东北育才学校高三数学函数的概念第一轮复习学案 人教版

东北育才学校高三数学函数的概念第一轮复习学案高考要求：了解映射的概念,在此基础上加深对函数概念的理解；能根据函数的三要素判断两个函数是否 为同一函数；理解分段函数的意义． 考点回顾：1．对应、映射、像和原像、一一映射的定义； 2．函数的传统定义和近代定义； 3．函数的三要素及表示法． 考点解析：考点1、映射：概念、象、原象 EG 1．（1）A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=； （2）*{|2,}A x x x N =≥∈，{}|0,B y y y N =≥∈，2:22f x y x x →=-+；（3）{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y →=上述三个对应（2）是A 到B 的映射．B1-1．已知集合{}(,)|1M x y x y =+=，映射:f M N →，在f 作用下点(,)x y 的象是(2,2)xy，则集合N =（ D ）()A {}(,)|2,0,0x y x y x y +=>> ()B {}(,)|1,0,0x y xy x y =>> ()C {}(,)|2,0,0x y xy x y =<<()D {}(,)|2,0,0x y xy x y =>>解法要点：因为2x y +=，所以2222xyx y+⋅==． B1-2．设集合{1,0,1}M =-，{2,1,0,1,2}N =--，如果从M 到N 的映射f 满足条件：对M 中的每个元素x 与它在N 中的象()f x 的和都为奇数，则映射f 的个数是 （ D ） ()A 8个 ()B 12个 ()C 16个 ()D 18个解法要点：∵()x f x +为奇数，∴当x 为奇数1-、1时，它们在N 中的象只能为偶数2-、0或2，由分步计数原理和对应方法有239=种；而当0x =时，它在N 中的象为奇数1-或1，共有2种对应方法．故映射f 的个数是9218⨯=． B1-3{}{}()()()0101=++→-==c f b f a f ,B A :f ,,,B ,c ,b ,a A 且映射，求这样的映射的个数.注意特殊性，0+0+0=0=0+1+（-1）=0，3对1的映射只有1个，1对1的映射有633=A 所求映射个数为7133=+A 考点2、函数概念EG2．矩形ABCD 的长8AB =，宽5AD =，动点E 、F 分别在BC 、CD 上，且CE CF x ==， （1）将AEF ∆的面积S 表示为x 的函数()f x ，求函数()S f x =的解析式； （2）求S 的最大值． 解：（1）2111()408(5)5(8)222ABCD CEF ABE ADF S f x S S S S x x x ∆∆∆==---=--⨯⨯--⨯⨯-Y 22113113169()22228x x x =-+=--+．∵CE CB CD ≤≤，∴05x <≤，∴函数()S f x =的解析式：2113169()()(05)228S f x x x ==--+<≤； （2）∵()f x 在(]0,5x ∈上单调递增，∴max (5)20S f ==，即S 的最大值为20． B2-1.下列函数中，与函数y x =相同的函数是C()A 2x y x= ()B 2y = ()C lg10xy =()D 2log 2xy =B2-2已知函数f(x)的定义域为A ＝｛1，2，3｝，值域为B ＝｛－1，－2｝，则这样的函数共有 个． 解析：函数概念的理解“定义域和值域都是非空数集的映射”，先并后排2223A C =6；B2-3．函数()f x 对一切实数x ，y 均有()()(21)f x y f y x y x +-=++成立，且(1)0f =，（1）求(0)f 的值；（2）对任意的11(0,)2x ∈，21(0,)2x ∈，都有12()2log a f x x +<成立时，求a 的取值范围．解：（1）由已知等式()()(21)f x y f y x y x +-=++，令1x =，0y =得(1)(0)2f f -=， 又∵(1)0f =，∴(0)2f =-． （2）由()()(21)f x y f y x y x +-=++，令0y =得()(0)(1)f x f x x -=+，由（1）知(0)2f =-，∴2()2f x x x +=+．∵11(0,)2x ∈，∴22111111()2()24f x x x x +=+=+-在11(0,)2x ∈上单调递增，∴13()2(0,)4f x +∈．要使任意11(0,)2x ∈，21(0,)2x ∈都有12()2log a f x x +<成立，当1a >时，21log log 2a a x <,显然不成立．当01a <<时，21log log 2a a x >，∴0113log 24a a <<⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得3414a ≤< ∴a 的取值范围是34[,1)4．方法归纳：1．对映射有两个关键点：一是有象，二是象惟一，缺一不可；2．对函数三要素及其之间的关系给以深刻理解，这是处理函数问题的关键； 3．理解函数和映射的关系，函数式和方程式的关系． 实战训练1．已知映射f ：A →B ，其中，集合A={-3，-2，-1，l ，2，3，4，}，集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象，且对任意的a ∈A ，在B 中和它对应的元素是|a|，则集合B 中元素的个数是[ ]A A ．4 B ．5 C ．6 D ．72．已知集合M={a ，b ，c}，N={-1，0，1}，若f 是M →N 的映射，且f(a)=f(b)+f(c)，则这样的映射共有[ ]C A.4个 B.6个 C. 7个 D.27个3．{}{}20,20≤≤=≤≤=y y N x x M 给出的四个图形，其中能表示集合M 到N 的函数关系的有（B ）A 、 0个B 、1个C 、2个D 、3个 4．已知x x f 26log )(=，那么)8(f 等于A34B8C18D21 5．（2020年辽宁卷）设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________【解析】1ln 2111(())(ln )222g g g e ===.6.( 2020年湖南卷）函数2log 2y x =-的定义域是( D)A.(3,+∞)B.[3, +∞)C.(4, +∞)D.[4, +∞)7．已知函数221)(x x x f +=，那么=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++41)4(31)3(21)2()1(f f f f f f f ______。

