山东省济南市2014届高三3月模拟考试 理科数学

2014年学业水平考试数学试题参考答案一、选择题：二、填空题：16. 2014 17.50018. a ba-19. 6 20. 6 21. ①②④三、解答题：22．（1）解：原式=2+3－23+1-6 ……………………………………………2分=－23…………………………………………………………..3分（2）解：方程两边都乘以最简公分母（x﹣3）（x+1）得：3（x+1）=5（x﹣3），………………………………………………4分解得：x=9，………………………………………………………….5分检验：当x=9时，（x﹣3）（x+1）=60≠0，……………………….6分∴原分式方程的解为x=9．………………………………………….7分23．（1）证明：∵AC＝BD，∴AC+CD＝BD+CD，即AD＝BC．……………………………………1分在△ADE和△BCF中，AD=BC∠A=∠BAE=BF∴△ADE≌△BCF(SAS). ……………………………………2分∴∠E＝∠F．……………………………………3分（2）解：∵在Rt△ADB中，∠BDA＝45°，AB＝3∴DA＝3 …………1分在Rt△ADC中，∠CDA＝60°∴tan60°= CAAD…………2分CA=33………………………………………3分∴BC=CA－BA=(33－3) 米………………………4分24．解：设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件. …………1分根据题意，得1605101100.x yx y+=⎧⎨+=⎩…………5分解得：10060. xy=⎧⎨=⎩………………………………7分1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15A B D C C D B D D B B D A A C答：甲种商品购进100件，乙种商品购进60件. …………8分25．解：列表得1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 3456······································································································· 4分共有9种等可能的结果，其中摸出的两个小球标号之和是2的占1种， 摸出的两个小球标号之和是3的占2种， 摸出的两个小球标号之和是4的占3种， 摸出的两个小球标号之和是5的占2种， 摸出的两个小球标号之和是6的占1种； 所以棋子走到E 点的可能性最大， ················································ 7分棋子走到E 点的概率=3193=． ··················································· 8分26．解：（1）90331802ACB l ππ=⨯= …………………….2分 扇形OAB 的周长为362π+……………………….3分 （2）连结OC ，交DE 于M ，∵四边形ODCE 是矩形 ∴OM ＝CM ，EM ＝DM ………………….4分 又∵DG =HE∴EM －EH ＝DM －DG ，即HM ＝GM …………………….5分 ∴四边形OGCH 是平行四边形 ……………………………6分 （3）DG 不变； …………………………………………….7分在矩形ODCE 中，DE ＝OC ＝3，∴DG ＝1 ………………..9分27．解：（1）CF =EF ······································································ 1分连接BF （如图①）.∵△ABC ≌△DBE ∴BC =BE ，AC =DE∵∠ACB =∠DEB =90° ∴∠BCF =∠BEF =90°又∵BF =BF ，∴Rt △BFC ≌Rt △BFE ． ∴CF =EF ． ··················································································· 2分 AF +EF =DE ··················································································· 3分 ∵AF +EF =AF +CF =AC 又∵AC =DE ∴AF +EF =DE ． ············································································ 4分 （2）画出正确图形(可不加辅助线)如图② ··················································· 5分AF +EF =DE 仍然成立． ···································································· 6分 （3）不成立．此时AF ，EF 与DE 的关系为AF - EF =DE ······························ 7分理由：连接BF （如图③），∵△ABC ≌△DBE ，∴BC =BE ，AC =DE ，第2次A O BCEH G D M 第1次∵∠ACB =∠DEB =90°，∴∠BCF =∠BEF =90°． 