人教版八年级上册数学第13章13.3《等腰三角形》【同步练习】

八年级数学上册《13.3等腰三角形》同步达标测评一．选择题（共8小题，满分32分）1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是36°，则此等腰三角形的两个相等底角的度数大小是（）A．54°B．63°C．27°D．27°或63°2．已知等腰三角形的一个外角等于140°，则这个三角形的三个内角的度数分别是（）A．20°、20°、140°B．40°、40°、100°C．70°、70°、40°D．40°、40°、100°或70°、70°、40°3．如图，△ABC中，DE∥BC，FB，FC分别平分∠ABC和∠ACB，已知BC＝20，AB＝18，AC＝16，则△ADE的周长是（）A．30B．32C．34D．364．如图钢架BAC中，焊上等长的钢条来加固钢架，若P1A＝P1P2，量得∠BP5P4＝100°，则∠A＝（）度．A．10B．20C．15D．255．如图，为了加固屋顶的钢架，焊上等长的钢条（P1P2、P2P3等）．若∠A＝15°，AP1＝P1P2，则这样的钢条最多只能焊上（）条．A．4B．5C．6D．76．如图，AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG，则∠A的范围是（）A．0°＜∠A＜15°B．0°＜∠A＜18°C．0°＜∠A＜20°D．0°＜∠A＜22.5°7．如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM 上；△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则△A2021B2021A2022的边长为（）A．4044B．4046C．22020D．220218．如图，直线AB⊥CD，垂足为O，点P在∠BOC的平分线上，点E在直线AB上，且△EOP是等腰三角形，则这样的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共7小题，满分28分）9．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP．其中正确的是．10．如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE＝1，∠E＝30°，则BC＝．11．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝30°，AE＝AD，则∠EDC的度数是．13．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角为°．14．如图，线段OP的一个端点O在直线a上，以OP为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能有个．15．如果△ABM和△ACN分别是以△ABC的边AB、AC为边的形外等边三角形，MC交BN 于P，连P A，则∠APN＝．三．解答题（共9小题，满分60分）16．如图，在△ABC中，已知AD平分∠BAC，过AD上一点P作EF⊥AD，交AB于E、交AC于F，交BC延长线于M，则有正确结论：∠M＝（∠ACB﹣∠B）．请说明理由．17．如图，在△ABC中，∠B＝60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE＝BD，连接CE、DE，使EC＝DE，求证：△ABC是等边三角形．18．如图，已知△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC．求证：DE+DF＝BG．19．如图，已知∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC，点F为BC中点．求证：AF⊥BC．20．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为∠ABC平分线，延长BC到点E，使CE＝CD，作DH⊥BE于H，求证：H为BE的中点．21．已知：如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF．求证：△DEF是等边三角形．22．如图，已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：△CMN是等边三角形．23．如图，等边△ABC的边长为12cm，D为AC边上一动点，E为AB延长线上一动点，DE 交CB于点P，点P为DE中点（1）求证：CD＝BE；（2）若DE⊥AC，求BP的长．24．如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且P A＝CQ，连PQ交AC边于D．（1）求证：PD＝DQ；（2）若△ABC的边长为1，求DE的长．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：在三角形ABC中，设AB＝AC，BD⊥AC于D．①若是锐角三角形，∠A＝90°﹣36°＝54°，底角＝（180°﹣54°）÷2＝63°；②若三角形是钝角三角形，∠BAC＝36°+90°＝126°，此时底角＝（180°﹣126°）÷2＝27°．