高三数学9月月考试题 理

2023届河南省洛阳市第一高级中学高三9月月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{A x y ==，{}22,B y y x x R ==-+∈，则A B =（ ）A ．(,2]-∞B ．[1,2]C ．[1,2)D ．[1,)+∞【答案】B【解析】转化条件为{}1A x x =≥，{}2B y y =≤，再由集合的交集运算即可得解.【详解】因为{{}1A x y x x ===≥，{}{}22,2B y y x x R y y ==-+∈=≤，所以{}[]121,2A B x x ⋂=≤≤=. 故选：B.【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 2．利用二分法求方程3log 3x x =-的近似解，可以取的一个区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)【答案】C【分析】设3()log 3f x x x =-+，根据当连续函数()f x 满足f （a ）f （b ）0<时，()f x 在区间(,)a b 上有零点，即方程3log 3x x =-在区间(,)a b 上有解，进而得到答案． 【详解】解：设3()log 3f x x x =-+，当连续函数()f x 满足f （a ）f （b ）0<时，()f x 在区间(,)a b 上有零点， 即方程3log 3x x =-在区间(,)a b 上有解， 又f （2）3log 210=-<，f （3）3log 33310=-+=>，故f （2）f （3）0<，故方程3log 3x x =-在区间(2,3)上有解，即利用二分法求方程3log 3x x =-的近似解，可以取的一个区间是(2,3). 故选：C ． 3．若函数y的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，12]B ．（0，12） C ．[0，12]D ．[0，12）【答案】D【分析】根据题意将问题转化为二次型不等式恒成立问题，结合对参数a 的讨论，根据∆即可求得结果.【详解】要满足题意，只需2420ax ax -+>在R 上恒成立即可. 当0a =时，显然满足题意. 当0a >时，只需2Δ1680a a =-<， 解得10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.综上所述，10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故选：D .【点睛】本题考查二次型不等式恒成立求参数范围的问题，属基础题.4．已知公比为q 的等比数列{}n a 前n 项和为n S ，则“1q >”是“{}n S 为递增数列”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要 【答案】D【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质即可得到结论. 【详解】解：①在等比数列中，若1,2q n >≥时，1n n n S S a --=，当10a <时，110n n a a q -=<，则1n n S S -<，此时{}n S 为递减数列，即充分性不成立； ②若“{}n S 为递增数列”，即2n ≥时，1n n S S ->，则有10n n S S -->，而110n n a a q -=>并不能推得1q >，如111,2a q ==，故必要性不成立， 故“1q >”是“{}n S 为递增数列”的既不充分也不必要条件， 故选：D.5．已知函数()f x 的导函数f x 的图像如图所示，那么函数()f x 的图像最有可能的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】由导函数图象可知原函数的单调区间，从而得到答案．【详解】由导函数图象可知，()f x 在（-∞，-2），（0，+∞）上单调递减， 在（-2，0）上单调递增， 故选：A ． 6．函数6()e 1||1xmxf x x =+++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．与m 值有关【答案】C【分析】利用分离常数法对函数的式子变形，结合函数奇函数的定义及奇函数最值的性质即可求解.【详解】由题意可知，()3e 16()3e 1||1e 1||1x x x mx mxf x x x =+=--+++++， 设()()3e 1e 1||1x x mxg x x =--+++，则()g x 的定义域为(),-∞+∞，所以()()()()()3e 13e 1e 1||1e 1||1x x xx m x mx g x g x x x --⎡⎤-⎢⎥-=-+=--+=-+-+++⎢⎥⎣⎦--， 所以()g x 为奇函数， 所以()()max min 0g x g x +=，所以()()()()max min max min 336f x f x M N g x g x +=+=+++=, 故选：C.7．函数f （x ）的图象与其在点P 处的切线如图所示，则()()11f f -'等于（ ）A ．－2B ．0C ．2D ．4【答案】D【分析】根据图象求出切线斜率和方程，由导数的几何意义和切点在切线上可解. 【详解】由题意，切线经过点(2,0),(0,4)，可得切线的斜率为40202k -==--，即()12f '=-，又由切线方程为24y x =-+，令1x =，可得2y =，即()12f =， 所以()()11224f f '-=+=. 故选：D8．若函数()ln 1f x x x ax =-+在[e,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(,2]-∞ C ．(2,)+∞ D ．[2,)+∞【答案】B【分析】求导，导函数在[e,)+∞上恒非负，根据恒成立的问题的办法解决.【详解】()1ln f x x a '=+-，又()f x 在[e,)+∞上单调递增，故()0f x '≥在[e,)+∞上恒成立，而[e,)x ∈+∞时，易见min ()2f x a '=-，只需要20a -≥即可，故2a ≤. 故选：B.9．已知()1xf x e =-（e 为自然对数的底数），()ln 1g x x =+，则()f x 与()g x 的公切线条数（ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条【答案】C【分析】设直线l 是()f x 与()g x 的公切线，分别设出切点，分别得出切线方程，根据方程表示同一直线，求出参数即可得到答案.【详解】根据题意，设直线l 与()1xf x e =-相切于点(),1m m e - ，与()g x 相切于点(),ln 1n n +，对于()1x f x e =-，()x f x e '=，则1mk e =则直线l 的方程为()1m my e e x m +-=- ，即(1)1m m y e x e m =+--，对于()ln 1g x x =+，()1g x x'=，则21=k n则直线l 的方程为()()1ln 1y n x n n -+=-，即1ln y x n n=+， 直线l 是()f x 与()g x 的公切线，则()11ln 1m m e n m e n ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩， 可得110mm e ，即0m =或1m =则切线方程为：1y ex =- 或y x =,切线有两条. 故选：C10．已知()()11e x f x x -=-，()()21g x x a =++，若存在1x ，2R x ∈，使得()()21f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭B ．1,e ∞⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．()0,eD ．1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】原命题等价于max min ()()f x g x ≥，再求max ()f x 和min ()g x 解不等式即得解. 【详解】12R ,x x ∃∈，使得()()21f x g x ≥成立，则max min ()()f x g x ≥，由题得()()111e 1e e x x xf x x x ---=-+-=-'，当0x >时，()0f x '<，当0x <时，()0f x '>，所以函数()f x 在（-∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减， 所以()()max 10ef x f ==，由题得min ()(1)g x g a =-=， ∴1ea ≤故选：B.11．已知函数3,0,()212,0,x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-++<⎪⎩若存在唯一的整数．．x ，使得03()2x a f x -<-成立，则所有满足条件的整数．．a 的取值集合为（ ） A ．{2,1,0,1,2}-- B ．{2,1,0,1}-- C ．{1,0,1,2}- D ．{1,0,1}-【答案】B【分析】作出()3()g x f x =的图象，由不等式的几何意义：曲线上一点与(),2a 连线的直线斜率小于0，结合图象即可求得a 范围.