又∵BF =BF ，∴Rt △BFC ≌Rt △BFE ． ················································ 8分 ∴CF =EF ． 又∵AF -CF =AC ，∴AF -EF = DE ．∴（1）中的结论不成立． 正确的结论是AF -EF = DE ·························· 9分28. 解：（1）103b c c -+=⎧⎨=-⎩，解得23b c =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线的函数解析式为223y x x =--. ···································· 2分 （2）令2230x x --=，解得11x =-，23x =，∴点C 的坐标为(3，0). ························································· 3分 ∵223y x x =--=2(1)4x --∴点E 坐标为(1，－4). ························································· 4分设点O D =m ，作EF ⊥y 轴于点F .∵222223DC OD OC m =+=+，22222(4)1DE DF EF m =+=-+ ∵DC =DE ，∴22223(4)1m m +=-+，解得m =1， ∴点D 的坐标为(0，－1). ……………… 5分 （3）满足条件的点P 共有4个，其坐标分别为：(13，－2)，(－13，0) ，(3，－10) ，(－3，8). ………………………………………………9分F图① ABCDEABC DEF图③ 图② A BC DEF第27题图ABCO DFxy第28题图E。

2013-2014学年山东省济南市某校高三（上）第一次模拟数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A ={1, 3, √m}，B ={1, m}，A ∪B =A ，则m 的值为( )A 0或√3B 0或3C 1或√3D 1或32. 已知tanx =2，则sin 2x +1=( )A 0B 95C 43D 533. 已知函数f(x)=log 12|x −1|，则下列结论正确的是（ ） A f(−12)<f(0)<f(3) B f(0)<f(−12)<f(3) C f(3)<f(−12)<f(0) D f(3)<f(0)<f(−12)4. 已知a ，b ∈R ，ab ≠0，则“a >0，b >0”是“a+b 2≥√ab”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件5. 若f(x)=lnx x ，e <a <b ，则（ ）A f(a)>f(b)B f(a)＝f(b)C f(a)<f(b)D f(a)⋅f(b)>16. 已知在等差数列{a n }中，a 5+a 6=4，则log 2(2a 1⋅2a 2⋅⋯⋅2a 10 )=（ ）A 10B 20C 40D 2+log 257. 在不等式组{x −y ≤0x +y ≥0y ≤a确定的平面区域中，若z =x +2y 的最大值为3，则a 的值为（ ）A 1B 2C 3D 48. 若θ∈[π4,π2]，sin2θ=3√78，则sinθ=( ) A 35 B 45 C √74 D 349. 小王从甲地到乙地的往返时速分别为a 和b(a <b)，其全程的平均时速为v ，则（ ）A a <v <√abB v =√abC √ab <v <a+b 2D v =a+b 210. 已知关于x 的方程|x 2−6x|=a(a >0)的解集为P ，则P 中所有元素的和可能是（ ）A 3，6，9B 6，9，12C 9，12，15D 6，12，1511. 已知点M 是直线3x +4y −2=0上的动点，点N 为圆(x +1)2+(y +1)2=1上的动点，则|MN|的最小值为（ ）A 95B 1C 45D 13512. 已知定点F 1(−2, 0)，F 2(2, 0)，N 是圆O:x 2+y 2=1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的垂直平分线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（ ）A 椭圆B 双曲线C 抛物线D 圆二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13. 已知f(x)=x 2+ax +b ，满足f(1)=0，f(2)=0，则f(−1)=________．14. 已知递增的等差数列{a n }满足a 1=1，a 3=a 22−4，则a n =________．15. 设M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2=16，|AB →+AC →|=|AB →−AC →|，则|AM →|=________．16. 