勾股定理的证明ppt

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探索勾股定理(公开课课件)

数学领域中的应用
三角函数
勾股定理与三角函数密切相关，它可以用于求解三角函数的值，以及推导三角函数的性质和公式。
解析几何
在解析几何中，勾股定理可以用于求解直线、圆和曲线的方程，以及解决几何问题。
数论
勾股定理在数论中也有应用，例如在证明一些数学定理和猜想时，勾股定理可以提供重要的思路和方法。
公式表示
勾股定理的公式可以表示为 a² + b² = c²，其中a和b是直角三角形的两条直角边，c是斜边。
勾股定理的重要性
01
几何学基础
勾股定理是几何学中的一个基础定理，它为解决与直角三角形相关的问
题提供了重要的工具。
02 03
实际应用
勾股定理在现实生活中有着广泛的应用，例如建筑、航海、航空等领域。通过应用勾股定理，我们可以解决与直角三角形相关的问题，从而更好地理解和设计各种实际结构。
数学发展史
勾股定理在数学发展史上具有重要地位。它的证明和推广对于数学的发展起到了重要的推动作用，也激发了人们对数学研究的兴趣和热情。
02 勾股定理的起源与历史
CHAPTER
毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯学派是古希腊时期的一个重要哲学和数学学派，他们发现了音乐、政治、宇宙和数学之间的联系，并提出了 “万物皆数”的哲学思想。
CHAPTER
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理
如果一个三角形的三边满足勾股定理，则这个三角形是直角三角形。
逆定理的证明
假设三角形ABC的三边满足勾股定理，即$a^2 + b^2 = c^2$，根据余弦定理，有$cos C = frac{a^2 + b^2 c^2}{2ab} = 0$，因此角C是直角。

勾股定理公开课课件

（项明达证明）项明达:清代数学家
勾股定理的证明
走进数学史
勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年
来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有
业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，
甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容
易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。
b
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
表示为：Rt△ABC中，∠C=90°
则 a2 b2 c2
议一议：判断下列说法是否正确,并说明理由： (1)在△ABC中,若a=3,b=4,则c=5 (2)在Rt△ABC中，如果a=3，b=4,则c=5. (3)在Rt△ABC中，∠C=90° , 如果a=3，b=4,则c=5.
快方法小结: 可用勾股定理建立方程.
！
１、如图,一个长8 米,宽6 米的草地,需在相对角的
顶点间加一条小路,则小路的长为 ( )
C
A.8 米 B.9 米 C.10米 D.14米
化简得： a2 b2 c2
方法三：
c
b b-a c
a c
c
S正
c2
4
1 2
ab
(b
a)2
，
化简得： a2 b2 c2
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
2.求下列直角三角形中未知边的长:
比
5
一
比8
17
看
x
16
x 12
看
x
谁
20
算
得

勾股定理课件

希腊1955年为纪念毕达哥拉斯学派发行的纪念邮票。
读一读
勾股历史（勾股历史（二）
我国是最早了解勾股定理的国家之一。我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角三角形，将一根直尺折成一个直角三角形，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，等于三，股等于四，那么弦就等于五，即勾三、股四、弦五” “勾三、股四、弦五”。它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》古代著名的数学著作《周髀算经》中。最早是由三国时期的数学家赵爽在为《早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》注解时给出的。算经》注解时给出的。
读一读
图是在北京召开的2002年国际数学家大会年国际数学家大会图是在北京召开的（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图”，－）的会标，其图案正是“弦图” 它标志着中国古代的数学成就. 它标志着中国古代的数学成就
一.勾股定理
发现
们，我们也来观察下面的案，看看你能图
（一）对勾股定理内容的直接应用 1. 求下列图中字母所代表的正方形的面积
A 32 60
81 B 225 B=________ 225-81=144
A=________ 32+60=92
求出下列直角三角形中未知边的长度. 2. 求出下列直角三角形中未知边的长度.
y
6 8
x 5 13
132 − 52 = 144 =12 y=_____________________
年一个周末的傍晚，在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在年一个周末的傍晚在美国首都华盛顿的郊外，散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和，说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为和4，那么斜边长为多少呢？伽菲尔德答到：小男孩又问道：少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为呀 5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：和，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？伽菲尔德不加思索地回答到：那斜边的平方一定等于5的平方加上的平方。小男孩又说道：先生，的平方加上7的平方 “那斜边的平方一定等于的平方加上的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

