos 222C C C +=+，即311sin cos 222C C -=，1sin 62C π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭.(0,)C π∈ ，5,666C πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，66C ππ∴-=，3C π∴=.选③(,)m a c b a =-- ，(,)n a c b =+ .m n ⊥.()()()0a c a c b a b ∴-⋅++-⋅=.化简得222a b c ab +-=，2221cos 22a b c C ab +-==.又(0,)C π∈ ，3C π∴=.【小问2详解】由余弦定理得2222222cos ()3c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-，又2a b+³Q 2()4a b ab +∴≤当且仅当a b =时等号成立.2233()3()4ab a b a b ∴=+-≤+，0a b ∴<+≤，当且仅当a b ==.a b c ∴++≤=又a b c +>，2a b c c ∴++>=ABC ∴周长的取值范围为.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，22PD DC AD ===，E 是PC 的中点．（1）求证：PA ∥平面EDB ；（2）求平面EDB 与平面PAD 夹角的余弦值；（3）在棱PB 上是否存在一点F ，使直线EF 与平面EDB 所成角的正弦值为3，若存在，求出求线段BF 的长；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）66（3）存在；BF 的长为32或94【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积公式求解二面角；（3）假设棱PB 存在一点F 使得BF BP λ= ，且EF EB BF =+uu u r uur uu u r，即可求出EF ，利用向量的夹角公式列出关于λ的方程求解即可.【小问1详解】连接AC ，交BD 于点O ，连接OE ，点E 是PC 的中点，点O 是AC 的中点，所以PA ∥OE ,OE ⊂平面EDB ,PA ⊄平面EDB ，所以PA ∥平面EDB ；【小问2详解】如图，以向量DA ，DC ，DP为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，即()0,0,0D ，()1,2,0B ，()0,1,1E ，则()()1,2,0,0,1,1DB DE ==，设平面EDB 的法向量(),,m x y z = ，则20DB m x y DE m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1y =-得2,1x z ==，所以平面EDB 的法向量()2,1,1m =-，平面PAD 的一个法向量为()0,1,0n =，设平面EDB 和平面PAD 的夹角为θ，则6cos cos ,66m n m n m n θ⋅====，所以平面EDB 和平面PAD 的夹角的余弦值为66；【小问3详解】由（2）知()0,0,0D ，()1,2,0B ，()0,1,1E ，()0,0,2P ，()1,1,1EB =- ，()1,2,2BP =-- ，(),2,2(01)BF BP λλλλλ==--<<，()()()1,1,1,2,21,12,12EF EB BF λλλλλλ=+=-+--=---+，由（2）知平面EDB 的法向量()2,1,1m =-，设直线EF 与平面EDB 的夹角为α，则6sin cos ,,013EF m αλ===<<整理得281030λλ-+=，解得12λ=或3,4λ=故当12λ=时，32BF =；当34λ=时，94BF =则BF 的长为32或94．19.某市A ，B 两所中学的学生组队参加信息联赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生.B 中学推荐了3名男生、4名女生.两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队参赛.（1）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；（2）设X 表示A 中学参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期望；（3）已知3名男生的比赛成绩分别为76，80，84，3名女生的比赛成绩分别为77，a ()*a ∈N，81，若3名男生的比赛成绩的方差大于3名女生的比赛成绩的方差，写出a 的取值范围（不要求过程）.【答案】（1）99100（2）分布列见解析，期望为32（3）{|738},5N a a a *<∈<【解析】【分析】（1）A 中学至少有1名学生入选代表队的对立事件是A 中没有学生入选代表队，那3名男生和3名女生都是B 中学的学生，计算概率后，求对立事件的概率即可；（2）6名男队员中有A ，B 中学各3人，所以选3人来自A 中学的人数X 可能取值为0，1，2，3，根据超几何分布计算其概率，列出分布列，求期望；（3）根据平均数与方差的计算公式，结合题意即可得出a 的取值范围.【小问1详解】由题意知，参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全部从B 中学中抽取（等价于A 中学没有学生入选代表队）的概率为33343366C C 1C C 100=.因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1991100100-=.【小问2详解】根据题意得，X 的可能取值为0，1，2，3.则()()031233333366,0C C C C 1901C 20C 2P X P X ⋅⋅======，()213336C C 92C 20P X ⋅===，()330363C C 13.C 20P X ⋅===所以X 的分布列为：X 0123P120920920120因此，X 的数学期望()199130123202020202E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问3详解】3名男生的比赛成绩分别为76，80，84，平均值为80，方差为2224)043233-++=(，3名女生的比赛成绩为77，a ()*a ∈N，81，平均值为1583a +，所以222158158158327781333a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()()()()()()222222329732158857347985a a a a a a ⨯>-+-+-=-+-+-，代入检验，可知a 最小为74，最大84，故7385a <<，N a *∈即a 的取值范围{|738},5N a a a *<∈<.20.已知函数()211ln22f x a x x =--+（a ∈R 且0a ≠）.（Ⅰ）当a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）若0a >，讨论函数()f x 的单调性与单调区间；（Ⅲ）若()y f x =有两个极值点1x 、2x ，证明：()()129ln f x f x a +<-.【答案】（Ⅰ）10x y +--=；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）求出()1f 和()1f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（Ⅱ）求得()2x af x x-+-'=，由20x a -+-=，分0∆>和0∆≤两种情况讨论，分析()f x '的符号变化，可得出函数()y f x =的单调递增区间和递减区间；（Ⅲ）由题意可知，方程()0f x '=有两正根1x 、2x ，利用韦达定理得出12x x +=，12x x a =且()0,3a ∈，将所证不等式转化为ln ln 20a a a a --+>，构造函数()ln ln 2x x g x x x =--+，利用导数证明出当()0,3x ∈时，()0g x >即可.【详解】由题可知：函数()f x 的定义域为 t h（Ⅰ）因为a =时，()21122f x x x =--+，所以()f x x x'=--，那么()11f '=-，()1f =，所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为：()1y x -=--，即10x y +-=；（Ⅱ）因为()2a x af x x x x-+-'=--=，由20x a -+-=可得：①当1240a ∆=->，()0,3a ∈，时，有1x =+，2x =120x x >>，()20,x x ∈和()1,x x ∈+∞时()0f x '<，即函数()y f x =在(和)+∞上为减函数；()21,x x x ∈时，()0f x '>，即函数()y f x =在上为增函数；②当3a ≥时，0∆≤，()0f x '≤恒成立，所以函数()y f x =在 t h 为减函数.综上可知：当0<<3a 时，函数()y f x =在(和)+∞上为减函数，在上为增函数；当3a ≥时，函数()y f x =在 t h 上为减函数；（Ⅲ）因为()y f x =有两个极值点1x 、2x ，则()20x af x x-+-'==有两个正根1x 、2x ，则有1240a ∆=->，且12x x +=，120x x a =>，即()0,3a ∈，所以()())()()22121212121ln 1ln 72f x f x x x a x x x x a a a +=+--++=-++若要()()129ln f x f x a +<-，即要ln ln 20a a a a --+>，构造函数()ln ln 2x x g x x x =--+，则()1ln g x x x'=-，易知()y g x '=在()0,3上为增函数，且()110g '=-<，()12ln 202g '=->，所以存在()01,2x ∈使()00g x '=即001ln x x =，且当()01,x x ∈时()0g x '<，函数()y g x =单调递减；当()0,2x x ∈时，()0g x '>，函数()y g x =单调递增.所以函数()y g x =在()1,2上有最小值为()00000001ln ln 23g x x x x x x x ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭，又因为()01,2x ∈则00152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()00g x >在()01,2x ∈上恒成立，即()()129ln f x f x a +<-成立.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程、利用导数求解含参函数的单调区间以及利用导数证明不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.21.