【详解】令33,0,()3()616,0,x x g x f x x x ⎧≥⎪==⎨-++<⎪⎩作出()g x 的图象如图所示：03()2x a f x -<-等价于()20ax x g --<，表示点()(),x g x 与点(),2a 所在直线的斜率，可得曲线()g x 上只有一个整数点()(),x g x 与(),2a 所在的直线斜率小于0，而点(),2a 在直线2y =上运动，由()20,(1)6,(0)0g g g -=-== 可知当-21a ≤≤-时，只有点()00，满足()20a x x g --<，当01a ≤≤时，只有点()16-，满足()20ax x g --<，当1a >时，至少有()16-，，()13，满足()20ax x g --<，不满足唯一整数点，故舍去， 当2a <-时，至少有()()0020-，，，满足()20ax x g --<，不满足唯一整数点，故舍去， 因为a 为整数，故a 可取2101--，，， 故选：B12．已知6ln1.25a =，0.20.2e b =，13c =，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【答案】A【分析】0.20.20.20.2e e ln e b ==，令()ln f x x x =，利用导数求出函数()f x 的单调区间，令()e 1xg x x =--，利用导数求出函数()g x 的单调区间，从而可得出0.2e 和1.2的大小，从而可得出,a b 的大小关系，将,b c 两边同时取对数，然后作差，从而可得出,b c 的大小关系，即可得出结论.【详解】解：0.20.20.20.2e e ln e b ==，6ln1.2 1.2ln1.25a ==，令()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，当10ex <<时，()0f x '<，当1e x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，令()e 1x g x x =--，则()e 1xg x '=-，当0x <时，()0g x '<，当0x >时，()0g x '>， 所以函数()g x 在(),0∞-上递减，在()0,∞+上递增， 所以()()0.200g g >=，即0.21e10.2 1.2e>+=>，所以()()0.2e 1.2f f >，即0.20.2e e 1.22ln ln1.>，所以b a >，由0.20.2e b =，得()0.211ln ln 0.2e ln 55b ==+，由13c =，得1ln ln 3c =，11151ln ln ln ln ln 35535c b -=--=-，因为55625510e 3243⨯⎛⎫=>> ⎪⎝⎭，所以155e 3>，所以51ln 35>，所以ln ln 0c b ->，即ln ln c b >， 所以c b >， 综上所述a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查了比较大小的问题，考查了同构的思想，考查了利用导数求函数的单调区间，解决本题的关键在于构造函数，有一定的难度.二、填空题13．已知命题“R x ∀∈，210x ax ++>”是假命题，则实数a 的取值范围为______. 【答案】(,2][2,)-∞-+∞【解析】根据“R x ∀∈，210x ax ++> ”是假命题，得出它的否定命题是真命题，求出实数a 的取值范围．【详解】解：∵命题“R x ∀∈，210x ax ++> ”是假命题， ∴R x ∃∈，210x ax ++≤是真命题， 即R x ∃∈使不等式210x ax ++≤有解； 所以240a ∆=-≥，解得：2a ≤-或2a ≥. ∴实数a 的取值范围是(,2][2,)-∞-+∞. 故答案为：(,2][2,)-∞-+∞.【点睛】本题主要考查根据特称命题与全称命题的真假求参数，考查了一元二次不等式能成立问题，属于基础题.14．已知()f x 为R 上的奇函数，且()()20f x f x +-=，当10x -<<时，()2xf x =，则()22log 5f +的值为______． 【答案】45--0.8【分析】由题设条件可得()f x 的周期为2，应用周期性、奇函数的性质有()2242log 5(log )5f f +=-，根据已知解析式求值即可.【详解】由题设，(2)()()f x f x f x -=-=-，故(2)()f x f x +=，即()f x 的周期为2，所以()22225542log 5(22log )(log )(log )445f f f f +=⨯+==-，且241log 05-<<，所以()24log 5242log 525f +=-=-.故答案为：45-.15．已知函数()1,03,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪-+≤⎩，若方程()f x a =有三个不同的实数根123,,x x x ，且123x x x <<，则123ax x x +的取值范围是________.【答案】(]1,0-【分析】画出函数图象，数形结合得到a 的取值范围，且23x x a +=，解不等式得到(]11,0x ∈-，从而求出(]11231,0ax x x x =∈-+. 【详解】画出函数()f x 的图象：由函数()f x 的图象可知：10x ≤，23a <≤，令1x a x+=，则210x ax -+=， 所以23x x a +=，令1233x <-+≤，解得：(]11,0x ∈-，所以(]11231,0ax x x x =∈-+. 故答案为：(]1,0-.16．已知函数()()()2log 120kx kf x x k k +=+->，若存在0x >，使得()0f x ≥成立，则k的最大值为______． 【答案】12eln 【分析】由()0f x ≥，可得()()()()121log 1120k x x x k x +++-+≥，同构函数()2log g x x x =，结合函数的单调性，转化为()()2log 11x h x x +=+的最大值问题.【详解】由()()2log 120kx kf x x k +=+-≥，可得()()()()121log 1120k x x x k x +++-+≥ 即()()()()121log 112k x x x k x +++≥+，()()()()11221log 12log 2k x k x x x ++++≥⋅构造函数()2log g x x x =，显然在()1,+∞上单调递增， ∴()112k x x ++≥，即()2log 11x k x +≤+，令()()2log 11x h x x +=+，即求函数的最大值即可，()()()()()222221log 1log log 1ln 211x e x h x x x -+-+'==++， ∴在()1,1e -上单调递增，在()1,e -+∞上单调递减， ∴()h x 的最大值为()11ln 2h e e -= ∴10e 2k ln <≤，即k 的最大值为1e 2ln 故答案为：1e 2ln .三、解答题17．已知(){}23log 212A x x x =-+>，11216x aB x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭．(1)当2a =时，求R A B ⋂；(2)已知“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)R {2A B x x ⋂=<-或46}<≤x (2)0a ≥【分析】（1）先求出,A B ，从而可求R B ，故可求R A B ⋂.（2）根据题设条件可得B A ⊆，从而可求0a ≥.【详解】(1){}2|219{2A x x x x x =-+>=<-或4}x >，当2a =时211{6}216x B x x x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}R6B x x =≤，所以R {2A B x x ⋂=<-或46}<≤x ，(2)11{4}216x aB x x x a -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=>+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，由“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件得B A ⊆ 所以44+≥a ，解得0a ≥．18．命题p ：22430x ax a -+->(0a >)，命题q :302x x -<-. (1)当1a =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； (2)若p ⌝ 是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)(2,3) (2)[1,2]【分析】（1）结合已知条件分别化简命题p 和q ，然后由1a =且p q ∧为真即可求解； （2）结合（1）中结论分别求出p ⌝ 和q ⌝，然后利用充分不必要的概念即可求解. 【详解】(1)结合已知条件可知，22430()(3)03x ax a x a x a a x a -+->⇔--<⇔<<， 30(2)(3)0232x x x x x -<⇔--<⇔<<-， 当1a =时，命题p ：13x <<，命题q ：23x <<， 因为p q ∧为真，所以132323x x x <<⎧⇒<<⎨<<⎩，故求实数x 的取值范围为(2,3).(2)结合（1）中可知，命题p ⌝：x a ≤或3x a ≥，命题q ⌝：2x ≤或3x ≥， 因为p ⌝ 是q ⌝的充分不必要条件，所以{|x x a ≤或3}x a ≥是{|2x x ≤或3}x ≥的真子集，从而0233a a <≤⎧⎨≥⎩且等号不同时成立，解得12a ≤≤，故实数a 的取值范围为[1,2].19．