2018届甘肃省会宁县第一中学高三上学期第四次月考数学(文)试题

会宁一中2020届高三级第四次月考数学（理科）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数iia -+2是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于（ ） A.-2B.2C.12D.-12.已知集合{}(,)|2M x y x y =+=，{}(,)|2N x y x y =-=，则集合=N M I （ ） A.{}0,2 B ．()0,2 C ．{})2,0( D ． {})0,2(3.“0k =”是“直线1y kx =-与圆221x y +=相切”的（ ） A.充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.等差数列{}n a 中，12019a =，2019201516a a =-，则数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值时n 的值为（ ）A ．504B ．505C ．506D ．5075.如图，我们从这个商标中抽象出一个函数图象，其对应的函数可能是（ ）A.11)(2-=x x f B ．11)(2+=x x fC ．11)(-=x x f D ．11)(-=x x f 6.已知函数()f x 满足()()f x f x =-，且当(],0x ∈-∞时， ()()0f x xf x '+<成立，若()()0.60.622a f =⋅，()()ln2ln2b f =⋅，118822log log c f ⎛⎫⎛⎫=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A.a b c >>B.a c b >>C.c b a >>D.c a b >>7．设E,F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱DC 上两点,且1,2==EF AB ,给出下列四个命题:①三棱锥11D B EF -的体积为定值; ②异面直线11D B 与EF 所成的角为45°; ③11D B ⊥平面1B EF ;④直线11D B 与平面1D EF 所成的角为60°.其中正确的命题为: （ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④8.已知直线310x y -+=的倾斜角为α，则1sin 22α=（ ） A ．310B ．35 C ．310-D ．1109.若函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[0,]π上的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则ω的最小值为（ ） A.23B ．34C ．43D ．3210.若把函数()y f x =的图象沿x 轴向左平移4π个单位,沿y 轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数sin y x =的图象,则()y f x =的一个对称中心为（ ）A.(0,0)B ．(,1)4πC ．(,1)2πD ．3(,0)4π11.已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+0220101y x y x y x 表示的平面区域为D ，若对任意的D y x ∈),(，不等式02≥--t y x 恒成立，则实数t 的最大值为（ ）A.1 B ．1- C ．5- D ．4-12.设定义在(0,)+∞的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()3f x f x x'->，则关于x 的不等式31(3)(3)03x f x f ⎛⎫---< ⎪⎝⎭的解集为（ ）A.)6,3(B.)3,0(C.)6,0(D.),6(+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分.13.若直线)0(03:1>=++m m y x l 与直线0362:2=-+y x l 的距离为10，则=m .14.在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线ln y x =上，且该曲线在点A 处的切线经过点(,1)e --（e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 .15.在直三棱柱111C B A ABC -内有一个与其各面都相切的球1O ，同时在三棱柱111C B A ABC -外有一个外接球2O ,若BC AB ⊥,4,3==BC AB ,则球2O 的体积为 . 16.已知函数()⎪⎭⎫⎝⎛≤≤=2211x x x f ，记()m k d ,为函数()x f y =图像上的点到直线m kx y +=的距离的最大值，那么()m k d ,的最小值为 .三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.第17～21题为必考题，第22、23题为选考题. （一）必考题：共60分17.（本小题12分）已知直线l ：120kx y k -++= (k R ∈). （Ⅰ）证明：直线l 过定点；（Ⅱ）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，AOB ∆的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．18.（本小题12分）ABC ∆的内角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，且.cos 3cos )32(C a A c b =-（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若角6π=B ,点M 为BC 边上靠近点C 的一个四等分点，且21=AM ，求ABC ∆的面积S .19.（本小题12分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，⊥AB 侧面11B BCC ,1AB AC = （Ⅰ）求证：平面⊥1ABC 平面C AB 1；（Ⅱ）若2==BC AB ,︒=∠601BCC ，求二面角11B AC B --的余弦值． 20.（本小题12分）已知数列{n a }满足...3,2,1,53,111=+=+=+n n a a a n n . （Ⅰ）证明：当2≥n 时，311=--+n n a a ；（Ⅱ）求和: 12221254433221...+--++-+-n n n n a a a a a a a a a a a a .21.（本小题12分）已知函数)0()2(ln )(2>-+=x xe x x a xf x.（Ⅰ）若函数)(x f 在区间)2,0(内有两个极值点)(,2121x x x x <，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）在（Ⅰ）的基础上，求证：a x x ln 221<+.(二)选考题：共10分。