设n 为正整数，集合(){}{}12|,,,,0,1,1,2,,.n n i A a a a a i n αα==∈= 对于()12,,,n n a a a A α=∈ ，设集合(){}01,,1,2,,i t i P a t t n a a i n t +=∈≤≤-==⋯-N .（1）若()()0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0αβ==，写出集合()(),P P αβ；（2）若()12,,,n n a a a A α=∈ ，且(),s t P α∈满足s t <，令()12,,,n s n s a a a A α--∈'= ，求证：()t s P α-∈'；（3）若()12,,,n n a a a A α=∈ ，且(){}1212,,,,3m m P s s s s s s m α=<<<≥ （），求证：()1221,2,,2k k k s s s k m ++≥+=- .【答案】（1）(){}(){}0,3,5,0,5,8,10P P αβ==；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意，即可直接写出(),()P P αβ；（2）由i s i a a +=可得j t j t s a a ++-=，结合j t j a a +=可得,1,2,,j t s j a a j n t +-==- ，即可证明；（3）若()t P α'∈且2t n s <-则2,1,2,,2i t i a a i n s t +==-- ，进而2()s t P α+∈，由（2）可知1()k k k s s P α+-∈，分类讨论12()k k k s s n s +-<-、12()k k k s s n s +-≥-时12k k s s +-与2k s +的大小关系，即可证明.【小问1详解】(){0,3,5},(){0,5,8,10}P P αβ==；【小问2详解】因为()s P α∈，所以,1,2,,i s i a a i n s +==- ，当1j n t ≤≤-时，1j t s n t t s n s <+-≤-+-=-，所以j t s s j t s a a +-++-=，即j t j t s a a ++-=，1,2,,j n t =- ，又因为()t P α∈，所以,1,2,,j t j a a j n t +==- ，所以,1,2,,j t s j a a j n t +-==- ，所以()t s P α'-∈；【小问3详解】对任意()s P α∈，令12(,,,)n s n s a a a A α--'=∈ ，若()t P α'∈且2t n s <-，则,1,2,,i t i a a i n s t +==-- ，所以2,1,2,,2i t i a a i n s t +==-- ，因为()s P α∈，所以1,1,2,,j j a a j n s +==- ，所以22,1,2,,2i i t i t s a a a i n s t +++===-- ，所以2()s t P α+∈.对1,()(1,2,,2)k k s s P k m α+∈=- ，因为1k k s s +<，由（2）可知，令12(,,,)k k n s a a a α-= ，则1()k k k s s P α+-∈.若12()k k k s s n s +-<-，因为()k s P α∈，所以12()()k k k s s s P α++-∈，即12()k k s s P α+-∈，又因为11112()k k k k k k s s s s s s ++++-=+->，所以122k k k s s s ++-≥.若12()k k k s s n s +-≥-，则122()k k k m k s s s n s s +++-≥>≥，所以122k k k s s s ++->.综上，122k k k s s s ++-≥即122(1,2,,2)k k k s s s k m ++≥+=- .【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新定义、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是集合相关知识..。

海淀区2020-2021学年第一学期期中练习高三数学本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{|30}A x x =-≤，{0,2,4}B =，则A B =（ ）A. {0，2}B. {0，2，4}C. {}3x x ≤D.{}03x x ≤≤【答案】A 【解析】 【分析】利用交集的定义运算求解即可．【详解】集合{|30}{|3}A x x x x =-≤=≤，{0,2,4}B =，则A B ={}0,2故选：A2. 已知向量(,2)a m =，(2,1)b =-. 若//a b ，则m 的值为（ ） A. 4 B. 1C. -4D. -1【答案】C 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标运算公式即可得到答案. 【详解】因为//a b ，所以40m --=，解得4m =- 故选：C3. 命题“0x ∃>，使得21x ≥”的否定为（ ） A. 0x ∃>，使得21x < B. 0x ∃≤，使得21x ≥ C. 0x ∀>，都有21x <D. 0x ∀≤，都有21x <【答案】C 【解析】 【分析】利用含有一个量词的命题的否定定义得出选项．【详解】命题“0x ∃>，使得21x ≥”的否定为“0x ∀>，都有21x <” 故选：C4. 设a ，b R ∈，且0a b <<，则（ ）A.11a b < B.b a a b> C.2a b+> D.2b a a b+> 【答案】D 【解析】 【分析】由0a b <<，可得11a b >，A 错；利用作差法判断B 错；由02a b +<0>，可得C 错；利用基本不等式可得D 正确． 【详解】0a b <<，11a b∴>，故A 错； 0a b <<，22a b ∴>，即220,0b a ab -<>，可得220b a b a a b ab --=<，b a a b∴<，故B 错；0a b <<，02a b +∴<0>，则2a b+<C 错；0a b <<，0,0b a a b ∴>>，2b a a b +>=，等号取不到，故D 正确；故选：D5. 下列函数中，是偶函数且在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ） A. 2ln y x =B. 3||y x =C. 1y x x=-D.cos y x =【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶性和单调性的定义逐个判断即可. 【详解】对于A ，2ln y x =的定义域为(0,)+∞，故不是偶函数，故A 错误；对于B ，()3f x x =的定义域为R ，关于原点对称，且()()33f x x x f x -=-==，∴3y x =是偶函数，且根据幂函数的性质可得在(0,)+∞上为增函数，故B 正确；对于C ，()1f x x x=-的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，且()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭，故1y x x =-是奇函数，故C 错误； 对于D ，cos y x =在(0,)+∞有增有减，故D 错误. 故选：B.6. 已知函数()ln 4f x x x =+-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A. （0，1） B. （1，2）C. （2，3）D. （3，4）【答案】C 【解析】 【分析】判断函数的单调性，以及f （2），f （3）函数值的符号，利用零点存在性定理判断即可． 【详解】函数()ln 4f x x x =+-，是增函数且为连续函数， 又f （2）ln2240=+-<，f （3）ln3340=+->，可得()()230f f <所以函数()ln 4f x x x =+-包含零点的区间是(2,3)． 故选：C ．【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.7. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(),2,3,n n S a n ==，则2020a =（ ）A. 0B. 1C. 2020D. 2021【答案】A 【解析】 【分析】当1n =时，11a S =，当2n ≥时，利用1n n n a S S -=-，结合题干条件，即可求得答案. 【详解】当1n =时，11a S =，当2n ≥时，11n n n n n a S S a a --=-=-， 所以10n a -=，即1220200a a a ==⋅⋅⋅==， 故选：A8. 已知函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移()0t t >个单位长度，得到函数()y f x =的图象若函数()y f x =为奇函数，则t 的最小值是（ ）A.12πB.6π C.4π D.3π 【答案】B 【解析】 【分析】 由图象可得6x π=时，函数sin()y A x ωϕ=+的函数值为0，可以解出ϕ的表达式，再利用平移的知识可以得出t 的最小值． 【详解】解：由图象可得6x π=时，函数sin()y A x ωϕ=+的函数值为0，即()6k k Z ωπϕπ+=∈，()6k k Z ωπϕπ∴=-+∈，sin()6y A x k ωπωπ∴=-+，将此函数向左平移()0t t >个单位得，()sin ()6f x A x t k ωπωπ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦，又因为()f x 为奇函数，11()6t k k k Z ωπωππ∴-+=∈，11(,)6k kt k Z k Z ππω-∴=+∈∈，因为0t > min 6t π∴=．故选：B ．【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 9. 设x ，y 是实数，则“01x <<，且01y <<”是“22log log 0x y +<”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】首先判断“01x <<，且01y <<”能否推出 “22log log 0x y +<；再判断22log log 0x y +<能否推出“01x <<，且01y <<”，利用充分条件和必要条件的定义即可判断.