特殊平行四边形知识点与练习(含答案)

特殊平行四边形习题（含答案）特殊平行四边形习题一、选择题1.如图,在菱形ABCD中,AB=5,∠BCD=120°,则△ABC的周长等于( )A.20B.15C.10D.5答案 B ∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,AB∥CD,∴∠B+∠BCD=180°,∴∠B=180°-∠BCD=180°-120°=60°,∴△ABC是等边三角形,故△ABC的周长=3AB=15.2.如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是( )A.AB=CDB.AD=BCC.AC=BDD.AB=BC答案 C 可添加AC=BD,∵四边形ABCD的对角线互相平分,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形,故选C.3.已知:如图,菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE∥DC交BC于点E,AD=6cm,则OE 的长为( )A.6cmB.4cmC.3cmD.2cm答案 C 因为菱形的四条边相等且对角线互相垂直平分,所以可以由OE∥DC证得点E是BC 的中点,此时利用三角形的中位线或直角三角形斜边上中线的性质都可以求得OE的长为3 cm.4.如图,在菱形ABCD中,AB=8,点E、F分别在AB、AD上,且AE=AF,过点E作EG∥AD交CD于点G,过点F作FH∥AB交BC于点H,EG与FH交于点O.当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时,AE的值为( )A.6.5B.6C.5.5D.5答案 C 设AE=x,则EB=8-x,∵四边形ABCD是菱形,AE=AF,EG∥AD,FH∥AB,∴四边形AEOF和四边形OHCG都是菱形.∵四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12,∴4x-4(8-x)=12,解得x=5.5.故选C.5.如图,将一个长为10cm,宽为8cm的矩形纸片先按照从左向右对折,再按照从下向上的方向对折两次后,沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下(如图1-4-5①),再打开,得到如图1-4-5②所示的小菱形的面积为( )A.10cm2B.20cm2C.40cm2D.80cm2答案 A 由题意可得AC=5cm, BD=4cm,故小菱形的面积为×4×5=10(cm2).故选A.6.如图,正方形ABCD中,E、F是对角线AC上两点,连接BE、BF、DE、DF,则添加下列条件:①∠ABE=∠CBF;②AE=CF;③AB=AF;④BE=BF.可以判定四边形BEDF是菱形的条件有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案 C 连接BD,交AC于点O,在正方形ABCD中,AB=BC,∠BAC=∠ACB,AC⊥BD,OB=OD,①在△ABE与△CBF中,∴△ABE≌△CBF(ASA),∴AE=CF,∵OA=OC,∴OE=OF,又∵AC⊥BD,∴四边形BEDF是菱形,故①正确.②正方形ABCD 中,OA=OB=OC=OD,∵AE=CF,∴OE=OF,又EF⊥BD,BO=OD,∴四边形BEDF是菱形,故②正确.③由AB=AF不能推出四边形BEDF其他边的关系,故不能判定它是菱形,故③错误.④在正方形ABCD 中,OA=OC=OB=OD,AC⊥BD,∵BE=BF,EF⊥BD,∴OE=OF,∴四边形BEDF是菱形,故④正确.故选C.7.如图所示,在菱形ABCD中,BE⊥AD,BF⊥CD,E、F为垂足,AE=ED,则∠EBF等于( )A.75°B.60°C.50°D.45°答案 B 连接BD.因为BE⊥AD,AE=ED,所以AB=BD.又因为AB=AD,所以△ABD是等边三角形,所以∠A=60°,所以∠ADC=120°.在四边形BEDF 中,∠EBF=360°-∠BED-∠BFD-∠ADC=360°-90°-90°-120°=60°,故选B.8.如图所示,矩形纸片ABCD中,AB=6cm, BC=8cm,现将其沿EF对折,使得点C与点A重合,则AF长为( )A .cm B.cm C.cm D.8cm答案 B 设AF=x cm,则D'F=DF=(8-x)cm,在Rt△AFD'中,(8-x)2+62=x2,解得x=.9.如图所示,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个钝角为120°的菱形,剪口与第二次折痕所成角的度数应为( )A.15°或30°B.30°或45°C.45°或60°D.30°或60°答案 D 画出所剪的图形示意图如图.∵四边形ABCD是菱形,∴∠ABD=∠ABC,∠BAC=∠BAD,AD∥BC,∵∠BAD=120°,∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-120°=60°,∴∠ABD=30°,∠BAC=60°.∴剪口与第二次折痕所成的角的度数应为30°或60°.故选D.10.如图,E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点,且CE=DF,AE、BF相交于点O,下列结论:(1)AE=BF;(2)AE⊥BF;(3)AO=OE;(4)S△AOB=S四边形DEOF,其中正确的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个答案 B ∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD=DC,∠D=∠BAD=90°,∵CE=DF,∴DE=AF,∴△DEA≌△AFB,∴AE=BF,∠DEA=∠AFB,又∠DEA+∠DAE=90°,∴∠AFB+∠DAE=90°,∴∠AOF=90°,即AE⊥BF.