圆的基础知识复习学案

第三章《圆》学案1 姓名：__________学习目标：1、了解弧、弦、圆心角、圆周角的关系；2、了解三角形内心和外心及其性质；3、熟练将正多边形的有关计算转化为直角三角形问题来解决4、会计算弧长和扇形面积，会计算圆锥的侧面积和全面积。

思想方法提炼：数形结合思想，分类讨论思想，方程思想，转化思想。

（一）主要定理1、“一等二等”(圆心角、弧、弦)在同圆或等圆中，如果两个、两条、两条中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别。

2、垂径定理及推论：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条，并且平分这条弦所对的两条。

（常见辅助线1）推论：平分非直径弦的直径垂直于，并且平分弦所对的两条。

3、圆周角定理及推论：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的。

（常见辅助线2）推论1：同弧或等弧所对的圆周角；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是。

例1：（09.钦州）⊙O1与x轴交于点A（1，0）和B（5，0），点O1的纵坐标为5．求⊙O1的半径．例2：（08•黄石）如下图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BAC=50°，则∠ADC= 度。

【巩固练习】1、（10•襄阳）圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB、CD的距离为。

2、如图，在⊙O中，AB为直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线交⊙O于D，则∠ABD= 度。

3、如图，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，如果∠ABC=70°，那么∠D= 度。

第2题图第3题图第4题图第5题图4、如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOC=110°，AD∥OC，则∠AOD= 度。

5、如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠D=35°，则∠BOC的度数是。

（二）弧长和扇形相关公式1、弧长公式180n R l π=（其中n 是圆心角度数，R 是弧所在圆的半径）。

《对圆的进一步认识 》复习学案（二）【课前延伸】知识链接：回顾直线与圆位置关系及三角形的内切圆等主要知识，形成知识图表。

【课内探究】复习目标：1、回顾本节主要内容，掌握基础题目。

2、通过课内探究的学习，能够灵活应用切线的性质定理和判定定理并解决相关问题，体会知识间的密切联系。

3、让学生体会“归纳与类比”的数学思想。

一、 自主整理：（千里之行，始于足下。

相信自己，你能行） （一）直线和圆的位置关系（二）切线的判定和性质 ：1、判定定理：2、性质定理： （三）三角形的内心和外心：二、交流提升：（海阔凭鱼跃，天高任鸟飞）（提示：先独立思考，然后小组交流，将重点题目、难题、错题找出，开展组间交流）1、⊙O 的半径为R ，直线ι和⊙O 有公共点，若圆心到直线ι的距离是d ，则d 与R 的大小关系是（ ） A ．d ＞R B ．d ＜R C ．d ≥R D ．d ≤R2、已知：如图，△ABC 中，内切圆I和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D、E 、F ，若∠FDE=70°，求∠A 的度数．（2） （3）3、如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，割线PBC 过圆心O ，∠ACP=300，OC=1cm ，则PA 的长为（ ）（A ）2cm （B ）3cm （C ）2cm （D ）3cm4 已知 直角三角形 ABC 的斜边AB=6cm,直角边AC=3cm,以点C 为圆心，半径分别为２cm 和4cm 画两个圆，这两个圆与AB 有怎样的位置关系？当半径为多长时，AB 与圆C 相切？5、 如图，已知⊙O 中，AB 是直径，过B 点作⊙O 的切线BC ，连结CO ．若AD ∥OC 交⊙O 于D ．求证：CD 是⊙O 的切线．二、 精讲点拨：（师生结合，重点知识，重点巩固）BD1、探究1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．（1）若以C为圆心，R为半径所作的圆与直线AB只有一个公共点，则R的取值范围是多少？（2）若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的取值范围是多少？2、探究2：已知AB是圆O的直径，圆O过BC的中点D，且DE⊥AC。