高三文科数学第一次月考试题一．选择题（共12小题）1．设集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∪B=（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{2，3，4}D．{1，3，4}2．设函数y=的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（）A．（1，2）B．（1，2]C．（﹣2，1）D．[﹣2，1）3．设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（）A．￢p：∀x∈A，2x∉B B．￢p：∀x∉A，2x∉BC．￢p：∃x∉A，2x∈B D．￢p：∃x∈A，2x∉B5．函数y=sin2x﹣sinx﹣1的值域为（）A．[﹣1，1]B．[，﹣1]C．[，1]D．[1，]6．已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（）A．f（x）在（0，2）单调递增B．f（x）在（0，2）单调递减C．y=f（x）的图象关于直线x=1对称D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称7．函数，若f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=﹣2，则关于x的方程f（x）=x的解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．如果函数f（x）=x2+bx+c对任意实数t都有f（2+t）=f（2﹣t），那么（）A．f（2）＜f（1）＜f（4）B．f（1）＜f（2）＜f（4）C．f（2）＜f（4）＜f（1）D．f（4）＜f（2）＜f（1）9．函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）10．若幂函数y=f（x）的图象过点（5，），则为（）A．B．C．D．﹣111．已知e为自然对数的底，a=（）﹣0.3，b=（）0.4，c=log e，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c12．如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）A．y=x+f（x）B．y=xf（x）C．y=x2+f（x）D．y=x2f（x）二．填空题（共4小题）13．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2，则f（2）=．14．已知函数f（x）=是R上的增函数，则实数a的取值范围是．15．函数y=a x﹣2+1（a＞0，a≠1）不论a为何值时，其图象恒过的定点为．16．f（x）=在定义域上为奇函数，则实数k=．三．解答题（共6小题）17．已知集合A={x|1≤x≤2}，B={x|m≤x≤m+3}．（1）当m=2时，求A∪B；（2）若A⊆B，求实数m的取值范围．18．已知全集U=R，集合A={x|（x﹣2）（x﹣3）＜0}，函数y=lg的定义域为集合B．（1）若a=，求集合A∩（∁U B）（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．19．已知奇函数f（x）=2x+a•2﹣x，x∈（﹣1，1）（1）求实数a的值；（2）判断f（x）在（﹣1，1）上的单调性并进行证明；（3）若函数f（x）满足f（1﹣m）+f（1﹣2m）＜0，求实数m的取值范围．20．已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1（1）求f（9），f（27）的值（2）解不等式f（x）+f（x﹣8）＜2．21．已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的最大值和最小值．（2）函数y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数，求实数a的范围．22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（α为参数），点P的坐标为．（1）试判断曲线C的形状为何种圆锥曲线；（2）已知直线l过点P且与曲线C交于A，B两点，若直线l的倾斜角为45°，求|PA|•|PB|的值．第一次月考参考答案与试题解析1--5,A．D．B. D．C．6--10,C．C．A．D．C．11--12,B．B．二．填空题（共4小题）13．12．14．（﹣∞，] ．15．（2，2）．16．k=±1．三．解答题（共6小题）17．解：（1）当m=2时，B={x|2≤x≤5}；∴A∪B={x|1≤x≤2}∪{x|2≤x≤5}={x|1≤x≤5}；（2）∵A⊆B；∴；解得﹣1≤m≤1；∴实数m的取值范围为[﹣1，1]．18．解：（1）因为集合A={x|2＜x＜3}，因为a=函数y=lg，由＞0，可得集合B={x|＜x＜}C U B={x|x或x}故A∩（C U B）={x|≤x＜3}．（2）因为q是p的必要条件等价于p是q的充分条件，即A⊆B由A={x|2＜x＜3}，而集合B应满足＞0，因为a2+2﹣a=（a﹣）2+＞0故B={x|a＜x＜a2+2}，依题意就有：，即a≤﹣1或1≤a≤2所以实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，2]．19．解：（1）∵函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，1+a=0，∴a=﹣1．（2）证明：由（1）可知，f（x）=．任取﹣1＜x1＜x2＜1，则所以，f（x）在（﹣1，1）上单调递增．（3）∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．由已知f（x）在（﹣1，1）上是奇函数，∴f（1﹣m）+f（1﹣2m）＜0可化为f（1﹣m）＜﹣f（1﹣2m）=f（2m﹣1），又由（2）知f（x）在（﹣1，1）上单调递增，∴．20．解：（1）f（9）=f（3）+f（3）=2，f（27）=f（9）+f（3）=3（2）∵f（x）+f（x﹣8）=f[x（x﹣8）]＜f（9）而函数f（x）是定义在（0，+∞）上为增函数，∴即原不等式的解集为（8，9）21．解：（1）a=﹣1，f（x）=（x﹣1）2+1；∴f（1）=1是f（x）的最小值，f（﹣5）=37是f（x）的最大值；（2）f（x）的对称轴为x=﹣a；∵f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数；∴﹣a≤﹣5，或﹣a≥5；∴a≥5，或a≤﹣5；∴实数a的范围为（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）．22．解：（1）由消去α，得，则曲线C为椭圆．（2）由直线l的倾斜角为45°，可设直线l的方程为（其中t为参数），代入，得13t2+6t﹣7=0，所以，从而．。