由△DEA≌△AFB得S△DEA=S△AFB,∴S△DEA-S△AOF=S△AFB-S△AOF,∴S△AOB=S四边形DEOF,所以正确的是(1)(2)(4),共3个,故选B.二、填空题11.如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,不添加任何辅助线,请添加一个条件,使四边形ABCD是正方形(填一个即可).答案AC=BD(答案不唯一)12.如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,若AB=5,AD=12,则四边形ABOM 的周长为.答案20解析在Rt△ABC中,由勾股定理易得AC=13,由矩形的性质得AO=BO=AC=,而OM是△ACD 的中位线,所以OM=CD=,所以四边形ABOM的周长为AB+BO+OM+AM=5+++6=20.13.如图,已知矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,若AO=1,那么BD= .答案2解析∵在矩形ABCD中,AC与BD相交于点O,AO=1,∴AO=CO=BO=DO=1,∴BD=2.14.如图,在矩形ABCD中,AB=3,对角线AC,BD相交于点O,AE垂直平分OB于点E,则AD的长为.答案3解析∵AE垂直平分OB,AB=3,∴AB=AO=3,∵四边形ABCD是矩形,∴BO=AO=3,∴BD=2BO=6,∴AD===3.15.如图,两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动.要使四边形CBFE为菱形,还需添加的一个条件是(写出一个即可).答案CB=BF(或BE⊥CF或∠EBF=60°或BD=BF等,答案不唯一)解析由已知得CB∥EF,CB=EF,∴四边形CBFE是平行四边形.因此可以添加CB=BF;BE⊥CF;∠EBF=60°;BD=BF等,都能说明四边形CBFE是菱形.16.如图,正方形ABCO的顶点C,A分别在x轴,y轴上,BC是菱形BDCE的对角线,若∠D=60°,BC=2,则点D的坐标是.答案(2+,1)解析过点D作DF⊥x轴,垂足为F,在正方形ABCO中,∠BCO=90°,所以∠BCF=90°,在菱形BDCE中,BD=DC,又因为∠D=60°,所以△BCD是等边三角形,因为BC=2,所以CD=2,又∠BCD=60°,所以∠DCF=30°,在Rt△DCF中,因为∠DCF=30°,CD=2,所以DF=CD=1,由勾股定理得CF=,所以OF=OC+CF=2+,所以点D的坐标为(2+,1).17.如图，菱形ABCD的面积为120cm2,正方形AECF的面积为50cm2,则菱形的边长为cm.答案13解析连接BE,EF,FD,AC,∵菱形、正方形为轴对称图形,对角线所在直线是其对称轴,∴B,E,F,D在同一条直线上,∵S正方形AECF=AC·EF=AC2=50cm2,∴AC=10cm,∵S菱形ABCD=AC·BD=120cm2,∴BD=24cm.设AC,BD的交点为O,由菱形的性质可得AC⊥BD,AO=5cm,OB=12 cm,∴AB===13cm.18.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,点E、F分别在边AB、BC上,△BEF与△GEF关于直线EF对称,点B的对称点是点G,且点G在边AD上.若EG⊥AC,AB=6,则FG的长为.答案3解析设AC与EG相交于点O,∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=120°,∴∠EAC=∠DAC=60°,∠B=60°,AB=BC.∴△ABC是等边三角形.又∵AB=6,∴△ABC的面积为18.∴菱形ABCD的面积为36,∵EG⊥AC,∴∠AOE=∠AOG=90°.∴∠AGE=90°-60°=30°.∵△BEF与△GEF关于直线EF对称,点B的对称点是点G,∴∠EGF=∠B=60°,∴∠AGF=∠EGF+∠AGE=90°.∴FG⊥AD,∴FG===3.三、解答题19.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.(1)证明:四边形ACDE是平行四边形;(2)若AC=8,BD=6,求△ADE的周长.答案(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,AC⊥BD,∴AE∥CD,∠AOB=90°,又∵DE⊥BD,即∠EDB=90°,∴∠AOB=∠EDB.∴DE∥AC.∴四边形ACDE是平行四边形.(2)∵四边形ABCD是菱形,AC=8,BD=6,∴AO=4,DO=3,∴AD=CD==5.又∵四边形ACDE是平行四边形,∴AE=CD=5,DE=AC=8.∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18.20.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是中线,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交BE的延长线于F,连接CF.(1)求证:AD=AF;(2)如果AB=AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.答案(1)证明:∵AF∥BC,∴∠EAF=∠EDB,∵E是AD的中点,∴AE=DE,在△AEF和△DEB中,∴△AEF≌△DEB(ASA),∴AF=BD,∵在△ABC中,∠BAC=90°,AD是中线,∴AD=BD=DC=BC,∴AD=AF.(2)四边形ADCF是正方形.∵AF=BD=DC,AF∥BC,∴四边形ADCF是平行四边形,∵AB=AC,AD是中线,∴AD⊥BC,∵AD=AF,∴四边形ADCF是正方形.21.如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在边AB、BC上,∠ADE=∠CDF.(1)求证:AE=CF;(2)连接DB交EF于点O,延长OB至点G,使OG=OD,连接EG、FG,判断四边形DEGF是否为菱形,并说明理由.