所以等腰三角形底角的度数是63°或27°．故选：D．2．解：（1）当40°角是顶角时，另两个底角度数为70°，70°；（2）当40°角是底角时，另两个角度数为40°，100°．故选：D．3．解：∵DE∥BC，∴∠BFD＝∠FBC，∠EFC＝∠BCF，∵FC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，∴∠BFD＝∠DBF，∠EFC＝∠ECF，∴DF＝DB，EF＝EC，∵△ADE的周长＝AD+AE+DE，DE＝DF+EF，∴△ADE的周长＝AD+BD+AE+EC＝AB+AC，∵AB＝18，AC＝16，∴△ADE的周长＝34．故选：C．4．解：∵AP1＝P1P2，P1P2＝P2P3，P3P4＝P2P3，P3P4＝P4P5，∴∠A＝∠P1P2A，∠P2P1P3＝∠P2P3P1，∠P3P2P4＝∠P3P4P2，∠P4P3P5＝∠P4P5P3，∴∠P3P5P4＝4∠A，∵∠P3P5P4+∠BP5P4＝180°，∠BP5P4＝100°，∴∠P3P5P4＝80°，∴∠A＝20°．故选：B．5．解：∵∠A＝∠P1P2A＝15°∴∠P2P1P3＝30°，∠P1P3P2＝30°∴∠P1P2P3＝120°∴∠P3P2P4＝45°∴∠P3P2P4＝45°∴∠P2P3P4＝90°∴∠P4P3P5＝60°∴∠P3P5P4＝60°∴∠P3P4P5＝60°∴∠P5P4P6＝75°∴∠P4P6P5＝75°∴∠P4P5P6＝30°∴∠P6P5P7＝90°，此时就不能在往上焊接了，综上所述总共可焊上5条．故选：B．6．解：采用排除法：①∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG，当∠A＝15°，∴∠BCA＝∠A＝15°，∴∠CBD＝∠BDC＝∠BCA+∠A＝15°+15°＝30°，∴∠BCD＝180°﹣（∠CBD+∠BDC）＝180°﹣60°＝120°，∴∠ECD＝∠CED＝180°﹣∠BCD﹣∠BCA＝180°﹣120°﹣15°＝45°，∴∠CDE＝180°﹣（∠ECD+∠CED）＝180°﹣90°＝90°，∴∠EDF＝∠EFD＝180°﹣∠CDE﹣∠BDC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠FGE＝∠GEF＝∠EFD+∠A＝60°+15°＝75°，即此时符合；①当∠A＝18°时，同法求出∠FEG＝∠FGE＝90°，此时△FEG不存在，此时不符合，同样，当∠A取大于18°的角都不符合，当∠A＝小于18°的数时，△FEG存在，即选项A、C、D错误，只有选项B正确；故选：B．7．解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∵∠MON＝30°，∴OA1＝A1B1＝1，∴A2B1＝1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，以此类推：△A2021B2021A2022的边长为22020．故选：C．8．解：如图，①当OP＝OE时，这样的点E由2个，②当PE＝OE时，这样的点E由1个，③当OP＝PE时，这样的点E由1个，∴这样的点P有4个，故选：D．二．填空题（共7小题，满分28分）9．解：∵等边△ABC和等边△CDE，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴180°﹣∠ECD＝180°﹣∠ACB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，故①小题正确；∵△ACD≌△BCE（已证），∴∠CAD＝∠CBE，∵∠ACB＝∠ECD＝60°（已证），∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°，∴∠ACB＝∠BCQ＝60°，在△ACP与△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴AP＝BQ，故③小题正确；PC＝QC，∴△PCQ是等边三角形，∴∠CPQ＝60°，∴∠ACB＝∠CPQ，∴PQ∥AE，故②小题正确；∵AD＝BE，AP＝BQ，∴AD﹣AP＝BE﹣BQ，即DP＝QE，∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，∴∠DQE≠∠CDE，故④小题错误．综上所述，正确的是①②③．故答案为：①②③．10．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BA＝BC，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠E＝30°，BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴BC＝2DC，∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠CDE＝∠E＝30°，∴CD＝CE＝1，∴BC＝2CD＝2，故答案为211．