甘肃省会宁县第一中学2021届高三数学上学期第四次月考试题文注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清晰，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清晰3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z=a 的实部与虚部相等，其中a 是实数，则a=（ ）A ．1B ．0C ．﹣1D ．22．已知集合A={x|x 2﹣x ﹣2＞0，x ∈R}，B={x|lg （x+1）＜1，x ∈Z}，则（∁R A ）∩B=（ ） A ．（0，2）B ．[0，2]C ．{0，2}D ．{0，1，2}3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3=1，S 6=3，则S 12=（ ） A ．15B ．10C ．8D ．64.设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0x －2y －1≤0x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为( ).A ．15B ．－10C ．－5D ．65．已知定义在R 上的奇函数f （x ），当x ≥0时，恒有f （x+2）=f （x ），且当x ∈[0，1]时，f （x ）=e x﹣1，则f （﹣2021）+f （2020）=（ ） A ．0 B ．eC ．e ﹣1D ．1﹣e6．某三棱锥的三视图如图所示，其中三个三角形差不多上直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．2πB．C．6πD．7．已知偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是增函数．若a=f（log2），b=f（log3），c=f（2﹣），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b8．设x，y∈R，向量=（2，x），=（y，﹣2），=（2，﹣4）且，则x+y等于（）A．0 B．1 C．2 D．89．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则当x∈[]时，f（x）的值域是（）A．[] B．[] C．[﹣] D．[﹣]10．函数y=f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式能够是（）A．y=+x2 B．y=C．y=D．f（x）=x3+ln|x|11.已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．函数y=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上. 13．△ABC的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为14．已知函数f(x)＝(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上单调递减，则a的取值范畴是15．△ABC的边AB的上一点M满足：，则的最小值为16.有6名选手参加演讲竞赛，观众甲推测：4号或5号选手得第一名；观众乙推测：3号选手不可能得第一名；观众丙推测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁推测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．竞赛后发觉没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对竞赛结果，此人是三、解答题：共70分。

会宁县第一中学2018届高三上学期期中考试数学（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2<x <4}，则A ∩B ＝( ) A ．(1，3) B ．(1，4) C ．(2，3) D ．(2，4)2.函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是( ) A ．b ≥0 B ．b >0 C ．b <0 D ．b ≤0 3．若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．3－2i B ．3＋2i C ．2＋3i D ．2－3i4. 下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x5．已知向量a ＝(1，－cos θ)，b ＝(1，2cos θ)且a ⊥b ，则cos 2θ等于( ) A ．－1 B ．0 C.12 D.226．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( )A ．－32a 2B ．－34a 2 C.34a 2 D.32a 27．下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( )A ．f (x )＝12x B ．f (x )＝3x C ．f (x )＝1()2x D ．f (x )＝3x8．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x 的零点所在的大致区间是( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，e) D ．(3，4)9．函数f (x )＝sin xx 2＋1的图象大致为( )10.设a，b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件11．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是() A．(－∞，－2] B．(－∞，－1] C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)12．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tanβ的值为________．14．钝角三角形ABC的面积是12，AB＝1，BC＝2，则AC＝________．15．⎠⎛2(x－1)d x＝________．16．已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝13，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝________.会宁一中2017-2018学年度第一学期高三级中期考试数学试卷答题卡一、选择题：二、填空题：13、 14、 15、 16、 三、解答题：17．（本题10分）已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)若a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值．18．（本题12分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量a ＝(1，2sin θ)， b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，1，θ∈R .(1)若a ⊥b ，求tan θ的值；(2)若a ∥b ，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求θ的值．19．（本题12分）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .(1)求a 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值．