答案(1)证明:在正方形ABCD中,AD=CD,∠A=∠C=90°,在△ADE和△CDF中,∴△ADE≌△CDF(ASA),∴AE=CF.(2)四边形DEGF是菱形.理由如下:在正方形ABCD中,AB=BC,∵AE=CF,∴AB-AE=BC-CF,即BE=BF,∴BD垂直平分EF,∴OE=OF,又∵OG=OD,∴四边形DEGF为平行四边形,∵△ADE≌△CDF,∴DE=DF,∴四边形DEGF是菱形.22.如图,AB∥CD,点E、F分别在AB、CD上,连接EF.∠AEF、∠CFE的平分线交于点G,∠BEF、∠DFE的平分线交于点H.(1)求证:四边形EGFH是矩形;(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索.过G作MN∥EF,分别交AB、CD于点M、N,过H 作PQ∥EF,分别交AB、CD于点P、Q,得到四边形MNQP.此时,他猜想四边形MNQP是菱形.请在下列框图中补全他的证明思路.答案(1)证明:∵EH平分∠BEF,∴∠FEH=∠BEF.∵FH平分∠DFE,∴∠EFH=∠DFE.∵AB∥CD,∴∠BEF+∠DFE=180°,∴∠FEH+∠EFH=(∠BEF+∠DFE)=×180°=90°,又∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°,∴∠EHF=180°-(∠FEH+∠EFH)=180°-90°=90°.同理可证,∠EGF=90°.∵EG平分∠AEF,∴∠FEG=∠AEF.∵EH平分∠BEF,∴∠FEH=∠BEF.∵点A、E、B在同一条直线上,∴∠AEB=180°,即∠AEF+∠BEF=180°.∴∠FEG+∠FEH=(∠AEF+∠BEF)=×180°=90°,即∠GEH=90°.∴四边形EGFH是矩形.(2)本题答案不唯一,下面答案供参考.例如,FG平分∠CFE;GE=FH;∠GME=∠FQH;∠GEF=∠EFH.23.已知E,F分别为正方形ABCD的边BC,CD上的点,AF,DE相交于点G,当E,F分别为边BC,CD 的中点时,有:①AF=DE;②AF⊥DE成立.试探究下列问题:(1)如图①,若点E不是边BC的中点,F不是边CD的中点,且CE=DF,上述结论①,②是否仍然成立?(请直接回答“成立”或“不成立”,不需要证明)(2)如图②,若点E,F分别在CB的延长线和DC的延长线上,且CE=DF,此时,上述结论①,②是否仍然成立?若成立,请写出证明过程,若不成立,请说明理由;(3)如图③,在(2)的基础上,连接AE和EF,若点M,N,P,Q分别为AE,EF,FD,AD的中点,请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种,并证明你的结论.答案(1)成立.(2)仍然成立.证明:∵四边形ABCD为正方形,∴AD=DC,∠BCD=∠ADC=90°.在△ADF和△DCE中,∴△ADF≌△DCE(SAS),∴AF=DE,∠FAD=∠EDC,∵∠ADG+∠EDC=90°,∴∠ADG+∠DAF=90°,∴∠AGD=90°,即AF⊥DE.(3)四边形MNPQ是正方形.证明:如图,设MQ,DE分别交AF于点G,O,PQ交DE于点H,∵点M,N,P,Q分别为AE,EF,FD,AD的中点,∴MQ=PN=DE,PQ=MN=AF,MQ∥DE,PQ∥AF,∴四边形OHQG是平行四边形,∵AF=DE,∴MQ=PQ=PN=MN,∴四边形MNPQ是菱形,∵AF⊥DE,∴∠AOD=90°,∴∠HQG=∠AOD=90°,∴四边形MNPQ是正方形.人教版八年级数学下册第十八章平行四边形单元检测卷一、选择题1.如图,在平行四边形ABCD中,下列结论中错误的是( )A.∠1=∠2B.∠BAD=∠BCDC.AB=CDD.AC=BC2.如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC+BD=16,CD=6,则△ABO的周长是( )A.10B.14C.20D.223.四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,给出下列四个条件:①AD∥BC;②AD=BC;③OA=OC;④OB=OD.从中任选两个条件,能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )A.3种B.4种C.5种D.6种4.如图,在△ABC中,AB=6,AC=10,点D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,则四边形ADEF的周长为( )A.8B.10C.12D.165.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是边AB,AC的中点,延长BC至F,使CF=BC,若AB=10,则EF的长是( )A.5B.4C.3D.26.下列命题中正确的是( )A.两条对角线相等的平行四边形是矩形B.有三个角是直角的多边形是矩形C.两条对角线相等的四边形是矩形D.有一个角是直角的四边形是矩形7.如图,菱形ABCD的周长为20,一条对角线AC的长为8,另一条对角线BD的长为( )A.16B.12C.6D.48.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,若AC=4,则四边形CODE的周长为( )A.4B.6C.8D.109.如图,以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB=( )A.30°B.45°C.22.5°D.135°10.如图,直线EF经过矩形ABCD对角线的交点O,分别交AB、CD于点E、F,那么图中阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的( )A. B. C. D.二、填空题11.如图,平行四边形ABCD的周长为20,对角线AC的长为5,则△ABC的周长为.12.如图,在平行四边形ABCD中,点E、F分别在边BC、AD上,请添加一个条件: ,使四边形AECF是平行四边形(只填一个即可).13.