【详解】若“01x <<，且01y <<”,则01xy <<，2222log log log log 10x y xy +=<=， 所以“01x <<，且01y <<”是“22log log 0x y +<充分条件；若22log log 0x y +<，则2222log log log log 10x y xy +=<=，可得01xy <<，但得不出“01x <<，且01y <<”，如116x =，2y =可得22log log 0x y +<，所以 22log log 0x y +<得不出“01x <<，且01y <<”，所以“01x <<，且01y <<”是“22log log 0x y +<充分不必要条件； 故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键是要熟悉充分条件和必要条件的定义，能正确判断条件能否推出结论，结论能否推出条件.10. 对于函数()f x ﹐若集合()(){}0,x x f x f x >=-中恰有k 个元素，则称函数()f x 是“k 阶准偶函数”.若函数21,()2,xx af x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩是“2阶准偶函数”，则a 的取值范围是（ ） A. (),0-∞ B. [)0,2C. [)0,4D. [)2,4【答案】B 【解析】 【分析】根据“2阶准偶函数”定义，分0a <，0a >，0a =三种情况分析即可得答案.【详解】解：根据题意，函数21,()2,xx a f x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩是“2阶准偶函数”， 则集合()(){}0,x x f x f x >=-中恰有2个元素.当0a <时，函数21,()2,xx a f x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩有一段部分为2,y x x a =>，注意的函数2y x 本身具有偶函数性质，故集合()(){}0,x x f x f x >=-中不止有两个元素，矛盾，当0a >时，根据“2阶准偶函数”的定义得()f x 的可能取值为2x 或12x⎛⎫ ⎪⎝⎭，()f x -为122-⎛⎫= ⎪⎝⎭xx ，故当122xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，该方程无解，当22x x =，解得2x =或4x =，故要使得集合()(){}0,x x f x f x >=-中恰有2个元素，则需要满足2a <，即02a <<；当0a =时，函数21,0()2,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，()f x 的取值为2x ，()f x -为122-⎛⎫= ⎪⎝⎭xx ，根据题意得22x x =满足恰有两个元素，故0a =满足条件. 综上，实数a 的取值范围是[)0,2. 故选：B【点睛】本题解题的关键是根据新定义的“2阶准偶函数”，将问题转化为研究函数()f x ，()f x -可能取何值，进而根据22x x =方程有两个解2x =或4x =求解.考查运算求解能力与综合分析能力，是中档题.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若复数(1)z i i =+，则||z = _______.【解析】 【分析】化简可得1z i =-+，利用求模公式，即可求得答案. 【详解】由题意得：2(1)1z i i i i i =+=+=-+，所以z ==12. 已知tan 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=________. 【答案】-3. 【解析】 【分析】由两角差的正切公式展开，解关于tan α的方程． 【详解】因为tan 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以tan 12tan 31tan ααα-=⇒=-+． 【点睛】本题考查两角差正切公式的简单应用，注意公式的特点：分子是减号，分母是加号． 13. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若19a =，公差2d =-，则n S 的最大值为_______.【答案】25 【解析】 【分析】由已知求出等差数列{}n a 的通项公式，求出满足0n a ≥的最大n 值，代入可得n S 的最大值． 【详解】19a =，2d =-，912112na n n令0n a ≥，解得112n ≤，又*n N ∈，则15n ≤≤ n S 的最大值为554592252S故答案为：2514. 在边长为2的正三角形ABC 中，M 是BC 的中点，D 是线段AM 的中点. ①若BD xBA yBC =+，则x y +=_______； ②BD BM ⋅= _______.【答案】 (1). 34(2). 1 【解析】 【分析】①用,BA BC 表示出BD ，得出x ，y 的值即可求出x y +； ②结合正三角形的性质，根据平面向量数量积的定义计算． 【详解】①M 是BC 的中点，∴12BMBC ， D 是AM 的中点，∴11112224BD BA BM BA BC =+=+， 12x ∴=，14y =，故34x y +=．②ABC ∆是边长为2的正三角形，M 是BC 的中点，AM BC ∴⊥，且1BM =，∴2cos 1BD BM BD BM DBM BM ⋅=⋅⋅∠==．故答案：34，1．【点睛】本题主要考查向量的运算及平面向量数量积公式，平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a ba b ，二是1212a b x x y y ⋅=+.15. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导.如图，某桨轮船的子的半径为3m ，它以1rad/s 的角速度逆时针旋转.轮子外边沿有一点P ， 点P 到船底的距离是H （单位：m ），轮子旋转时间为t （单位：s ）. 当0t =时，点P 在轮子的最高点处.①当点P 第一次入水时，t =__________；②当t t =0时，函数()H t 的瞬时变化率取得最大值，则0t 的最小值是________. 【答案】 (1). 23π (2). 32π【解析】 【分析】（1）根据题意，列出方程cos 13cos 4,0H r t r t t =++=+≥，分类讨论即可求解； （2）求出导数得，'()3sin H t t =-，当3sin 3t -=时，瞬时变化率取得最大值，进而求解 【详解】（1）当0t =时，点P 在轮子最高点处，由图可知，轮船距离船底1m ，半径3m ，设为r ，则cos 13cos 4,0H r t r t t =++=+≥，当点P 第一次入水时，水面高2.5m ，即 2.5H =，代入3cos 4H t =+得，1cos 2t =-，第一次入水即在满足1cos 2t =-的情况下满足现实条件0t ≥后可取的最小值，23t π=（2）瞬时变化率取得最大值，即'()H t 最大，'()3sin H t t =-，当3sin 3t -=时，瞬时变化率取得最大值，此时，0t 的最小值为32π 故答案为：①23π；②32π【点睛】关键点睛：解题的关键在于求出cos 13cos 4,0H r t r t t =++=+≥和'()3sin H t t =-，根据题目的实际情况求解，难度属于中档题三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 在△ABC 中，sin 2sin B C =，3cos 4A =. （1）若△ABC 的面积为7，求c 的值； （2）求ac的值. 【答案】（1）2；（2）2. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得2b c =，根据3cos 4A =可求得7sin 4A =，利用面积公式即可求出c ； （2）由余弦定理即可求出. 【详解】解：（1）由正弦定理得：sin sin b c B C=. 因为sin 2sin B C =，所以2b c =. 因为3cos 4A =，0A π<<， 所以27sin 1cos A A =-=，因为7S =211sin 2sin 722S bc A c A ==⨯⨯=， 所以24c =，所以2c =； （2）由（1）知2b c =，因为3cos 4A =， 所以222222232cos 4424a b c bc A c c c c =+-=+-⨯=，所以a =，所以ac=17. 已知等差数列{}n a 满足59a =，3922a a +=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，且11b a =，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中任选择两个作为已知条件，求满足2020n S <的n 的最大值. 条件①：312b a a =+；条件②：37S =；条件③：1n n b b +>.【答案】（1）21n a n =-；（2）选择①②：10；选择①③：10；选择②③：10. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式将已知条件转化为关于1a 和d 的方程，即可求解；（2）选择①②时，根据条件①②可以求出11b =，34b =.，再利用37S =可以求出22b =，即可求出{}n b 的公比，利用等比数列前n 项和公式计算出n S ，解不等式即可； 选择①③时，首先利用312b a a =+和11b a =求出11b =，34b =，再利用1n n b b +>可得2q，利用等比数列前n 项和公式计算出n S ，解不等式即可；选择②③时，37S =，11b =，可得217q q ++=结合1n n b b +>，可得公比2q，利用等比数列前n 项和公式计算出n S ，解不等式即可.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11n a a n d +-=， 因为59a =，3922a a +=，所以1492102ta d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：112a d =⎧⎨=⎩所以21n a n =-； （2）（I ）选择①②设等比数列{}n b 的公比为q ， 因为11b a =，312b a a =+， 所以11b =，34b =，因为37S =，所以23132b S b b =--=，所以212b q b ==，所以1(1)211n n n b q S q-==--， 因为2020n S <，所以212020n -≤， 所以10n ≤，即n 的最大值为10. （II ）选择①③设等比数列{}n b 的公比为q ， 因为11b a =，312b a a =+， 所以11b =，34b =， 所以2314b q b ==，2q =±， 因为1n n b b +>，所以2q，所以1(1)211n n n b q S q-==--， 因为2020n S <，所以212020n -<， 所以10n ≤.即n 的最大值为10. 选择②③设等比数列{}n b 的公比为q 因为37S =，11b =， 所以217q q ++=. 所以2q，或3q =-.因为1n n b b +>，所以2q.