函数()2131log 1x x x f x x x ⎧-≤⎪⎨>⎪⎩＋，＝，，()2g x x k x =-+-，若对任意的12,R x x ∈，都有()()12f x g x ≤成立.(1)求函数()g x 的最小值； (2)求k 的取值范围. 【答案】(1)|k －2| (2)79,,44⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】（1）根据绝对值的三角不等式，即可得答案.（2）分析可得求max min ()()f x g x ≤即可，根据()f x 解析式，作出图象，结合函数的性质，可得max ()f x ，所以可得|k －2|≥14，根据绝对值不等式的解法，即可得答案. 【详解】(1)因为g (x )＝|x －k |＋|x －2|≥|x －k －(x －2)|＝|k －2|，所以min ()2g x k =- (2)对任意的12,R x x ∈，都有()()12f x g x ≤成立，即max min ()()f x g x ≤ 观察f (x )＝2131log 1x x x x x ⎧-≤⎪⎨>⎪⎩＋，，的图象，结合函数性质可得，当x ＝12时，函数max 1()4f x = 所以|k －2|≥14，解得k ≤74或k ≥94.故实数k 的取值范围是79,,44⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭20．低碳环保，新能源汽车逐渐走进千家万户.新能源汽车采用非常规的车用燃料作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车.为了提高生产质量，有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，国道限速80km/h.经数次测试，得到纯电动汽车每小时耗电量Q （单位：wh ）与速度x （单位：km/h ）的数据如下表所示： x 0 10 40 60 Q132544007200为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量Q 与速度x 的关系，现有以下三种函数模型供选择：①3211()40=++Q x x bx cx ；②22()10003⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭xQ x a ；③3()300log a Q x x b =+.(1)当080x ≤≤时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数表达式；(2)现有一辆同型号纯电动汽车从A 地行驶到B 地，其中，国道上行驶30km ，高速上行驶200km.假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量Q 与速度x 的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速v （单位：km/h ）满足[80,120]v ∈，且每小时耗电量N （单位：wh ）与速度v （单位：km/h ）的关系满足()()221020080120N v v v v =-+≤≤.则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？ 【答案】(1)选①，理由见解析；321()215040=-+Q x x x x (2)高速上的行驶速度为80km/h ，在国道上的行驶速度为40km/h ；33800wh【分析】（1）判断③、②不符合题意，故选①，再利用待定系数法求解即可． （2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及对勾函数的性质进行求解． 【详解】(1)解：对于③3()300log a Q x x b =+，当0x =时，它无意义，故不符合题意，对于②，22()1000()3x Q x a =-+，()0220100003Q a ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，解得999a =-，则22()13x Q x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当10x =时，()02121013Q ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又100122033<⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭，所以()021210131Q ⎛⎫=- ⎪⎭<⎝，故不符合题意，故选①3211()40=++Q x x bx cx ， 由表中数据，可得323211010101325401404040440040b c b c ⎧⨯+⨯+⨯=⎪⎪⎨⎪⨯+⨯+⨯=⎪⎩，解得2150b c =-⎧⎨=⎩，321()215040Q x x x x ∴=-+． (2)解：高速上行驶200km ，所用时间为200h v， 则所耗电量为2200200100()()(210200)400()2000f v N v v v v v v v=⋅=⋅-+=+-，由对勾函数的性质可知，()f v 在[80,120]上单调递增，min 100()(80)400(80)200030500wh 80f v f ∴==⨯+-=， 国道上行驶30km ，所用时间为30h v， 则所耗电量为322303013()()(2150)604500404g v Q v v v v v v v v =⋅=⋅-+=-+， 080v ≤≤，∴当40v =时，min ()(40)3300wh g x g ==，∴当这辆车在高速上的行驶速度为80km /h ，在国道上的行驶速度为40km/h 时，该车从A 地行驶到B 地的总耗电量最少，最少为30500330033800wh +=． 21．已知函数()ln af x x b x x=--. (1)若函数()f x 在1x =处的切线是10x y +-=，求a b +的值； (2)当1a =时，讨论函数()f x 的零点个数. 【答案】(1)4a b +=(2)当2b ≤时，()f x 在()0,∞+上有且只有1个零点，当2b >时，()f x 在()0,∞+上有3个零点.【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解；（2）由（1）知()1ln f x x b x x =--，求导()221x bx f x x -+'=，分类讨论22b -≤≤，2b <-和2b >时，利用导数研究函数的单调性，进而得出函数的零点.【详解】(1)∵切点()()1,1f 也在切线10x y +-=上，∴1110a -+-=，即1a =. 函数()ln a f x x b x x =--，求导()21a bf x x x'=+-， 由题设知()111f a b =+-=-'，即3b =， ∴4a b +=.(2)当1a =时，()1ln f x x b x x =--，0x >求导()222111b x bx f x x x x -+'=+-=. ①当22b -≤≤时，二次函数210x bx -+≥恒成立，即()0f x '≥在()0,x ∈+∞上恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递增， 又()10f =，故()f x 在()0,∞+上有且只有1个零点.②当2b <-时，方程210x bx -+=有两个不同的根，设12,x x ，此时120x x b +=<，1210x x =>，即10x <，20x <，()0f x '>在()0,x ∈+∞上恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递增，故()f x 在()0,∞+上有且只有1个零点.③当2b >时，方程210x bx -+=有两个不同的根，设12,x x ， 此时120x x b +=>，1210x x =>，即1201x x <<<， 当10x x <<时，()0f x '>，()f x 在()10,x 上单调递增； 当12x x x <<时，()0f x '<，()f x 在()12,x x 上单调递减； 当2x x >时，()0f x '>，()f x 在()2,x +∞上单调递增. 又()()()1210f x f f x >=>，所以21111e ln e 0e ee e bb bb b bf b b ⎛⎫=--=-+< ⎪⎝⎭在()2,b ∈+∞上恒成立， 所以()f x 在()10,x 上有且只有1个零点.又()10f =，故()f x 在()12,x x 上有且只有1个零点.又()2111e e ln e e 0e e e b bb b b b b f b b f ⎛⎫=--=--=-> ⎪⎝⎭在()2,b ∈+∞上恒成立， 故()f x 在()2,x +∞上有且只有1个零点.综上所述，当2b ≤时，()f x 在()0,∞+上有且只有1个零点，当2b >时，()f x 在()0,∞+上有3个零点.22．已知函数()()2ln 211f x x ax a x a =+-+++，其中R a ∈.(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)设()()g x f x '=，求函数()g x 在区间[]1,2上的最小值 (3)若()f x 在区间[]1,2上的最大值为2ln21-，直接写出a 的值. 