新人教版《勾股定理的证明》完美课件下载

②甲、乙两组同时施工8天可以完成，需付装修费用3 520元，此时工期比甲组单独施工少4天，商店早开业4天可盈利4×200＝800(元)
．
②甲、乙两组同时施工8天可以完成，需付装修费用3 520元，此时工期比甲组单独施工少4天，商店早开业4天可盈利4×200＝800(元)
．
12．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC
一级基础巩固练
三级检测练
11．已知直角三角形的两条直角边的长分别为 1，2，
则斜边长为( D ) (2)如果学校计划购买足球和篮球共80个，总费用不超过4800元，那么最多能买多少个篮球？
为____________． ②甲、乙两组同时施工8天可以完成，需付装修费用3 520元，此时工期比甲组单独施工少4天，商店早开业4天可盈利4×200＝800(元)
新课学习
3．勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2＝c2. 几何语言： ∵_在___R_t_△__A_B_C__中__，__∠__A_C__B_＝__9_0_°， ∴_a_2_＋__b_2_＝__c_2 ________________．
4．(例 1)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3， AC＝4，求 AB 的长．
当AD="1" /"3" "AE时,如图①,(-1+m)-(-1-m)=" "1" /"3" [(1+m)-(-1-m)],
＝1 ×4×4 3 (2)为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？ 2
＝8 3 ．
小结： (1)勾股定理只适用于直角三角形； (2)已知直角三角形两边，用勾股定理求出第三边； (3)勾股数：①3，4，5；②6，8，10；③5，12，13；

勾股定理ppt课件

创设情境数学是科技发展中最重要的学科，2002年全球最顶级数学家大会在北京召开，大会会徽是：
赵爽弦图
数学文化赵爽，名婴，字君卿，是我国三国时期杰出的数学家，他在注解《周髀算经》时给出的这个图.
创设情境请你观察这个图中有哪些基本几何图形？2002年的数学家大会为什么用这个图作为会徽呢？
继续探究
1.如图，表格中左、右各有一组图，每组图中的三个正方形的面积分别是多少，它们之间有什么关系？（设表格中每个小正方形面积为1）
C A
B
C A
B
继续探究 2.观察图形，请完成下面表格：
两个图中正方形C的面积如何求呢？
项目
左图右图 A、B、C 面积关系
A的面积 4 16
B的面积 9 9
A
8
B 6
C
应用新知
例2 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形 B，D的边长分别是16，12，SE=625，S1=400，求正方形A、C的边长. 解：依题意，得SB=162=256，SD=122=144， ∵S1=SA+SB且S1=400， ∴SA=S1-SB=400-256=144， ∴正方形A的边长为 144 12， ∵SE=S1+S2且SE=625，S1=400， ∴S2=SE-S1=625-400=225， ∵S2=SC+SD，∴SC=S2-SD=225-144=81， ∴正方形C的边长 81 9 .
证明2：如图，四个全等直角三角形拼成
如图所示的正方形，直角边为a、
b，斜边为c. S四个直角三角形面积和= 4 1 ab 2ab，
2
S四个直角三角形面积和=(a+b)2-c2

八下数学第十七章勾股定理全章课件

在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2.
在Rt△MDB′中，MD2＋DB′2=MB′2.
B′
∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝MD2＋DB′2，
即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，
解得x＝2.即AM＝2.
探究新知
方法点拨
折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:
(1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)； (2)用已知线段或含x的代数式表示出其他线段长； (3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的
D
3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内
通过？为什么？
C 2m
解：如图，连接AC。在Rt△ABC 中，根据勾股定理，
AC AB2 BC2 12 22
AB
1m
5
5 2.236 2.2
∴木板可以从门框内通过。
巩固练习
如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC=60 m，AC=20m.求A，B两点间的距离
在Rt△AFD′中，AF2=D′F2+AD′2,
(8-x)2=x2+42，解得x=3. ∴AF=AB-FB=8-3=5， ∴S△AFC= AF•BC=10．
互逆命题:
两个命题中, 如果第一个命题的题设是第二个命题的结论, 而第一个命题的结论又是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.
A的面 B的面 C的面
积
积
积
C A
图1
9
9 18
B 图2-1
C A
B 图2-2
图2
4
48
A、B、C 面积关系
SA+SB=SC
直角三角形两直角边的平方和三边关系等于斜边的平方

《勾股定理——勾股定理的逆定理》数学教学PPT课件(5篇)

判定一个三角形是直角三角形的方法
有一个角是直角的三角形是直角三角形.
角：
边：
如果三角形的三边长a，b，c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
再见
1.直角三角形有哪些性质?
2.如何判断三角形是直角三角形?
古埃及人曾用下面的方法得到直角
按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？
∴ ∠C= 900
已知:在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2
求证:△ ABC是直角三角形
证明:画一个△A’B’C’,使∠ C’=900,B’C’=a, C’A’=b
在△ ABC和△ A’B’C’中
∴ △ ABC是直角三角形（直角三角形的定义）
勾股定理的逆命题证明
例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：(1) a＝15 , b ＝8 , c＝17
是
是
不是
是
∠ A=900
∠ B=900
∠ C=900
像25,20,15,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
例1： “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
例题3：
如图，是一块四边形绿地示意图，其中AB长24米，BC长20米，CD长15米，DA长7米，∠ C=90度求：绿地ABCD的面积。
C
B
A
D
24
20
15
7
25
例2：如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m。求这块地的面积。

