高二数学第一学期期末试卷(B卷)
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2007-2008学年度高二数学第一学期期末试卷（B 卷）
（卷面分值：100分；考试时间：100分钟）
一、选择题：（共12小题，每小题3分，共36分）在下列各小题的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选项前的字母填 入下表相应的空格内．
1.若a b >，c ∈R ，则下列结论成立的是
A ．bc ac >
B ．1>b a
C ．2ac ≥2
bc D ．b
a 11<
2.如果2a <，则
A ．24a >
B ．2
4a <
C ．3
8a > D ．3
8a < 3.不等式
2
03
x x ->+的解集为 A ．(3,2)- B ．(2,)+∞
C ．(,3)
(2,)-∞-+∞ D ．(,2)(3,)-∞-+∞
4.若1,1a b >>-，则下列结论成立的是
A.a b >
B.a b >-
C.1ab >-
D.2a b -> 5.不等式()2
11x -<的解集为
A ．()1,1-
B ．()1,2-
C ．()1,2
D ．()0,2
6.已知直线1l 的倾斜角为30，直线21l l ⊥，则2l 的斜率是
A.3
7.不等式10x y +->表示的区域在直线10x y +-=的
A.左上方
B. 左下方
C.右上方
D. 右下方
8.已知圆心为C 的圆与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆心C 的坐标是
A.()1,0-
B.()0,1-
C.()1,0
D.()0,1
9.抛物线28y x =的焦点到直线290x y +-=的距离是
A.1
B.2
5 10.椭圆2
2
41x y +=的焦距是
A ．
3
2
C ．4
3
11.已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)-、(4,0)，则双曲线的方程是
A.
221412x y -= B.22
1124x y -= C.
221106x y -= D.22
1610
x y -=
12.以双曲线
22
1916
x y -=的右焦点为圆心，且与渐近线相切的圆的方程是 A.221090x y x +-+= B.2210160x y x +-+= C.221090x y x +++= D.2210160x y x +++=
二、填空题：（共4小题，每小题４分，共16分）请将答案直接添
在题中的横线上．
13.不等式230x x -+->的解集是 . 14.函数1
(0)y x x x
=+
≠的最小值是 ． 15.经过(2,0)A -、(5,3)B -两点的直线的倾斜角是 .
16.若椭圆的焦距大于两准线间距离的一半，则该椭圆的离心率的范围是 .
三、解答题：（共4小题，共48分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本题满分14分，（Ⅰ）、（Ⅱ）小题各7分）
（Ⅰ）解不等式 2
551x x -+<．
（Ⅱ）已知a b c >>，求证 111
0a b b c c a
++>---.
18．（本题满分14分，（Ⅰ）、（Ⅱ）小题各7分）
（Ⅰ）一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？
（Ⅱ）求经过点(1,3)M 并与圆2
2
10x y +=相切的切线方程.
19．（本题满分10分）
求与两定点(3,0)A ，(0,0)O 距离的比为e 的动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么？
20．（本题满分10分）
已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>2.
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）若P 是该椭圆上的一个动点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，求12PF PF ⋅的最大值与最小值.
2007—2008学年第一学期期末考试卷
高二数学（B 卷）试题参考答案及评分标准
一、 选择题：（共12小题，每小题3分，共36分）
二、 填空题：（共4小题，每小题４分，共16分）
13．∅ 14．2 15．135 16．,12⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
三、 解答题：（共4小题，共48分） 17.（Ⅰ）不等式化为 2
1551x x -<-+<．
即 2
2551,
55 1.
x x x x ⎧-+<⎪⎨-+>-⎪⎩ 得 14,12,342, 3.x x x x x <<⎧⇒
<<<<⎨<>⎩或或．
原不等式的解集为{}
12,34x x x <<<<或． …7分
（Ⅱ）左边1
11()()1()()a b b c a b b c a c a b b c a c -+-⎛⎫=+-=-
⎪
------⎝⎭
222[()()]()()()()()()()()()()()()
a b b c a b b c a b b c a b b c a b b c a c a b b c a c -+-----+-+--==------ ∵a b c >>，∴0a b ->，0b c ->，0a c ->，
于是()()0a b b c -->，()()()0a b b c a c --->，而22()()0a b b c -+->.
故
1110a b b c c a
++>---成立. …7分 18.（Ⅰ）设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则2()36x y +=，18x y +=，矩形菜园的面积
为xy m 2. 由
18922
x y +==， 可得 xy ≤81. 当且仅当x y =，即9x y ==时，等号成立.
因此，这个矩形的长、宽都为9m 时，菜园的面积最大，最大面积是81 m 2.…7分 （Ⅱ）∵221310+=，∴点(1,3)M 在圆上，圆的切线垂直于过切点M 的半径OM ， 于是1
13
OM k k =-=-.经过点M 的切线方程是 13(1)3y x -=--， 即 3100x y +-=. …7分
19.设点(,)M x y ，则M 适合条件0MA
e MO
=>，即
e =， 化简整理得 222
2(1)(1)690e x e y x -+-+-= ① 当1e =时，①化为 32
x =
，即点M 的轨迹是线段AO 的垂直平分线； 当1e ≠时，①化为 222269011x y x e e ++-=--， 注意到 22222222636364011(1)
e D E F e e e ⎛⎫+-=+=> ⎪---⎝⎭ 所以点M 的轨迹是以23,01C e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭为圆心，231e e -为半径的圆． …10分
20.（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，由题意c a =，且2a =，得c =1b =． ∴所求椭圆方程为2
214
x y +=． …5分
（Ⅱ）设(,)P x y ，由（Ⅰ）知12(F F ，则
2212(,),)3PF PF x y x y x y ⋅=--⋅--=+-
222313244x x x ⎛⎫=+--=- ⎪⎝⎭ ，∵[]2,2
x ∈-，
∴当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅有最小值2-；
当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅有最大值1. …10分
以上各题的其它解法，限于篇幅，从略，请相应评分．。