所以1(1)211n n n b q S q-==-- 因为2020n S <，所以212020n -< 所以10n ≤.即n 的最大值为10.【点睛】关键点点睛：本题的关键是熟记等差和等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和公式，关键是利用1n n b b +>得出2q .18. 已知函数2()(23)x f x e x x =-. （1）求不等式()0f x >的解集；（2）求函数()f x 在区间[0,2]上的最大值和最小值. 【答案】（1）{|x 0x <或32x ⎫>⎬⎭；（2）最小值e -，最大值22e . 【解析】 【分析】（1）直接解不等式可得不等式的解集；（2）对函数求导，令()0f x '=，求出方程根，得出单调性可得函数的最值． 【详解】（1）因为0x e >，由()2(0)23xf x e x x =->，得2230x x ->.所以0x <或32x >. 所以不等式()0f x >的解集为{|x 0x <或32x ⎫>⎬⎭； （2）由()223()xf x e x x =-得：2()(23)x f x e x x '=+-()()231xex x =+-.令()0f x '=，得1x =，或32x =-（舍）. ()f x 与()f x '在区间[0，2]上的情况如下：所以当1x =时，()f x 取得最小值()1f e =-； 当2x =时，()f x 取得最大值()222f e =.19. 已知函数π()2sin 6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求()f x 的单调递减区间；（2）设π()()6g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 当[0,]x m ∈时，()g x 的取值范围为0,2⎡⎣，求m 的最大值.【答案】（1）42,2()33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）56π. 【解析】 【分析】 （1）令322262πππk πx k π+≤+≤+，()k Z ∈，解不等式即可求解；（2）先求出并化简()2sin 23g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()g x 的值域可得出sin 23π⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦x ，结合正弦函数的图象可知42233m πππ≤-≤，即可求出m 的最大值.【详解】（1）令322262πππk πx k π+≤+≤+，k Z ∈. 所以42233ππk πx k π+≤≤+，()k Z ∈.所以函数()f x 的单调递减区间42,2()33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2）()()4sin sin 66g x f x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14sin cos sin 22x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22cos sin x x x =+cos2)sin 2x x =-+2sin 23x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为0x m ≤≤， 所以22333x m πππ-≤-≤-.因为()g x 的取值范围为0,2⎡⎣，所以sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的取值范围为,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以42233m πππ≤-≤. 解得：55126m ππ≤≤. 所以m 的最大值为56π.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是要熟记正弦函数的图象，灵活运用三角恒等变换将()g x 化为一名一角，能结合正弦函数的图象得出42233m πππ≤-≤. 20. 已知三次函数32()324f x ax ax a =-++.（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程； （2）若函数()f x 在区间(,3)a a +上具有单调性，求a 的取值范围； （3）当0a >时，若122x x +>，求12()()f x f x +的取值范围. 【答案】（1）925y x =-+；（2）(][),32,-∞-+∞；（3）[4,)+∞. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，当1a =-时，(3)2f =-，(3)9f '=-，进而可得切线方程；（2）当0a =时，()2f x =在R 上不具有单调性；对函数求导，令()0f x '=，按0a >和0a <分别判断单调性，列不等式可求得a 的取值范围；（3）先证明：()()12 4f x f x +≥，由（2）知，当0a >时，()f x 的递增区间是(),0-∞，()2,+∞，递减区间是（0，2），因为122x x +>，不妨设12x x ≤，则21>x ， 按10x ≤和1>0x 分别证明不等式成立，再证明对任意122x x +>，()()12f x f x m +≤(4)m ≥不成立即可．【详解】由()32324f x ax ax a =-++可得：2()363(2)f x ax ax ax x '=-=-（1）当1a =-时，(3)2f =-，(3)9f '=-.所以曲线( )y f x =在点()()3,3f 处的切线方程为925y x =-+. （2）由已知可得0a ≠①当0a >时，令()0f x '=得0x =，22x =.()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞_上的情况如下：因为()f x 在(),3a a +上具有单调性，所以2a ≥.②当0a <时，()f x 与()'f x 在区间(),-∞+∞上的情况如下：因为()f x 在(),3a a +上具有单调性， 所以30a +≤，即3a ≤-. 综上所述，a 的取值范围是(][),32,-∞-+∞.（3）先证明：()()12 4f x f x +≥.由（2）知，当0a >时，()f x 的递增区间是(),0-∞，()2,+∞，递减区间是（0，2）. 因为122x x +>，不妨设12x x ≤，则21>x . ①若10x ≤，则2122x x >-≥.所以()()()()12112444f x f x f x f x a +>+-=+>. ②若1>0x ，因为21>x ，所以()()12()()224f x f x f f +≥+=，当且仅当122x x ==时取等号. 综上所述，12())4(f x f x +≥.再证明：12()()f x f x +的取值范围是[4,)+∞.假设存在常数()4m m ≥，使得对任意122x x +>，()()12f x f x m +≤.取12x =，且22x >+则 ()()3222222324f f x ax ax a+=+-++2222222()()222()224ax x a x a x m =+-+-+>-+>，与()()12f x f x m +≤矛盾.所以12()()f x f x +的取值范围是[4,)+∞.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查导数研究函数的单调性，考查导数证明不等式，本题解题的关键为利用第（2）问的单调性，由122x x +>和12x x ≤，确定出21>x ，再按10x ≤和1>0x 分类讨论，利用放缩法证明()()12 4f x f x +≥，以及利用反证法证得()()12f x f x m +≤(4)m ≥不成立，考查了学生分类讨论思想和逻辑思维能力，属于中档题．21. 已知{}n a 是无穷数列，1a a =，2a b =且对于{}n a 中任意两项i a ，()j a i j <在{}n a 中都存在一项(2)k a j k j <<，使得2k j i a a a =-. （1）若3a =，5b =求3a ；（2）若0a b ，求证：数列{}n a 中有无穷多项0；（3）若ab ，求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）7；（2）证明见解析；（3）(1)()n a a n b a =+--，1,2,3,n =.【解析】 【分析】（1）依题意代入计算可得； （2）利用反证法证明即可；（3）分a b <与a b >两种情况讨论，①当a b <时，首先证明数列{}n a 是递增数列，再证明：(1)()n a a n b a =+--，1,2,3,n =即可；②当a b >时，令n n b a =-，1,2,3,n =，结合①的结论即可得解；【详解】解：（1）取1i =，2j =，则存在24)k a k <<(，使得3212a a a =-，即3212a a a =-. 因为13a a ==，25a b ==，所以32127a a a =-=.（2）假设{}n a 中仅有有限项为0，不妨设0m a =，且当n m >时，n a 均不为0，则2m ≥. 取1i =，j m =，则存在2)k a m k m <<(，使得120k m a a a =-=，与0k a ≠矛盾．（3）①当a b <时，首先证明数列{}n a 是递增数列，即证*n N ∀∈，1n n a a +<恒成立． 若不然，则存在最小的正整数0n ，使得001n n a a +≥，且012 n a a a <<<.显然02n ≥.取0j n =，1i =，2，…，01n -，则存在00(2k a n k n <<），使得02k n i a a a =-．因为00000121222n n n n n a a a a a a a -->->>->，所以012n a a -，022n a a -，…，0012n n a a --这01n -个不同数恰为01n a +，02n a +，…，021n a -这01n -项.所以001n n a a +>与001n n a a +≤矛盾.所以数列{}n a 是递增数列.再证明： (1)()n a a n b a =+--，1,2,3,n = 记,d b a =- 即证(1)n a a n d =+-，1,2,3,n =当1,2n =时，结论成立.假设存在最小的正整数0,m 使得 (1)n a a n d =+-对任意01n m ≤≤恒成立， 但010,m a a m d +≠+则02m ≥. 取0j m =，1,2,i =，01m -，则存在()002k a m k m <<，使得02k m i a a a =-因为数列{}n a 是递增数列， 所以00012121m m m a a a a a +-<<<<<<.所以0600121222m m m m a a a a a a --<<-<-.因为0012m m a a --，…022m a a -，012m a a -这01m -个数恰为01m a +，02m a +，…021m a -这01m -项.所以()()004110002212m m m a a a a m d a m d a m d +-=-=+--+-=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 与10n m a a m d +≠+矛盾.所以 (1)()n a a n b a =+--，1,2,3,n =②当a b >时，令n n b a =-，1,2,3,n =，则1b a =-，2b b =-，且12<b b .对于{}n b 中任意两项i b ，()j b i j <，因为对任意i a ，()j a i j <，存在(2),k a j k j <<使得2k j i a a a =-， 所以()2k j i a a a -=---，即存在(2),k b j k j <<使得2k j i b b b =-. 因此数列{}n b 满足题设条件.由① 可知(1)()n b a n a b =-+--，1,2,3,,n =所以(1)()n a a n b a =+--，1,2,3,n =综上所述，(1)()n a a n b a =+--，1,2,3,n =经检验，数列{}n a 满足题设条件.【点睛】本题属于数列新定义问题，考查反证法的应用，以及数学归纳法的证明数列的单调性；。

