专题 万有引力定律

学程万有引力定律（一）
说明：本章物理学史和天文现象较多，学习时认真阅读课本全部内容，加强记忆，注意积累天文知识和命题素材，熟练掌握月球、地球、太阳三者的关系，采用对比、迁移的学习方法。

一基本天文知识
月球质量半径公转周期月地距离
地球质量半径地球自转周期地球公转周期
太阳质量半径日地距离
天文单位光年
双星
黑洞
行星“冲日”、“凌日”
重要人物和事迹
“地心说”“日心说”
二基础知识
1.开普勒行星运动定律（画图）
开普勒第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是________，太阳处在。

开普勒第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的_____ ___。

说明行星在运转过程中离太阳越近速率________，离太阳越远速率________。

也就是说，行星在近日点的速率，在远日点的速率。

开普勒第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的________跟它的公转周期的________的比值都相等。

公式，比值k是一个与无关的常量，仅与有关。

例题1：月球绕地球运动的周期为27天，地球同步卫星绕地球运动周期为24小时。

那么，同步卫星距地面约多高？
练习1：飞船沿半径为R的圆轨道运动，其周期为T，如果飞船要返回地
面，可在轨道上的某一点A处减速，将速度降低到适当的数值，从而使飞船
沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆与地面的B点相切，实现着陆，如
图所示。

如果地球半径为R0，求飞船由A点运动到B点的时间。

2.万有引力定律
（1）月—地检验：
例：地面附近的重力加速度g=9.8m/s2，月球绕地球运动的周期为27.3天，地球半径为R =6.4×106m，试利用教材提供的信息，通过计算，证明课本上提出的假设，即地球对月球的力与地球使苹果自由下落的力的是同一种力，都遵守“反平方”的规律。

（2）万有引力定律
自然界中任何两个物体都，引力的方向，引力的大小与物体的________________的乘积成正比，与它们____________的二次方成反比，即________________。

说明①万有引力是宇宙间的一种基本的相互作用力，它适用于宇宙中的一切物体。

②万有引力公式只适用于两质点间的引力的计算。

③万有引力公式中G的是比例系数，叫做引力常量，是自然界中少数几个最重要的物理常量之一，通常取G=________________N·m2/kg2。

例2、如下图所示，在半径R＝20cm、质量M＝168kg的
均匀铜球中，挖去一球形空穴，空穴的半径为要，并且跟铜
球相切，在铜球外有一质量m＝1kg、体积可忽略不计的小球，
这个小球位于连接铜球球心跟空穴中心的直线上，并且在空
穴一边，两球心相距是d＝2m，试求它们之间的相互吸引力．
例3、深入地球内部时物体所受的引力：假设地球为正球体，各处密度均匀．计算它对球外物体的引力，可把整个质量集中于球心．如果物体深入地球内部，如何计算它所受的引力?
（3）卡文迪许扭秤实验
（4）自转——万有引力与重力的关系（求天体质量、密度）
例4．设地球自转周期为T，质量为M，引力常量为G，假设地球可视为质
量均匀分布的球体，半径为R。

同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的
支持力之比为
A ．
B ．
C ．
D ．
练习2、某行星自转一周所需时间为地球上的6h，在这行星上用弹簧秤测某物体的重量，在该行量赤道上称得物重是两极时测得读数的90％，已知万有引力恒量G＝6.67×10－11N·m2／kg2，若该行星能看做球体，则它的平均密度为多少?
练习3、组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率．如果超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动．由此能得到半径为R、密度为ρ、质量为M且均匀分布的星球的最小自转周期T．下列表达式中正确的是（）
A．T=2πGM
R/3 B．T=2πGM
R/
33 C．T=ρ
πG
/ D．T=ρ
πG
/
3
（5）公转——天体基本运动：行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供
例4、土星外层上有一个环。

为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度a 与该l 层到土星中心的距离R 之间的关系来判断： ( )
A ．若v ∝R ，则该层是土星的一部分；
B ．若v 2
∝R ，则该层是土星的卫星群
C ．若v ∝１／R ，则该层是土星的一部分
D ．若v 2
∝１／R ，则该层是土星的卫星群
练习4．继神秘的火星之后，土星也成了全世界关注的焦点！经过近7年35.2亿公里在太空中风尘仆仆的穿行后，美航空航天局和欧航空航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间2004年6月30日（北京时间7月1日）抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族。

这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测！若“卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道，在半径为R 的土星上空离土星表面高h 的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n 周飞行时间为t .试计算土星的质量和平均密度。

（6）典型问题
1、求天体质量、密度
例5、宇航员站在某一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。

经过时间t ，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L 。

若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L 。

已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常数为G 。

求该星球的质量M 。

练习5、宇航员驾驶一飞船在靠近某行星表面附近的圆形轨道上运行，已知飞船运行的周期为T ，行星的平均密度为ρ。

试证明k T =2
ρ（万有引力恒量G 为已知，κ是恒量）
2、行星“冲日”、“凌日”现象
例6、 太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。

当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。

据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日。

已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正
A ．各地外行星每年都会出现冲日现象
B ．在2015年内一定会出现木星冲日
C ．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半
D ．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短
练习6、某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆。

每过N 年，该行星会
运行到日地连线的延长线上，如图所示。

该行星与地球的公转半径之比为( ) A ．(N ＋1N )2
3 B ．(N N －1)2
3 C ．(N ＋1N )3
2 D ．(N N －1
)3
2
3、“双星”和“多星”
现代观测表明，由于引力作用，恒星有“聚集”的特点。

众多的恒星组成不同层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星。

例7、两星各以一定速率绕其连线上某一点匀速转动，这样才不至于因万有引力作用而吸引在一起。

已知双星质量分别为m 1、m 2，它们间的距离始终为L ，引力常量为G ，求：
(1) 双星旋转的中心O 到m 1的距离；(2) 双星的转动周期。

练习7、 如图4所示，天文观测中发现宇宙中存在着“双星”。

所谓双星，是两颗质量分别为M 1和M 2的星球，它们的距离为r ，而r 远远小于它们跟其它天体之间的距
离，这样的双星将绕着它们的连线上的某点O 作匀速圆周运动。

如图所示。

现假定有
一双星座，其质量分别为M 1和M 2，且M 1＞M 2，用我们所学的知识可以断定这两颗星
A.M 1对M 2引力比M 2对M 1的引力大
B. M 1运动周期比M 2运动周期长
C. M 1运动半径比M 2运动半径小
D. M 1运动速率比M 2运动速率大
练习8、宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用.已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式:一种是三颗星位于同一直线上,两颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行;另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行.设每个星体的质量均为m. (1)试求第一种形式下,星体运动的线速度和周期.
(2)假设两种形式下星体的运动周期相同,第二种形式下星体之间的距离应为多少?
图4。