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,直线EF是OA的中垂线,分别交AD、OA 于点E、F.若AB=6 cm,BC=8 cm,则△DEO的周长= cm.14.如图,菱形ABCD中,对角线AC交BD于O,AB=8,E是CD的中点,则OE的长等于.15.如图,在正方形ABCD中,点E是BC上的一定点,且BE=5,EC=7,点P是BD上的一动点,则PE+PC的最小值是.16.如图所示,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线分别交AD、BC于点M、N,若△CON的面积为2,△DOM的面积为4,则△AOB的面积为.三、解答题17.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在BA的延长线上,且BE=AD,点F在AD上,AF=AB,求证:△AEF≌△DFC.18.如图,四边形ABCD是平行四边形,DE平分∠ADC,交AB于点E,BF平分∠ABC,交CD于点F.(1)求证:DE=BF;(2)连接EF,写出图中所有的全等三角形.(不要求证明)19.在矩形ABCD中,点E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE,垂足为F,求证:DF=DC.20.如图,在▱ABCD中,E、F为BC上的两点,且BE=CF,AF=DE.求证:(1)△ABF≌△DCE;(2)四边形ABCD是矩形.21.已知:如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,DE∥AC,AE∥BD.(1)求证:四边形AODE是矩形;(2)若AB=6,∠BCD=120°,求四边形AODE的面积.22.如图,在直角梯形纸片ABCD中,AB∥DC,∠A=90°,CD>AD,将纸片沿过点D的直线折叠,使点A落在边CD上的点E处,折痕为DF.连接EF并展开纸片.求证:四边形ADEF是正方形.23.在▱ABCD中,点E、F分别在AB、CD上,且AE=CF.(1)求证:△ADE≌△CBF;(2)若DF=BF,求证:四边形DEBF为菱形.参考答案1-10 DBBDA ACCCB11.1512.答案不唯一,如AF=CE13.1314.415.1316.617.证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD且AB∥CD,∴∠EAF=∠ADC,又∵AF=AB,BE=AD,∴AF=CD,AE=DF,在△AEF和△DFC中,∴△AEF≌△DFC.18.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∴∠CDE=∠AED,∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE,∴∠ADE=∠AED,∴AE=AD,同理,CF=CB,又AD=CB,AB=CD,∴AE=CF,∴DF=BE,∴四边形DEBF是平行四边形,∴DE=BF.(2)△ADE≌△CBF,△DFE≌△BEF.19.证明∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,AD∥BC,∠B=90°.∵DF⊥AE,∴∠AFD=∠B=90°.∵AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB,又∵AD=AE,∴△ADF≌△EAB,∴DF=AB,∴DF=DC.20.证明(1)∵BE=CF,BF=BE+EF,CE=CF+EF,∴BF=CE.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC.在△ABF和△DCE中,∴△ABF≌△DCE(SSS).(2)∵△ABF≌△DCE,∴∠B=∠C.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD.∴∠B+∠C=180°.∴∠B=∠C=90°.∴四边形ABCD是矩形.21.(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,即∠AOD=90°,∵DE∥AC,AE∥BD,∴四边形AODE是平行四边形,∵∠AOD=90°,∴▱AODE是矩形.(2)∵四边形ABCD是菱形,∴AO=OC=AC,BO=OD,AB=BC,AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,∵∠BCD=120°,∴∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形.∴AC=AB=6,∴OA=3.在Rt△ABO中,由勾股定理得BO=3,∴DO=3,∴S矩形AODE=AO·DO=3×3=9.22.证明∵△DEF由△DAF折叠得到,∴∠DEF=∠A=90°,DA=DE,∵AB∥CD,∴∠ADE=180°-∠A=90°.∵∠DEF=∠A=∠ADE=90°,∴四边形ADEF是矩形.又∵DA=DE,∴四边形ADEF是正方形.23.证明(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,∠A=∠C,∵在△ADE和△CBF中,∴△ADE≌△CBF(SAS).(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∵AE=CF,∴EB=DF,又∵DF∥EB,∴四边形DEBF是平行四边形,又∵DF=BF,∴四边形DEBF为菱形.人教版八年级下册第十八章平行四边形单元测试含答案一、选择题1、下列说法错误的是（）A．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 B．每组邻边都相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．