最短路径及作图
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2014年秋季同步课
初二年级
学生姓名：
上课时间：
最短路径及作图问题
内容
基本要求
略高要求
较高要求
最短路径
了解图形的轴对称，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分性质；了解物体的镜面对称 能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；
掌握简单图形之间的轴对称关
系，并能指出对称轴；掌握基本
图形（等腰三角形、矩形、菱形、
等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及相关性质。
能运用轴对称进
行图案设计
知识点讲解
1. 将军饮马
如图所示，从A 出发向河岸引垂线，垂足为D ，在AD 的延长线上，取A 关于河岸的对称点A'，连结A'B ，与河岸线相交于C ，则C 点就是饮马的地方，将军只要从A 出发，沿直线走到C ，饮马之后，再由C 沿直线走到B ，所走的路程就是最短的．如果将军在河边的另外任一点C'饮马，所走的路程就是AC'+C'B ，但是，AC'+C'B=A'C'+C'B>A'B=A'C+CB=AC+CB ．可见，在C 点外任何一点C'饮马，所走的路程都要远一些． 这有几点需要说明的：
（1）由作法可知，河流l 相当于线段AA'的中垂线，所以AD=A'D 。
（2）由上一条知：将军走的路程就是AC+BC ，就等于A'C+BC ，而两点确定一线，所以C 点为最优。
2. 勾股定理
如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么222a b c +=．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
注：勾——最短的边；股——较长的直角边；弦——斜边。
C
A
B c
b
a
中考考纲
知识体系
河流L
营地山峰C
D
A
B
C'
常见模型： （1）PA PB +最小
同侧
图1
B
l
A
B
图2
异侧
（2）①PA PB -最小
图4
同侧
异侧
图5
A
A
图6
异侧
②PA PB
-最大
A
l
同侧
异侧
l
【变形】异侧时，也可以问：在直线l 上是否存在一点P 使的直线l 为APB ∠的角平分线
（3）周长最短
类型一 类型二 类型三
B
A'
A'
（4）“过河”最短距离
类型一 类型二
l
N
M
（5）线段和最小
l2
l2
（6）在直角坐标系里的运用
∠APE=∠BPE
EF=1
1. “两点一线”问题
【例1】 如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B 两仓库的距离
和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？
a
B
A
【变式】如图，M 、N 为ABC ∆的边AC 、BC 上的两个定点，在AB 上求一点P ，使PMN ∆的周长最短．
A B
M
N
【拓展】如图，正方形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且2DM =，
N 是AC 上的一动点．
求：（1）DN MN +的最小值与最大值． （2）DN MN -的最小值与最大值．
【习题1】如图，在等腰Rt ABC ∆中，3CA CB ==，E 的BC 上一点，满足2BE =，在斜边AB 上求作一点P
使得PC PE +长度之和最小．
例题精讲
D C
N
M
B A
E P
B
C A
2. “两点两线”问题
【例2】 如图，A B ，两村相隔一条河，为使两村之间行程最短，应在河的什么位置架一座桥？（河岸可看成平
行线，桥是垂直于河岸的）
l 2
l 1B
【变式】如图，在a 上找到M 、N 两点，且MN=10，M 在N 的左边，使四边形ABMN 的周长最短。
B
A
a
【拓展】在平面直角坐标系中，点()()2332P Q ，
、，，请在x 轴和y 轴上分别找到M 点和N 点， （1）请在x 轴和y 轴上分别找到M 点和N 点使四边形PQMN 周长最小，作出M 点和N 点． （2）请在x 轴上找到一点E ，使得PE PQ -最大，作出E 点．
3、一点两线问题
【例3】如图，45AOB ∠=︒，角内有点P ，OP=1，在角的两边有两点Q 、R (均不同于O 点)，求作Q 、R ，使得PQR ∆的周长的最小并求出最小值．
【变式】已知：如图，C 、D 分别是AOB ∠内两点，OC OD =，
（1）分别在角两边各取两点E F 、，使得CEF △周长1l （2）分别在角两边各取两点M N 、，使得DMN △周长2l 最小 （3）12l l 、是否相等，若相等，请证明；若不相等，请说明原因．
A B
C D
O。