【答案】(1)0y = (2)详见解析 (3)ln 2【分析】（1）求导求切线方程；（2）求导，含参讨论求最值；（3）求导判断单调性验证成立即可【详解】(1)()()2ln 211f x x ax a x a =+-+++，则()10f =()()1221f x ax a x'=+-+，则()10k f '== 则曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程为0y = (2)()()1()221g x f x ax a x'==+-+，[]1,2x ∈ 则222121()2ax g x a x x-'=-+=，[]1,2x ∈ ①当0a ≤时，2221()0ax g x x -'=<，则()g x 在[]1,2上单调递减，()g x 在[]1,2上的最小值为()11(2)421222g a a a =+-+=-②当108a <≤时，由[]1,2x ∈，可得2281ax a ≤≤，则2221()0ax g x x-'=≤ 则()g x 在[]1,2上单调递减，()g x 在[]1,2上的最小值为1(2)22g a =-③当1182a <<时，222221()a x x ax g x x x ⎛ -⎝⎭⎝⎭'==，[]1,2x ∈当1x ≤<()0g x '<，()g x 单调递减；2x ≤时，()0g x '>，()g x 单调递增则当x =()g x取最小值()2211)1g a a =+=- ④当12a ≥时，由[]1,2x ∈，可得2221ax a ≥≥，则2221()0ax g x x -'=≥则()g x 在[]1,2上单调递增，()g x 在[]1,2上的最小值为(1)0g = (3)ln 2a =，理由如下：此时，函数()()2ln 211ln 2ln 2ln 2f x x x x =+-+++，[]1,2x ∈则()()()ln 21(1)ln 2ln 221221x f x x x xx '-+--=+= 由[]1,2x ∈，可得ln 2ln 2ln 4122x ≥=>，10x -≥，0x > 则()()ln 21(120)x f x x x--'=≥，则()f x 在[]1,2单调递增.则()f x 在[]1,2上的最大值为()()ln 2ln 2ln 2ln 212ln2422112f =-+++=-+。

永年区第二中学2021届高三数学9月月考试题 理制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。

第一卷〔选择题 一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的1．集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，那么A B = ( )A ．{}0B ．{}1C ．{}12，D ．{}012，， 2．设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n，那么p 为 ( )A ．∀n ∈N ，n 2>2nB ．∃n ∈N ，n 2≤2nC ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n3．⎠⎛01e xd x 的值等于( )A ．eB ．e －1C ．1－e D.12(e －1)4. 在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x ≥0)，g (x )＝log a x(a>0且a≠1)的图象可能是 ( )5．函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．假设p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，那么 ( )A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件6．α为第二象限角，3sin cos 3αα+=，那么cos 2α= ( ) A ．53-B ．59-C ．59D ．537．设函数()cos()3f x x π=+，那么以下结论错误的选项是( )A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线83x π=对称 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()f x 在(,)2ππ单调递减8．ln x π=，5log 2y =，12z e-=，那么 ( )A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x <<9设函数f (x )＝e x＋2x －4，g (x )＝ln x ＋2x 2－5，假设实数a ，b 分别是f (x )，g (x )的零点，那么( )A ．g (a )＜0＜f (b )B ．f (b )＜0＜g (a )C ．0＜g (a )＜f (b )D ．f (b )＜g (a )＜010．函数()2()sin ln 1f x x x =•+的局部图象可能是 ( )A ．B ．C ．D ．11．()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(2)()f x f x +=-．假设(1)4f =，那么(1)(2)(3)(2018)f f f f ++++=( )A ． 50-B ．0C ．2D ．412．函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )＜0成立，a ＝(2)·f (2)，b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝(log 39)·f (log 39)，那么a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b ＞a ＞cB ．c ＞a ＞bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b第二卷(非选择题 一共90分)二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分． 13．曲线1ln(1)2y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________．14．设函数1,0,()2,0x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩　那么满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是________．15．艺术节对同一类的D C B A ,,,四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“是C 或者D 作品获得一等奖〞 乙说：“B 作品获得一等奖〞丙说：“D A ,两项作品未获得一等奖〞 丁说：“是C 作品获得一等奖〞假设这四位同学中只有两位说的话是对的，那么获得一等奖的作品是___________．16．假设函数))(1()(22b ax x x x f ++-=的图像关于直线2-=x 对称，那么)(x f 的最大值为____________.三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．17．(本小题满分是10分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(2b －c )cos A ＝a cos C .(1)求角A 的大小；(2)假设a ＝3，b ＝2c ，求△ABC 的面积．18．(本小题满分是12分)函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．19. (本小题满分是12分)等差数列{a n }为递增数列，且a 2，a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，数列{b n }的前n 项和T n ＝1－12b n .(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)假设c n ＝3nb na n a n ＋1，求数列{c n }的前n 项和S n .20. (本小题满分是 12分)如图，三棱锥P ­ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC ＝3，∠ACB ＝π2.D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，且CD ＝DE ＝2，CE ＝2EB ＝2.(1)证明：DE ⊥平面PCD .(2)求二面角A ­PD ­C 的余弦值．21．(本小题满分是12分)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上． (1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．22．(本小题满分是12分)函数()ln f x x =． 〔1〕求函数()(1)2g x f x x =--+的最大值； 〔2〕0a b <<，求证()()222()a b a f b f a a b-->+．永年二中高三理科数学九月月考试题本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部．