北京市东城区2018年高考(5月)第二次模拟数学文试题
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北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（二）数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集U =R ，集合{|10}A x x =+<，{|40}B x x =-≤，则()U A B =I ð （A ）{|1x x ≤-或4}x > （B ）{|1x x ≥-或4}x <（C ）{|1}x x ≥-（D ）{|4}x x >（2）某校高一年级有400名学生，高二年级有360名学生，现用分层抽样的方法在这760名学生中抽取一个样本．已知在高一年级中抽取了60名学生，则在高二年级中应抽取的学生人数为（A ）66 （B ）54 （C ）40 （D ）36 （3）执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为9（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4（4）若22log (1)x x <+，则x 的取值范围是 （A ）(0,1)（B ）(1,+)∞（C ）(1,0)- （D ）(0,)+∞（5）已知圆2240x y x a +-+=截直线0x =所得弦的长度为a 的值为 （A ）2-（B ）0（C ）2 （D ）6（6）设,,a b c ∈R ，则“a b c +>”是“a c >且b c >”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）已知m 是平面α的一条斜线，直线l 过平面α内一点A ，那么下列选项中能成立的是（A ）l α⊂，且l m ⊥ （B ）l α⊥，且l m ⊥ （C ）l α⊥，且l ∥m （D ）l α⊂，且l ∥m （8）已知函数()sin f x x x =，现给出如下命题：① 当(43)x ∈--，时，()0f x ≥； ② ()f x 在区间(0,1)上单调递增； ③ ()f x 在区间(1,3)上有极大值；④ 存在0>M ，使得对任意x ∈R ，都有|()|f x M ≤． 其中真命题的序号是（A ）①② （B ）②③（C ）②④（D ）③④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）若复数(i)(1i)a ++为纯虚数，则实数a =_________．（10）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，则双曲线的离心率为_________．（11）若,x y 满足24,3,8,x y x y ≤≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则32x y +的最小值为_________．（12）已知向量,a b 满足||||1==a b ，且1()2⋅-=-a b a ，则a 与b 夹角的大小为 ． （13）在△ABC 中，1cos 4C =，2a b =，则cb= ；sin B = _________．（14）血药浓度（Serum Drug Concentration ）是指药物吸收后在血浆内的总浓度（单位：mg/ml ），通常用血药浓度来研究药物的作用强度．下图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度的变化情况，其中点i A 的横坐标表示服用第i 种药后血药浓度达到峰值时所用的时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度第二次达到峰值一半时所用的时间(单位：h)，点i A 的纵坐标表示第i 种药的血药浓度的峰值．（1,2,3i =）①记i V 为服用第i 种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，则123,,V V V 中最大的是_________；②记i T 为服用第i 种药后血药浓度从峰值降到峰值的一半所用的时间，则123,,T T T 中最大的是________．三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）已知{}n a 是公差为2等差数列，数列{}n b 满足11b =，212b =，且1(1)n n n a b n b ++=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求{}n b 的前n 项和n S ．（16）（本小题13分）已知函数()2sin()242xx f x π=-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的对称轴方程； （Ⅱ）当3[0,]2x π∈时，()f x m ≥恒成立，求实数m 的最大值．（17）（本小题13分）2017年北京市百项疏堵工程基本完成．有关部门为了解疏堵工程完成前后早高峰时段公交车运行情况，调取某路公交车早高峰时段全程所用时间（单位：分钟）的数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A 组，从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B 组．A 组：128，100，151，125，120．B 组：100，102，96，101， a ．已知B 组数据的中位数为100，且从中随机抽取一个数不小于100的概率是45. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）该路公交车全程所用时间不超过100分钟，称为“正点运行”．从A ，B 两组数据中各随机抽取一个数据，求这两个数据对应的两次运行中至少有一次“正点运行”的概率；（Ⅲ）试比较A ，B 两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义．EBFCAB 1C 1A 1（18）（本小题14分）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，1AC BC CC ==，，分别为，的中点．（Ⅰ）求证：1AC C F ⊥；（Ⅱ）求证：BE ∥平面； （Ⅲ）在棱1CC 上是否存在一点G ，使得平面1B EG ⊥平面11AC F ？说明理由．（19）（本小题13分）设函数2()2ln 2f x x x ax =-++. （Ⅰ）当3a =时，求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）若直线1y x =-+是曲线()y f x =的切线，求a 的值.（20）（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，离心率为12．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）,A B 是椭圆C 在y 轴右侧部分上的两个动点，若原点O 到直线AB证明：△ABF 的周长为定值．