解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝＝75°，∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×75°；同理可得∠EA3A2＝（）2×75°，∠F A4A3＝（）3×75°，∴第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是（）n﹣1×75°．故答案为：（）n﹣1×75°．12．解：设∠EDC＝x，∠B＝∠C＝y，∠AED＝∠EDC+∠C＝x+y，又因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝x+y，则∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2x+y，又因为∠ADC＝∠B+∠BAD，所以2x+y＝y+30，解得x＝15，所以∠EDC的度数是15°．故答案是：15°．13．解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是60°；当高在三角形外部时（如图2），顶角是120°．故答案为：60或120．14．解：△AOP，△BOP，△COP，△DOP就是所求的三角形．15．解：∵△ABM和△ACN都是等边三角形，∴AB＝AM，AN＝AC，∠BAM＝∠CAN＝60°，∴∠BAM+∠BAC＝∠CAN+∠BAC，即∠CAM＝∠BAN，在△ABN与△AMC中，，∴△ABN≌△AMC（SAS），∴∠ANP＝∠ACP，又∵∠AEN＝∠PEC（对顶角相等），∵∠AEP＝∠NEC（对顶角相等），∴∠APN＝∠ACN＝60°．故答案为：60°．三．解答题（共9小题，满分60分）16．证明：∵EF⊥AD，AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∠APE＝∠APF＝90°，又∵∠AEF＝180°﹣∠1﹣∠APE，∠AFE＝180°﹣∠2﹣∠APF，∴∠AEF＝∠AFE，∵∠CFM＝∠AFE，∴∠AEF＝∠AFE＝∠CFM，∵∠AEF＝∠B+∠M，∠MFC＝∠ACB﹣∠M，∴∠B+∠M＝∠ACB﹣∠M，即：∠M＝（∠ACB﹣∠B）．17．证明：延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，∵EC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC，∴∠ECB＝∠EDF，∴△ECB≌△EDF（SAS），∴BE＝EF，∠B＝60°，∴△BEF为等边三角形，∴BE＝BF，∵AE＝BD，∴DF＝AB，BC＝DF，∴AB＝BC，∴△ABC是等边三角形．18．证明：连接AD．则△ABC的面积＝△ABD的面积+△ACD的面积，AB•DE+AC•DF＝AC•BG，∵AB＝AC，∴DE+DF＝BG．19．证明：∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C，∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∵点F为BC中点，∴AF⊥BC．20．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠SCB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E，∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠DBC，∴∠DBC＝∠E，∴△BDE为等腰三角形，BD＝ED，∵DH垂直于BE，∴H为BE中点（三线合一）．21．证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵AD＝BE＝CF，∴AF＝BD，在△ADF和△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS），∴DF＝DE，同理DE＝EF，∴DE＝DF＝EF．∴△DEF是等边三角形．22．证明：∵△ABC是等边三角形，△CDE是等边三角形，M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，∴∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠ECD+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，AM＝BN；∴AC＝BC，∠CAD＝∠CBE，AM＝BN，∴△AMC≌△BNC（SAS），∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN；又∵∠NCM＝∠BCN﹣∠BCM，∠ACB＝∠ACM﹣∠BCM，∴∠NCM＝∠ACB＝60°，∴△CMN是等边三角形．23．（1）证明：作DF∥AB交BC于F，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，∵DF∥AB，∴∠CDF＝∠A＝60°，∠DFC＝∠ABC＝60°，∠DFP＝∠EBP，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝DF，∵点P为DE中点，∴PD＝PE，在△PDF和△PEB中，，∴△PDF≌△PEB（AAS），∴DF＝BE，∴CD＝BE；（2）解：∵DE⊥AC，∴∠ADE＝90°，∴∠E＝90°﹣∠A＝30°，∴AD＝AE，∠BPE＝∠ACB﹣∠E＝30°＝∠E，∴BP＝BE，由（1）得：CD＝BE，∴BP＝BE＝CD，设BP＝x，则BE＝CD＝x，AD＝12﹣x，∵AE＝2AD，∴12+x＝2（12﹣x），解得：x＝4，即BP的长为4．