混合运算、运算律、简便计算等

第二讲加减混合运算中的简算【专题简析】简便运算是计算中的一个非常重要的组成部分，掌握一些简便算法，有助于提高我的计算能力和思维能力。

而简便算法往往要根据一定的运算定律和运算性质通过对算式进行“有的放矢”从而使计算简便。

加减运算的运算律和运算性质：加法：（1）交换律：a+b=b+a（2）结合律：a+b+c =a+（b+c）减法：（1）a-b-c= a-c-b= a-(b+c）（2）a－b+c=a－(b－c)在巧算的方法里，蕴含着重要的解决问题的策略：转化法。

即把所给的算式，根据运算律和运算性质，或改变它的运算顺序，或凑整，从而变成一个易于算出结果的算式。

【例题精讲】例1、254+158+246+342思路点拨：我们首先观察发现254与246，158与342相加都可以凑成整百数，于是交换158和246两个加数的位置交换。

原式=（254+246）+（158+342）=500+500=1000【试一试】 234+678+766+322例2、452-269-152思路点拨：我们发现452与152的个位和十位数字都相同能得整百数，于是交换减数位置。

原式=452-152-269=300-269=31【试一试】 368+454-268-154例3、562-236-164思路点拨：我们发现两个减数236与164的和能凑成整百，连续减去两个数等于减去两个数的和，注意括号里要变成两数相加。

原式=562-(236+164)=562-400=162【试一试】1000-90-80-20-10例4、9999+999+99+9思路点拨：这四个数都分别接近于整万，整千、整、整十数，我们可以把9999看做10000，999看做1000，99看做100，9看做10，这样每个数都多了1，然后再从它们和中减去4个1，即可得到出结果。

原式=10000-1+1000-1+100-1+10-1=10000+1000+100+10-4= 1110-4=11106【试一试】19999＋1999＋199＋19例5、1-2+3-4+5-6+7-8+…+1989-1990+1991思路点拨：原式共有1991个数，除1外，奇数都比偶数多1，这样把其余的1990个数分为995组，每组奇数减偶数都等于1，所以用1+995=996即为本题的解。

有理数的计算方法与技巧有理数运算是代数入门的重点，又是难点，是中学数学中一切运算的基础，怎样突破这一难点，除了要正确理解概念和掌握运算法则外，还必须熟练有理数运算的一些技巧和方法，一定要正确运用有理数的运算法则和运算律，从而使复杂问题变得较简单。

一、四个原则：①整体性原则： 乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。

②简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。

③口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。

④分段同时性原则： 对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算。

二、运算技巧①归类组合：运用交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算，如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。

例：计算：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721) 解法一：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721) = (－0.5 + 2.75) + (341－721) = 2.25－441 =－2解法二：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721)=－0.5 + 341+ 2.75－721 = (3 + 2－7 ) + (－0.5 + 41+ 0.75 －21)=－2 评析：解法一是小数与小数相结合，解法二整数与整数结合，这样解决了既含分数又含小数的有理数加减运算问题．同学们遇到类似问题时，应学会灵活选择解题方法．②凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消。

将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率．例：计算：--+-+-11622344551311638. 分析：本题六个数中有两个是同分母的分数，有两个互为相反数，有两个相加和为整数，故可用“凑整”法。

分数四则混合运算一、分数四则混合运算的运算法则：1.加减法：对于同分母的分数，直接将分子相加或相减，分母保持不变。

对于异分母的分数，需要先通分，然后再将分子相加或相减。

2.乘法：先进行约分，然后将分子相乘，分母相乘，得到的积即为结果。

3.除法：将被除数乘以除数的倒数即可得到结果。

二、分数四则混合运算的运算顺序：1.同级运算按从左往右的顺序进行计算。

2.如果既有加减法，又有乘除法，先进行乘除法的计算，然后再进行加减法的计算。

3.如果有括号，先计算括号内的表达式。

4.如果符合运算定律，可以利用运算定律进行简化计算。

三、分数四则混合运算的运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。

四、分数四则混合运算的运算性质：减法的性质和除法的性质。

五、分数四则混合运算的简便计算：可以利用乘法分配律及其逆运算或者减法的性质进行简化计算。

举例：1.(-)×(÷)12÷(1+15/36)2.(1-21/49÷18/35)÷(7/9×13/10)3.XXX÷(xxxxxxx×(1+(÷)))4.(84×/)+(×)325.(×)xxxxxxxx41/(xxxxxxxx655+(×)-(÷)xxxxxxxx71)6.(×)+(÷)xxxxxxx/(×)+(÷)xxxxxxx7.(×)xxxxxxxx17/(-)+(÷)xxxxxxxx1318.解方程：X=18/21.X=574/35。