2024—2025学年度第一学期期中练习题（答案在最后）年级：高三科目：数学考试时间：120分钟，满分：150分一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}11A x x =-≤≤，{|0}2xB x x =≤-，则A B = （）A.{}01x x ≤≤B.{}12x x -≤≤C.{}12x x -≤< D.{}02x x ≤≤【答案】C 【解析】【分析】解不等式化简集合B ，再利用并集的定义求解即得.【详解】解不等式02xx ≤-，得(2)020x x x -≤⎧⎨-≠⎩，解得02x ≤<，则{|02}B x x =≤<，而{}11A x x =-≤≤，所以{}12A B x x ⋃=-≤<.故选：C2.命题“()0,x ∀∈+∞，e ln x x >”的否定为（）A.()0,x ∃∈+∞，e ln x x >B.()0,x ∀∈+∞，e ln x x <C.()0,x ∀∈+∞，e ln x x ≤D.()0,x ∃∈+∞，e ln x x≤【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得：命题“()0,x ∀∈+∞，e ln x x >”的否定为“()0,x ∃∈+∞，e ln x x ≤”.故选：D ．3.已知复数z 满足i 1z -=，则z 的取值范围是（）A.[]0,1 B.[)0,1 C.[)0,2 D.[]0,2【答案】D 【解析】【分析】利用i 1z -=表示以 馀य़为圆心，1为半径的圆，z 表示圆上的点到原点的距离可得答案.【详解】因为在复平面内，i 1z -=表示到点 馀य़距离为1的所有复数对应的点，即i 1z -=表示以 馀य़为圆心，1为半径的圆，z 表示圆上的点到原点的距离，所以最短距离为0，最长距离为112+=，则z 的取值范围是 馀h .故选：D .4.若双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A.0y ±= B.0x ±=C.0x y ±=D.y ±=【答案】A 【解析】【分析】根据公式b a ==.【详解】由题意可知，2e =，则b a ==，所以双曲线的渐近线方程为y =0y ±=.故选：A5.直线()1:31210l a x ay ++-=和直线2:330l ax y -+=，则“53a =”是“12l l ⊥”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由题意先求出12l l ⊥的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义判断即可.【详解】由题设12l l ⊥()()31230a a a ⇔⨯++⨯-=，解得0a =或53a =.故1253a l l =⇒⊥，1253l l a ⊥⇒=/.所以“53a =”是“12l l ⊥”的充分不必要条件.故选：B.6.已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.该图象对应的函数解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.函数()y f x =的图象关于直线712x π=对称C.函数()y f x =的图象关于点5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称D.函数()y f x =在区间2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】B 【解析】【分析】先依据图像求得函数()f x 的解析式，再去代入验证对称轴、对称中心、单调区间的说法.【详解】由图象可知2,4312T A ππ==-，即T π=，所以22Tπω==，又212f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得2sin 2212πϕ⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭，又因为||2ϕπ<所以3πϕ=，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，故A 错误；当712x π=时，73sin 2sin 2sin 131232x ππππ⎛⎫⎛⎫+=⨯+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故B 正确；当512π=-x 时，sin 2sin 1032x ππ⎛⎫⎛⎫+=-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；当2,36x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，则2[,0]3ππ+∈-x ，函数()f x 不单调递减.故D 错误．故选：B7.已知1F ，2F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，P 为C 上一点，且1260F PF ∠=，125PF PF =，则C 的离心率为（）A.6B.22C.12D.23【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆的定义分别求出21,PF PF ，在12PF F 中，利用余弦定理求得,a c 的关系，从而可得出答案.【详解】解：在椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>中，由椭圆的定义可得122PF PF a +=，因为125PF PF =，所以215,33a aPF PF ==，在12PF F 中，122F F c =，由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠，即222222552149999a a a a c =+-=，所以222136c a =，所以C 的离心率216c e a ==.故选：A .8.函数()2sin 41x x xf x =+的大致图象为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性、特殊点的函数值来确定正确选项.【详解】()()sin ,22x xxf x f x -=+的定义域为R ，()()sin 22x xxf x f x ---==-+，()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除C 选项.143ππ<<,()sin12201sin115522f <==<+，排除BD 选项.所以A 选项符合.故选：A9.“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为30m/s ，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的75%，若石片接触水面时的速度低于6m/s ，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为（）（参考数据：ln 20.7,ln 3 1.1,ln 5 1.6≈≈≈）A.5B.6C.7D.8【答案】B 【解析】【分析】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为x ，根据题意得300.756x ⨯<，即0.750.2x <，根据指数函数的单调性和对数换底公式求解即可.【详解】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为x ，由题意得300.756x ⨯<，即0.750.2x <，得0.75log 0.2x >.因为0.751lnln0.2lg55log 0.2 5.33ln0.75ln32ln2ln 4-===≈-，所以 5.3x >，即6x =.故选：B.10.已知函数2,0,()ln ,0,x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x ax =-，若()g x 有4个零点，则a 的取值范围为（）A.20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.2,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.1,12e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由题意可得x=0为1个零点，只需要x ≠0时，21,0a 0x x lnx x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，，即y=a 与y 21,00x x lnx x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩有3个交点且交点的横坐标不为0，作出y 21,00x x lnx x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，的图象，即可得出结论．【详解】当x=0时，g(0)=f(0)-0=0，当x 0≠时，由题意可得21,0a 0x x lnx x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，，即y=a 与y 21,00x x lnxx x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，有3个交点且交点的横坐标不为0，令h(x)=2x 0lnx x >，,令h′（x ）=312l 0nxx -=，则x=12e ，所以h(x)在（0，12e）单调递增，在（12e ∞+，）上单调递减，∴y 21,00x x lnx x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩的大致图像如图：又h(12e)=12e，若y=a 与y 21,00x x lnx x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，有3个交点且交点的横坐标不为0，则10a 2e <<，故选B.