满分是150分,考试时间是是120分钟．第一卷〔选择题 一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的 1．集合，，那么C A ．B ．C ．D ．2．设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n，那么p 为( ) CA ．∀n ∈N ，n 2>2nB ．∃n ∈N ，n 2≤2nC ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n3．e xd x 的值等于( ) BA ．eB ．e －1C ．1－e D.21(e －1)4. 在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x ≥0)，g (x )＝log a x (a >0且a ≠1)的图象可能是( ) D5．函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．假设p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，那么( ) CA ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件6．为第二象限角，，那么 A〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕7．设函数，那么以下结论错误的选项是〔〕DA．的一个周期为B．的图像关于直线对称C．的一个零点为D．在单调递减8．，，，那么D〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕9设函数f(x)＝e x＋2x－4，g(x)＝ln x＋2x2－5，假设实数a，b分别是f(x)，g(x)的零点，那么( ) A A．g(a)＜0＜f(b) B．f(b)＜0＜g(a)C．0＜g(a)＜f(b) D．f(b)＜g(a)＜010．函数的局部图象可能是 BA． B．C．D．11．是定义域为的奇函数，满足．假设，那么DA．B．C． D．12．函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)＜0成立，a＝(2)·f(2)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，c＝(log39)·f(log39)，那么a，b，c的大小关系是( ) A A．b＞a＞c B．c＞a＞bC．c＞b＞a D．a＞c＞b第二卷(非选择题 一共90分)二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．13．曲线在点处的切线方程为__________．14．设函数那么满足的的取值范围是________．15．艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“是或者作品获得一等奖〞乙说：“作品获得一等奖〞丙说：“两项作品未获得一等奖〞 丁说：“是作品获得一等奖〞假设这四位同学中只有两位说的话是对的，那么获得一等奖的作品是___________．B16．假设函数的图像关于直线对称，那么的最大值为____________.16三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(2b －c )cos A ＝a cos C .(1)求角A 的大小；(2)假设a ＝3，b ＝2c ，求△ABC 的面积．[解](1)根据正弦定理，由(2b －c )cos A ＝a cos C ，得2sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ，即2sin B cos A ＝sin(A ＋C )，所以2sin B cos A ＝sin B ，因为0<B <π，所以sin B ≠0， 所以cos A ＝21，因为0<A <π，所以A ＝3π.(2)因为a ＝3，b ＝2c ，由(1)得A ＝3π，所以cos A ＝2bc b2＋c2－a2＝4c24c2＋c2－9＝21， 解得c ＝，所以b ＝2所以S △ABC ＝21bc sin A ＝21×2××23＝23. 18．函数f (x )＝2sin x sin6π.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈2π时，求函数f (x )的值域． 解：(1)f (x )＝2sin x cos x 1＝×21－cos 2x ＋21sin 2x ＝sin3π＋23. 函数f (x )的最小正周期为T ＝π.由－2π＋2k π≤2x －3π≤2π＋2k π，k ∈Z ，解得－12π＋k π≤x ≤125π＋k π，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递增区间是＋k π5π，k ∈Z . (2)当x ∈2π时，2x －3π∈32π，sin3π∈，13，f (x )∈23.19.等差数列{a n }为递增数列，且a 2，a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，数列{b n }的前n 项和T n ＝1－21b n .(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)假设c n ＝anan ＋13nbn，求数列{c n }的前n 项和S n .解：(1)由题意得a 2＝3，a 5＝9，数列{a n }的公差d ＝5－2a5－a2a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2nT n ＝1－21b n ，得n ＝1时，b 1＝32，n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝21b n －1－21b n ，得b n ＝31b n －1，所以b n ＝3n 2.(2)由(1)得c n ＝anan ＋13nbn ＝(2n －1(2n ＋12＝2n －11－2n ＋11， 那么S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝31＋51＋…＋2n ＋11＝1－2n ＋11＝2n ＋12n.20. (本小题满分是12分)如图，三棱锥PABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC ＝3，∠ACB ＝2π.D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，且CD ＝DE ＝，CE ＝2EB ＝2.(1)证明：DE ⊥平面PCD . (2)求二面角APDC 的余弦值．解：(1)证明：由PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，故PC ⊥DE . 由CE ＝2，CD ＝DE ＝得△CDE 为等腰直角三角形，故CD ⊥DE .由PC ∩CD ＝C ，DE 垂直于平面PCD 内两条相交直线，故DE ⊥平面PCD .(2)由(1)可知，△CDE 为等腰直角三角形，∠DCE ＝4π，如图，过D 作DF 垂直CE 于F ，易知DF ＝FC ＝FE ＝1，又EB ＝1，故FB ＝2.由∠ACB ＝2π，得DF ∥AC ，AC DF ＝BC FB ＝32，故AC ＝23DF ＝23.以C 为坐标原点，分别以，，的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，那么C (0,0,0)，P (0,0,3)，A ，0，03，E (0,2,0)，D (1,1,0)，＝(1，－1,0)，＝(－1，－1,3)，＝，－1，01，设平面PAD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由n 1·＝0，n 1·＝0，可得x1－y1＝0，1令x 1＝2，故可取n 1＝(2,1,1)．由(1)可知DE ⊥平面PCD ，故平面PCD 的法向量n 2可取为，即n 2＝(1，－1,0)，从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为cos n 1，n 2＝|n1|·|n2|n1·n2＝63，故所求二面角APDC 的余弦值为63.21．椭圆C ：a2x2＋b2y2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．解：(1)由题意有a a2－b2＝22，a24＋b22＝1，解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为8x2＋4y2＝1.(2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入8x2＋4y2＝1得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝2x1＋x2＝2k2＋1－2kb ，y M ＝k ·x M ＋b ＝2k2＋1b .于是直线OM 的斜率k OM ＝xM yM ＝－2k 1，即k OM ·k ＝－21.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．22．函数． 〔Ⅰ〕求函数的最大值； 〔Ⅱ〕，求证． 21解：〔I 〕因为，…………………………………………………………2分 当时；当时， 那么在单调递增，在单调递减. 所以的最大值为. …………………………………………………………………5分〔II 〕由得，，………7分那么，又因为，有，构造函数………………………………………9分那么，当时，，可得在单调递增，有，……………………………………………………11分所以有．………………………………………12分制卷人：打自企；成别使；而都那。

