13.2.3_三角形全等的判定(SAS)

等三角形的性质“全等三角形的对应边相等，对 角相等.”去证明两条线段或两个角相等，这是几何 学习中常用的方法。
例: 求证：全等三角形对应边上的高相等.
证明的一般步骤：
（1）根据命题，画出相应的图形； （2）根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知（即条件）、求证（即 结论）； （3）经过分析，明确由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据。
（不全等，因为BC虽然是公共边，但不是对应边。）
如图，AB//DC，AD//BC,BE⊥AC，DF⊥AC垂足为E、F. 试说明：BE＝DF D C 如图，AB//DC，AD//BC, BE //DF 结论BE＝DF还成立吗？请说明你的理由。 F E D C
E
A B
F
图（2）
图（1）
A
B
你的收获是什么？
定理：全等三角形对应边上的高相等。 例: 求证：全等三角形对应边上的高相等.
已知：如图，△ABC≌ △DEF,AM、DN分别是 △ABC的BC边和△DEF的EF边上的高。 求证：AM=DN .
证明：∵ △ABC≌△DEF（已知） ∴ ∠B=∠E（全等三角形对应角相等） AB=DE（全等三角形对应边相等）
第13章
13.2.3
全等三角形
全等三角形的判定—角边角
到目前为此，我们共学了几种识 别三角形全等的方法？
基本事实（边角边公理）:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
简记为: “边角边”或“SAS”
基本事实（角边角公理）:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 简记为: “角边角”或“ASA” 定理:两角及其中一个角的对边分别对应相等的两个三角形全等.
简记为: “角角边”或“AAS”
如图，∠ABC=∠DCB，试添加一个 条件，使得△ABC≌△DCB,这个条件可 以是 AB=DC, ∠ACB=∠DBC, ∠A=∠D 。

(第4题)13.2.2全等三角形的判定（SAS ）学习目标：掌握SAS 的内容，会运用SAS 来识别两个三角形全等；通过识别全等三角形的识别的学习，初步认识事物之间的因果关系与相互制约关系，学习分析事物本质的方法；经历如何总结出全等三角形识别方法，体会如何探讨、实践、总结，培养学生的合作能力。

一、自主学习1.思考：如果两个三角形有三组对应相等的元素（边或角），那么会有哪几种可能的情况？2.思考：如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角，比如三角形两条边分别为3cm 和4cm ，它们的夹角为45︒，你能画出这个三角形吗？你画的与同伴画的一定全等吗？换两条线段和一个角试试，你发现了什么？3..边角边理：如果两个三角形有______________及其_____________分别对应相等，那么这两个三角形____________.4.用两条线段和一个角画三角形，能画______种不同的三角形.所以在用边角边公理判定两三角形是否全等时，这个角必须是两边的_______角.二、合作探究例1:如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，试说明△ABD ≌△ACD .变式训练(1)求证： ∠B ＝∠C ． (2)求证：BD=CD (3)求证：AD ⊥BC练一练：如图，在△AEC 和△ADB 中，已知AE=AD ，AC=AB 。

请说明△AEC ≌ △ADB 的理由。

解：在△AEC 和△ADB 中 AE =____(已知)____= _____(公共角)_____= AB ( )∴ △_____≌△______（ ）例2.点M 是等腰梯形ABCD 底边AB 的中点，求证： △AMD ≌△BMC练习：已知：AD ＝BC ，∠ADC ＝∠BCD ．求证： ∠BDC ＝∠ACD ．三、展示提升： 1.如图，已知：在ABC △和DCB △中，AC DB =，若不增加任何字母与辅助线，要使ABC DCB △△≌，则还需增加一个条件是 ． （见下图）2. 如图，线段AC 与BD 交于点O ，且OA =O C, 请添加一个条件，使△OAB ≅△OCD ,这个条件是D C B AA B C D F EDEACB 图1E DCBAOEDCBA图2OEDCBA图3______________________.3. 如图，AB AC = ，要使ABE ACD △≌△，应添加的条件是____________ ．(添加一个条件即可)4.如图，A ，B ，C ，D 在同一直线上，AB CD =，DE AF ∥，若要使ACF DBE △≌△，则还需要补充一个．．条件： . 5.如图，AB AD =，AC AE =，12∠=∠，求证：BC DE =6．已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ． 求证：AB ∥CD四、检测反馈 1、（2006·烟台市）如图1，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，将△BCD 沿CD 折叠，B 点恰好落在AB 的中点E 处，则∠A 等于（ ）A 、25°B 、30°C 、45°D 、60°2、（2005·广东）如图2，已知CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，BE 、CD 交于点O ，且AO 平分∠BAC ，那么图中全等的三角形共______________对。

AE=AE
(已知），
(公共边），
(已证），
∴△ABD≌△ACD（SSS）.
∴△ABE≌△ACE（SAS）.
5.如图，已知CA=CB,AD=BD, M，N分别是CA，CB的中点，求证：DM=DN.
在△ABD与△CBD中
证明:
CA=CB (已知） AD=BD （已知） CD=CD （公共边）
∴△ACD≌△BCD（SSS）
(已知），
(已证），
(已证），
已知：如图，AB=AC, BD=CD，E为AD上一点， 求证： BE=CE.
变式1
证明：
∴ ∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
AB=AC
BD=CD
AD=AD
(已知），
(公共边），
(已知），
∴ BE=CE.
在△ABE和△ACE中，
AB=AC
∠BAD=∠CAD
C
方法总结：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的．
针对训练
例1 ：如果AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD，那么 △ ABD 和△ CBD 全等吗？
分析:
△ ABD ≌△ CBD.
边:角:边:
AB=CB(已知)，
∠ABD= ∠CBD(已知)，
？
A
B
C
D
(SAS)
BD=BD(公共边).
典例精析
证明：
在△ABD 和△ CBD中，
AB=CB(已知)，
∠ABD= ∠CBD(已知)，
∴ △ ABD≌△CBD ( SAS).
BD=BD(公共边)，

全等三角形sas判定方法
全等三角形是指两个三角形的对应边长和对应角度完全相等。

判定两个三角形是否全等可以使用不同的方法，其中之一是SAS
（Side-Angle-Side）判定方法。

SAS判定方法是通过比较两个三角形的两边和夹角是否完全相等来确定它们是否全等。

具体步骤如下：
1. 比较两个三角形的第一条边。

如果它们的长度相等，则继续下一步。

如果不相等，那么两个三角形不全等。

2. 比较两个三角形的第一个夹角。

如果它们的大小相等，则继续下一步。

如果不相等，那么两个三角形不全等。

3. 比较两个三角形的第二条边。

如果它们的长度相等，则可以得出结论说两个三角形是全等的。

如果不相等，那么两个三角形不全等。

使用SAS判定方法时需要注意以下几点：
- 在比较两个三角形的边长时，必须确保对应边的顺序相同。

例如，如果第一个三角形的第一条边是AB，第二条边是AC，那么在比较时，第二个三角形的对应边也必须是AB和AC。

- 在比较两个三角形的夹角时，必须确保对应角的位置相同。

例如，如果第一个三角形的第一个夹角是∠A，那么在比较时，第二个三角形的对应角也必须是∠A。

- SAS判定方法只能确定两个三角形是否全等，不能确定它们的形状或大小。

除了SAS判定方法，还有其他方法可以判定三角形的全等关系，例如SSS（Side-Side-Side）判定方法和ASA（Angle-Side-Angle）判定方法。

不同的判定方法适用于不同的情况，选择合适的方法可以更准确地判定三角形的全等关系。