2010声学基础答案

2010声学基础一．名词解释阻尼振动：振动系统除了受到弹性力之外，还受阻尼力的作用，这样的振动叫阻尼振动。

力顺：弹性系数的倒数为力顺，即虎克定律xC F m 1-=中m C ，单位m/N 。

弹性抗：m C ω1，ω为圆频率，m C 是力顺，单位m s N /⋅。

亥姆赫兹共鸣器：一种由截面S ，短管长l ，空腔0V 组成的基本的声学系统，如图由以下假设：①共鸣器的线度远小于波长，l ,S ,λ<<30V②短管体积远小于空腔的容积，即0V Sl <<③腔壁是刚性的，腔中媒质的疏密过程不会传递到外界 特性阻抗：00c ρ表示介质声特性的物质量。

其中，0ρ为介质的密度，0c 为介质中声速，单位m s Pa /⋅。

杨氏模量：x ESF ∂∂-=ξ中E 称为杨氏模量，表示在一定面积上单位形变引起面应力的变化量，单位2/m N 。

声强：在垂直声传播方向单位面积上，单位时间内的平均声能量，单位2/m W 。

声压级：在声学中用对数标度来度量声压的量。

定义)(log 2010dB p p SPL refe=，其中ep 为有效声压，Pap ref 5102-⨯=为空气中的参考声压。

声吸收：声在传播过程中声能转化为其它形式能量的过程叫声吸收。

全反射：反射系数的绝对值为1，即入射声强等于反射声强，这种现象叫全反射。

二．力学品质因素mmm R M Q 0ω=，0ω是系统的固有频率，m M 是振子的质量，m R 是力阻。

⑴m Q 对位移的频率特性曲线的影响222220)1(mm ma a Q z z M Q F -+=ωξ，a F 是外力的振幅，00ωω==f f z ，0f 是系统的固有频率。

复振幅])1[(2m m F Q z jz R F--=ξ，位移振幅为2222)1(mmaa Q z z K F +-=ξ，相位为)1(arctan2z Q zm -=ξθ图像：见声学基础P21，图1—4—2规一化的位移频率特性曲线m Q 越大，a ξ共振峰越高，共振峰在10=ωω附近靠左；m Q 越接近1，在00=ωω附近a ξ曲线越平稳。

2211mr Q z -=，即为曲线出现峰值的位置。

⑵m Q 对速度的频率特性曲线的影响)1(10z z jQ Q K F j v mmm F F --⋅=⋅-=ωξω，速度振幅为220)1(1z z Q Q K F v m mmaa -+=ω， 相位为)1(arctan z z Q m v -=θ图像：见声学基础P24，图1—4—3规一化的速度共振曲线m Q 不影响速度共振频率（0ωω）； m Q 越大，共振峰越高越尖锐；m Q 越小，在10=ωω附近越平坦。

1=r z ，为发生速度共振的位置。

⑶对加速度mm F Q zj z z M F a ---=)1(22，加速度振幅为22222)1(z Q z Q z M F a m mmaa +-=，相位为πθ--=)1(arctan2z Q zm a图像：见声学基础P25，图1—4—4规一化的加速度共振曲线①共振频率为02122ωω-=m mQ Q ，当21>m Q 时有共振峰，否则无。

共振峰值为m m aQ M F 。

m Q 越小，加速度振幅曲线越平坦。

②m Q 越大，a θ在1=z 附近越陡，越快趋于π-。

三．有刚性棒长为l ，质量为m ，两端固定于弹性系数为k 的弹簧上。

一端受力为F=F 0·sin ωt ，求棒的受迫振动。

图解：从棒所在直线为y 轴，左端为o 处，如图建立直角坐标系。

设y=0处质点位移为x1，y=l 处质点位移为x2。

在某处质点位移为x(y)=(x2-x1)*y/l +x1.棒的动能Ev=2.01**()2lm dy x y l ⎰=22 (1)(1212)6m x x x x ++势能为Ep=1/2*k*(x1^2+x2^2).由()d L L Wd Xi Xi Xi∂∂∂-+∂∂∂得1/6*m(....212X X +)+k*x1=0; 1/6*m(....221X X +)+k*x2= -F 设 11*jwtX X e-=; 22*jwtX X e-=; 0*jwtF F e=（-w^2*m/3+k ）*x1- w^2*m/6*x2=0; w^2*m/6*x1+（-w^2*m/3+k ）*x2=FX1=2*F0*w^2*m/(w^4*m^2-8k*w^2*m+12*k^2);X2=4*F0*(3k-w^2*m)/(w^4*m^2-8k*w^2*m+12*k^2).四．弦长为l ,线密度为ξ，张力为T,在其1/3处有一弹性系数为k 的弹簧，求：（1）共振频率方程 （2）哪些模式与k 无关，并说明理由。

