第三章 第六节 简单的三角恒等变换

一、选择题
1.sin (180°＋2α)1＋cos 2α·cos 2αcos (90°＋α)
等于( ) A ．－sin α B ．－cos α
C ．sin α
D ．cos α
解析：原式＝(－sin 2α)·cos 2α(1＋cos 2α)·(－sin α)
＝2sin α·cos α·cos 2α2cos 2α·sin α
＝cos α. 答案：D
2．(2011·福建高考)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14
，则tan α的值等于( ) A.22 B.33 C. 2 D. 3
解析：由二倍角公式可得sin 2α＋1－2sin 2α＝14，sin 2α＝34
，又因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin α＝32.即α＝π3
， 所以tan α＝tan π3
＝ 3. 答案：D
3．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tan α21－tan α2
＝( ) A ．－12 B.12
C ．2
D ．－2
解析：∵cos α＝－45
且α是第三象限的角， ∴sin α＝－35
，
∴1＋tan α21－tan α2＝cos α2＋sin α2
cos α2cos α2－sin α2cos α2
＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2
＝⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α22⎝⎛⎭⎫cos α2
－sin α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2 ＝1＋sin αcos 2α2－sin 2α2
＝1＋sin αcos α＝1－35－45
＝－12. 答案：A
4．函数y ＝12sin 2x ＋3cos 2x －32
的最小正周期等于( ) A ．π B ．2π C.π4 D.π2
解析：y ＝12sin 2x ＋32(1＋cos 2x )－32＝12sin 2x ＋32
cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.所以T ＝π. 答案：A
5．化简sin 235°－
12cos 10°cos80°＝( ) A ．－2 B ．－12
C ．－1
D ．1
解析：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°·sin 10°＝－12cos 70°12
sin 20°＝－1. 答案：C
二、填空题
6．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 解析：由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，
可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3. 又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3
. 答案：π3
7．设sin α＝35⎝⎛⎭⎫π2<α<π，tan(π－β)＝12
，则tan(α－2β)的值为________． 解析：由sin α＝35⎝⎛⎭⎫π2<α<π，得cos α＝－45
， ∴tan α＝－34
. 又tan(π－β)＝12，∴tan β＝－12
， 故tan 2β＝2tan β1－tan 2β
＝－43， 于是tan(α－2β)＝－34＋431＋34×43
＝724. 答案：724
三、解答题
8．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (3,0)、B (0,3)、C (cos α，sin α)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2.若
AC ·BC ＝－1，求2sin 2α＋sin 2α1＋tan α的值．
解：AC ＝(cos α－3，sin α)，BC ＝(cos α，sin α－3)，
由AC ·BC ＝－1，得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，
∴sin α＋cos α＝23，2sin α·cos α＝－59
， 又2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α
＝2sin αcos α＝－59， 故所求的值为－59
. 9．已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )．
(1)求证：tan(α＋β)＝2tan α；
(2)求f (x )的解析表达式．
解：(1)证明：由sin(2α＋β)＝3sin β，
得sin [(α＋β)＋α]＝3sin [(α＋β)－α]，
即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α， ∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α，
∴tan(α＋β)＝2tan α.
(2)由(1)得
tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y 1－xy ＝2x ， ∴y ＝x 1＋2x 2，即f (x )＝x 1＋2x 2
. 10．已知f (x )＝cos x (cos x －3)＋sin x (sin x －3)，
(1)若x ∈[2π，3π]，求f (x )的单调递增区间；
(2)若x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4且f (x )＝－1，求tan 2x 的值．
解：(1)由已知得，
f (x )＝cos 2x －3cos x ＋sin 2x －3sin x
＝1－3(cos x ＋sin x )
＝1－32sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π4. 由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2
(k ∈Z)， 得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4
(k ∈Z)． 又∵x ∈[2π，3π]，
∴函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤9π4，3π.
(2)由(1)知f (x )＝1－32sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π4＝－1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝23
. ∴cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝59
. ∴sin 2x ＝－59
. ∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，2x ∈⎝
⎛⎭⎫π，3π2. ∴cos 2x ＝－1－sin 22x ＝－2149
. ∴tan 2x ＝sin 2x cos 2x ＝51428
.。