【点睛】本题考查分段函数的零点，考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了分析转化问题的能力，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知向量()4,2b = ，若向量a 在b 上的投影向量为12b，且a 与b 不共线，请写出一个符合条件的向量a的坐标________.【答案】()1,3（答案不唯一）【解析】【分析】根据题意，得到12a bb b b b ⋅⋅=，求得10a b ⋅=，进而可写出一个向量，得到答案.【详解】由向量()4,2b =，可得向量b = ，因为向量a 在b 上的投影向量为12b，可得12a b b b b b ⋅⋅=，可得10a b ⋅= ，设(,)a x y =，可得4210x y +=，取1,3x y ==，此时向量a 与向量b 不共线，故()1,3a =.故答案为：()1,3（答案不唯一）.12.已知(2)n x y +展开式中各项系数和为243，则展开式中的第3项为___________.【答案】3280x y ##2380y x 【解析】【分析】令1x y ==，即可求出展开式系数和，从而求出n ，再写出展开式的通项，即可得解.【详解】解：令1x y ==，得()21243n+=，解得5n =，所以5(2)x y +的展开式的通项()555155C 22C kkk k k k kk T x y x y ---+==，则展开式的第3项为323232352C 80T x y x y ==．故答案为：3280x y 13.已知抛物线24y x =上的点P 到抛物线的焦点F 的距离为6，则以线段PF 的中点为圆心，PF 为直径的圆被x 轴截得的弦长为________．【答案】4【解析】【分析】首先利用抛物线定义确定P 点坐标，进而可得以PF 的中点为圆心， ᬈ长度为直径的圆的方程，再代入计算可得弦长.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线为=1x -，由题意得6PF =，结合抛物线定义知P 点到准线的距离为6，则615p x =-=，代入横坐标可得p y =±(5,P ±，所以PF 的中点坐标为或(3,，6PF =，所以以PF 的中点为圆心， ᬈ长度为直径的圆的方程为(22(3)9x y -+-=或(22(3)9x y -++=，圆心到x ，所以与x 截得的弦长为4=，故答案为：4.14.印章是我国传统文化之一，根据遗物和历史记载，至少在春秋战国时期就已出现，其形状多为长方体､圆柱体等，陕西历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印章（如图1），该形状称为“半正多面体”（由两种或两种以上的正多边形所围成的多面体），每个正方形面上均刻有不同的印章（图中为多面体的面上的部分印章）.图2是一个由18个正方形和8个正三角形围成的“半正多面体”（其各顶点均在一个正方体的面上），若该多面体的棱长均为1，且各个顶点均在同一球面上，则该球的表面积为__________.【答案】(5π+【解析】【分析】根据几何体的结构特征确定其外接球球心位置，根据已知求球体半径，进而求球体表面积.1的正方体的表面上，如图，设其外接球的球心为O ，正方形ABCD 的中心为1O ，则点O 到平面ABCD 的距离1212OO +=，又122O C =，所以该多面体外接球的半径r ===故该球的表面积为(24π5π⨯=+⎝⎭.故答案为：(5π+15.已知数列 中各项均为正数，且211(1,2,3,)n n n a a a n ++-== ，给出下列四个结论：①对任意的*N n ∈，都有1n a >；②数列 可能为常数列；③若102a <<，则当2n ≥时，12n a a <<；④若12a >，则数列 为递减数列，其中正确结论是______.【答案】②③④【解析】【分析】对于①，根据一元二次方程有解得情况，利用判别式可得首项的取值范围，可得答案；对于②，将数列每一项设成未知量，根据等式建立方程，可得答案；对于③④，由题意作函数()()0f x x x =≥与函数()()20g x x x x =-≥的图象，利用数形结合的思想，对应数列中项在图象上的位置，可得答案.【详解】对于①，将等式211n n n a a a ++-=看作关于1n a +的一元二次方程，即2110n n n a a a ++--=，该方程有解，则140n a ∆=+≥，所以当14n a ≥-时，方程2110n n n a a a ++--=有解，即当101a <<时，一定存在数列 满足211(1,2,3,)n n n a a a n ++-== ，故①错误；对于②，令n a x =，由题意可得2x x x -=，解得0x =（舍去）或2，常数列2,2,2, 满足211(1,2,3,)n n n a a a n ++-== ，故②正确；由题意作函数()()0f x x x =≥与函数()()20g x x x x =-≥的图象如下：由211(1,2,3,)n n n a a a n ++-== ，则点()1,n n a a +在函数()g x 的图象上，易知(),n n a a 在函数()f x 的图象上，对于③，当102a <<时，由()21,a a 在函数()g x 的图象上，则212a <<，由()11,a a 在函数()f x 的图象上，则122a a <<，当2n ≥时，102n a -<<，由()1,n n a a -在函数()g x 的图象上，则12n a <<，由()11,n n a a --在函数()f x 的图象上，则12n n a a -<<，综上所述，若102a <<，当2n ≥时，12n a a <<，故③正确；对于④，当12a >时，由()21,a a 在函数()g x 的图象上，且()11,a a 在函数()f x 的图象上，则122a a >>，当2n a >时，由()1,n n a a +在函数()g x 的图象上，且(),n n a a 在函数()f x 的图象上，则12n n a a +>>，故④正确.故答案为：②③④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步摖或证明过程.16.在ABC V 中，222b c a bc +-=．（1）求A ∠；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使ABC V 存在且唯一确定，求ABC V 的面积．条件①：11cos 14B =；条件②：12a b +=；条件③：12c =．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．【答案】（1）π3（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据题意，利用余弦定理求得1cos 2A =，即可求解；（2）根据题意，若选择①②，求得sin B ，由正弦定理求得7,5a b ==，再由余弦定理求得8c =，结合面积公式，即可求解；若①③：先求得sin 14B =，由83sin sin()14C A B =+=，利用正弦定理求得212a =，结合面积公式，即可求解；若选择②③，利用余弦定理，列出方程求得0b =，不符合题意.【小问1详解】解：因为222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，又因为(0,π)A ∈，所以π3A =.【小问2详解】解：由（1）知π3A =，若选①②：11cos 14B =，12a b +=，由11cos 14B =，可得sin 14B ==，由正弦定理sin sin a bA B=353214=，解得7a =，则125b a =-=，又由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得249255c c =+-，即25240c c --=，解得8c =或3c =-（舍去），所以ABC V的面积为113sin 58222S bc A ==⨯⨯⨯=.若选①③：11cos 14B =且12c =，由11cos 14B =，可得53sin 14B ==，因为πA BC ++=，可得()31115343sin sin 2142147C A B =+=⨯+⨯=，由正弦定理sin sin a cA C =34327=，解得212a =，所以ABC V 的面积为112153453sin 12222142S ac b ==⨯⨯⨯=.若选：②③：12a b +=且12c =，因为222b c a bc +-=，可得22212(12)12b b b +--=，整理得2412b b =，解得0b =，不符合题意，（舍去）.17.已知三棱柱111ABC A B C -中，12AB BB ==，D 是BC 的中点，160B BA ∠=o，1B D AB ⊥.（1）证明：AB AC ⊥；（2）若侧面11ACC A 是正方形，求平面11ABB A 与平面1ADC 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）55.【解析】【分析】（1）取AB 的中点O ，连接1AB 、OD 、1OB ，证明出AB ⊥平面1OB D ，//OD AC ，由此可证得AB AC ⊥；（2）以点O 为坐标原点，OB 、OD 、1OB 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面11ABB A 与平面1ADC 夹角的余弦值.【详解】（1）取AB 的中点O ，连接1AB 、OD 、1OB ，因为160B BA ∠=o，12AB BB ==，故1ABB 为等边三角形，因为O 为AB 的中点，则1OB AB ⊥，因为1AB B D ⊥，111OB B D B ⋂=，故AB ⊥平面1OB D ，OD ⊂ 平面1OB D ，所以，AB OD ⊥，O 、D 分别为AB 、BC 的中点，则//OD AC ，因此，AB AC ⊥；（2）112AA BB == ，则四边形11ACC A 是边长为2的正方形，O 、D 分别为AB 、BC 的中点，则112OD AC ==，由（1）可得11sin 60OB BB == ，//OD AC ，11//BB AA ，故OD 与1BB 所成角为190A AC ∠= ，即1OD BB ⊥，又因为OD AB ⊥，1AB BB B Ç=，OD ∴⊥平面11AA B B ，1OB ⊂ 平面11AA B B ，则1OD OB ⊥，所以，OD 、AB 、1OB 两两垂直，以点O 为坐标原点，OB 、OD 、1OB 所在直线分别为x 、y 、z轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0A -、()0,1,0D 、()1,2,0C -、(1B 、()1,0,0B，(1BB =- ，()1,1,0AD =，()0,2,0AC =，(1111,AC AC CC AC BB =+=+=- ，设平面1ADC 的法向量为(),,n x y z =，则1020n AD x y n AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取1x =，则(1,n =-，易知平面11AA B B 的一个法向量为()0,1,0m =u r，cos ,5m n m n m n⋅<>==-=-⋅.