第二十四章圆复习课学习目标通过复习,进一步掌握圆的概念和性质,以及有关的计算公式,并能运用所学的知识解决问题.学习过程设计一、整理本章知识结构二、本章知识点概括及应用(一)圆的有关概念1.圆(两种定义)、圆心、半径;2.圆的确定条件:(1)圆心确定圆的,半径确定圆的;(2)不在同一直线上的个点确定一个圆.3.弦、直径;4.圆弧(弧)、半圆、优弧、劣弧;5.等圆、等弧、同心圆;6.圆心角、圆周角;7.圆内接多边形、多边形的外接圆;8.割线、切线、切点、切线长;9.反证法:假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立.(二)圆的基本性质1.圆的对称性(1)圆是轴对称图形,任何一条所在的直线都是它的对称轴.(2)圆是中心对称图形,是对称中心.2.圆的弦、弧、直径的关系(1)垂径定理:垂直于弦的直径这条弦,并且平分弦所对的.(2)平分弦(不是直径)的直径于弦,并且平分弦所对的.[引申]一条直线若具有:①经过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的劣弧;⑤平分弦所对的优弧,这五个性质中的任何两条,必具有其余三条性质,即“知二推三”.(注意:具有①和③时,应除去弦为直径的情况)【例1】☉O的半径为10 cm,弦AB∥CD,AB=16 cm,CD=12 cm,则AB,CD间的距离为.3.弧、弦、圆心角的关系(1)在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧,所对的弦也.(2)在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角,所对的弦.(3)在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角,所对的弧.归纳:在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量.【例2】 (2011某某某某)如图,AD为△ABC外接圆的直径,AD⊥BC,垂足为点F,∠ABC 的平分线交AD于点E,连接BD,CD.(1)求证:BD=CD;(2)请判断B,E,C三点是否在以D为圆心,以DB为半径的圆上?并说明理由.4.圆周角的性质(1)定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对圆周角,都等于这条弧所对的圆心角的.(2)在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧.(3)推论:半圆(或直径)所对的圆周角是,90°的圆周角所对的弦是.判断:(1)相等的圆心角所对的弧相等.(2)相等的圆周角所对的弧相等.(3)等弧所对的圆周角相等.【例3】(2012某某某某)如图,点B,A,C,D在☉O上,OA⊥BC,∠AOB=50°,则∠ADC=°.(三)点与圆的位置关系设☉O的半径为r,OP=d,则:点P在圆内⇔dr;点P在圆上⇔dr;点P在圆外⇔dr.【例4】有两个同心圆,半径分别为R和r,P是圆环内一点,则OP的取值X围是.(四)直线与圆的位置关系设☉O的半径为r,圆心O到l的距离为d,则:直线l与☉O相交⇔dr⇔直线和圆有公共点;直线l与☉O相切⇔dr⇔直线和圆只有公共点;直线l与☉O相离⇔dr⇔直线和圆公共点.圆的切线1.定义:和圆只有公共点的直线是圆的切线.2.判定(1). (2).(3).【例5】 (2012某某某某)已知☉O的半径为2,直线l上有一点P满足PO=2,则直线l 与☉O的位置关系是()3.性质(1)圆的圆心到切线的距离等于.(2)定理:圆的切线于过切点的半径.(3)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长,这一点和圆心的连线两条切线的夹角.【例6】 (2012某某某某)如图,已知点E在直角△ABC的斜边AB上,以AE为直径的☉O 与直角边BC相切于点D.(1)求证:AD平分∠BAC;(2)若BE=2,BD=4,求☉O的半径.4.