八年级数学上册第13章《等腰三角形的判定》提升训练2(人教版)

13.3.1 第2课时 等腰三角形的判定一、填空题1．如图（1），△ABC 中，AB=AC ，DE 是AB 的中垂线，△BCE 的周长为14，BC=6，则AB 的长为 。

2．在△ABC 中，∠A=90°，BD 为角平分线，DE ⊥BC 于E ，且E 恰为BC 中点，则∠ABC 等于 。

3．等腰三角形的底边长为5cm ，一腰上中线把其周长分成两部分之差为3cm ，则腰长为 。

4．如果等腰三角形的顶角是它的一个底角的2倍，这个三角形按角分类应为 。

5．△ABC 中，AB=AC ，∠A+∠B=115°，则∠A= ，∠B= 。

6．等腰三角形底角的一个外角为100°，则它的顶角为 。

7．如图（2），AB ∥CD ，AC 平分∠DAB ，若∠D=136°，则∠DCA= 。

8．如图（3），在△ABC 中，∠ABC=70°，∠ACB=50°，D 、C 、B 、EABCDE图（1）DABC 图（2）ABCDE图（3）在一条直线上，且D B=AB ，CE=AC ，则∠E= ， ∠D= ，∠DAE= 。

9．如图（4），已知∠AOB=40°，OM 平分∠AOB ，MA ⊥OA 于A ，MB ⊥OB 于B ，则∠MAB 的度数为 。

10．等腰三角形的周长为24cm ，其中一边长为7cm ，则另外两条边为 。

二、解答题1．如图（5），△ABC 中，∠A=80°，BD=BE ，CD=CF ，求∠EDF 的度数。

2．如图（6），在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，D 是AB 上一点，AD=AC ，DF ⊥AB 于D ，交BC 于F 。

求证：BD=CF 。

OA B M 图（4）ABD FE图（5）ABDCF图（6）3．如图（7），△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，AB 的垂直平分线EF 交AB 于E ，交BC 于F 。