111ABC A B C -AC BC ⊥E F 11A B BC 11AC F C东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（二）高三数学参考答案及评分标准 （文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）B （3）C （4）A （5）B （6）D （7）A （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）1 （10（11）12 （12）3π （13）28（14）1V 3T 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）因为，所以． 因为，， 所以． 因为等差数列的公差为，所以，． ……………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知．因为， 所以． 所以数列是首项为，公比为的等比数列． 所以数列的前项和n S ，． ……………13分 1(1)n n n a b nb ++=121(1)1a b b +=⨯11b =212b =11a ={}n a 221n a n =-*n ∈N 21n a n =-1(1)n n n a b nb ++=11(21)12n n b n b n +==-+{}n b 112{}n b n 11()122[1()]1212nn -==--*n ∈N（16）（共13分）解：（Ⅰ） ．因为sin y x =的对称轴方程为ππ2x k =+， 所以πππ242x k +=+， 即π2π2x k =+． 所以曲线()y f x =的对称轴方程为π2π2x k =+（k ∈Z ）． ………7分 （Ⅱ）因为， 所以． 所以当24x π+=π，即当3π2x =时，的最小值为. 所以实数的最大值. ………13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）因为B 组数据的中位数为100，所以100a ≤． 因为从B 组中随机抽取一个数不小于100的概率是45， 所以100a ≥． 所以100a =. …………5分 （Ⅱ）从A 组中取到128,151,125,120时，B 组中符合题意的取法为100,96,100，共4312⨯=种；从A 组中取到100时，B 组中符合题意的取法为100,102,96,101,100， 共155⨯=种； 因此符合题意的取法共有12517+=种， 而所有不同的取法共有5525⨯=种，()2sin()242xx f x π=-+22x x =2sin()24x π=+302x π≤≤424x ππ≤+≤π()f x 0m 0HEBFCAB 1C 1A 1B1A 所以该路公交车至少有一次“正点运行”的概率1725P =. …………10分 （Ⅲ）B 组的方差小于A 组的方差，说明疏堵工程完成后，该路公交车全程所用时间更加稳定，而且“正点运行”率高，运行更加有保障． …………13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）在三棱柱中， 因为侧棱垂直于底面，所以1CC ⊥平面ABC ． 所以1CC AC ⊥． 因为，1CC BC C =I ， 所以AC ⊥平面11BCC B ． 因为1C F ⊂平面11BCC B ，所以1AC C F ⊥． ………5分（Ⅱ）取中点，连结，． 则∥，且1112EH B C =，又因为BF ∥，且1112BF B C =， 所以∥BF ，且EH BF =． 所以四边形为平行四边形． 所以∥．又平面，平面，所以∥平面． ………10分 （Ⅲ）在棱1CC 上存在点G ，且G 为1CC 的中点． 连接1,EG GB ．在正方形中， 因为F 为BC 中点，所以△11B C G ≌△1C CF ． 所以11190C CF B GC ∠+∠=︒．所以11B G C F ⊥．111ABC A B C -AC BC ⊥11AC H EH FH EH 11B C 11B C EH BEHF BE FH BE ⊄11AC F FH ⊂11AC F BE 11AC F 11BB C C由（Ⅰ）可得AC ⊥平面， 因为AC //11AC ，所以11AC ⊥平面． 因为1B G ⊂平面，所以111AC B G ⊥．因为1111AC C F C =I ，所以1B G ⊥平面11AC F ．因为1B G ⊂平面1B EG ，所以平面1B EG ⊥平面11AC F ． ………14分（19）（共13分）解：()f x 的定义域为(0,)+∞． ………1分（Ⅰ）当3a =时，2()2ln 32f x x x x =-++，所以22232'()23x x f x x x x -++=-+=.令2232'()0x x f x x-++==，得22320x x -++=， 因为0x >，所以2x =.()f x 与'()f x 在区间(0,)+∞上的变化情况如下：所以()f x 的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间(2)+∞，. ()f x 有极大值2ln 24+，()f x 无极小值. …………6分（Ⅱ）因为2()2ln 2f x x x ax =-++，所以2'()2f x x a x=-+. 设直线1y x =-+与曲线()y f x =的切点为（00,()x f x ），所以2000000222'()21x ax f x x a x x -++=-+==-，即2002(1)20x a x -+-=.11BB C C 11BB C C 11BB C C又因为200000()2ln 21f x x x ax x =-++=-+，即20002ln (1)10x x a x -+++= 所以2002ln 10x x +-=.设2()2ln 1g x x x =+-，因为22(1)'()0(0)x g x x x+=>>， 所以()g x 在区间(0,)+∞上单调递增.所以()g x 在区间(0,)+∞上有且只有唯一的零点. 所以(1)0g =，即01x =.所以1a =-. …………13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）由题意得221,1,2a b c a ⎧=+⎪⎨=⎪⎩解得224,3.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆的方程为． …………………4分（Ⅱ）①当AB 垂直于x 轴时，AB方程为x =A，B ，(1,0)F ．1(42AF BF ===．因为AB =所以4AF BF AB ++=． ②当AB 不垂直于x 轴时，设的方程为． 因为原点到直线=．C 22143x y +=AB m kx y +=O AB 223(1)m k =+11 由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=， 即222(34)8120k x kmx k +++=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则，． 所以． 因为,在轴右侧，所以，所以． 22211221121121(1)(1)3(1)412441(2)2.AF x y x x x x x =-+=-+-=-+=- 所以，同理． 所以． 所以． 综上，△的周长等于椭圆的长轴长． ………14分122834km x x k -+=+21221234k x x k=+12|||AB x x =-===234k =+24||||34m k k =+A B y 0mk <24||34mk AB k =-+11||22AF x =-21||22BF x =-121||||4()2AF BF x x +=-+221844()423434km km k k -=-=+++2244||||||443434km km AF BF AB k k ++=+-=++ABF C 4。