圆与三角形(1)三角形的外接圆①定义:经过三角形的的圆叫做三角形的外接圆.②距离相等;c.外心的位置:锐角三角形外心在三角形,直角三角形的外心恰好是,钝角三角形外心在.(2)三角形的内切圆①定义:与三角形都相切的圆叫做三角形的内切圆.②.【例7】 (1)选择题:下列命题正确的是()C.等边三角形的内心、外心重合(2)一个三角形,它的周长为30 cm,它的内切圆的半径为 2 cm,则这个三角形的面积为.(五)正多边形和圆1.正多边形的定义,的多边形叫做正多边形,其的圆心叫做这个正多边形的中心.2.正多边形与圆的关系把圆分成n(n≥3)等份,依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形,这时圆叫做正n边形的外接圆.3.正多边形的有关计算(11个量)边数n,内角和,每个内角度数,外角和,每个外角度数,中心角αn,边长a n,半径R n,边心).距r n,周长l n,面积S n(S S=12S S S S4.正多边形的画法画正多边形的步骤:首先画出符合要求的;然后用量角器或用尺规;最后顺次连接各等分点.如用尺规等分圆后作正四、八边形与正六、三、十二边形.注意减少累积误差.【例8】 (2010某某省某某市)如图,正六边形螺帽的边长是2 cm,这个扳手的开口a的值应是()√3 cm B.√3 cmcm D.1 cmC.2√33(六)弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积公式弧长公式:扇形面积公式:圆锥的侧面积和全面积公式:【例9】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2√2,若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周,则所得的几何体的表面积为()√2π√2π(七)有关作图怎样把一个破镜重圆?【例10】如图,AB是☉O的任意一条弦,OC⊥AB,垂足为P,若CP=7 cm,AB=28 cm,你能帮老师求出这面镜子的半径吗?参考答案二、本章知识点概括及应用(一)2.(1)位置大小;(2)三(二)1.(1)直径(2)圆心2.(1)平分两条弧(2)垂直两条弧【例1】 2 cm或14 cm3.(1)相等相等(2)相等相等(3)相等相等相等【例2】 (1)证明:∵AD为直径,AD⊥BC,∴SS⏜.∴BD=CD.⏜=SS(2)解:B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上.理由:由(1)知,∵BD=CD,∴∠BAD=∠CBD.∵∠DBE=∠CBD+∠CBE,∠DEB=∠BAD+∠ABE,∠CBE=∠ABE, ∴∠DBE=∠DEB.∴DB=DE.又∵BD=CD,∴DB=DE=DC.∴B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上.4.(1)相等一半(2)一定相等(3)直角直径【例3】 25(三)< = >【例4】r<OP<R(四)< 2= 1> 没有1.一个2.(1)定义法(2)点线距离法(3)切线的判定定理【例5】 D3.(1)半径(2)垂直(3)相等平分【例6】 (1)证明:连接OD,∵BC与☉O相切于点D,∴OD⊥BC.又∵∠C=90°,∴OD∥AC,∴∠ODA=∠DAC.而OD=OA,∴∠ODA=∠OAD,∴∠OAD=∠DAC,即AD平分∠BAC.(2)解:设圆的半径为R,在Rt△BOD中,BO2=BD2+OD2, ∵BE=2,BD=4,∴(BE+OE)2=BD2+OD2,即(2+R)2=42+R2,解得R=3,故☉O的半径为3.4.(1)①三个顶点②斜边的中点外部(2)①三边②【例7】 (1)C(2)30 cm2(五)1.各边相等各角相等外接圆4.圆等分圆周【例8】 A(六)l弧长=SπS180S扇形=SπS2360=12lR S圆锥侧=πrl S圆锥全=πr(r+l)【例9】 D(七)作任意两条弦的垂直平分线,交点即为圆心.确定好圆心后,就可使破镜重圆.【例10】综合应用垂径定理和勾股定理可求得半径.。

