2018届中考数学复习《再谈勾股定理的应用》专题训练题(含答案)
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再谈勾股定理的应用
在数学解题中，当题中出现直角三角形(或可构造出直角三角形)时，往往可以运用勾股定理求解.
本文从近年各地数学竞赛题中选取一些典型试题，介绍勾股定理在求解竞赛题中的应用.
题1 (2010年全国联赛试题)在等腰直角ABC ∆中，5AB BC ==，P 是ABC ∆内一
点，且PA =5PC =，则PB =
.
解析 如图1，过P 作PE AB ⊥，PF BC ⊥.设PE x =，PF y =，在直角PEA ∆和直角PFC ∆中，由勾股定理，可得
2222(5)5(5)25x y x y ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩① ②
由②-①，得10()20y x -=,
∴2x y =-，
代入(1)得27120y y -+=，
解得13y =，24y =.
当3y =时，21x y =-=，
在直角PEB ∆中，由勾股定理，可得
PB ==.
当4y =时，22x y =-=，
此时PE AE >，
∴点P 在ABC ∆之外了，不合题意，舍去.
∴PB =
点评 本解法先根据题意画出图形，再作辅助线构造出新的直角三角形，然后运用勾股定理得解.
题2 (2008年浙江初赛试题)如图2，⊙O 与Rt ABC ∆的斜边AB 切于点D ，与直角
边AC 交于点E ，且//DE BC ，已知AE =AC =6BC =，则⊙O 的半径是( )
(A ) 3 (B ) 4 (C ) (D )
解析 连OD ，过O 作OF ED ⊥，在Rt ABC ∆中，由勾股定理，得
AB ==∵//DE BC ， ∴ED AE BC AC
=，
∴4DE ==. 又∵OF ED ⊥， ∴122
DF DE =
=. ∵ODF ABC ∆∆:， ∴OD DF AB AC =，
∴
OD ==
∴选D .
点评 本解法首先运用勾股定理，求得AB 的长，然后再运用平行线分线段成此例定理与相似三角形性质，可得半径OD 的长.
题3 (2006年江苏初三竞赛试题)如图3，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相互垂直.若3AB =，4BC =，5CD =，则AD 的长为( )
(A) (B) 4 (C) (D)
解析 如图3，设,,,OA a OB b OC c OD d ====.
由勾股定理，可得
222222222222345
a b b c c d d a AD ⎧+=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩
①②③ ④ 由①-②，得227a c -=-，⑤
由③、⑤，得2222257
c d a c ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩， 两式相加，得22
18a d +=，
∴218AD =，
∴AD == ∴选A .
点评本解法通过设辅助未知数a 、b 、c 、d ，由勾股定理建立关于a 、b 、c 、d 的方程组，求得22a d +的值，从而得到AD 的长. 题4 (2005年五羊杯初三竞赛试题)如图4，在ABC ∆中，
135BAC ∠=︒，AD BC ⊥，4BD =，6DC =，则ABC ∆的面积等于 .
解析 延长CA ，过点B 作BE CE ⊥.
∵135BAC ∠=︒，
∴45BAE ∠=︒.
设BE x =，则AE BE x ==，
由勾股定理，得
22222AB AE BE x =+=，
2222216AD AB BD x =-=-，
∴AD =;
同理可得
AC =由Rt ADC Rt BEC ∆∆:， 得AD BE AC BC
=，
10x =， 化简得42908000x x -+=，
∴22
(80)(10)0x x --=，
解得12x x ==.
当x =10AB ==>，
即AB BC >，
∴不合题意，舍去;
当x =
10A B x ==<，符合题意，
此时2AD =. ∴111021022
ABC S BC AD ∆==⨯⨯=g . 点评 由135BAC ∠=︒，容易想到延长CA (延长BA 也可)，得45BAE ∠=︒，再构造Rt BEA ∆，运用勾股定理、相似三角形性质求得AD 的长.这一求解方法易于理解，而且计算也并不复杂.
题5 (2003年全国联合竞赛试题)已知直角ABC ∆的周长为4，面积为7，试求它的三边之长.
解析 设ABC ∆的三边之长分别为a 、b 、c ，其中c 为斜边.由题意，得
222+17214a b c ab a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪++=⎩ ① ②③
由③得14a b c +=-，④
把④两边平方，得
222219628a ab b c c ++=-+.⑤
由⑤-②，得9814ab c =-，⑥
把②代入⑥，得
149814c =-，
∴6c =，
∴8,14a b ab +==，
∴以a 、b 为根的一元二次方程为28140x x -+=，
解得1244x x ==
∴这个直角三角形之三边长分别为4.
点评 本题表述简洁，通过设三边长分别为a 、b 、c ，由勾股定理、面积关系、周长关系建立起关于a 、b 、c 的方程组，并对等式变换，可计算出三边之长.
题6 (2004年江苏竞赛试题)如图5，在ABC ∆中，,,BC a AC b AB c ===.若AC 、BC 上的中线BE 、AD 垂直相交于O ，则c 可用a 、b 的代数式表示为 .
解析 ∵BE 、AD 是ABC ∆的中线，
∴O 为ABC ∆的重心.
由重心定理，得2,2OA OD OB OE ==.
设,OD x OE y ==，
则2,2OA x OB y ==.
在Rt AOB ∆、Rt AOE ∆、Rt BOD ∆中，由勾股定理，得
222222222
14()24414()2x y b x y c
x y a ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩
①②③ 由①+③，得2222115+5=
+44x y a b ， ∴22221+=
+20x y a b （）， ∵22244x y c +=， ∴2221=4+20c a b ⨯（）
22
1
=+5a b （），
∴c = 点评 本解法运用三角形重心定理与直角三角形勾股定理，建立相应的方程组，从而巧妙地把几何问题转化为代数问题了.
题7 (2006年山东竞赛试题)如图6，在Rt ABC ∆
中，90C ∠=︒，2,BC AC AD =是BAC ∠的平分线.求证:25AB BD AC +=.
证明 设AC x =，则2BC x =，
由勾股定理，得22225AB BC AC x =+=，
∴AB =.
∵AD 平分BAC ∠， 由三角形内角平分线定理，得AB BD AC DC
=，
2BD x BD
=-，
解得BD ==.
∴255AB BD x x +=+=，
∴25AB BD AC +=.
点评 本解法由题意设辅助未知数x ，由勾股定理、三角形内角平分线性质定理把边长AB 、BD 数量化(即用含x 的代数式表示)，这样可简捷证出结果.
题8 (2006年上海币新知杯试题)如图7，四边形A B C D 为直角梯形
(90B C ∠=∠=︒)，且AB BC =.若在边BC 上存在一点M ，使得AMD ∆为等边三角形，则CD AB
的值为 .
解析 设,,AB BC a AM MD AD x CD y ======. 由勾股定理，得
CM ==，
BM =
∴BC CM BM a =+==. ① 过点D 作DH AB ⊥，在Rt AHD ∆中，
∵,,AD x DH BC a AH a y ====-，
∴由勾股定理，得
222()a a y x +-=.②
由②得222()x a a y -=-，
∴22222x y a ay -=-.
∵0x y >>，
∴2220,0a ay a y ->>>.
代入①得a y a -+=，
y =，
∴22
220y ay a +-=.
解这个方程并取得正根，得
1)y a =，
∴1CD y AB a ===. 点评本解法运用设辅助未知数的方法，由勾股定理得到关于a 、x 、y 的两个方程，经变形、代换，求出
CD AB 之值.。