四个角都相等的四边形是矩形2、如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，点E是BC边的中点，OE=1，则AB的长是A．1 B． 2 C．3 D．43、如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F，若∠BAF = 60°，则∠DAE = （）（A）15°（B）30°（C）45°（D）60°4、在□ABCD中，AB=3，BC=4，当□ABCD的面积最大时，下列结论正确的有（）①AC=5；②∠A+∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④5、四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．下列条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD=BC，AB∥CD B．AO=CO，AD=BCC．AD∥BC，∠ADC=∠ABC D．AD=BC，∠ABD=∠CDB6、如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点E作垂线交BC于点F，已知BC＝10，△ABD的面积为12，则EF的长为( )A．4.8 B．3.6 C．2.4 D．1.27、如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，2），则CE的长是（）A． B．2 C． D．8、如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为（）A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题9、已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，0），B（1，1），C（x，1），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x= ．10、如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE 的周长为 ______ ．11、如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB=6cm，AC=8cm，则四边形ADEF的周长等于cm．12、如图，矩形中，、交于点，，平分交于点，连接，则。

特殊的平行四边形练习题（50题）菱形、矩形、正方形一、单选题（共18题；共36分）1.下列条件中，能判定一个四边形为矩形的条件是( )A. 对角线互相平分的四边形B. 对角线相等且平分的四边形C. 对角线相等的四边形D. 对角线相等且互相垂直的四边形【答案】B【解析】【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A不符合题意；B、对角线相等且平分的四边形是矩形，故B符合题意；C、对角线相等的四边形不是矩形，故C不符合题意；D、对角线相等且互相垂直的四边形不是矩形，故D不符合题意.故答案为：B.【分析】根据矩形的判定方法，逐项进行判断，即可求解2.如图，点A、D、G、M在半圆上，四边形ABOC、DEOF、HNMO均为矩形，设BC=a ，EF=b ，NH= c ，则下列各式中正确的是（）A. a > b > cB. a =b =cC. c > a > bD. b > c > a【答案】B【解析】【解答】解：连接OA、OD、OM，如图所示：则OA=OD=OM，∵四边形ABOC、DEOF、HNMO均为矩形，∴OA=BC=a，OD=EF=b，OM=NH=c，∴a=b=c；故答案为：B.【分析】连接OA、OD、OM，则OA=OD=OM，由矩形的对角线相等得出OA=BC=a，OD=EF=b，OM=NH=c，再由同圆的半径相等即可得出a=b=c.3.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是( )A. 1B. 2C.D.【答案】 D【解析】【解答】解：连接DE交AC于P，连接BD，BP，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB，∴PE+PB=PE+PD=DE，即DE就是PE+PB的最小值，∵∠BAD=60°，AD=AB，∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD，∵AE=BE=AB=1，∴DE⊥AB，在Rt△ADE中，DE=，∴ PE+PB的最小值是.故答案为：D.【分析】连接DE交AC于P，连接BD，BP，根据菱形的性质得出B、D关于AC对称，得出DE就是PE+PB 的最小值，根据等边三角形的判定与性质得出DE⊥AB，再根据勾股定理求出DE的长，即可求解.4.若正方形的对角线长为2 cm，则这个正方形的面积为（）A. 4B. 2C.D.【答案】B【解析】【解答】解：设正方形的边长为xcm，根据题意得：x2+x2=22，∴x2=2，∴正方形的面积=x2=2（cm2）.故答案为：B.【分析】设正方形的边长为xcm，利用勾股定理列出方程，求出x2=2，即可求出正方形的面积为2.5.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（）A. 72B. 24C. 48D. 96【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD=90°，∴BD=2OH，∵OH=4，∴BD=8，∵OA=6，∴AC=12，∴菱形ABCD的面积= AC•BD＝×12×8＝48．故答案为：C．【分析】根据菱形的性质得O为BD的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得BD的长度，最后由菱形的面积公式求得面积．6.