河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题一、单选题1．已知数列{}n a 满足112n na a +=-，则11a =-，则4a =（ ） A ．3B ．53C ．75D ．152．已知α是第四象限角且3sin ,2sin cos 05αββ=--=，则tan()αβ-的值为（ ）A ．1B ．1-C ．2-D ．2113．函数()15f x x =的图象在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π24．如图，平行四边形ABCD 中，2AE EB =，DF FC =，若C B m =u u u r r ，CE n =u u ur r ，则AF =u u u r （ ）A ．1322m n +r rB ．3122m n -r rC ．1322m n -+r r D ．1322m n -r r5．已知等差数列{}n a 的公差小于0，前n 项和为n S ，若727131a a a +=-，844S =，则n S 的最大值为（ ） A ．45B ．52C ．60D ．906．设ABC V 内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知2sin sin sin ABC S A B C =△，若ABC V 的周长为1．则sin sin sin A B C ++=（ ） A ．1B ．12C ．34D ．27．设函数()()3ππ40,0,3πππ4tan ,4k x f x k k x x ωωωω⎧+⎪=⎪⎪=>∈⎨⎪+⎛⎫⎪--≠ ⎪⎪⎝⎭⎩Z ，若函数()f x 在区间π3π,88⎛⎫- ⎪⎝⎭上有且仅有1个零点，则ω的取值范围为（ ） A ．2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．210,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]0,28．已知11e e ,12()1x xax x f x x --⎧--≤⎪⎪=⎨>，()a ∈R 在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．[]2,1-B ．[]2,1--C ．(],1-∞D ．[)2,-+∞二、多选题9．以下正确的选项是（ ） A ．若a b >，c d <，则a c b d ->- B ．若a b >，c d <，则a bc d > C ．若22ac bc >，则33a b >D ．若a b >，0m >，则b m ba m a+>+ 10．设正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项正确的是（ ）A ．4945S S q S =+B ．若20252020T T =，则20231a =C ．若194a a =，则当2246a a +取得最小值时，1a D ．若21()n n n a T +>，则11a < 11．以下不等式成立的是（ ）A ．当x ∈ 0,1 时，1e ln 2x x x x+>-+B ．当x ∈ 1,+∞ 时，1e ln 2x x x x+>-+C ．当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，e sin x x x >D ．当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，e sin x x x >三、填空题12．已知平面向量a =r 2b =r ，4a b ⋅=r r ，R λ∈，则2a b λ+r r 的最小值为．13．已知函数()()2sin πcos (0)f x x x x ωωωω=->的最小正周期为π，则()f x 在区间[]2024π,2024π-上所有零点之和为．14．若定义在()(),00,-∞+∞U 上的函数() f x 满足：对任意的()(),,00,x y ∈-∞+∞U ，都有：()1x f f x f y y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当,0x y >时，还满足：()110x y f f x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则不等式()1f x x ≤-的解集为．四、解答题15．已知函数()()2e 1xf x x x =-+．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)函数()f x a ≤在[]2,1-上恒成立，求最小的整数a ．16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，113a =，18,3,n n n a n a a n +-⎧=⎨⎩为奇数为偶数．(1)证明：数列{}2112n a --为等比数列； (2)若21161469n S n +=+，求n 的值．17．凸函数是数学中一个值得研究的分支，它包括数学中大多数重要的函数，如2x ，e x 等．记()f x ''为()y f x '=的导数．现有如下定理：在区间I 上()f x 为凸函数的充要条件为()()0f x x I ''≥∈． (1)证明：函数()31f x x x=-为()1,+∞上的凸函数； (2)已知函数()2()2ln ln g x ax x x x a =--∈R ．①若()g x 为[)1,+∞上的凸函数，求a 的最小值；②在①的条件下，当a 取最小值时，证明：()()31()223231x xx g x x -+≥+-+，在[)1,+∞上恒成立．18．如图，在平面直角坐标系中，质点A 与B 沿单位圆周运动，点A 与B 初始位置如图所示，A 点坐标为()1,0，π4AOB ∠=，现质点A 与B 分别以πrad /s 4，πrad /s 12的速度运动，点A 逆时针运动，点B 顺时针运动，问：(1)ls 后，扇形AOB 的面积及sin AOB ∠的值．(2)质点A 与质点B 的每一次相遇的位置记为点n P ，连接一系列点1P ，2P ，3P⋅⋅⋅构成一个封闭多边形，求该多边形的面积．19．已知函数()e xf x mx =-，()g x(1)讨论()f x 的单调性；(2)当0x ≥时，()()f x g x ≥恒成立，求m 的取值范围；(3)当0x ≥时，若()()f x ng x -的最小值是0，求m +的最大值．。

高三数学9月月考卷一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 2. 复数满足，则的共轭复数在复平面中对应点位于（ ）A 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限3. 等差数列的前项和，若，则公差为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 44.. 已知，则（ ）A. 或7 B.或 C. 7或-7 D. -7或5. 已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 6. 已知点在所在的平面内，且.过点的直线与直线分别交于，设，则的最小值为（ ）.{}2230A x x x =--<(){}2lg 1B y y x ==+A B = ()1,3-(]1,0-[)0,3(),3-∞z ()()i 1i 3i z --=+z z {}n a n n S 10331035,7S S a a -=+={}n a 7sin cos 5θθ-=πtan 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭171717-17-0a >1a≠,()log ()1,x a a a x af x x a x a-⎧≤=⎨++>⎩R a 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭(]1,2[)2,+∞P ABC V 20PA PB PC ++=P ,AB AC ,M N ,,(0,0)AM AB AN AC αβαβ==>>4αβ+A.B.C.D.7. 已知函数是上的奇函数，则（ ）A. 2B. -2C.D. 8. 若不等式恒成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，9.已知函数的部分图象如图所示，则（ ）A B. C. 的图象关于直线对称D. 在上的值域为10.已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，其前n 项和为S n ，若S 8<S 6<S 7，则下列说法正确的是( ).749432+()()()tan tan 12tan x f x x θθθ-+=-+ππ,20242024⎡⎤-⎢⎥⎣⎦tan θ=1212-ln kx b x +≥bk[)0,+∞[)1,-+∞[)2,-+∞[),e -+∞()()()sin 0,0,02πf x A x A ωϕωϕ=+>><<5π6ϕ=2ω=()f x 5π3x =()f x π5π,46⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]2,1-A. 