小学奥数几何模型专项课件-勾股定理课件

总结归纳
总结归纳
直角三角形三边关系
直接利用
进行构造
勾股定理
巩固提升
巩固提升
作业1：如图，每个直角三角形的一条直角边都是1厘米，求图中阴影部分的面积.
巩固提升
作业2：7个正方形如图进行摆放，已知其中3个正方形的面积，求其余4个正方形的面积之和.
巩固提升
作业3：如图，直角三角形ABC中，已知AB=6厘米，BC=8厘米，且点O到三条边的距离相等，求图中阴影部分的面积.
目录
专题解析例题讲授总结归纳巩固提升
专题解析
专题解析
勾股定理勾股定理作为直角三角形中最为重要的一条定理，也是几何部分最重要的定理之一，其主要研究的是直角三角形三条边的关系，即两直角边的平方和等于斜边平方. 基本要求直角三角形，一定满足勾股定理；满足勾股定理的三角形一定是直角三角形.
S梯
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2
ab
1 2
c 2；
S梯
1（a 2
b）2
ab
1 2
a2
1 2
b2；
则1 c2 1 a2 1 b2，即a2 b2 c2 . 222
专题解析
勾股数我们将满足勾股定理的三个数称之为一组勾股数，下面列出常见的一些.
3
4
5
6
8
10
9
12
15
12
16
20
…
…
…

例题讲授
例5：如图，正方形ABCD中，以CD为斜边作直角三角形CDE，已知CE=3，DE=5，求图中阴影部分的面积.
例题讲授
练一练5：如图，长方形ABCD的长是16厘米，宽是12厘米，E为BC边上一点，过E点向AC、BD作垂线，垂足分别是F、G，求EF+EG.

《17.1 勾股定理》课件(含习题)

某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，
请你按照他们的解题思路完成解答过程.
A
作AD⊥BC于D, 设BD=x,用含x的代数式表示CD
根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程模型求出x
B
DC
利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形面积
解：如图，在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13, 设BD=x,则CD=14-x,
在Rt△COD中，根据勾股定理，
OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15
OD 3.15 1.77,
BD OD OB 1.77 1 0.77 .
A C
O
BD
所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移约0.77m.
归纳总结
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
a
c
b
二勾股定理的验证
拼一拼请同学们准备四个完全相同的直角三角形，跟着我国汉代数学家赵爽拼图.
赵爽
b
a
c
b
a
a2 + b2
这种用拼图的验
=证勾c股2 定理的方
法叫做弦图法
c
a
b
证一证
证明： S大正方形＝c2
c b
a
b-a
赵爽弦图
S小正方形＝（b-a）2
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
当堂练习
1.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对相距8米
.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行
（ B ）A. 8米 B.10米
C.12米 D.14米
A
B
第1题图

《勾股定理》PPT课件

AC 2 6
1.在△ABC中，∠C=90°.
练习
(1)若a=6，c=10，则b=
;
(2)若a=12，b=9，则c= (3)若c=25，b=15，则a=
; ;
2.等边三角形边长为10，求它的高及面积。 C 3.如图，在△ABC中，C=90°，
CD为斜边AB上的高，你可以得 b 出哪些与边有关的结论？ A m h
c2
；
a c
c a
b a
∵ c2= 4•ab/2 +(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2 ∴a2+b2=c2
a
b
b c
b c
2 (a+b) 大正方形的面积可以表示为；
也可以表示为 c2 +4•ab/2
a b
a
b
c
c
a
b
c
∵ (a+b)2 = c2 + 4•ab/2 a2+2ab+b2 = c2 +2ab ∴a2+b2=c2
a
B D n
如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上， A 求证：AD2-AB2=BD· CD
证明：过A作AE⊥BC于E ∵AB=AC，∴BE=CE D 在Rt △ADE中， AD2=AE2+DE2 在Rt △ABE中， AB2=AE2+BE2 ∴ AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2) B E C
a b
c
勾股定理的证明
证明方法3：赵爽弦图，动手拼图
勾股定理的证明
证明方法4：美国总统加菲尔德的证明方法
a b

