非线性电路混沌现象的研究

压随输入电压大小的改变而变化的规律时 , 可以发
现 : 开始输入电压较低时 , 输出电压的频率与输入
电压的频率一样 , 而随着输入电压的增加 , 输出电
压的频率经过二分频 、四分频 、八分频 ……最后进
入混沌 (具有各种各样频率的输出电压 ) 。这就是
倍周期分岔进入的混沌 , 是一种典型的非平衡过程
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L = 18 mH , C1 = 10 nF, C2 = 100 nF, R1 = 313 kΩ , R2 = R3 = 22 kΩ , R4 = 212 kΩ , R5 = R6 = 220 Ω , R0 是由 2个多线圈电位器串联组成 , 可以进行 粗调和细调 。
图 2 非线性元件伏安特性
式中 ,
导纳 G = 1 /RV ,
UC1和
UC
分
2
别
为
表
示
加
在
C1 和 C2 上的电压 ; IL 表示流过 L 的电流 ; G表示
非线性电阻的导纳 。
3 通向混沌的途径
一个系统 , 在一定条件下 , 经过周期加倍 , 会
逐步丧失周期行为而进入混沌 。例如 , 一个非线性
电子电路 (混沌仪 ) , 当我们观察它的输出交变电
Abstract: This article exp lains that, through the experimental method, the changing of the nonlinear system ’s parameter in turnmayre2 alize the transformation from the disorder to the order. W hen the order degree increases unceasingly, we can observe the chaos phe2 nomenon on the oscilloscope finally. 1Thus we can concludes that the essence characteristic that the chaos is an apparent irregularly or2 der movement in one kind of definite system. Key words: nonlinearity; chaos; determ inacy; inherent randomness; queer attracter; fork
产生的混沌 。
分岔是非线性系统的一个基本特性 , 最简单的
分岔如图 3所示的“叉式分岔 ”, 其中 λ = 0对应于
平衡态 。当 λ =λc 时只有一个稳定的解 , 超过了
λ c
点以后
,
原来的解失稳 ,
且出现了一对稳定的
解 b1 , b2 , 分岔行为可以多级发生 , 结果就可能导
致出现混沌现象 。
以上计算清楚地表明 ,初值的微小差异 ,经过若
干次迭代后就会“差之毫厘 ,谬以千里 ”了 。其长期
行为具有一种概率统计的特征 。
512 混沌现象的本质
(1)混沌是过程的科学 、演化的科学 ,而不是状
态的科学 ,变是混沌的本性 。随着时间的推移 ,系统
运动状态在不断变化 。当控制参量由小到大变化
收稿日期 : 2008 - 04 - 03 作者简介 : 张 锋 ( 1979 - ) , 男 , 实验师 , 大学本科 , 从
事非性电路教学和科研工作 。
径庭 。正是初始条件的微小误差导致了计算结果的 巨大偏离 , 产生“蝴蝶效应 ”[ 1 ] , 即混沌现象 。 212 非线性电路与非线性动力学方程
图 1中只有一个非线性元件 R , 它是一个有源 的非线性负阻抗元件 [ 2 ] 。电感器 L 和电容 C2 组成 一个损耗可以忽略的谐振回路 ; 可变电阻 RV 和电 容器 C1 串联将振荡器产生的正弦信号移相输出 。 其中非线性元件 R是一个三段分段线性元件 。图 2 所示的是该电阻的伏安特性曲线 , 可以知道此非线 性元件上电压与通过它的电流极性是相反的 。当此 元件上的电压增加时 , 通过它的电流却减小 , 因而 将此元件称为非线性负阻抗元件 。
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实验科学与技术
和局部上的不稳定性同时存在 [5 ] 。图 6为观察到混
沌现象的图像 。
n
1
2
3
4
5
( a) 1倍周期 ( b) 2倍周期
( c) 3倍周期
⁝
51
52 ⁝
2009年 2月
表 1 两种初始值时的迭代结果
Xn + 1 = 4Xn ( 1 - Xn )
X1 = 011
X1 = 01100 000 1
若用
λ m
代表第
m
次分岔出现的