已知P ，Q 为抛物线x 2=2y 上两点，点P ，Q 的横坐标为4，−2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．17. 已知函数f(x)=2√3sin(x 2+π4)cos(x 2+π4)−sin(x +π)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)若将f(x)的图象向右平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0, π]上的最大值和最小值．18. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =4a n −3(n ∈N ∗)．（1）证明：数列{a n }是等比数列；（2）若数列{b n }满足b n+1=a n +b n (n ∈N ∗)，且b 1=2，求数列{b n }的通项公式．19. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sinB(tanA +tanC)＝tanAtanC ．(Ⅰ)求证：a ，b ，c 成等比数列；(Ⅱ)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S ．20. 已知等比数列{a n }满足：2a 1+a 3=3a 2，且a 3+2是a 2，a 4的等差中项．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =a n log 2a n ，S n =b 1+b 2+...+b n ，求S n ．21. 定义在R 上的函数f(x)=13ax 3+bx 2+cx +2同时满足以下条件： ①f(x)在(0, 1)上是减函数，在(1, +∞)上是增函数；②f′(x)是偶函数；③f(x)在x =0处的切线与直线y =x +2垂直．（1）求函数y =f(x)的解析式；（2）设g(x)=[13x 3−f(x)]•e x ，求函数g(x)在[m, m +1]上的最小值． 22. 已知椭圆G:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√63，右焦点为(2√2, 0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交与A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P(−3, 2)．(1)求椭圆G 的方程；(2)求△PAB 的面积．2013-2014学年山东省济南市某校高三（上）第一次模拟数学试卷答案1. B2. B3. C4. C5. A6. B7. A8. D9. A10. B11. C12. B13. 614. 2n−115. 216. −417. 解：(1)f(x)=√3sin(x+π2)+sinx=√3cosx+sinx=2(12sinx+√32cosx)=2sin(x+π3)．所以f(x)的最小正周期为2π．(2)∵ 将f(x)的图象向右平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，∴ g(x)=f(x−π6)=2sin[(x−π6)+π3]=2sin(x+π6)．∵ x∈[0, π]时，x+π6∈[π6,7π6]，∴ 当x+π6=π2，即x=π3时，sin(x+π6)=1，g(x)取得最大值2．当x+π6=7π6，即x=π时，sin(x+π6)=−12，g(x)取得最小值−1．18. 解：（1）证明：由S n=4a n−3，n=1时，a1=4a1−3，解得a1=1．因为S n=4a n−3，则S n−1=4a n−1−3(n≥2)，所以当n≥2时，a n=S n−S n−1=4a n−4a n−1，整理得a n=43a n−1．又a1=1≠0，所以{a n}是首项为1，公比为43的等比数列．（2）解：因为a n =(43)n−1， 由b n+1=a n +b n (n ∈N ∗)，得b n+1−b n =(43)n−1． 可得b n =b 1+(b 2−b ′1)+(b 3−b 2)+...+(b n −b n−1)=2+1−(43)n−11−43=3(43)n−1−1，(n ≥2)．当n =1时上式也满足条件． 所以数列{b n }的通项公式为b n =3(43)n−1−1．19. （I ）证明：∵ sinB(tanA +tanC)＝tanAtanC∴ sinB(sinA cosA +sinC cosC )=sinAsinC cosAcosC∴ sinB ⋅sinAcosC+sinCcosA cosAcosC =sinAsinc cosAcosC∴ sinB(sinAcosC +sinCcosA)＝sinAsinc∴ sinBsin(A +C)＝sinAsinC ，∵ A +B +C ＝π∴ sin(A +C)＝sinB即sin 2B ＝sinAsinC ，由正弦定理可得：b 2＝ac ，所以a ，b ，c 成等比数列．(II)若a ＝1，c ＝2，则b 2＝ac ＝2，∴ cosB =a 2+c 2−b 22ac =34， ∵ 0<B <π∴ sinB =√1−cos 2B =√74 ∴ △ABC 的面积S =12acsinB =12×1×2×√74=√74． 20. 