人教版八年级数学上册第13章13.3等腰三角形教材同步培优、能力提升练习卷13.3.1等腰三角形的性质教材同步学习目标：掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．课堂学习检测一、填空题1．_____的_____叫做等腰三角形．2．（1）等腰三角形的性质1是______________________________________________．（2）等腰三角形的性质2是______________________________________________．（3）等腰三角形的对称性是_____，它的对称轴是_____．图5－13．如图5－1，根据已知条件，填写由此得出的结论和理由．（1）∵ΔABC中，AB＝AC，∴∠B＝______．（）（2）∵ΔABC中，AB＝AC，∠1＝∠2，∴AD垂直平分______．（）（3）∵ΔABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝______．（）（4）∵ΔABC中，AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥______．（）4．等腰三角形中，若底角是65°，则顶角的度数是_____．5．等腰三角形的周长为10cm，一边长为3cm，则其他两边长分别为_____．6．等腰三角形一个角为70°，则其他两个角分别是_____．7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20°，则等腰三角形的底角等于_____．二、选择题8．等腰直角三角形的底边长为5cm，则它的面积是（）A．25cm2B．12.5cm2C．10cm2D．6.25cm29．等腰三角形的两边长分别为25cm和13cm，则它的周长是（）A．63cm B．51cmC．63cm和51cm D．以上都不正确10．△ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，且AD＝BD＝BC，则∠A等于（）A．45°B．36°C．90°D．135°综合、运用、诊断一、解答题11．已知：如图5－2，ΔABC中，AB＝AC，D、E在BC边上，且AD＝AE．求证：BD＝CE．图5－212．已知：如图5－3，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．图5－313．已知：如图5－4，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．图5－4拓展、探究、思考14．已知：如图5－5，RtΔABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，AE＝BF．求证：（1）DE＝DF；（2）ΔDEF为等腰直角三角形．图5－515．在平面直角坐标系中，点P（2，3），Q（3，2），请在x轴和y轴上分别找到M点和N点，使四边形PQMN周长最小．（1）作出M点和N点．（2）求出M点和N点的坐标．图5－613.3.2等腰三角形的判定教材同步学习目标：掌握等腰三角形的判定定理．课堂学习检测一、填空题1．等腰三角形的判定定理是_________________________________________________．2．ΔABC中，∠B＝50°，∠A＝80°，AB＝5cm，则AC＝______．3．如图6－1，AE∥BC，∠1＝∠2，若AB＝4cm，则AC＝____________．4．如图6－2，∠A＝∠B，∠C＋∠CDE＝180°，若DE＝2cm，则AD＝____________．图6－1 图6－2 图6－3 图6－45．如图6－3，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，若CD＝1.8cm，则BC＝______．6．如图6－4，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC＝10cm，则ΔOMN的周长＝______．7．ΔABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC交AC于E，DE＝7cm，AE＝5cm，则AC＝______．8．ΔABC中，AB＝AC，BD是角平分线，若∠A＝36°，则图中有______个等腰三角形．9．判断下列命题的真假：（1）有两个内角分别是70°、40°的三角形是等腰三角形．（）（2）平行于等腰三角形一边的直线所截得的三角形仍是等腰三角形．（）（3）有两个内角不等的三角形不是等腰三角形．（）（4）如果一个三角形有不在同一顶点处的两个外角相等，那么这个三角形是等腰三角形．（）综合、运用、诊断一、解答题10．已知：如图6－5，ΔABC中，BC边上有D、E两点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：△ABC是等腰三角形．图6－511．已知：如图6－6，ΔABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，ED⊥BC．求证：AE＝AF.图6－612．已知：如图6－7，ΔABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，BF平分∠ABC交CD于E，交AC于F.求证：CE＝CF．图6－713．如图6－8，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ 分别为∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ＋AQ＝AB＋BP．图6－8拓展、探究、思考14．如图6－9，若A、B是平面上的定点，在平面上找一点C，使ΔABC构成等腰直角三角形，问这样的C点有几个？并在图6－9中画出C点的位置．图6－915．如图6－10，对于顶角∠A为36°的等腰ΔABC，请设计出三种不同的分法，将ΔABC分割为三个三角形，并且使每个三角形都是等腰三角形．图6－1013.3.3等腰三角形的判定与性质教材同步学习目标：熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．课堂学习检测一、填空题1．如果一个三角形的两条高线相等（如图7－1），那么这个三角形一定是______．图7－12．如图7－2，在ΔABC中，高AD、BE交于H点，若BH＝AC，则∠ABC＝______．图7－23．如图7－3，ΔABC中，AB＝AC，AD＝BD，AC＝CD，则∠BAC＝______．图7－34．如图7－4，在ΔABC中，∠ABC＝120°，点D、E分别在AC和AB上，且AE＝ED＝DB＝BC，则∠A的度数为______°．图7－45．如图7－5，ΔABC是等腰直角三角形，BD平分∠ABC ，DE⊥BC于点E，且BC＝10cm，则△DCE的周长为______cm．图7－5二、选择题6．△ABC中三边为a、b、c，满足关系式（a－b）（b－c）（c－a）＝______图7－50，则这个三角形一定为（）A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰钝角三角形D．等腰直角三角形7．若一个三角形是轴对称图形，则这个三角形一定是（）A．等边三角形B．不等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形8．如图7－6，ΔABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，若AD、AE三等分∠BAC，则图中等腰三角形有（）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个图7－6 图7－79．等腰三角形两边a 、b 满足｜a －b ＋2 ｜＋（2a ＋3b －11）2＝0，则此三角形的周长是（）A ．7B ．5C ．8D ．7或510．如图7－7，ΔABC 中，AB ＝AC ，BE ＝CD ，BD ＝CF ，则∠EDF ＝ （ ）A ．2∠AB ．90°－2∠AC ．90°－∠AD ．A o ∠-2190三、解答题11．已知：如图7－8，AD 是∠BAC 的平分线，∠B ＝∠EAC ，EF ⊥AD 于F .求证：EF 平分∠AEB ．图7－812．已知：如图7－9，在ΔABC中，CE是角平分线，EG∥BC，交AC边于F，交∠ACB的外角（∠ACD）的平分线于G，探究线段EF与FG的数量关系并证明你的结论．图7－913．如图7－10，过线段AB的两个端点作射线AM，BN，使AM∥BN，请按以下步骤画图并回答．（1）画∠MAB、∠NBA的平分线交于点E，∠AEB是什么角？（2）过点E任作一线段交AM于点D，交BN于点C．观察线段DE、CE，有什么发现？请证明你的猜想．（3）试猜想AD，BC与AB有什么数量关系？图7－1014．已知：如图7－11，ΔABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BE平分∠B交AC于E．（1）求证：BC＝AE＋BE；（2）探究：若∠A＝108°，那么BC等于哪两条线段长的和呢？试证明之．图7－11。