24．（1）证明：如图，过P做PF∥BC交AC于点F，∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠Q，∠PFD＝∠QCD ∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AFP＝60°，∴△APF是等边三角形；∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ∴△PFD≌△QCD，∴PD＝DQ．（2）△APF是等边三角形，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，△PFD≌△QCD，∴CD＝DF，DE＝EF+DF＝AC，∵AC＝1，DE＝．。

13.3.1等腰三角形同步习题一、单选题1．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=5，F是高AD和BE的交点，则BF的长( )A．7 B．6 C．5 D．42.一个等腰三角形的两边长分别是 3 和 7，则它的周长为（）A．17 B．15 C．13 D．13 或 173.如图，在等腰三角形ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D，连接BD，∠A＝45°，则∠DBC 的度数为（）A．22.5° B．25° C．27.5° D．30°4．如图，在△ABC中， AB=AC，∠A=36° ，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A．5个B．1个C．3个D．2个5．如果三角形二条边的中垂线的交点在第三条边上，那么，这个三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形6．等边△ABC，在平面内找一点P，使△PBC、△PAB、△PAC均为等腰三角形，具备这样条件的P点有多少个？（）A．1个B．4个C．7个D．10个7.等腰三角形的一个顶角为 150°，则它的底角为（ ）A ．30°B ．15°C ．30° 或 15°D ．50°8.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的中线．若∠CAD ＝25°，则∠B的度数是（ ）A ．25°B ．55°C ．65°D ．75°二、填空题1．在ABC ∆中，AB AC =，AC 的垂直平分线交AC 于D ，交BC 于E ，若ABE ∆的周长为10，6BC =，则=AC ______.2．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC 与∠ACD 互补，CD=8，则BC 的长为_____________．3．如图，上午8时，一条船从A 处出发，以15海里／时的速度向正北航行，10时到达B 处，从A 、B 望灯塔C ，测得∠NAC＝42°，∠NBC=84°，则从B 处到灯塔C 的距离_______．4．一个等腰三角形的周长是44厘米，三边长度之比是3:5:3，这个等腰三角形的底边长是_______厘米．5.小明有两根长度分别为4cm 和9cm 的木棒，他想再取一根木棒，组成等腰三角形，那么等腰三角形的周长为 cm6．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD ⊥AC 于D ，下列四个结论：①EF ＝BE +CF ；②∠BOC ＝90°+∠A ；③点O 到△ABC 各边的距离相等；④设OD ＝m ，AE +AF ＝n ，则S △AEF ＝mn ．其中正确的结论是 ．（填序号）三、解答题1．如图，在ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足为E 、F ，求证：DE DF =．2．如图，△ABC 中，∠BAC=90度，AB=AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD=2CE ．3．在△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24㎝和30㎝的两个部分，求三角形的三边长．4.如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，DE 是AC 的垂直平分线，求证：△BCD 是等腰三角形.5.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E，过点E 作MN∥BC 交AB 于M，光AC 于N，若△ABC、△AMN 周长分别为 13cm 和 8cm．（1）求证：MN＝BM+CN；（2）线段BC 的长6．如图，直线l1，l2交于点B，A是直线l1上的点，在直线l2上寻找一点C，使△ABC是等腰三角形，请画出所有的等腰三角形．7．等腰△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝72°，（1）如图1，若BD⊥AC于D，求∠ABD的度数；（2）如图2，若CE平分∠ACB，求证：AE＝BC．。