第4题 第五章 中心对称图形（二）小结与思考（一）班级 姓名 学号学习目标：1、梳理本章所学的知识，复习圆的有关概念及点与圆的位置关系．2、掌握并理解垂径定理，并能应用进行计算与证明．3、认识圆心角、弧、弦之间相等关系的定理，掌握圆心角和圆周角的关系定理，并能应用它们解决有关问题． 基础练习：1、若点A 的坐标是（3，4），⊙A 的半径是5，则原点O 与⊙A 的位置关系是 ．2、下列说法错误的有 （ ） ①过圆心的线段是直径；②周长相等的两个圆是等圆；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆上一点可以作无数条弦A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个3、如图，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，∠EOD ＝40°，则∠DCF= ．4、如图是高速公路上的一个单心圆曲隧道的截面，若路面AB 宽为10米，净高C D 为7米，则此隧道单心圆的半径O A 是 ．5、如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A=45°，OB=2cm ，则BC= cm ．6、一条弦分圆为1∶5的两部分，则这条弦所对的圆周角的度数为 .7、如图，⋂BC 的度数为80°，弦AB 与CD 交于点E ，∠CEB=60°，则⋂AD 的度数等于 ． 典例精析：问题一、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=4cm ，AC=6cm ，AM 是中线． （1）以点A 为圆心，4cm 长为半径作⊙A ，则B 、C 、M 与⊙A 有什么位置关系？（2）若以点A 为圆心作⊙A ，使B 、C 、M 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A 的半径r 的取值范围是什么？问题二、有一座圆弧形的拱桥，它的拱高(弧的中点到弦的距离) CD 是18m ，跨度（ 所对的弦长）AB 为60m ． （1）求桥拱的半径；（2）若当洪水来临时，水面在桥拱内的宽度等于或小于30m 时，就要采取紧急避险措施，一次雨后测得拱顶离水面只有4m ．是否需要采取紧急措施?说明理由．问题三、如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AC=BC ，D 为⊙O 上一点，延长DA 至点E ，使CE=CD ．（1）AE 与BD 有什么数量关系,为什么? （2）若AC ⊥BC ，说明：AD+BD=2CD ．问题四、如图,点P 是圆上的一个动点,弦AB=3,PC 是∠APB 的平分线, ∠BAC=30°. (1) ∠PAC 等于多少度时,四边形PACB 有最大面积?最大面积是多少? (2) 当∠PAC 等于多少度时,四边形PACB 是梯形?说明理由．A B CM第7题 C AB AB 第5题E F C DG O 第3题ＡA BC 图（a ） 图（b ） 图（c ）图3（d ） AAC D P课后作业：1、若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10 cm 、深约为2 cm 的小坑，则该铅球的直径约为 cm ．2、下列说法：①如图（a ），可以利用刻度尺和三角板测量圆形工件的直径；②如图（b ），可以利用直角曲尺检查工件是否为半圆形；③如图（c ），两次使用丁字尺（C D 所在直线垂直平分线段AB3、如上右图，⊙O 是△ABC 的内切圆，OD ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点E ，∠C=60°，如果⊙O 的半径为2，则下列结论错误的是 （ ） A 、AD=DB B、 =C 、OD=1D 、AB=3 4、如图，⊙O 是A B C ∆的外接圆，点D 在⊙O 上，已知∠ACB=∠D ，BC=2,则AB 的长是__________． 5、如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为 ．6、如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC =120°， AB =AC ，BD 为 ⊙O 的直径，AD =6，则BC ＝ .7、已知：如图，在⊙O 中,弦AB 、CD 交于点M 、AC 、DB 的延长线交于点N ，则图中相似三角形有________对8、如图,要把破残的圆片复制完整, 已知弧上的三点A 、B 、C ．（1）用尺规作图法，找出弧BC 所在圆的圆心O （保留作图痕迹，不写作法）； （2）设△ABC 是等腰三角形，底边BC = 10cm ，腰AB = 6 cm ，求圆片的半径R ．9、如图，已知PB 交⊙O 于点A ，PO 与⊙O 交于点C ，且PA=AB=6cm ，PO ＝12cm.． （1）求⊙O 的半径；（2）求△PBO 的面积．10、已知：如图等边A B C △内接于⊙O ，点P 是劣弧BC 上的一点（端点除外），延长B P 至D ，使B D A P =，连结C D ．（1）若AP 过圆心O ，如图①，请你判断PD C △是什么三角形？并说明理由． （2）若AP 不过圆心O ，如图②，PD C △又是什么三角形？为什么？11、如图1，半圆O 为△ABC 的外接半圆，AC 为直径，D 为 上的一动点． （1）问添加一个什么条件后，能使得B D B E B CB D=？请说明理由；（2）若AB ∥OD ，点D 所在的位置应满足什么条件？请说明理由；（3）如图，在 （1）和（2）的条件下，四边形AODB 是什么特殊的四边形？说明你的结论．第4题 第6题 N 第7题 图①D图②。