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P 和意义（如课本 65）
2、蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）
A
G
B
E
C
F
D
1）本节课我们学习了什么? 勾股定理 2）利用勾股定理，已知直角三角形
的某两边长，会根据条件求另一边
3）了解用面积法证明勾股定理
P 1、 69-70第1、2题
2、通过书籍和网络查阅有关资料，了解勾股定理的历史背景
4米
3米
应用举例
某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高2米，消防队员取来7米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是2 米，请问消防队能否进入三楼灭火?
解:如图,在Rt△ABC中，∠C=90°, AC=6米 ,
BC=2米,则AB=
≈6.3
因为7米大于6.3米
所以消防队能进入三楼灭火
二选择题：
“赵爽弦图’表现了我国古代人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲，因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽。
在西方，一般认为这个定理是毕达哥拉斯发现的，所以人们称这个定理为毕达哥拉斯定理。
一填空题：
1) 在直角三角形中，两条直角边分别为a,b, 斜边为c，则c2=_a_2+_b_2 2) 在RT△ABC中∠C=90°,
⑴如果直角三角形的一个锐角为30度，斜边长是2 ㎝，那么直角三角形的其它两边长是（ A ）
A 1， 3 B 1 ，3 C 1， 5 D 1 ,5
⑵如图，在RT△ABC中，∠C=90°, A
∠B=45°,AC=1,则AB=( C )
A 2, B 1, C 2, D 3C
B
⑶一个长方形的长是宽的2 倍，其对角线的长是5㎝，
那么它的宽是（ B）
A 2 5㎝ B 5 ㎝ C 5 ㎝ D 5 ㎝
2
2
（4）、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿
着东方向和南方向回家，若小红和小颖行走的速度
都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖用20分钟到
家，小红和小颖家的距离为（ C ）
A、600米
B、800米
C、1000米
D、不能确定
常用的勾股数：3，4，5；
6，8，10；
5，12，13；
C
B
7，24，25。
勾股定理的各种表达式：
在RT△ABC中，∠C=90°, ∠A 、∠B、 ∠C的对边分别为a 、b 、c ,则:
c22=a22+b22 a2=c2-b2 b2=c2-a2
c= a2 b2 a= c2 b2 b= c2 a2
大正方形的面积可以表示为 c2
；
也可以表示为 (b a)2 4 1 ab 2
c a
∵ c2=(b-a)2+4×½ab
b
=b2-2ab+a2+ 2ab
=a2+b2
c a
b
c a
b
c a
b
∴a2+b2=c2
证明2：
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ；
也可以表示为 4 ×½ab+c2
c a
活动1 欣赏图片了解历史
1、你曾见过这个图案吗?
赵爽弦图
这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称之为“赵爽弦图”
2、你听说过“勾股定理”吗？
如：勾三，股四，弦五
在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
活动2、探索勾股定理
16 36
探
索
B
勾
股 C的面积
定（单位面积）
25 52
理
设：直角三角形的三边长分别是a、b、c
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
C Aa cb B NhomakorabeaSA+SB=SC探
SA=a2
索
勾
SC=
2
C
股
a2+b2=c2 定
理
长分别如为果a直,角b，三斜角边形长的为两c条，直那角么边探
c2=a2+b2.
b
c a
b
c a
b
c a
b
∵ (a+b)2 = 4 ×½ab+c2
a2+2ab+b2 = 2ab +c2
∴a2+b2=c2
定理：经过证明被确认为正确的命题叫做定理。
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为ａ、ｂ，斜边为ｃ，那么ａ2+b2=c2。
如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，则
A
ａ2 +b2 =c2
索
勾a
c弦
勾股
定
b股
理
1、拿出准备好的四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边c）； 2、你能用这四个直角三角形拼成一个正方形吗？拼一拼试试看
3、你拼的正方形中是否含有以斜边c的正形？
4、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？
c a
b
证明1：
该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示意图，取材于我国古代数学著作《勾股圆方图》。
⑴若a=4,b=3,则c=__5__
⑵若c=13,b=5,则a=__1_2_
⑶ 若 c=17,a=8,则b=__1_5_
（3 ）等边三角形的边长为12，则它的高为__6__3__
（4) 在直角三角形中,如果有两边为3,4,那么另一边为___5_或___7__
勾股定理，想得再多一点
如图，受台风莫拉克影响，一棵树在离地面4 米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
数学家毕达哥拉斯的故事
A
B
C
A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB=SC
直角三角形三边有什么关系？
两直边的平方和等于斜边的平方
对于等腰直角三角形有这样的性质：两直边的平方和等于斜边的平方
那么对于一般的直角三角形是否也有这样的性质呢？
A
图1-1 图1-2
C
C
B
A的面积（单位面积）
9 16
A
B的面积（单位面积）