20．（本题12分）已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )·1－2x (b ∈R )． (1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围．21．（本题12分）已知函数f (x )＝ln 1＋x1－x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求证：当x ∈(0，1)时，f (x )＞2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 3322．（本题12分）某公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a(3≤a≤5)元的管理费，预计每件产品的售价为x(9≤x≤11)元时，一年的销售量为(12－x)2万件．(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品售价为多少元时，分公司一年的利润L最大并求出L的最大值Q(a)．；会宁一中2017-2018学年度第一学期高三级中期考试理科数学答案一、选择题：CADAB DDBAB DA二、真空题：13、3 14、5 15、0 16、223三、解答题：17、解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝22(sin x ＋cos x )－2sin x ＝22cos x －22sin x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ， 因为x ∈[0，π]，从而π4－x ∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π4，故f (x )在[0，π]上的最大值为22，最小值为－1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫π2＝0f （π）＝1得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ（1－2a sin θ）＝02a sin 2θ－sin θ－a ＝1， 又θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2知cos θ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1θ＝－π6. 18．解 (1)因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，所以2sin θ＋sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝0，即52sin θ＋32cos θ＝0.因为cos θ≠0，所以tan θ＝－35. (2)由a ∥b ，得2sin θsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1，即2sin 2θcos π3＋2sin θcos θsin π3＝1，即12(1－cos 2θ)＋32sin 2θ＝1，整理得，sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＝12， 又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以2θ－π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，5π6，所以2θ－π6＝π6，即θ＝π6.19．解 (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac .因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.由于0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223. 故sin(A ＋π4)＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋⎝⎛⎭⎫－13×22＝4－26.20．解 (1)当b ＝4时，f ′(x )＝－5x （x ＋2）1－2x，由f ′(x )＝0得x ＝－2或x ＝0.当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－2，0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故f (x )在x ＝－2处取极小值f (－2)＝0，在x ＝0处取极大值f (0)＝4.(2)f ′(x )＝－x [5x ＋（3b －2）]1－2x ，因为当x ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，－x 1－2x<0，依题意，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，有5x ＋(3b －2)≤0，从而53＋(3b －2)≤0.所以b 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，19. 21． (1)解 因为f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，所以f ′(x )＝11＋x ＋11－x ，f ′(0)＝2.又因为f (0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x . (2)证明 令g (x )＝f (x )－2⎝⎛⎭⎫x ＋x 33，则g ′(x )＝f ′(x )－2(1＋x 2)＝2x 41－x 2. 因为g ′(x )>0(0<x <1)，所以g (x )在区间(0，1)上单调递增． 所以g (x )>g (0)＝0，x ∈(0，1)，即当x ∈(0，1)时，f (x )>2⎝⎛⎭⎫x ＋x33. 22．解(1)L (x )＝(x －3－a )(12－x )2(9≤x ≤11) (2)L (x )＝(x －3－a )(x －12)2L ′(x )＝(x －12)2＋2(x －3－a )(x －12)＝(x －12)[x －12＋2x －6－2a ] ＝(x －12)(3x －18－2a )令L ′(x )＝0，又9≤x ≤11，∴x ＝18＋2a 3＝6＋23a ，而3≤a ≤5.当3≤a ≤92时，6＋23a ≤9.L ′(x )<0，∴L (x )在[9，11]上是减函数，∴L (x )max ＝L (9)＝54－9a ， 当92<a ≤5时，9<6＋23a <11， x ∈⎣⎡⎦⎤9，6＋23a 时，L ′(x )≥0，L (x )在⎣⎡⎦⎤9，6＋23a 上是增函数． x ∈⎣⎡⎦⎤6＋23a ，11时，L ′(x )≤0，L (x )在⎣⎡⎦⎤6＋23a ，11上是减函数．∴L (x )max ＝L ⎝⎛⎭⎫6＋23a ＝4⎝⎛⎭⎫3－a33， 综上：Q (a )＝L (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧54－9a ，3<a ≤92，4⎝⎛⎭⎫3－a33，92<a ≤5.。