λ值 , 则相继
分岔的间距之比的极限是一个常数 ,即 :
λ
δ= lim m →∞
m
λ m
-
λ m
-
1
+1
-
λ m
图 5 双运算放大非线性元件的伏安特性
将电容 C1 , C2 上的电压输入到示波器的 x, y 轴 , 先把 R0 调到最小 , 在示波器上可观察到一条 直线 ; 调节 R0 , 直线变成了椭圆 ; 到某一位置 , 图像缩成一点 ; 增大示波器的倍率 , 反向微调 R0 , 可以看到曲线作倍周期变化 。曲线由 1周期增为 2 周期 , 由 2周期增至 4周期 ……直至一系列难以计 数的无首尾的环形曲线 , 这是一个单涡旋吸引子 。 再微调 R0 , 单吸引子突然变成双吸引子 , 只见环 形曲线在两个外涡旋的吸引子之间不断填充与跳 跃 , 这就是混沌研究文献中所描述的“蝴蝶 ”图像 , 也是一种奇怪吸引子 , 它的特点是整体上的稳定性
1 引 言
混沌是非线性系统中存在的一种普遍现象 , 它 也是非线性系统所特有的一种复杂状态 。在线性系 统中 , 当函数 y = f ( x ) 对自变量 x 的依赖关系是 “一次 ”多项式时 , 那么在平面上就是一条直线 ; 如果其依赖关系高于一次时 (抛物线函数 ) , 那么 这个函数所描述的系统就是“非线性系统 ”。可见 , 从函数构造的角度来说 , 非线性系统要比线性系统 更多 、更普遍 。对它的进一步研究呼唤着新的方法 和思 维 方 式 , 适 时 应 运 而 生 的 混 沌 理 论 ( Chaos Theory)已渐渐成为非线性科学的主要研究对象 。
图 1 非线性电路原理图
图 1电路的非线性Βιβλιοθήκη 力学方程 [ 3 ]为 :C1
dUC1 dt
= G (UC2
- UC1 )
-
gUC1
C2
dUC2 dt
= G (UC1
- UC21 )
+ iL
(1)
第 7卷 第 1期
L
d iL dt
=
-
UC2
Experiment Science & Technology
2 混沌现象与非线性电路
211 混沌现象 - 蝴蝶效应 1961年 , 美国气象学家洛伦兹根据他导出的
描述气象演变的非线性动力学方程进行长期气象预 报的模拟数值计算 , 探讨准确进行长期天气预报的 可能性 。为了检验上一次的计算结果 , 不是最初输 入的数据 , 而是以一个中间的输入数据 。经过一段 重复过程后 , 计算开始偏离上次的结果 , 甚至大相
中出现的貌似不规则的有序运动 。这种有序不同于
我们所熟悉的有序 ———寻常有序 、简单有序 、线性有
序 。现在说的有序是乱中有序 ,是有序与无序的结
合 ,是非线性序 ———混沌序 。就是说混乱它也是一
种确定性的混乱 ,形式的混乱 。倍周期分岔过程具
有规律性是容易理解的 ,而一个普适常数 ———费根
鲍姆常数的存在更是一个有力证明 。
时 ,系统由稳定有序逐渐失稳 ,开始分岔 ,随着分岔
按几何级数的不断增长 ,系统由有序到无序 。当控 制参量 λ达到一个临界值时系统进入混沌区 。当 λ
再增大时又会遇到一个个的周期窗口 , 一个个混沌 区 ……当 λ不断减少时系统又会由混沌逐渐向有
序演化 。
(2)混沌不等同于混乱 ,混沌是一种确定系统
0136
01360 000 03
01921 2
01921 600 36
01289 013 76
01289 013 55
01821 939 226 ⁝
01821 938 871 ⁝
01277 569 08
01973 249 59
01802 094 38 ⁝
01104 139 31 ⁝
( d) 6倍周期 ( e) 单吸引子
( f) 双吸引子
图 6 混沌现象图形
从实验中很容易地观察到 : ( 1 ) 1 倍周期图 。 出现此现象时测得负阻抗两端电压为 - 61300 V , 流过负阻抗两端的电流为 2194 mA , 可调电阻阻值 为 2112 kΩ。此时 , 电路较为稳定 , 还未进入混沌 状态 , 负阻抗状态处于特性曲线转折点以左部分 。 (2) 2倍周期分岔图 。当增大可调电阻时 , 电路的 非线性增强 , 于是产生了一个不连续的变化 , 由量 变导致了质变 。图像产生了分岔 , 电流与电压的振 荡周期变成了原来的 2倍 , 电路状态比 1倍周期时 复杂 。测得负阻抗两端电压为 - 51950 V , 流过负 阻抗两端的电流为 2185 mA , 可调电阻阻值为 2106 kΩ。继续调节可变电阻 , 可以看到吸引子突然充 满了原本 2个混沌吸引子所占据的空间 , 形成了双 漩涡混沌吸引子 ( Double Scroll Chaotic A ttractor) 。 由于示波器上的每一点对应着电路中的每一个状
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