解：以弦的左端点为原点，弦所在直线为x 轴，竖直向上为y 轴，建立直角坐标系，由弦在两端固定。

klkkF=F 0·sin ωt(1)设0~l /3处位移方程：y1(x, l )=Asinuhcos(wt-ϕ) 设l /3~l 处位移方程：y2(x, l )= Bsinu(h-l)cos(wt-ϕ)在l /3处有：y1=y2 (x=l /3) T(12y y x x∂∂-∂∂)=k*y1 (x=l/3) 得到 Asin l *u /3=-Bsin2l *u /3;T*u(Acos l *u /3-Bcos2l /3*u)=k* Asin l /3*u 存在非零解u(cot l /3*u+ cot2*l *u /3)=k/t(2)当sin l *u /3=0或sin2*l *u /3=0时，且sinu l =0时 即u l =3n*pi 或者u l =3*pi /2n 且ul=n*pi 时 即f=3n*c/2l 与k 无关因为此时在x=l /3处，位移振幅为0；五、自由空间波动方程是什么？推导声波动方程的基本假设是什么？说明其推导过程。

解：声波动方程：tpc 22221∂∂=∇，其中，c 是声速基本假设：（1）媒质是理想流体，媒质不存在粘滞性，即声波在传播过程中没有能量损耗；（2）无声扰动时，媒质是静止的；媒质是均匀的，即静态压强0P 和静态密度0ρ都为常数；（3）声波在媒质传播时，媒质稀疏、稠密过程是绝热过程；（4）声学量是一级微量，即声压0P p <<，质点速度c v <<，质点位移λξ<<密度改变量0'ρρ<<。

推导过程：取一体积元dxdydz （1） 在x 方向由牛顿第二定律：()dt dvdxdydz dydz p p x x dx x ρ=--+xp dt dv dxdydz dt dv dxdydz x p x x ∂∂-=⇒=∂∂-ρρ一阶近似x pt v x ∂∂-=∂∂0ρ同理：在y 方向上yptv y ∂∂-=∂∂0ρ在z 方向上zpt v z ∂∂-=∂∂0ρ ∴ p tv-∇=∂∂ρ （1） （2） 连续性方程：在x 方向上()dtd dxdydzdydzv v x x x ρρ-=-∆+ ()dt d x v x x ρρ-=∂∂⇒，近似dtd x v x x '0ρρ-=∂∂dtd v '0ρρ=∙∇- （2）（3）'202ρρc p d dp c =⇒⎪⎪⎭⎫⎝⎛= （3）（3）求导代入（2）得：tpc v ∂∂=∙∇-2001ρ两边对t 求导得：222001tpc t v ∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∙∇- ρ代入（1）得：22221tpc p ∂∂=∇六、反相同频率的两列波叠加，()t i ikx P p ω-=exp 11，()t i ikx P p ω--=exp 22，求总声场的能量密度（ε），平均能量密度ε，平均能流密度I 。

解：由叠加原理得：21p p p += 212211,ωϕωϕj j e p p e p p ==()2122212212221202020020012,21,p p p p p p p p p c v c p c p v ++=-+=-=ρρρ2022200212002202121c p c p c p v ρρρρε+=+=()()[]222122120cos cos 1ϕωϕωρ+--++-t kx P t kx P c []2221200211P P c dt T T +==⎰ρεε()()()2211cos cosRe ϕωϕω-+++-=t kx P t kx P p ()()()[]221100cos cos 1Re ϕωϕωρ-+-+-=t kx P t kx P c v ()()[]222100021Re Re 1P P c dt v p T I T -==⎰ρ。