( )
A.3 B.4 C.5 D.无法确定
11.【跨学科·地理】如图,一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 70°方向的
M 处,它以每小时 40 海里的速度向正北方向航行,2 小时后到达位于
灯塔 P 的北偏东 40°的 N 处,则 N 处与灯塔 P 的距离为 海
里.
12.【教材变式·P83T10】如图,在△ABC 中,∠ABC,∠ACB 的平分线交
故选 D.
5.答案 25°
解析 ∵AB=AC,∴∠C=∠B=25°.
∴∠DAC=∠B+∠C=50°.
∵AE=DE,∴∠EDA=∠EAD=50°.
∵BF=DF,∴∠FDB=∠FBD=25°.
∴∠EDF=∠ADE-∠FDB=50°-25°=25°.
6.答案 60°
解析 ∵AC=CD=BD=BE,∠A=40°,
(2)若△ABC 是特异三角形,∠A=30°,∠B 为钝角,求出所有可能的∠B
的度数.
28.【推理能力】已知:△ABC 和△DBE 均为等腰直角三角形,如图①,
易证 AD=CE 且 AD⊥CE.
(1)将△DBE 绕点 B 顺时针旋转至图②的位置时,线段 AD 和 CE 有怎
样的关系?
(2)将△DBE 绕点 B 顺时针旋转至图③的位置时,线段 AD 和 CE 又有
角形的底角度数为 .
25.(2022 浙江温州中考,20,★★☆)如图,BD 是△ABC 的角平分线,DE
∥BC,交 AB 于点 E.
(1)求证:∠EBD=∠EDB;
(2)当 AB=AC 时,请判断 CD 与 ED 的大小关系,并说明理由.
26.(2022 山 西 运 城 实 验 中 学 期 末 ,22, ★ ★ ☆ ) 如 图 , 在 △ABC