人教版-八年级数学上册《第十三章等腰三角形》同步练习题及答案学校班级姓名学号一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1．等腰三角形的一个底角为，则它的顶角为（）A．B．C．D．或2．一个等腰三角形两边长分别为20和10，则周长为（）A．40 B．50 C．40或50 D．不能确定3．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（）A．AB=2BD B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．∠B=∠C4．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且BD=BE，CD=CF，∠A=70°，那么∠FDE等于（）A．40°B．45°C．55°D．35°5．如图，已知中，AB=AC，E、D分别为、上的点，连接BD，DE，若AD=DE=BE，∠C=70°，则的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°6．如图，在等边△ABC中，点D、E分别是BC、AB边上的点，且AE=BD，AD与CE交于点F，则∠DFC 的度数为（）A．45°B．60°C．65°D．75°7．如图，点B和点C是对应顶点，记，当时，与之间的数量关系为（）A．B．C．D．8．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（）A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.25二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．）9．在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=16，则BC的长是．10．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，点D在直线BC上，CD＝CA，则∠DAB的度数为．11．如图，在中，∠C=90°，AD=ED，∠CDE=72°，则的大小等于度．12．如图，在等边中，BD=CE，与交于P，，垂足为，PD=2，PQ=6，则的长为.13．如图，在中，点在边上，于点，若的面积为6，则的面积为.三、解答题：（本题共5题，共45分）14．已知，如图，等边△ABC中，点D为BC延长线上一点，点E为CA延长线上一点，且AE=DC，求证：AD=BE．15．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AB于E，求EB：EA的值．16．如图，和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是这两个等腰三角形的底边.求证.17．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边△ABD，连接DC，以DC为边，作等边△DCE，点B、E在CD的同侧，CE与BD交于点F，连接BE，按要求将图形补完整；（1）求证：△ADC≌△BDE；（2）求证：BD垂直平分CE．18．如图，在中，AB=AC，D为的中点，于点E，于点F，且DE=DF，连接，点G在的延长线上，且CD=CG．（1）求证：是等边三角形；（2）若，求的长．参考答案：1．C 2．B 3．A 4．C 5．B 6．B 7．B 8．C9．810．75°或15°11．5412．1413．1014．证明：在等边△ABC中，AB=CA，∠BAC=∠ACB=60°，∴∠EAB=∠DCA=120°．在△EAB和△DCA 中，∴△EAB≌△DCA（SAS），∴AD=BE15．解：如图，连接AD∵AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点∴∠BAD=60°，AD⊥BC∴∠B=90°﹣60°=30°∵DE⊥AB∴∠ADE=90°﹣60°=30°设EA=x在Rt△ADE中，AD=2EA=2x在Rt△ABD中，AB=2AD=4x∴EB=AB﹣EA=4x﹣x=3x∴EB：EA=3x：x=3．16．证明：和是顶角相等的等腰三角形，得出∴AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE在和中，.17．（1）解：补充图形如下：∵和都是等边三角形∴，CD=ED，∠ADB=∠CDE∴∴在和中∴（2）解：由（1）得∴在等腰中有∴由已知在等边三角形中有∴为的垂直平分线即垂直平分．18．（1）证明：∵，DF⊥BC∴∵D为的中点∴在与中∴∴∴∵∴∴是等边三角形；（2）解：由（1）知，是等边三角形∴∴∵∴连接，则∴∴∵∴∵∴∴∴CG=2。