解：（1）设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，∵ 2a 1+a 3=3a 2，且a 3+2是a 2，a 4的等差中项，∴ {2a 1+a 1q 2=3a 1q 2(a 1q 2+2)=a 1q +a 1q 3， 由a 1≠0得，解得a 1=2，q =2，∴ a n =2⋅2n−1=2n ，（2）由（1）得，b n =a n log 2a n =n ⋅2n∴ s n =1⋅2+2⋅22+...+n ⋅2n2S n =1⋅22+2⋅23+...+(n −1)⋅2n +n ⋅2n+1两式相减可得，−s n =2+22+23+...+2n −n ⋅2n+1=2(1−2n )1−2−n ⋅2n+1 =(1−n)⋅2n+1−2∴ s n =(n −1)⋅2n+1+2．21. 解：（1）求导函数，可得f′(x)=ax2+2bx+c…由题意知{f′(1)=0f′(0)=−12b=0，即{a+2b+c=0c=−1b=0解得{a=1b=0c=−1．…所以函数y=f(x)的解析式为f(x)=13x3−x+2．…（2）g(x)=(13x3−f(x))e x=(x−2)e x，∴ g′(x)=(x−1)e x．令g′(x)=0得x=1，所以函数g(x)在(−∞, 1)递减，在(1, +∞)递增..…当m≥1时，g(x)在[m, m+1]单调递增，y min=g(m)=(m−2)e m…当m<1<m+1，即0<m<1时，g(x)在[m, 1]单调递减，在[1, m+1]单调递增，y min=g(1)=−e..…当m+1≤1，即m≤0时，g(x)在[m, m+1]单调递减，y min=g(m+1)=(m−1)e m+1．…．综上，g(x)在[m, m+1]上的最小值y min={(m−2)e m，m≥1−e,0<m<1(m−1)e m+1，m≤0．…22. 解：(1)由已知得，c=2√2，ca =√63，解得a=2√3，又b2=a2−c2=4，所以椭圆G的方程为x 212+y24=1．(2)设直线l的方程为y=x+m，由{y=x+mx2 12+y24=1得4x2+6mx+3m2−12=0．①设A，B的坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)(x1<x2)，AB的中点为E(x0, y0)，则x0=x1+x22=−3m4，y0=x0+m=m4，因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB，所以PE的斜率k=2−m4−3+3m4=−1，解得m=2．此时方程①为4x2+12x=0．解得x1=−3，x2=0，所以y1=−1，y2=2，所以|AB|=3√2，此时，点P(−3, 2)．到直线AB:y=x+2距离d=√2=3√22，所以△PAB的面积S=12|AB|d=92．。

2014年山东省济南市山师附中高考数学三模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知全集U=R，集合A={x|1＜x≤3}，B={x|x＞2}，则A∩∁U B等于（）A.{x|1＜x≤2}B.{x|2＜x≤3}C.{x|1≤x≤2}D.{x|1≤x≤3}【答案】A【解析】解：∵B={x|x＞2}，∴C U B={x|x≤2}∵A={x|1＜x≤3}∴A∩C U B={x|1＜x≤2}故选A利用补集的定义求出集合B的补集；利用交集的定义求出A∩C U B．本题考查利用集合的交集、补集、并集的定义进行交、并、补集的混合运算．2.在等差数列{a n}中，a1=-2012，其前n项和为S n，若a12-a10=4，则S2012的值等于（）A.-2010B.-2011C.-2012D.-2013【答案】C【解析】解：∵等差数列{a n}中，a1=-2012，a12-a10=2d=4；∴公差d=2，又其前n项和为S n=na1+n（n-1）d=-2012n+n（n-1）=n2-2013n，∴S2012=20122-2013×2012=2012×（2012-2013）=-2012；故选：C．由a12-a10=4求出等差数列{a n}的公差d，写出前n项和S n，计算S2012即可．本题考查了等差数列的前n项和公式的应用问题，是基础题．3.函数y=sinxsin的最小正周期是（）A. B.π C.2π D.4π【答案】B【解析】解：∵y=sinxsin=sinxcosx=sin2x∴T==π故选B利用诱导公式、二倍角公式对已知函数进行化简，然后代入周期公式即可求解本题主要考查了诱导公式、二倍角的正弦公式及周期公式的简单应用，属于基础试题4.R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），当0＜x≤1时，f（x）=2x，则f（2012）=（）A.-2B.2C.D.【答案】A【解析】解：∵R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），当0＜x≤1时，f（x）=2x，∴f（2012）=f（670×3+2）=f（2）=f（3-1）=f（-1）=-f（1）=-2．故选A．由R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），知f（2012）=-f（1），再由0＜x≤1时，f（x）=2x，能够求出结果．