因此，平面11ABB A 与平面1ADC夹角的余弦值为5.18.《中华人民共和国体育法》规定，国家实行运动员技术等级制度，下表是我国现行《田径运动员技术等级标准》（单位：m ）（部分摘抄）：项目国际级运动健将运动健将一级运动员二级运动员三级运动员男子跳远8.007.807.30 6.50 5.60女子跳远6.656.355.855.204.50在某市组织的考级比赛中，甲、乙、丙三名同学参加了跳远考级比赛，其中甲、乙为男生，丙为女生，为预测考级能达到国家二级及二级以上运动员的人数，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）：甲：6.60，6.67，6.55，6.44，6.48，6.42，6.40，6.35，6.75，6.25；乙：6.38，6.56，6.45，6.36，6.82，7.38；丙：5.16，5.65，5.18，5.86．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立，（1）估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率；（2）设X 是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，估计X 的数学期望()E X ；（3）在跳远考级比赛中，每位参加者按规则试跳6次，取6次试跳中的最好成绩作为其最终成绩本次考级比赛中，甲已完成6次试跳，丙已完成5次试跳，成绩（单位：m ）如下表：第1跳第2跳第3跳第4跳第5跳第6跳甲 6.50 6.48 6.47 6.51 6.46 6.49丙5.845.825.855.835.86a若丙第6次试跳的成绩为a ，用2212,s s 分别表示甲、丙试跳6次成绩的方差，当2212s s =时，写出a 的值．（结论不要求证明）【答案】（1）25（2）() 1.4E X =（3） 5.81a =或 5.87a =.【解析】【分析】（1）由已知数据计算频率，用频率估计概率；（2）由X 的取值，计算相应的概率，由公式计算数学期望()E X ；（3）当两人成绩满足()1,2,3,4,5,6i i y x b i =+=的模型，方差相等.【小问1详解】甲以往的10次比赛成绩中，有4次达到国家二级及二级以上运动员标准，用频率估计概率，估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率为42105=；【小问2详解】设甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员分别为事件,,A B C ，以往的比赛成绩中，用频率估计概率，有()25P A =，()12P B =，()12P C =，X 是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，则X 可能的取值为0，1，2，3，()()3113052220P X P ABC ===⨯⨯=，()()()()2113113118152252252220P X P ABC P ABC P ABC ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()()()()2113112117252252252220P X P ABC P ABC P ABC ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()()2112352220P X P ABC ===⨯⨯=，估计X 的数学期望()38720123 1.420202020E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】甲的6次试跳成绩从小到大排列为：6.46,6.47,6.48,6.49,6.50,6.51，设这6次试跳成绩依次从小到大为()1,2,3,4,5,6i x i =，丙的5次试跳成绩从小到大排列为：5.82,5.83,5.84,5.85,5.86，设丙的6次试跳成绩从小到大排列依次为()1,2,3,4,5,6i y i =，当 5.81a =时，满足()0.651,2,3,4,5,6i i y x i =-=，2212s s =成立；当 5.87a =时，满足()0.641,2,3,4,5,6i i y x i =-=，2212s s =成立.所以 5.81a =或 5.87a =.19.已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=的离心率是53，点()2,0A -在C 上．（1）求C 的方程；（2）过点()2,3-的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，证明：线段MN 的中点为定点．【答案】（1）22194y x +=（2）证明见详解【解析】【分析】（1）根据题意列式求解,,a b c ，进而可得结果；（2）设直线PQ 的方程，进而可求点,M N 的坐标，结合韦达定理验证2M Ny y +为定值即可.【小问1详解】由题意可得222253b a b c c e a ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩，解得32a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为22194y x +=.【小问2详解】由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设()()()1122:23,,,,PQ y k x P x y Q x y =++，联立方程()2223194y k x y x ⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()()()222498231630k x k k x k k +++++=，则()()()2222Δ64236449317280kk k k k k =+-++=->，解得0k <，可得()()2121222163823,4949k k k k x x x x k k +++=-=++，因为()2,0A -，则直线()11:22y AP y x x =++，令0x =，解得1122y y x =+，即1120,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭,同理可得2220,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭，则()()1212121222232322222y y k x k x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦=+++()()()()()()12211223223222kx k x kx k x x x +++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=++()()()()1212121224342324kx x k x x k x x x x +++++=+++()()()()()()222222323843234231084949336163162344949k k k k k k k k k k k k k k k +++-++++===++-+++，所以线段MN 的中点是定点()0,3.【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．20.已知函数()()221ln ,f x x a x a x a =-++∈R .（1）若0a =，求曲线()y f x =在点()()2,2P f 处的切线方程.（2）若()f x 在1x =处取得极值，求()f x 的极值.（3）若()f x 在[]1,e 上的最小值为2a -，求a 的取值范围.【答案】（1）340x y --=（2）极大值15ln 224f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，极小值()12f =-；（3）(1],-∞【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求得答案；（2）根据()f x 在1x =处取得极值，求出a 的值，从而判断函数的单调性，求得极值；（3）分类讨论，讨论a 与区间[]1,e 的位置关系，确定函数单调性，结合函数的最值，即可确定a 的取值范围.【小问1详解】若0a =，则()2=-f x x x ，则()21f x x '=-，故()()22,23f f '==，故曲线()y f x =在点()()2,2P f 处的切线方程为23(2)y x -=-，即340x y --=；【小问2详解】()()221ln ,f x x a x a x a =-++∈R 定义域为(0),+∞，则()()221af x x a x'=-++，由于()f x 在1x =处取得极值，故()()12210,1f a a a '=-++=∴=，则()()()2211123123x x x x f x x x x x---+'=-+==，令()0f x '>，则102x <<或1x >，函数()f x 在10(1)2,,,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上均单调递增，令()0f x '<，则112x <<，函数()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故当12x =时，()f x 取到极大值11315ln ln 224224f ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，当1x =时，()f x 取到极小值()1132f =-=-；【小问3详解】由于()()()()[],1,e 21221x x a a f x x a x x x--'=-++=∈，当1a ≤时，()0f x '≥，仅在1,1a x ==时等号取得，()f x 在[]1,e 上单调递增，则()min (1)2f x f a ==-，符合题意；当1e a <<时，则1x a <<时，()0f x '<，()f x 在[]1,a 上单调递减，e a x <<时，()0f x '>，()f x 在[],e a 上单调递增，故()min ()(1)2f x f a f a =<=-，不符合题意；当e a ≥时，()0f x '<，()f x 在[]1,e 上单调递减，故()min (e)(1)2f x f f a =<=-，不符合题意；综上，可知a 的取值范围为(1],-∞.