当n =7时，S n 最大B. 使得S n <0成立的最小自然数n =13C. |a 6+a 7|<|a 8+a 9|D. 数列{S na n}中的最小项为S 8a811.已知定义域为的偶函数满足，当时，则下列结论正确的有（ ）A. B. 图象关于点成中心对称C.D. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12. 已知平面向量，若，则______．13. 已知B ，A 分别为直线y =3x ―3和曲线y =2e x +x 上的点，则|AB |的最小值_______14. 已知数列有30项，，且对任意，都存在，使得.（1）__________；（写出所有可能的取值）（2）数列中，若满足：存在使得，则称具有性质.若中恰有4项具有性质，且这4项和为20，则__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分） 已知数列的前项和为，且.的的R ()f x ()()2f x f x +=--(]1,2x ∈()22x f x =-()10f -=()f x ()3,0()()20242025f f >2112x f f x ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()()()5,1,1,1,1,a b c k ==-=()a b c -⊥ k ={}n a 12a ={}2,3,,30n ∈ {}1,2,,1i n ∈- 3n i a a =+5a ={}n a k a {}1,2,,1j k ∈- k j a a =k a P {}n a P 301n n a ==∑{}n a n n S 112,2n n a a S +==+（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.16. （本题满分15分） 已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调区间.17. （本题满分15分）已知的内角所对的边分别为，且（1）求角A ；（2）若为边上一点，为平分线，且，求的面积18. （本题满分17分）如图，平面四边形中，，对角线相交于．的{}n a 22log 11n n b a =-{}n b n n T ()()2e 2e x xf x a ax =+--2a =()y f x =()()1,1f ()f x ABC V ,,A B C ,,a b c π22sin 6c b a C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．a D =BC AD BAC∠1AD =ABC V OABC 1OA OB OC ===,AC OB M（1）设，且，（ⅰ）用向量表示向量；（ⅱ）若，记，求的解析式．（2）在（ⅱ）的条件下，记△，△的面积分别为，，求的取值范围．19.（本题满分17分） 已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若在(1,+∞)上恒成立，求实数的取值范围；（3）帕德近似（Pade approximation ）是数学中常用的一种将三角函数､指数函数､对数函数等“超越函数”在一定范围内用“有理函数”近似表示的方法，比如在附近，可以用近似表示.（i ）当且时，试比较与的大小；（ii ）当时，求证：.(01)AM AC λλ=<<(01)OM tOB t <<= ,OA OB OCπ3BOA ∠=()f t λ=()f t AMB CMO AMB S V CMO S V AMBCMOS S V V ()()11,2ln ln ax f x g x bx x x x-==++1b =-()g x ()1f x x <+a 1x =223341x x x -++ln x 0x >1x ≠ln x 223341x x x -++22b a==()12421x xf xg x +⎛⎫<+⎪+⎝⎭1234567891011C DCBACBBBCACDABD12：13：14：；1047.部分题解析：8.令，则恒成立，又，当时，恒成立，所以在上单调递增，且时，不符合题意；当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以，令，，则，所以当时，当时，2-2105,8,11,14()ln f x x kx b =--()0f x ≤()1f x k x'=-0k ≤()0f x '>()f x ()0,∞+x →+∞()f x →+∞0k >()0f x '>10x k <<()0f x '<1x k>()f x 10,k⎛⎫ ⎪⎝⎭1,k ⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭()max11ln 1ln 10f x f b k b k k ⎛⎫==--=---≤ ⎪⎝⎭ln 1b k ≥--ln 1b k kk--≥()ln 1k g k k--=()0,k ∈+∞()2ln kg k k='01k <<()0g k '<1k >()0g k '>所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即的取值范围是.故选：B11.对A ，满足，令，则，即f (1)=0，又为偶函数，，故A 对；对B ，，，故的周期，再根据，即，∴f (x )的图象关于点成中心对称，故B 对；对C ，由B 知：的周期，故，，令，则f (2)=―f (0)，又当时，()g k ()0,1()1,+∞()()11g k g ≥=-1b k≥-b k[)1,-+∞ ()f x ()()2f x f x +=--1x =-()()11f f =-()f x ()()110f f ∴-==()()()2f x f x f x +=--=- ()()()42f x f x f x ∴+=-+=()f x 4T =()()2f x f x +=--()()6f x f x +=--()3,0()f x 4T =()()()202450640f f f =⨯=()()2f x f x +=-- 0x = (]1,2x ∈()22xf x =-，即，即，，故，故C 错误；对D ，满足，∴f (x )关于(1,0)中心对称，又当时，∴f (x )在[0,2]上单调递增；当时，，当时，为偶函数，，，当且仅当时，即时等号成立，，故D 对.()22222f ∴=-=()()022f f =-=-()()202402f f ==-()()()20255064110f f f =⨯+==()()20242025f f <()f x ()()2f x f x +=-- (]1,2x ∈()22xf x =-0x =()121022222f f ⎛⎫=-<=-=- ⎪⎝⎭0x ≠()f x 22211111x x x f f f f x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪∴=== ⎪ ⎪ ⎪++ ⎪⎝⎭+⎝⎭+⎝⎭ ⎪⎝⎭11012x x<≤+1x x=1x =2112x f f x ⎛⎫⎛⎫∴≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭故选：ABD.14：【详解】当时，，当时，，或 ，当时，，或，或时有或，当时，，或，或时有或，或时有或或，综上所述：的所有可能取值为：.中恰有4项具有性质，且这4项的和为20，故，，即具有性质，则易知从开始是以为首项为公差的等差数列 ，.故答案：；104715：【小问1详解】由，则当时两式相减得，所以.将代入得，，所以对于，故{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以.为2n =2135a a =+=3n =3135a a =+=3238a a =+=4n =4135a a =+=4238a a =+=433a a =+48a =411a =5n =5135a a =+=5238a a =+=533a a =+58a =511a =543a a =+58a =511a =514a =5a 5,8,11,14{}n a P 12a =234565a a a a a =====34565a a a a ====P 6a 533012524254255310472n n a =⨯∴=+⨯+⨯+⨯=∑5,8,11,1412n n a S +=+2n ≥12n n a S -=+1n n n a a a +-=()122n n a a n +=≥12a =12n n a S +=+2142a a ==*1N ,2n n n a a +∈=2n n a =【小问2详解】.，因为当时，当时，所以当时，，当时，.故.16：当时，则，，可得，，即切点坐标为，切线斜率为，所以切线方程为，即.