人教版八年级上第十三章等腰三角形同步练习题学校:___________姓名：___________班级：___________一、填空题1．等腰三角形一边长为5，另一边长为7，则周长为__________.2．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的____________；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的_____________．3．如图，在Rt△ABC 中，△ABC =90°，以AC 为边，作△ACD ，满足AD=AC ，点E 为BC 上一点，连接AE ，2△BAE=△CAD ，连接DE ．若BE =a ，CE=b ，则DE =____（用含a 、b 的代数式表示）．4．如图，△ABC 中，∠B =75°，∠C =30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连结AD ，则∠BAD 的度数为______．5．将一把直尺和一块含30°角的三角板ABC 按如图所示的位置放置，如果45CDE ∠=︒，那么∠BAF 的度数为______．6．如图，AB =BC =CD ，AB ∠BC ，∠BCD =30°，则∠BAD =________°．7．在正方形ABCD 中，5AB =，点E 、F 分别为AD 、AB 上一点，且AE AF =，连接BE 、CF ，则BE CF +的最小值是______．二、单选题8．若三角形的两边长分别为4和7，则该三角形的周长可能为（ ）A ．9B ．14C ．18D ．229．如图，ABC AED ≌△△，点D 在BC 边上．若∠EAB ＝50°，则∠ADE 的度数是（ ）A ．50°B ．60°C ．65°D ．30°10．如图，AB 过半∠O 的圆心O ，过点B 作半∠O 的切线BC ，切点为点C ，连接AC ，若∠A ＝25°，则∠B 的度数是（ ）A ．65°B ．50°C ．40°D ．25°11．如图，直线a b ∥，等边三角形ABC 的顶点C 在直线b 上，240∠=︒，则1∠的度数为（）A．80︒B．70︒C．60︒D．50︒12．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，2），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）个．A．5B．6C．8D．9三、解答题13．如图，在ABC中()<，过点C作CD ABAB BC=，CB上∥，在CD上截取CD CB、．截取CE AB=，连接DE DB(1)求证：ABC ECD△△；≌△的面积．(2)若90,3,A AB BD∠=︒==BCD14．如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF AD∥．(1)求证：ABE FMN ≌△△；(2)若8AB =，6AE =，求ON 的长．15．已知：如图，AB CD ，点E 在AC 上．求证：A CED D ∠=∠+∠．参考答案：1．17或19【分析】先确定第三边的取值范围，再确定第三边的长，最后求周长即可．【详解】∠7-5＜第三边＜7+5，∠2＜第三边＜12，∠该三角形是等腰三角形，∠第三边为5或7，∠周长为5+5+7=17或5+7+7=19，故答案为：17或19．【点睛】本题考查了三角形的三边关系和对等腰三角形的认识，解题关键是理解题意，确定第三边的取值．2．垂直平分线垂直平分线【分析】根据轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（中垂线）．据此填空．【详解】解：根据轴对称的性质，可得如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线．或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，故答案为：垂直平分线，垂直平分线．【点睛】本题主要考查轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（中垂线）．3．2a+b##b+2a【分析】延长EB至G，使BE=BG，从而得到∠GAE=∠CAD，进一步证明∠GAC=∠EAD，且AE=AG，接着证明∠GAC∠∠EAD，则DE=CG，即可求解．【详解】解：如图，延长EB至G，使BE=BG，∠∠ABC=90°，∠AB∠GE，∠AB 垂直平分GE ，∠AG =AE ，∠GAB =∠BAE =12∠DAC ， ∠2∠BAE =∠GAE ，∠∠GAE =∠CAD ，∠∠GAE +∠EAC =∠CAD +∠EAC ，∠∠GAC =∠EAD ，在∠GAC 与∠EAD 中，AG AE GAC EAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠GAC ∠∠EAD （SAS ），∠DE =CG ，∠BE =a ，CE=b ，∠DE =CG =CE +GE =CE +2BE =2a +b ，故答案为：2a +b ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定和性质，通过二倍角这一条件，构造两倍的∠BAE ，是本题的突破口，也是常用方法．4．45°##45度【分析】根据内角和定理求得∠BAC =75°，由中垂线性质知DA =DC ，即∠DAC =∠C =30°，从而得出答案．