人教版八年级上第十三章等腰三角形同步练习题学校:___________姓名：___________班级：___________一、填空题1．等腰三角形一边长为5，另一边长为7，则周长为__________.2．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的____________；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的_____________．3．如图，在Rt△ABC 中，△ABC =90°，以AC 为边，作△ACD ，满足AD=AC ，点E 为BC 上一点，连接AE ，2△BAE=△CAD ，连接DE ．若BE =a ，CE=b ，则DE =____（用含a 、b 的代数式表示）．4．如图，△ABC 中，∠B =75°，∠C =30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连结AD ，则∠BAD 的度数为______．5．将一把直尺和一块含30°角的三角板ABC 按如图所示的位置放置，如果45CDE ∠=︒，那么∠BAF 的度数为______．6．如图，AB =BC =CD ，AB ∠BC ，∠BCD =30°，则∠BAD =________°．7．在正方形ABCD 中，5AB =，点E 、F 分别为AD 、AB 上一点，且AE AF =，连接BE 、CF ，则BE CF +的最小值是______．二、单选题8．若三角形的两边长分别为4和7，则该三角形的周长可能为（ ）A ．9B ．14C ．18D ．229．如图，ABC AED ≌△△，点D 在BC 边上．若∠EAB ＝50°，则∠ADE 的度数是（ ）A ．50°B ．60°C ．65°D ．30°10．如图，AB 过半∠O 的圆心O ，过点B 作半∠O 的切线BC ，切点为点C ，连接AC ，若∠A ＝25°，则∠B 的度数是（ ）A ．65°B ．50°C ．40°D ．25°11．如图，直线a b ∥，等边三角形ABC 的顶点C 在直线b 上，240∠=︒，则1∠的度数为（）A．80︒B．70︒C．60︒D．50︒12．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，2），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）个．A．5B．6C．8D．9三、解答题13．如图，在ABC中()<，过点C作CD ABAB BC=，CB上∥，在CD上截取CD CB、．截取CE AB=，连接DE DB(1)求证：ABC ECD△△；≌△的面积．(2)若90,3,A AB BD∠=︒==BCD14．如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF AD∥．(1)求证：ABE FMN ≌△△；(2)若8AB =，6AE =，求ON 的长．15．已知：如图，AB CD ，点E 在AC 上．求证：A CED D ∠=∠+∠．参考答案：1．17或19【分析】先确定第三边的取值范围，再确定第三边的长，最后求周长即可．【详解】∠7-5＜第三边＜7+5，∠2＜第三边＜12，∠该三角形是等腰三角形，∠第三边为5或7，∠周长为5+5+7=17或5+7+7=19，故答案为：17或19．【点睛】本题考查了三角形的三边关系和对等腰三角形的认识，解题关键是理解题意，确定第三边的取值．2．垂直平分线垂直平分线【分析】根据轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（中垂线）．据此填空．【详解】解：根据轴对称的性质，可得如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线．或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，故答案为：垂直平分线，垂直平分线．【点睛】本题主要考查轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（中垂线）．3．2a+b##b+2a【分析】延长EB至G，使BE=BG，从而得到∠GAE=∠CAD，进一步证明∠GAC=∠EAD，且AE=AG，接着证明∠GAC∠∠EAD，则DE=CG，即可求解．【详解】解：如图，延长EB至G，使BE=BG，∠∠ABC=90°，∠AB∠GE，∠AB 垂直平分GE ，∠AG =AE ，∠GAB =∠BAE =12∠DAC ， ∠2∠BAE =∠GAE ，∠∠GAE =∠CAD ，∠∠GAE +∠EAC =∠CAD +∠EAC ，∠∠GAC =∠EAD ，在∠GAC 与∠EAD 中，AG AE GAC EAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠GAC ∠∠EAD （SAS ），∠DE =CG ，∠BE =a ，CE=b ，∠DE =CG =CE +GE =CE +2BE =2a +b ，故答案为：2a +b ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定和性质，通过二倍角这一条件，构造两倍的∠BAE ，是本题的突破口，也是常用方法．4．