【点睛】方法点睛：第三问根据函数的最小值求解参数范围，求出导数后，要分类讨论，讨论a 与区间[]1,e 的位置关系，从而确定最值，求得参数范围.21.已知有限数列12:,,,m A a a a 为单调递增数列．若存在等差数列121:,,,m B b b b + ，对于A 中任意一项i a ，都有1i i i b a b +≤<，则称数列A 是长为m 的Ω数列．（1）判断下列数列是否为Ω数列（直接写出结果）：①数列1，4，5，8；②数列2，4，8，16．（2）若(,,)a b c a b c R <<∈，证明：数列a ，b ，c 为Ω数列；（3）设M 是集合{|063}x N x ∈≤≤的子集，且至少有28个元素，证明：M 中的元素可以构成一个长为4的Ω数列．【答案】（1）①数列1，4，5，8是Ω数列；②数列2，4，8，16是Ω数列；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）由数列的新定义，可直接判定，得到答案；（2）分当b a c b -=-，b a c b -<-和b a c b ->-三种情况讨论，结合数列的新定义，即可求解；（3）假设M 中没有长为4的Ω数列，先考虑集合{16,161,,1615}k M k k k =++L ，得到存在一个k ，使得k M 中没有一个元素属于M ，再考虑集合,{164,1641,k j M k j k j =+++1642,1643}k j k j ++++，得到存在一个j ，使得,k j M 中没有一个元素属于M ，进而证得集合M 中至多有27个元素，即可得到结论.【详解】（1）由数列的新定义，可得数列1，4，5，8是Ω数列；数列2，4，8，16是Ω数列．（2）①当b a c b -=-时，令1b a =，2b b =，3b c =，42b c b =-，所以数列1b ，2b ，3b ，4b 为等差数列，且1234b a b b b c b <<<≤≤≤，所以数列a ，b ，c 为Ω数列．②当b a c b -<-时，令12b b c =-，2b b =，3b c =，42b c b =-，所以数列1b ，2b ，3b ，4b 为等差数列，且1234b a b b b c b <<<≤≤≤．所以数列a ，b ，c 为Ω数列．③当b a c b ->-时，令1b a =，22a c b +=，3b c =，432c a b -=，所以数列1b ，2b ，3b ，4b 为等差数列，且1234b a b b b c b <<<≤≤≤．所以数列a ，b ，c 为Ω数列．综上，若a b c <<，数列a ，b ，c 为Ω数列．（3）假设M 中没有长为4的Ω数列，考虑集合{16,161,,1615}k M k k k =++L ，0k =，1，2，3．因为数列0，16，32，48，64是一个共有5项的等差数列，所以存在一个k ，使得k M 中没有一个元素属于M ．对于其余的k ，再考虑集合,{164,1641,1642,1643}k j M k j k j k j k j =+++++++，0j =，1，2，3．因为164k j +，1644k j ++，1648k j ++，16412k j ++，16416k j ++是一个共有5项的等差数列，所以存在一个j ，使得,k j M 中没有一个元素属于M ．因为,k j M 中4个数成等差数列，所以每个,k j M 中至少有一个元素不属于M ．所以集合{|063}x x ∈N ≤≤中至少有16431937+⨯+⨯=个元素不属于集合M ．所以集合M 中至多有643727-=个元素，这与M 中至少有28个元素矛盾．所以假设不成立．所以M 中的元素必能构成长为4的Ω数列．【点睛】1、数列新定义问题的特点：通过给出一个新的数列概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情境，要求考生再阅读理解的基础上，以及题目提供的信息，联系所学知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到数列的心定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决.。

北京2021-2022学年度第一学期考试期中模拟试题本试卷共9页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分 （选择题共40分）一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)1．在0~360°范围内，与73︒-角终边相同的角是（ ） A ．17°B ．107°C ．197°D ．287°2．设集合{}2|4A x Z x =∈≤，{}1,2,B a =，且A B ⊇，则实数a 的取值集合为（ ）A ．{}2,1,0--B ．{}2,1--C ．{}1,0-D ．{}2,1,1--3．下列函数中，是奇函数且在()0,∞+上为增函数的是（ ）A ．()1f x x=-B ．()f xC ．()f x x =D ．()31f x x =+4．函数3()log 3f x x x =+-的零点所在的区间是 A ．B ．C ．()2,3D ．5．在等差数列{}n a 中，54a =，数列{}n a 的前9项的和为（ ） A ．4 B ．8C ．36D ．726．已知ln 22a =，ln33b =，ln 55c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c << D ．c a b <<7．“sin cos αβ=”是“()22k k Z παβπ+=+∈”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()226,c a b =-+,3C π=则ABC 的面积为（ ） A ．3BCD．9．已知函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移t （0t >）个单位长度，得到函数()y f x =的图象．若函数()y f x =的图象关于原点对称，则t 的最小值（ ）A ．π12 B ．π6C ．π4D ．π310．国家质量监督检验检疫局发布的相关规定指出，饮酒驾车是指车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于20mg/100ml ，小于80mg/100ml 的驾驶行为；醉酒驾车是指车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于80mg/100ml 的驾驶行为. 一般的，成年人喝一瓶啤酒后，酒精含量在血液中的变化规律的“散点图”如图所示，且图中的函数模型为： ()0.5π40sin 13,02390e 14,2x x x f x x -⎧⎛⎫+≤<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+≥⎩，假设某成年人喝一瓶啤酒后至少经过*(N )n n ∈小时才可以驾车，则n 的值为（ ） （参考数据：ln15 2.71≈，ln30 3.40≈）A ．5B ．6C ．7D ．8第二部分（非选择题共110分）二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)11．函数()sin x f x e x =的图象在点()()0,0f 处切线的方程为___________. 12．设∈，x y R ,且5x y +=,则33x y +的最小值为______.13．各项都为正数的等差数列{}n a 中，23711220a a a -+=，则59a a +=___________.14．已知平面向量a ⃗与b ⃗⃗的夹角为π6，|a ⃗|=√3，|b ⃗⃗|=1，则a ⃗⋅b⃗⃗=_____；若平行四边形ABCD 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗+b ⃗⃗，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗−b⃗⃗，则平行四边形ABCD 的面积为_____． 15．若110a b <<，则下列不等式：①22a b c c >；②11b b a a ->-；③2b a a b +>；④22a a b b <-中，正确的不等式序号有____________．三、解答题(共6小题，共85分。

北京四中2021届上学期高三年级期中考试数学试卷（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1 已知全集R U =，集合}02|{},12|{<-=<=x x B x A x，则B A C U )(＝（ ） A }2|{>x x B }20|{<≤x x C }20|{≤<x x D }2|{≤x x2 下列命题中的假命题．．．是（ ） A 2sin ,=∈∃x R xB 2ln ,=∈∃x R xC 0,2≥∈∀x R xD 02,>∈∀xR x3 已知向量}2,2{},,5{-==b m a ，若b a -与b 共线，则实数m ＝A －1B 1C 2D －54 已知)(x f 是R 上的奇函数，当0>x 时，x x f 21log )(=，则0)(>x f 的解集是（ ）A （－1，0）B （0，1）C )1,0()1,( --∞D )1,0()0,1( -5 将函数)62sin()(π-=x x f 的图象向左平移3π个单位长度，得到函数)(x g 的图象，则)(x g ＝（ ） A )62sin(π+x B )32sin(π2+x C x 2cosD x 2cos -6 若R b a ∈,，且0>ab ，则下列不等式中，恒成立的是（ ） A ab b a 222>+ B ab b a 2≥+Cabb a 211>+ D2≥+baa b 7 已知三角形ABC ，那么“||||AC AB AC AB ->+”是“三角形ABC 为锐角三角形”的（ ） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件8 声音的等级)(x f （单位：dB ）与声音强度（单位：2/m W ）满足lg10)(⨯=x f 12101-⨯x，喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（ ）A 610倍B 810倍C 1010倍D 1210倍9 函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-=2,2,sin 2ππx x x y 的大致图象是（ ）10 已知函数⎩⎨⎧>≤+=.0|,ln |,0,1)(x x x ax x f 给出下列三个结论：①当2-=a 时，函数)(x f 的单调递减区间为)1,(-∞； ②若函数)(x f 无最小值，则a 的取值范围为),0(+∞；③若1<a 且0≠a ，则R b ∈∃，使得函数b x f y -=)(恰有3个零点321,,x x x ，且1231x x x =-。