本题考查函数的奇偶性、周期性的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．5.直线l与圆x2+y2+2x-4y+1=0相交于A，B两点，若弦AB的中点（-2，3），则直线l的方程为（）A.x+y-3=0B.x+y-1=0C.x-y+5=0D.x-y-5=0【答案】C【解析】解：圆x2+y2+2x-4y+1=0化为标准方程为（x+1）2+（y-2）2=4，圆心坐标为C（-1，2）．∵弦AB的中点D（-2，3），∴k CD==-1，∴直线l的斜率为1，∴直线l的方程为y-3=x+2，即x-y+5=0．故选C．圆x2+y2+2x-4y+1=0化为标准方程，可得圆心坐标，先求出垂直于直线l的直线的斜率，再求出直线l的斜率，利用点斜式可得直线方程．本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，正确求出直线的斜率是关键．6.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（）A.k2+1B.（k+1）2C.D.（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2【答案】B【解析】解：当n=k时，等式左端=1+2+…+k2，当n=k+1时，等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+（k+1）2，增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2．故选D．首先分析题目求用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=时，当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的式子，可以分别使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案．此题主要考查数学归纳法的问题，属于概念考查题，这类题型比较简单多在选择填空中出现，属于基础题目．7.若a、b为实数，则“ab＜1”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：若a、b为实数，ab＜1，令a=-1，b=1，ab=-1＜1，推不出，若，可得b＞0，∴0＜ab＜1，⇒ab＜1，∴ab＜1”是“必要不充分条件，故选B．令a=-1，b=1特殊值法代入再根据必要条件和充分条件的定义进行判断；此题以不等式为载体，考查了必要条件和充分条件的定义及其判断，利用了特殊值法进行判断，特殊值法是高考做选择题和填空题常用的方法，此题是一道基础题．8.已知a＞b，函数f（x）=（x-a）（x-b）的图象如图所示，则函数g（x）=log a（x+b）的图象可能为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由f（x）=（x-a）（x-b）的图象与a＞b得：a＞1＞b＞0．∴g（x）=log a（x+b）的图象是单调递增的，可排除A，D，又g（1）=log a（1+b）＞log a1=0，可排除C，故选B．由a＞b，函数f（x）=（x-a）（x-b）的图象可知，a＞1＞b＞0．于是g（x）=log a（x+b）的图象是单调递增的，g（1）＞0，从而可得答案．本题考查对数函数的图象与性质，由由a＞b与函数f（x）=（x-a）（x-b）的图象得到a ＞1＞b＞0是关键，属于基础题．9.设，则a，b，c的大小关系是（）A.a＞c＞bB.c＞a＞bC.a＞b＞cD.b＞a＞c【答案】D【解析】解：∵a＞0，b＞0，，，∴a4＜b4，∴a＜b．又∵c=log50.3＜log51=0，∴c＜a．综上可知：c＜a＜b．故选D．考查幂函数y=x4，对数函数y=log5x在区间（0，+∞）上的单调性即可得出答案．掌握幂函数和对数函数的单调性是解题的关键．另外要注意适当的变形．10.二项式的展开式中的常数项为（）A.120B.-120C.160D.-160【答案】D【解析】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1=•26-r••（-1）r•=（-1）r ••26-r•．令6-2r=0，解得r=3，故展开式中的常数项为-•23=-160，故选D．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．11.设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）A.4B.C.1D.2【答案】A【解析】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形OABC及其内部，其中A（2，0），B（4，6），C（0，2），O为坐标原点设z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），将直线l：z=ax+by进行平移，观察y轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（4，6）=12，即4a+6b=12．