45°##45度【分析】根据内角和定理求得∠BAC =75°，由中垂线性质知DA =DC ，即∠DAC =∠C =30°，从而得出答案．【详解】解：在△ABC 中，∠∠B =75°，∠C =30°，∠∠BAC =180°-∠B -∠C =75°，由作图可知MN 为AC 的中垂线，∠DA =DC ，∠∠DAC =∠C =30°，∠∠BAD =∠BAC -∠DAC =45°，故答案为：45°．【点睛】本题主要考查作图-基本作图，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．5．15︒##15度【分析】由题意可确定DE AF ∥，30ABC ∠=︒，再根据平行线的性质和三角形外角的性质即可解答．【详解】由题意可知DE AF ∥，∠45AFC CDE ∠=∠=︒．由含30°角的三角板的特点可知：30ABC ∠=︒，∠15BAF AFC ABC ∠=∠-∠=︒．故答案为：15︒【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，三角板中的角度计算．利用数形结合的思想是解题关键．6．15【分析】把CD 绕着点C 逆时针旋转60°到达CE 的位置，连接CE ，DE ，BE ，可得∠CDE 是等边三角形，从而得到DE =CD =CE ，∠DEC =60°，再由∠BCD =30°，可得BC ∠DE ，然后根据AB =BC =CD ，可得BC =CE ，AB =DE ，从而得到()1180752BEC BCE ∠=︒-∠=︒，进而得到∠BED =15°，再证得四边形ABED 是平行四边形，即可求解．【详解】解：如图，把CD 绕着点C 逆时针旋转60°到达CE 的位置，连接CE ，DE ，BE ，∠∠DCE =60°，CD =CE ，∠∠CDE 是等边三角形，∠DE =CD =CE ，∠DEC =60°，∠∠BCD =30°，∠∠BCE =30°，∠∠BCD =∠BCE ，∠BC ∠DE ，∠AB =BC =CD ，∠BC =CE ，AB =DE ，∠()1180752BEC BCE ∠=︒-∠=︒， ∠∠BED =∠BEC -∠DEC =15°，∠AB ∠BC ，∠AB ∠DE ，∠四边形ABED 是平行四边形，∠∠BAD =∠BED =15°．故答案为：15【点睛】本题主要考查了图形的旋转，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握图形的旋转，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．7．【分析】如图所示，作D 关于直线AB 的对称点D ，连接D F DF '，，先证明∠ABE ∠∠ADF 得到BE =DF ，则BE D F '=，从而推出当C 、F 、D 三点共线时，CF D F '+有最小值，即BE +CF 有最小值，最小值为CD '，由此求解即可．【详解】解：如图所示，作D 关于直线AB 的对称点D ，连接D F DF '，，∠D F DF '=，AD AD '=，∠四边形ABCD 是正方形，∠AB =AD =CD ，∠ADC =90°，又∠∠F AD =∠EAB ，AF =AE ，∠∠ABE ∠∠ADF （SAS ），∠BE =DF ，∠BE D F '=，∠BE CF CF D F '+=+，∠当C 、F 、D 三点共线时，CF D F '+有最小值，即BE +CF 有最小值，最小值为CD '，在Rt ∠D DC '中，CD '故答案为：【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．8．C【分析】根据三角形三边之间的关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”确定第三边的取值范围，即可确定三角形的周长的取值范围．【详解】解：设三角形的第三边为x，∠三角形的两边长分别为4和7，∠7-4<x<7+4，即：3<x<11，∠3+4+7<x+4+7<11+4+7，即：14 <x+4+7<22，符合条件的只有C选项，故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形三边之间的关系以及不等式的性质1，熟练地掌握三角形三边之间的关系和不等式的性质1是解题的关键．9．C【分析】根据全等三角形的性质得到∠BAC＝∠EAD，于是可得∠DAC＝∠EAB，代入即可．【详解】解：∠ABC∠∠AED，∠∠BAC＝∠EAD，∠∠EAB＋∠BAD＝∠DAC＋∠BAD，∠∠DAC＝∠EAB＝50°，∠AD＝AC∠∠ADC＝∠C＝∠ADE＝118065 2DAC︒-∠=︒（）故选C．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．10．C【分析】连接OC，根据切线的性质，得出∠OCB＝90°，再利用圆的半径相等，结合等边对等角，得出∠A＝∠OCA，然后再利用三角形的外角和定理，得出∠BOC的度数，再利用直角三角形两锐角互余，即可得出∠B的度数．【详解】解：连接OC，∠BC与半∠O相切于点C，∠∠OCB＝90°，∠∠A＝25°，∠OA＝OC，∠∠A＝∠OCA，∠∠BOC＝2∠A＝50°，∠∠B＝90°﹣∠BOC＝40°．故选：C【点睛】本题考查了切线的性质、等边对等角、三角形外角和定理、直角三角形两锐角互余，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理．