【小问2详解】由题意可知：的定义域为，且，（i ）若，则，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增；（ⅱ）若，令，解得或，22log 11211n n b a n =-=-()2121010n n B b b b n n n n =+++=-=- 5n ≤0n b <6n ≥0n b >5n ≤21210n n n T b b b B n n =----=-=- 6n ≥212567521050n n n T b b b b b b B B n n =----++++=-=-+ 2210,51050,6n n n n T n n n ⎧-≤=⎨-+≥⎩2a =()2e 2x f x x =-()22e 2xf x '=-()21e 2f =-()212e 2f '=-()21,e 2-22e 2k =-()()()22e 22e 21x y -=---()222e 2e 0x y ---=()f x R ()()()()22e 2e 2e e 1x x x xf x a a a '=+--=+-0a ≥2e 0x a +>()0f x '>0x >()0f x '<0x <()f x (),0-∞()0,∞+0a <()0f x '=ln 2a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭0x =①当，即时，令，解得或；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增；②当，即时，则，可知在内单调递增；③当，即时，令，解得或；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增；综上所述：若，的单调递减区间为，单调递增区间为；若，的单调递减区间为，单调递增区间为；若，的单调递增区间为，无单调递减区间；若，的单调递减区间为，单调递增区间为.17：因，为ln 02a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭20a -<<()0f x '>0x >ln 2⎛⎫<- ⎪⎝⎭a x ()0f x '<ln 02a x ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭()f x ln ,02a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(),ln ,0,2a ⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ln 02a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2a =-()()22e 10xf x '=-≥()f x R ln 02a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭2a <-()0f x '>0x <ln 2⎛⎫>- ⎪⎝⎭a x ()0f x '<0ln 2a x ⎛⎫<<-⎪⎝⎭()f x 0,ln 2a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(),0,ln ,2a ⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0a ≥()f x (),0-∞()0,∞+20a -<<()f x ln ,02a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(),ln ,0,2a ⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2a =-()f x R 2a <-()f x 0,ln 2a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(),0,ln ,2a ⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π22sin sin cos 6c b a C C a C ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭由正弦定理可得，且，即，整理可得，且，则，可得，又因为，则，可得，所以.【小问2详解】因为为的平分线，则，因为，则，即，可得，在中，由余弦定理可得，即，整理可得，解得或（舍去），所以的面积18：【详解】（1）（ⅰ）因为，，所以，2sin sin sin sin cos C BA C A C -=-()sin sin sin cos cos sinB AC A C A C =+=+2sin sin cos cos sin sin sin cos C A C A C A C A C --=-π2sin sin cos sin 2sin sin 6C A C A C C A ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭()0,πC ∈sin 0C ≠πsin 16A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()0,πA ∈ππ7π666A <+<ππ62A +=π3A =AD BAC ∠π6BAD CAD ∠=∠=ABC BAD CAD S S S =+V V V 111sin sin sin 222AB AC BAC AB AD BAD AD AC CAD ⋅⋅∠=⋅⋅∠+⋅⋅∠111111122222bc c b =⨯⨯+⨯⨯⨯b c +=BAC V ()22222cos 22cos a b c bc BAC b c bc bc BAC =+-∠=+--∠()2632bc bc bc =--()220bc bc --=2bc =bc 1=-ABC V 11sin 222ABC S bc BAC =⋅∠=⨯=△(01)AM AC λλ=<<(01)OM tOB t <<= ()OA OM MA tOB AC tOB OC OA λλ=+=-=--即，所以，（ⅱ）因为，，所以，因为且，所以，即，所以，整理可得：， 即，.（2）由（1）知：，由三角形面积公式可得：，记，所以，所以在上单调递减，所以，所以的取值范围为.19：当时，，则.所以的减区间为(0,+∞)，无增区间.【小问2详解】因在(1,+∞)上恒成立，为()1OC OA tOB λλ=-+ 1t OC OA OB λλλ-=+π3BOA ∠=1OA OB ==π1cos 32OA OB OA OB ⋅=⋅⋅= 1t OC OA OB λλλ-=+ 1OC =2211t OC OA OB λλλ-⎛⎫=+= ⎪⎝⎭22111t tλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫++⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22221t t t λλλλ-+++-=212t t t λ-+=-(01)t <<21(2)t t f t t -+-=(01)t <<212t t tλ-+=-1sin 21sin 2AMB CMOAM MB BMAS AM MB S CM MO CM MO CMO ⋅∠==⋅⋅∠V V 22111t t t t t t λλ--+=⋅=-+(01)t <<221()t t t t tϕ-+=+(01)t <<222(1)1()0()t t t t t ϕ--'=<+()t ϕ()0,11()(1)2t ϕϕ>=AMB CMO S S V V 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1b =-()12ln (0)g x x x x x =-+>()22(1)0x g x x-'=-≤()g x ()1f x x <+所以，所以（）设，则再设，则，则在(1,+∞)上恒成立，所以在(1,+∞)单调递增，所以，所以ℎ′(x )>0在(1,+∞)上恒成立，所以ℎ(x )在(1,+∞)单调递增，所以.又在(1,+∞)上恒成立，所以.【小问3详解】（i ）记，则，所以F (x )在(0,+∞)上单调递增，而，于是，当时，，当时，.（ii ）当时，原不等式即.由于当时，，所以，当时，也成立.所以对任意的恒成立.()()11ln 1f x x x x ax +⇔+-ln 1ln x a x xx<++1x >()ln 1ln ,1x h x x x x x =++>()22211ln 1ln ,1x x xh x x x x x x--=+-=>'()ln ,1m x x x x =->()111,1x m x x x x-=-=>'()0m x '>()m x ()()10m x m >=()()11h x h >=()a h x <1a ≤()2233ln 41x F x x x x -=-++()()422(1)041x F x x x x ++'-=>()10F =1x >()22330,ln 41x F x x x x ->>++01x <<()22330,ln 41x F x x x x -<<++22b a ==()()412111132lnln 1ln 2ln 22x x x x x x xx --+++<++⇔<++1x >2233ln ,1041x x x x x ->->++()2141ln 31x x x x x -++<+01x <<()22233141ln ,10,41ln 31x x x x x x x x x x --++<-<<+++()2141ln 31x x x x x -++<+0,1x x >≠在中取，也即所以a ）记函数，由于的符号，易知在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，.（b ）由（a ）（b ）得，故.()2141ln 31x x x x x -++<+x =<1ln t t -<()21ln x x-<()11ln122x x G x ++=++()1116G x x =-'==+==)23741024x x ⎫-+=-+>+>⎪⎭1-()G x ()()10G x G >=11ln 122x x ++<++()2111ln 1ln 22x x x x-++<<++()12421x x f x g x +⎛⎫<+⎪+⎝⎭。