因此，+=（+）×（4a+6b）=2+（），∵a＞0，b＞0，可得≥=12，∴当且仅当即2a=3b=3时，的最小值为12，相应地，+=2+（）有最小值为4．故选：A作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形OABC及其内部，将目标函数z=ax+by对应的直线进行平移，可得当x=4且y=6时z的最大值为4a+6b=12．再利用基本不等式求最值，即可算出+的最小值．本题给出二元一次不等式组，在已知目标函数z=ax+by的最大值的情况下求+的最小值，着重考查了利用基本不等式求最值、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．12.设双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=λ+μ（λ，μ∈R），λμ=，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：双曲线的渐近线为：y=±x，设焦点F（c，0），则A（c，），B（c，-），P （c，），∵，∴（c，）=（（λ+μ）c，（λ-μ）），∴λ+μ=1，λ-μ=，解得λ=，μ=，又由λμ=得=，解得=，∴e==故选C．由方程可得渐近线，可得A，B，P的坐标，由已知向量式可得λ+μ=1，λ-μ=，解之可得λμ的值，由可得a，c的关系，由离心率的定义可得．本题考查双曲线的简单性质，涉及双曲线的离心率的求解，属中档题．二、填空题(本大题共4小题，共16.0分)13.函数f（x）=x3-x2+x+1在点（1，2）处的切线与函数g（x）=x2围成的图形的面积等于______ ．【答案】【解析】解：∵（1，2）为曲线f（x）=x3-x2+x+1上的点，设过点（1，2）处的切线的斜率为k，则k=f′（1）=（3x2-2x+1）|x=1=2，∴过点（1，2）处的切线方程为：y-2=2（x-1），即y=2x．∴y=2x与函数g（x）=x2围成的图形如图：由得二曲线交点A（2，4），又S△AOB=×2×4=4，g（x）=x2围与直线x=2，x轴围成的区域的面积S=x2dx==，∴y=2x与函数g（x）=x2围成的图形的面积为：S′=S△AOB-S=4-=．故答案为：．由题意利用导数可求得过点（1，2）处的切线方程，利用定积分即可求得切线与函数g （x）=x2围成的图形的面积．本题考查导数的几何意义，考查定积分在求面积中的应用，求得题意中过点（1，2）处的切线方程是关键，考查作图与运算能力，属于中档题．14.将a，b，c三个字母填写到3×3方格中，要求每行每列都不能出现重复字母，不同的填写方法有______ 种．（用数值作答）【答案】12【解析】解：∵由题意知要求每行、每列都没有重复数字，∴先从方格的最左上角填起，这个表格有3种填法，它右边的一个格子有2种结果，右边的第三个格子的数字在前两个数字确定以后是一个确定的数字，同理最左上方的格子下面的格子有2种结果，再下面的只有一种结果，根据分步计数原理知共有3×2×2=12种结果，故答案为：12先从方格的最左上角填起，这个表格有3种填法，它右边的一个格子有2种结果，右边的第三个格子的数字在前两个数字确定以后是一个确定的数字，在最左边一列里也是这种情况，根据分步计数原理得到结果．数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏，属于中档题．15.在△ABC中，若AB=1，AC=，|+|=||，则= ______ ．【答案】【解析】解：以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC，则=+∵=∴四边形ABDC是矩形过A作AE⊥BC于E∵R t△ABC中，，∴BC==2，可得斜边上的高AE==因此，BE==∵=，cos∠ABC=∴==1，可得=故答案为：根据题意，以AB、AC为邻边的平行四边形ABDC是矩形，由勾股定理求出BC=2．过A作AE⊥BC于E，算出BE=，最后结合数量积的公式和直角三角形余弦的定义，即可算出的值．本题在直角三角形中，求一个向量在另一个向量上投影的值．着重考查了向量加法的几何定义和向量数量积的定义等知识，属于基础题．16.已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对∀x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立．当x1，x2∈[0，2]，且x1≠x2时，都有＜0，给出下列命题：（1）f（2）=0；（2）直线x=-4是函数y=f（x）图象的一条对称轴；（3）函数y=f（x）在[-4，4]上有四个零点；（4）f（2012）=f（0）其中所有正确命题的序号为______ ．【答案】①②④【解析】解：∵对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立当x=-2，可得f（-2）=0，又∵函数y=f（x）是R上的偶函数∴f（-2）=f（2）=0，又由当x1，x2∈[0，2]且x1≠x2时，都有＜0，∴函数在区间[0，2]单调递减故函数f（x）的简图如下图所示：由图可知：①正确，②正确，③错误，④正确故答案：①②④．