11．A【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A＝60°，再根据三角形内角和定理计算出∠3＝80°，然后根据平行线的性质得到∠1的度数．【详解】解：∠∠ABC为等边三角形，∠∠A＝60°，∠∠A＋∠3＋∠2＝180°，∠∠3＝180°−40°−60°＝80°，∥，∠a b∠∠1＝∠3＝80°．故选：A ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了平行线的性质．12．C【分析】分别以点O 、A 为圆心，以OA 的长度为半径画弧，与坐标轴的交点即为所求的点P 的位置．【详解】解：如图，以点O 、A 为圆心，以OA 的长度为半径画弧与坐标轴有6个交点，OA 的垂直平分线与坐标轴的交点有2个，综上所述，满足条件的点P 有8个．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，利用数形结合的思想求解更简便．13．(1)证明见解析(2)10ACD S =【分析】（1）根据AB CD ∥，可以得到ABC ECD ∠=∠，即可用SAS 证明得出结论； （2）根据全等三角形的性质，可以得到90CED A ∠=∠=︒，设BE x =，则3CD BC x ==+，因为在Rt BED △中，222DE BD BE =-，而在Rt CED 中，222DE CD CE =-，即可列出方程求出三角形的面积．（1）证明：∠AB CD ∥∠ABC ECD ∠=∠又∠,AB CE BC CD ==∠()ABC ECD SAS ≌；（2）由（1）ABC ECD ≌△△， ∠90CED A ∠=∠=︒，设BE x =，∠3AB CE ==，则3CD BC x ==+，在Rt BED △中，222DE BD BE =-，在Rt CED 中，222DE CD CE =-，∠2222BD BE CD CE -=-，即2222(3)3x x -=+-，整理得：23100x x +-=，解得：122,5x x ==-（舍去），∠2BE =，∠4DE ==，235BC BE CE =+=+=， ∠11541022ACD S BC DE =⨯⨯=⨯⨯=△． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，解一元二次方程，用方程思想解决几何问题是本题的关键．14．(1)见详解 (2)254【分析】（1）先证明四边形ADFM 是矩形，得到AD =MF ，∠AMF =90°=∠MFD ，再利用MN ∠BE 证得∠MBO =∠OMF ，结合∠A =90°=∠NFM 即可证明；（2）利用勾股定理求得BE =10=MN ，根据垂直平分线的性质可得BO =OE =5，BM =ME ，即有AM =AB -BM =8-ME ，在Rt ∠AME 中，222AM AE ME +=，可得222(8)6ME ME -+=，解得：254ME =，即有254BM ME ==，再在Rt ∠BMO 中利用勾股定理即可求出MO ，则NO 可求．（1） 在正方形ABCD 中，有AD =DC =CB =AB ，∠A =∠D =∠C =90°，BC AD ∥，AB DC ∥，∠MF AD∥，∠A=∠D=90°，AB DC∥，∠四边形ADFM是矩形，∠AD=MF，∠AMF=90°=∠MFD，∠∠BMF=90°=∠NFM，即∠BMO+∠OMF=90°，AB=AD=MF，∠MN是BE的垂直平分线，∠MN∠BE，∠∠BOM=90°=∠BMO+∠MBO，∠∠MBO=∠OMF，∠90NFM AMF ABOMF MBO⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∠∠ABE∠∠FMN；（2）连接ME，如图，∠AB=8，AE=6，∠在Rt∠ABE中，10==BE，∠根据（1）中全等的结论可知MN=BE=10，∠MN是BE的垂直平分线，∠BO=OE=12BE=5，BM=ME，∠AM=AB-BM=8-ME，∠在Rt∠AME中，222AM AE ME+=，∠222(8)6ME ME-+=，解得：254 ME=，∠254 BM ME==，∠在Rt ∠BMO 中，222MO BM BO =-，∠154MO ==， ∠ON =MN -MO =15251044-=． 即NO 的长为：254． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、正方形的性质、垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，掌握勾股定理是解答本题的关键．15．见解析【分析】由题意依据三角形内角和定理和平行线的性质以及等式的性质和角的等量代换进行分析求证即可.【详解】解：在CDE △中，∠180C CED D ∠+∠+∠=︒（三角形内角和定理），∠180CED D C ∠+∠=︒-∠（等式的性质），又∠//AB CD （已知），∠180A C ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补），∠180A C ∠=︒-∠（等式的性质），∠A CED D ∠=∠+∠（等量代换）．【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．。