将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状,则∠ABC等于( )A. 73°B. 56°C. 68°D. 146°【答案】A【解析】【解答】如图，∵∠CBD=34°，∴∠CBE=180°﹣∠CBD=146°，由折叠的性质可得∠ABC=∠ABE= ∠CBE=73°.故答案为：A【分析】根据补角的知识可求出∠CBE，从而根据折叠的性质∠ABC=∠ABE= ∠CBE，可得出∠ABC的度数.7.如图，已知矩形AOBC的顶点O(0，0)，A（0，3），B(4，0)，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OC，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠BOC内交于点F；③作射线OF，交边BC于点G，则点G的坐标为（）A. (4，1)B. (4，)C. (4，)D. (4，)【答案】B【解析】【解答】解：∵四边形AOBC是矩形，A（0，3），B（4，0），∴OB＝4，OA＝BC＝3，∠OBC＝90°，∴OC＝＝5，作GH⊥OC于H，如图，由题意可知：OG平分∠BOC，∵GB⊥OB，GH⊥OC，∴GB＝GH，设GB＝GH＝x，由S△OBC＝×3×4＝×5×x+ ×4×x，解得：x＝，∴G（4，）.故答案为：B.【分析】根据勾股定理可得OC的长，作GH⊥OC于H，根据角平分线的性质可得GB＝GH，然后利用面积法求出GB即可.8.如图1，在矩形ABCD中，点E在CD上，∠AEB＝90°，点P从点A出发，沿A→E→B的路径匀速运动到点B停止，作PQ⊥CD于点Q，设点P运动的路程为x，PQ长为y，若y与x之间的函数关系图象如图2所示，当x＝6时，PQ的值是( )A. 2B.C.D. 1【答案】B【解析】【解答】解：由图象可知：AE＝3，BE＝4，在Rt ABE中，∠AEB＝90°AB= =5当x＝6时，点P在BE上，如图,此时PE=4-(7-x)=x-3=6-3=3∵∠AEB＝90°, PQ⊥CD∴∠AEB=∠PQE=90°,在矩形ABCD中，AB//CD∴∠QEP=∠ABE∴PQE BAE, ∴=∴=∴PQ=故答案为：B.【分析】由图象可知：AE＝3，BE＝4，根据勾股定理可得AB=5,当x＝6时，点P在BE上，先求出PE的长，再根据△ PQE ∽△ BAE，求出PQ的长.9.如图，在平面直角坐标系中，已知点，．若平移点到点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（）A. 向左平移1个单位，再向下平移1个单位B. 向左平移个单位，再向上平移1个单位C. 向右平移个单位，再向上平移1个单位D. 向右平移1个单位，再向上平移1个单位【答案】 D【解析】【解答】解：因为B（1,1）由勾股定理可得OB=,所以OA=OB，而AB<OA.故以AB为对角线，OB//AC，由O（0,0）移到点B（1,1）需要向右平移1个单位，再向上平移1个单位，由平移的性质可得由A（,0）移到点C需要向右平移1个单位，再向上平移1个单位，故选D.【分析】根据平移的性质可得OB//AC，平移A到C，有两种平移的方法可使O，A，B，C四点构成的四边形是平行四边形；而OA=OB>AB，故当OA，OB为边时O，A，B，C四点构成的四边形是菱形，故点A平移到C的运动与点O平移到B的相同.10.如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=500，则∠AEF的度数等于（）A. 25ºB. 50ºC. 100ºD. 115º【答案】 D【解析】解析:∵把矩形ABCD沿EF对折，∴AD∥BC，∠BFE=∠2，∵∠1=50°，∠1+∠2+∠BFE=180°，∴∠BFE==65°，∵∠AEF+∠BFE=180°，∴∠AEF=115°．故选D11.在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF.EC交于点H，下列结论中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED．正确的是（）A. ②③B. ③④C. ①②④D. ②③④【答案】 D【解析】【解答】∵AB＝1，AD＝，∴BD＝AC＝2，OB＝OA＝OD＝OC＝1．∴△OAB，△OCD为正三角形．AF平分∠DAB，∴∠FAB＝45°，即△ABF是一个等腰直角三角形．∴BF＝AB＝1，BF＝BO＝1．∵AF平分∠DAB，∴∠FAB＝45°，∴∠CAH＝45°﹣30°＝15°．∵∠ACE＝30°（正三角形上的高的性质）∴∠AHC＝15°，∴CA＝CH由正三角形上的高的性质可知：DE＝OD÷2，OD＝OB，∴BE＝3ED．所以正确的是②③④.故选D．【分析】这是一个特殊的矩形：对角线相交成60°的角．利用等边三角形的性质结合图中的特殊角度解答．本题主要考查了矩形的性质及正三角形的性质．12.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB 上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A. （3，1）B. （3，）C. （3，）D. （3，2）【答案】B【解析】【解答】解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．∵D（，0），A（3，0），∴H（，0），∴直线CH解析式为y=﹣x+4，∴x=3时，y= ，∴点E坐标（3，）故选：B．【分析】如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小，先求出直线CH解析式，再求出直线CH与AB的交点即可解决问题．本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、轴对称﹣最短问题、一次函数等知识，解题的关键是利用轴对称找到点E位置，学会利用一次函数解决交点问题，属于中考常考题型．13.如图，正方形ABCD的边长为4，M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（）．A. 3B. 4C. 5D.