【详解】解：在△ABC 中，∠∠B =75°，∠C =30°，∠∠BAC =180°-∠B -∠C =75°，由作图可知MN 为AC 的中垂线，∠DA =DC ，∠∠DAC =∠C =30°，∠∠BAD =∠BAC -∠DAC =45°，故答案为：45°．【点睛】本题主要考查作图-基本作图，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．5．15︒##15度【分析】由题意可确定DE AF ∥，30ABC ∠=︒，再根据平行线的性质和三角形外角的性质即可解答．【详解】由题意可知DE AF ∥，∠45AFC CDE ∠=∠=︒．由含30°角的三角板的特点可知：30ABC ∠=︒，∠15BAF AFC ABC ∠=∠-∠=︒．故答案为：15︒【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，三角板中的角度计算．利用数形结合的思想是解题关键．6．15【分析】把CD 绕着点C 逆时针旋转60°到达CE 的位置，连接CE ，DE ，BE ，可得∠CDE 是等边三角形，从而得到DE =CD =CE ，∠DEC =60°，再由∠BCD =30°，可得BC ∠DE ，然后根据AB =BC =CD ，可得BC =CE ，AB =DE ，从而得到()1180752BEC BCE ∠=︒-∠=︒，进而得到∠BED =15°，再证得四边形ABED 是平行四边形，即可求解．【详解】解：如图，把CD 绕着点C 逆时针旋转60°到达CE 的位置，连接CE ，DE ，BE ，∠∠DCE =60°，CD =CE ，∠∠CDE 是等边三角形，∠DE =CD =CE ，∠DEC =60°，∠∠BCD =30°，∠∠BCE =30°，∠∠BCD =∠BCE ，∠BC ∠DE ，∠AB =BC =CD ，∠BC =CE ，AB =DE ，∠()1180752BEC BCE ∠=︒-∠=︒， ∠∠BED =∠BEC -∠DEC =15°，∠AB ∠BC ，∠AB ∠DE ，∠四边形ABED 是平行四边形，∠∠BAD =∠BED =15°．故答案为：15【点睛】本题主要考查了图形的旋转，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握图形的旋转，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．7．【分析】如图所示，作D 关于直线AB 的对称点D ，连接D F DF '，，先证明∠ABE ∠∠ADF 得到BE =DF ，则BE D F '=，从而推出当C 、F 、D 三点共线时，CF D F '+有最小值，即BE +CF 有最小值，最小值为CD '，由此求解即可．【详解】解：如图所示，作D 关于直线AB 的对称点D ，连接D F DF '，，∠D F DF '=，AD AD '=，∠四边形ABCD 是正方形，∠AB =AD =CD ，∠ADC =90°，又∠∠F AD =∠EAB ，AF =AE ，∠∠ABE ∠∠ADF （SAS ），∠BE =DF ，∠BE D F '=，∠BE CF CF D F '+=+，∠当C 、F 、D 三点共线时，CF D F '+有最小值，即BE +CF 有最小值，最小值为CD '，在Rt ∠D DC '中，CD '故答案为：【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．8．C【分析】根据三角形三边之间的关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”确定第三边的取值范围，即可确定三角形的周长的取值范围．【详解】解：设三角形的第三边为x，∠三角形的两边长分别为4和7，∠7-4<x<7+4，即：3<x<11，∠3+4+7<x+4+7<11+4+7，即：14 <x+4+7<22，符合条件的只有C选项，故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形三边之间的关系以及不等式的性质1，熟练地掌握三角形三边之间的关系和不等式的性质1是解题的关键．9．C【分析】根据全等三角形的性质得到∠BAC＝∠EAD，于是可得∠DAC＝∠EAB，代入即可．【详解】解：∠ABC∠∠AED，∠∠BAC＝∠EAD，∠∠EAB＋∠BAD＝∠DAC＋∠BAD，∠∠DAC＝∠EAB＝50°，∠AD＝AC∠∠ADC＝∠C＝∠ADE＝118065 2DAC︒-∠=︒（）故选C．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．10．C【分析】连接OC，根据切线的性质，得出∠OCB＝90°，再利用圆的半径相等，结合等边对等角，得出∠A＝∠OCA，然后再利用三角形的外角和定理，得出∠BOC的度数，再利用直角三角形两锐角互余，即可得出∠B的度数．【详解】解：连接OC，∠BC与半∠O相切于点C，∠∠OCB＝90°，∠∠A＝25°，∠OA＝OC，∠∠A＝∠OCA，∠∠BOC＝2∠A＝50°，∠∠B＝90°﹣∠BOC＝40°．故选：C【点睛】本题考查了切线的性质、等边对等角、三角形外角和定理、直角三角形两锐角互余，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理．