由函数y=f（x）是R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，我们令x=-2，可得f（-2）=f（2）=0，进而得到f（x+4）=f（x）恒成立，再由当x1，x2∈[0，2]且x1≠x2时，都有＜0，我们易得函数在区间[0，2]单调递减，由此我们画出函数的简图，然后对题目中的四个结论逐一进行分析，即可得到答案．本题考查的知识点是函数的图象，函数的奇偶性，函数的周期性，函数的零点，解答的关键是根据已知，判断函数的性质，并画出函数的草图，结合草图分析题目中相关结论的正误．三、解答题(本大题共6小题，共74.0分)17.已知△ABC是边长为2的正三角形，P，Q依次是AB，AC边上的点，且线段PQ将△ABC分成面积相等的两部分，设AP=x，AQ=t，PQ=y．（1）求t关于x的函数关系式；（2）求y的最值，并写出取得最值得条件．【答案】解：（1）由已知得，∴t=；（2）由题意，y===，∵，∴1≤x≤2，∴，当且仅当，即x=时等号成立，∴x=时，y min=；当x=1或2时，y max=．【解析】（1）利用线段PQ将△ABC分成面积相等的两部分，建立方程，即可求t关于x的函数关系式；（2）利用余弦定理，确定函数解析式，确定x的范围，利用基本不等式，即可得出结论．本题考查三角形面积的计算，考查余弦定理的运用，考查基本不等式的运用，属于中档题．18.在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=．（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a，b；（Ⅱ）若sin C+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面积．【答案】解：（Ⅰ）∵c=2，C=，c2=a2+b2-2abcos C∴a2+b2-ab=4，又∵△ABC的面积等于，∴，∴ab=4联立方程组，解得a=2，b=2（Ⅱ）∵sin C+sin（B-A）=sin（B+A）+sin（B-A）=2sin2A=4sin A cos A，∴sin B cos A=2sin A cos A当cos A=0时，，，，，求得此时当cos A≠0时，得sin B=2sin A，由正弦定理得b=2a，联立方程组解得，．所以△ABC的面积综上知△ABC的面积【解析】（Ⅰ）先通过余弦定理求出a，b的关系式；再通过正弦定理及三角形的面积求出a，b 的另一关系式，最后联立方程求出a，b的值．（Ⅱ）通过C=π-（A+B）及二倍角公式及sin C+sin（B-A）=2sin2A，求出∴sin B cos A=2sin A cos A．当cos A=0时求出a，b的值进而通过absin C求出三角形的面积；当cos A≠0时，由正弦定理得b=2a，联立方程解得a，b的值进而通过absin C求出三角形的面积．本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．19.已知．（1）求f（x）的值域；（2）若∃x∈[1，2]使得g（x）=0，求a的取值范围；（3）对∀x1∈（0，2），总存在x2∈[1，2]使得f（x1）=g（x2），求a的取值范围．【答案】解：（1）当x∈（0，2）时，∈[2，+∞），故．（2）原问题等价于方程有解．令，则，故μ（x）在[1，2]上单调递增．∵，∴，故．（3）令A={y|y=f（x），x∈（0，2）}，B={y|y=g（x），x∈[1，2]}则原问题等价于A⊆B．由（1）（2）可知，∴，解得∴．【解析】（1）中只需要分子分母同除以x，再利用基本不等式即可，注意到x的取值范围．（2）题目中的问题可以转化为g（x）=0在[1，2]上有解去解决．（3）分析题意，可知f（x）的值域是g（x）值域的子集，然后画数轴求解．在本题的三小问中．第（1）（3）中，都是求函数的值域，常用的方法有换元法，图象法，不等式法，利用单调性求解，△判别式法等等（2）的解题思路是转化成方程的问题，再利用数形结合即可解决．在高中阶段，对于“∀”的考查比较多，通过讲练，学生也较易掌握，但对于“∃”的理解，需要更多的分析和思考，才能准确的把握题意．20.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=S n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2log2a n+1-1，①若数列的前n项和为；②求数列{a n b n}的前n项和为M n．【答案】（1）解：∵a n+1=S n+1，∴当n≥2时，a n=S n-1+1，∴a n+1-a n=S n-S n-1，∴a n+1-a n=a n，∴a n+1=2a n，∵a1=1，∴数列{a n}为等比数列，且其首项a1=1，公比为2，则a n=2n-1；（2）①证明：由（1）可得：a n=2n-1，则b n=2log2a n+1-1=2log22n-1=2n-1，即b n=2n-1．∴==，∴T n=+…+]=＜；②a n•b n=（2n-1）•2n-1，∴M n=1+3×2+5×22+…+（2n-1）•2n-1，∴2M n=1×2+3×22+5×23…+（2n-3）•2n-1+（2n-1）•2n，两式相减得-M n=1+2（2+22+23+…+2n-1）-（2n-1）•2n=1+2•2n-4-（2n-1）•2n，∴M n=（2n-3）•2n+3．