【答案】C【解析】【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′点，N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可．【解答】∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于直线AC对称，连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，N′即为所求的点，则BM的长即为DN+MN的最小值，∴AC是线段BD的垂直平分线，又CM=CD-DM=4-1=3，在Rt△BCM中，BM==5，故DN+MN的最小值是5．故选C．【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出M关于直线AC的对称点M′，由轴对称及正方形的性质判断出点M′在BC上是解答此题的关键．14.将矩形OABC如图放置，O为原点．若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，则点C的坐标是（）A. （4，2）B. （2，4）C. （，3）D. （3，）【答案】 D【解析】【解答】解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，过点A作AN⊥BF于点N，过点C作CM⊥x轴于点M，∵∠EAO+∠AOE=90°,∠AOE+∠MOC=90°，∴∠EAO=∠COM，又∵∠AEO=∠CMO，∴∠AEO∽△COM，∴=，∵∠BAN+∠OAN=90°,∠EAO+∠OAN=90°，∴∠BAN=∠EAO=∠COM，在△ABN和△OCM中∴△ABN≌△OCM(AAS)，∴BN=CM，∵点A(−1,2),点B的纵坐标是，∴BN= ，∴CM= ，∴MO==2CM=3，∴点C的坐标是：(3, ).故选：D.【分析】次题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质等知识.构造直角三角形，正确得出CM的长是解题的关键.15.如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC，其中正确的结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】 D【解析】【解答】解：∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，∴∠CAD+∠FAG=90°，∵FG⊥CA，∴∠C=90°=∠ACB，∴∠CAD=∠AFG，在△FGA和△ACD中，，∴△FGA≌△ACD（AAS），∴AC=FG，①正确；∵BC=AC，∴FG=BC，∵∠ACB=90°，FG⊥CA，∴FG∥BC，∴四边形CBFG是矩形，∴∠CBF=90°，S△FAB= FB•FG= S四边形CBFG，②正确；∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确；∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，∴△ACD∽△FEQ，∴AC：AD=FE：FQ，∴AD•FE=AD2=FQ•AC，④正确；故选：D．【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．由正方形的性质得出∠FAD=90°，AD=AF=EF，证出∠CAD=∠AFG，由AAS证明△FGA≌△ACD，得出AC=FG，①正确；证明四边形CBFG是矩形，得出S△FAB= FB•FG= S四边形CEFG，②正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC=∠ABF=45°，③正确；证出△ACD∽△FEQ，得出对应边成比例，得出D•FE=AD2=FQ•AC，④正确．16.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点F是AB的中点，E为BC边上一点，且EF⊥ED，连结DF，M 为DF的中点，连结MA，ME．若AM⊥ME，则AE的长为（）A. 5B.C.D.【答案】B【解析】【解答】设BE=x，则CE=6-x，∵四边形ABCD矩形，AB=4，∴AB=CD=4，∠C=∠B=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°，又∵F是AB的中点，∴BF=2，又∵EF⊥ED，∴∠FED=90°，∴∠FEB+∠DEC=90°，∴∠FEB=∠CDE，∴△BFE∽△CED，∴=，∴=，∴（x-2）（x-4）=0，∴x=2，或x=4，①当x=2时，∴EF=2，DE=4，DF=2，∴AM=ME=，∴AE===2,②当x=4时，∴EF=2，DE=2，DF=2，∴AM=ME=，∴AE==2,AE==4,∴x=4不合题意，舍去故答案为：B.【分析】设BE=x，则CE=6-x，由矩形性质得出AB=CD=4，∠C=∠B=90°，又由EF⊥ED，根据同角的余角相等可得出∠FEB=∠CDE；由相似三角形的判定得出△BFE∽△CED，再根据相似三角形的性质得出=，由此列出方程从而求出x=2或x=4，分情况讨论：①当x=2时，由勾股定理算出AE===2,②当x=4时，由勾股定理算出AE==2,AE==4,故x=4不合题意，舍去.17.如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH，其中，正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠DCB=90°，AB=BC，∵AG=CE，∴BG=BE，由勾股定理得：BE=GE，∴①错误；∵BG=BE，∠B=90°，∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°，∴∠GAE+∠AEG=45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°，∵∠BEG=45°，∴∠AEG+∠FEC=45°，∴∠GAE=∠FEC，在△GAE和△CEF中∴△GAE≌△CEF，∴②正确；∴∠AGE=∠ECF=135°，∴∠FCD=135°﹣90°=45°，∴③正确；∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；即正确的有2个．