11．A【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A＝60°，再根据三角形内角和定理计算出∠3＝80°，然后根据平行线的性质得到∠1的度数．【详解】解：∠∠ABC为等边三角形，∠∠A＝60°，∠∠A＋∠3＋∠2＝180°，∠∠3＝180°−40°−60°＝80°，∥，∠a b∠∠1＝∠3＝80°．故选：A ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了平行线的性质．12．C【分析】分别以点O 、A 为圆心，以OA 的长度为半径画弧，与坐标轴的交点即为所求的点P 的位置．【详解】解：如图，以点O 、A 为圆心，以OA 的长度为半径画弧与坐标轴有6个交点，OA 的垂直平分线与坐标轴的交点有2个，综上所述，满足条件的点P 有8个．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，利用数形结合的思想求解更简便．13．(1)证明见解析(2)10ACD S =【分析】（1）根据AB CD ∥，可以得到ABC ECD ∠=∠，即可用SAS 证明得出结论； （2）根据全等三角形的性质，可以得到90CED A ∠=∠=︒，设BE x =，则3CD BC x ==+，因为在Rt BED △中，222DE BD BE =-，而在Rt CED 中，222DE CD CE =-，即可列出方程求出三角形的面积．（1）证明：∠AB CD ∥∠ABC ECD ∠=∠又∠,AB CE BC CD ==∠()ABC ECD SAS ≌；（2）由（1）ABC ECD ≌△△， ∠90CED A ∠=∠=︒，设BE x =，∠3AB CE ==，则3CD BC x ==+，在Rt BED △中，222DE BD BE =-，在Rt CED 中，222DE CD CE =-，∠2222BD BE CD CE -=-，即2222(3)3x x -=+-，整理得：23100x x +-=，解得：122,5x x ==-（舍去），∠2BE =，∠4DE ==，235BC BE CE =+=+=， ∠11541022ACD S BC DE =⨯⨯=⨯⨯=△． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，解一元二次方程，用方程思想解决几何问题是本题的关键．14．(1)见详解 (2)254【分析】（1）先证明四边形ADFM 是矩形，得到AD =MF ，∠AMF =90°=∠MFD ，再利用MN ∠BE 证得∠MBO =∠OMF ，结合∠A =90°=∠NFM 即可证明；（2）利用勾股定理求得BE =10=MN ，根据垂直平分线的性质可得BO =OE =5，BM =ME ，即有AM =AB -BM =8-ME ，在Rt ∠AME 中，222AM AE ME +=，可得222(8)6ME ME -+=，解得：254ME =，即有254BM ME ==，再在Rt ∠BMO 中利用勾股定理即可求出MO ，则NO 可求．（1） 在正方形ABCD 中，有AD =DC =CB =AB ，∠A =∠D =∠C =90°，BC AD ∥，AB DC ∥，∠MF AD∥，∠A=∠D=90°，AB DC∥，∠四边形ADFM是矩形，∠AD=MF，∠AMF=90°=∠MFD，∠∠BMF=90°=∠NFM，即∠BMO+∠OMF=90°，AB=AD=MF，∠MN是BE的垂直平分线，∠MN∠BE，∠∠BOM=90°=∠BMO+∠MBO，∠∠MBO=∠OMF，∠90NFM AMF ABOMF MBO⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∠∠ABE∠∠FMN；（2）连接ME，如图，∠AB=8，AE=6，∠在Rt∠ABE中，10==BE，∠根据（1）中全等的结论可知MN=BE=10，∠MN是BE的垂直平分线，∠BO=OE=12BE=5，BM=ME，∠AM=AB-BM=8-ME，∠在Rt∠AME中，222AM AE ME+=，∠222(8)6ME ME-+=，解得：254 ME=，∠254 BM ME==，∠在Rt ∠BMO 中，222MO BM BO =-，∠154MO ==， ∠ON =MN -MO =15251044-=． 即NO 的长为：254． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、正方形的性质、垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，掌握勾股定理是解答本题的关键．15．见解析【分析】由题意依据三角形内角和定理和平行线的性质以及等式的性质和角的等量代换进行分析求证即可.【详解】解：在CDE △中，∠180C CED D ∠+∠+∠=︒（三角形内角和定理），∠180CED D C ∠+∠=︒-∠（等式的性质），又∠//AB CD （已知），∠180A C ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补），∠180A C ∠=︒-∠（等式的性质），∠A CED D ∠=∠+∠（等量代换）．【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．。