【解析】（1）利用n≥2时，a n=S n-S n-1可得数列{a n}为等比数列，且其首项a1=1，公比为2，从而可求数列{a n}的通项公式；（2）由（1）可得：a n=2n-1，将其代入b n=2log2a n+1-1中，再用裂项法求和，即可得出结论；（3）先求出数列{a n b n}的通项，由于该数列的通项是一个等差数列与等比数列的积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的和．本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列，以及错位相减法求数列的和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21.已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点（-1，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）由题意，c=1∵点（-1，）在椭圆C上，∴根据椭圆的定义可得：2a=，∴a=∴b2=a2-c2=1，∴椭圆C的标准方程为；（2）假设x轴上存在点Q（m，0），使得恒成立当直线l的斜率为0时，A（，0），B（-，0），则=-，∴，∴m=①当直线l的斜率不存在时，，，则•=-，∴∴m=或m=②由①②可得m=．下面证明m=时，恒成立当直线l的斜率为0时，结论成立；当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）直线方程代入椭圆方程，整理可得（t2+2）y2+2ty-1=0，∴y1+y2=-，y1y2=-∴=（x1-，y1）•（x2-，y2）=（ty1-）（ty2-）+y1y2=（t2+1）y1y2-t（y1+y2）+=+=-综上，x轴上存在点Q（，0），使得恒成立．【解析】（1）利用椭圆的定义求出a的值，进而可求b的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）先利用特殊位置，猜想点Q的坐标，再证明一般性也成立即可．本题考查椭圆的标准方程，考查存在性问题，解题的关键的先猜后证，有一定的难度．22.已知f（x）=lnx，g（x）=af（x）+f′（x），（1）求g（x）的单调区间；（2）当a=1时，①比较的大小；②是否存在x0＞0，使得|g（x）-g（x0）|＜对任意x＞0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵，g（x）的定义域为（0，+∞）．①当a≤0时，g'（x）＜0，（0，+∞）是g（x）的单调区间；②当a＞0时，由g'（x）＞0，得；由g'（x）＜0，得，即增区间是，减区间是．（2），∴①当x=1时，μ（x）=0，此时②当0＜x＜1时，μ'（x）＜0，∴μ（x）＞μ（1）=0．∴③当x＞1时，μ'（x）＜0，∴μ（x）＜μ（1）=0．∴．（3）⇔⇔∵lnx∈（-∞，+∞），∴g（x0）＞lnx不能恒成立．故x0不存在．【解析】（1）求导计算g（x）的单调区间，注意对参数a的讨论，分a＞0和a≤0两种情况；（2）①作差g（x），对差函数进行求导研究；②将不等式化为，从lnx的取值入手研究．本题是对导数常用知识的考查，包括求单调区间，用导数研究函数的性质等等，也是高考中经常出现的题型，值得注意的是：在求含参数的单调区间时，一定要结合着函数的定义域，分类讨论是经常考察到的思想．。

２ )上单调递增 , , ]上单调递减 ． 在( ʑ h( x )在 [ １, e e e ２ ) ) 且 h( １ a, h( e a, h( e) a． ＝２－２ ＝e－２ ＝－２
������������������������５ 分 ２ ( ) ( ) 显然 h １ ＞ h e ． ２ ]上存在极值 , 结合函数图象可知 , 若 g( x )在 [ １, e )ȡ０ )＞０ h( １ h( e ������������������������７ 分 则 或 ． ２ )＜０ h( １ h( e )＜０ )＞０ h( e e ( , 当 即 １＜ a ＜ 时, ⅰ) )＜０ ２ h( １ ２ ２ ], 则必定 ∃x１ , 使得 h( 且 １＜ x１ ＜e＜ x２ ＜e x２ ɪ [ １, e x１) x２) ． ＝h( ＝０, ( ) , ( ) , ( ) : 当 x 变化时 , 的变化情况如下表 hx g ᶄx g x
{
������������������������９ 分
������������������������１ ２分
年龄不低于 ３ ５岁 ５
合计 ４ ０ １ ０ ５ ０ ������������������������２ 分
根据 ２ˑ２ 列联表中的数据 , 得到 K 的观测值为
k＝
( )的 ５ 个受访人中 , 由题意 , 年龄在 [ 有 ４ 人支持发展共享单车 ; 年龄在 Ⅱ) １ ５, ２ ０ [ )的 ６ 个受访人中 , 有 ５ 人支持发展共享单车 ． ２ ０, ２ ５ ������������������������７ 分 随机变量 的所有可能取值为 ʑ X ２, ３, ４．
高三数学 ( 理科 ) 三诊测试参考答案第 ㊀ 共 ５页) ２ 页(