故选B．【分析】根据正方形的性质得出∠B=∠DCB=90°，AB=BC，求出BG=BE，根据勾股定理得出BE=GE，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG=45°，推出∠GAE=∠FEC，根据SAS推出△GAE≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE=∠ECF=135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似，即可判断④．18.如图,P是正方形ABCD内一点，∠APB=135，BP=1，AP=，求PC的值（）A. B. 3 C. D. 2【答案】B【解析】【分析】解答此题的关键是利用旋转构建直角三角形，由勾股定理求解.如图，把△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP′，点C的对应点C′与点A重合.根据旋转的性质可得AP′=PC，BP′=BP，△PBP′是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，然后由∠APB=135,可得出∠APP′=90°，再利用勾股定理列式计算求出.故选B.二、填空题（共15题；共16分）19.如图所示，△ABC为边长为4的等边三角形，AD为BC边上的高，以AD为边的正方形ADEF的面积为________。

5. 矩形的性质
A
D
） ）
O
B
C
（1）∵四边形 ABCD 是矩形
∴∠DAB=∠ABC =∠BCD=∠CDA=90°（
）
（2）∵四边形 ABCD 是矩形 ∴AC=BD（ OA=OC= OB=OD（
） ）
6. 矩形的判定
A
D
O
B
C
（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，且∠BAD=90°
∴□ABCD 是矩形（
（2）∵四边形 ABCD 是正方形
∴AC=BD（
）
AC⊥BD，且 OA=OC= OB=OD（
8. 正方形的判定
A
D
） ）
）
O
B
C
（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，且∠BAD=90° ，AB=BC
∴□ABCD 是正方形（
）
（2）∵四边形 ABCD 是菱形，且∠BAD=90°
∴菱形 ABCD 是正方形（
）
（2）∵四边形 ABCD 是平行四边形，且 AC=BD
∴□ABCD 是矩形（
）
（3）∵∠DAB=∠ABC =∠BCD =90°
∴四边形 ABCD 是矩形（
）
7. 正方形的性质
A
D
O
B
C
（1）∵四边形 ABCD 是正方形 ∴AB= BC =CD=AD（ ∠DAB=∠ABC =∠BCD=∠CDA=90°（
（正方形既是菱形也是矩形）
4. 菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 四条边相等的四边形是菱形.
5. 矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形； 有三个角是直角的四边形是矩形.

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12. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分 ABCD 是菱形吗？为什么？ 【思路分析】 ①读题标注： ②梳理思路： 要证四边形 ABCD 是菱形，根据题目中已有的条件选择判定 定理：_____________________________________________． 【过程书写】
7. 已知四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC，BD 相交于点 O， 则下列结论不正确的是（ ） A．当 AB=BC 时，四边形 ABCD 是菱形 B．当 AC⊥BD 时，四边形 ABCD 是菱形 C．当 OA=OB 时，四边形 ABCD 是矩形 D．当∠ABD=∠CBD 时，四边形 ABCD 是矩形
如图在正方形abcd中对角线acbd相交于点o则图中的等腰三角形共有a4个b6个c8个d10个aadbdbcc第5题图第7题图6
特殊平行四边形（习题）
例题示范
例 1：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB， BF∥CE，CF∥BE． 求证：四边形 BECF 是正方形．
【思路分析】 ①读题标注：
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．每条对角线平分一组对角
5. 符合下列条件之一的四边形不一定是菱形的是（ ） A．四条边都相等 B．两组邻边分别相等 C．对角线互相垂直平分 D．两条对角线分别平分一组对角
6. 下列命题错误的是（ ） A．矩形的对角线相等 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．平行四边形的对边相等 D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
13. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC，对角线 BD 平分∠ABC． P 是 BD 上一点，过点 P 作 PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为 点 M，N． （1）求证：∠ADB=∠CDB； （2）若∠ADC=90°，求证：四边形 MPND 是正方形．