278．给定映射:(,)(2,)f x y x y xy →+，点11(,)66-的原象是11(,)32-或12(,)43-． 9．设函数3,(10)()((5)),(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(5)f ＝8．10．(2000全国高考)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示． （Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式)(t f p =； 写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式)(t g Q =；（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？解：（Ⅰ）由图一可得市场售价与时间的函数关系为⎩⎨⎧≤<-≤≤-= 300t 200 3002 200,t 0,300)(t t t f 由图二可得种植成本与时间的函数关系为300t 0 ,100)150(201)(2≤≤+-=t t g （Ⅱ）设t 时刻的纯收益为)(t h ，则由题意得)(t h =)(t f )(t g -，即)(t h =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+≤≤++-300t 200 ,21025272001-200,t 0 ,217521200122t t t t当2000≤≤t 时，配方整理得)(t h =100)50(20012+--t ． 所以，当50=t 时，)(t h 取得区间[0，200]上的最大值100； 当300200≤<t 时，配方整理得)(t h =100)350(20012+--t ， 所以，当t=300时，h(t)取得区间（200，300）上的最大值87.5综上，由5.87100>可知，h(t)在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大11．已知：f(x+1)=x 2-2x ，等差数列{a n }中，a i =f(x-1),a 2=-21,a 3=-f(x). (Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅲ)设b n =)2(21+n a n (n ∈N)，T n =b 1+b 2+…+b n ，求∞→n lim T n .解：(Ⅰ)由f(x+1)=x 2-2x=(x+1)2-4(x+1)+3，∴f(x)x 2-4x+3.(Ⅱ)f(x-1)=(x-1)2-4(x-1)2+3=x 2-6x+8. 于是a 1=x 2-6x+8，a 2=-21，a 3=-x 2+4x-3. 根据题意2×⎪⎭⎫ ⎝⎛-21=(x 2-6x+8)+(-x 2+4x-3). 解得x=3，a 1=-1. ∴d=a 2-a 1=21. ∴a n =-1+21(n-1)=21n-23(n ∈N). (Ⅲ)b n =)1(1223221)2(21+=⎪⎭⎫⎝⎛+-=+n n n n a n n .T n =b 1+b 2+…+b n =)1(1321211+++⨯+⨯n n Λ =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-1113121211n n Λ =1-11+n . ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∞→∞→111lim lim n T n n n =1.经典回顾1.若f :y =3x +1是从集合A ={1，2，3，k }到集合B ={4，7，a 4，a 2+3a }的一个映射，求自然数a 、k 的值及集合A 、B.解：∵f （1）=3×1+1=4，f （2）=3×2+1=7，f （3）=3×3+1=10，f （k ）=3k +1，由映射的定义知（1）⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,133,1024k a a a 或（2）⎪⎩⎪⎨⎧+==+.13,10342k a a a∵a ∈N ，∴方程组（1）无解. 解方程组（2），得a =2或a =－5（舍），3k +1=16，3k =15，k =5.∴A ={1，2，3，5}，B ={4，7，10，16}. 2.如果函数f （x ）=（x +a ）3对任意x ∈R 都有f （1+x ）=－f （1－x ），试求f （2）+ f （－2）的值. 解：∵对任意x ∈R ，总有f （1+x ）=－f （1－x ）， ∴当x =0时应有f （1+0）=－f （1－0）， 即f （1）=－f （1）.∴f （1）=0.又∵f （x ）=（x +a ）3，∴f （1）=（1+a ）3. 故有（1+a ）3＝0⇔a =－1.∴f （x ）=（x －1）3.∴f （2）+f （－2）=（2－1）3＋（－2－1）3＝13＋（－3）3＝－26.3．.集合M ={a ，b ，c }，N ={－1，0，1}，映射f :M →N 满足f （a ）+f （b ）+f （c ）=0，那么映射f :M →N 的个数是多少？解：∵f （a ）∈N ，f （b ）∈N ，f （c ）∈N ，且f （a ）+f （b ）+f （c ）=0， ∴有0+0+0=0+1+（－1）=0.当f （a ）=f （b ）=f （c ）=0时，只有一个映射；当f （a ）、f （b ）、f （c ）中恰有一个为0，而另两个分别为1，－1时，有C 13·A 22=6个映射.因此所求的映射的个数为1+6=7.评述：本题考查了映射的概念和分类讨论的思想.4． 设f （x ）是定义在（－∞，+∞）上的函数，对一切x ∈R 均有f （x ）+f （x +2）=0，当－1＜x ≤1时，f （x ）=2x －1，求当1＜x ≤3时，函数f （x ）的解析式.解：设1＜x ≤3，则－1＜x －2≤1，又对任意的x ，有f （x ）+f （x +2）=0，∴f （x +2）=－f （x ）.∴f （x －2）=－f ［（x －2）+2］=－f （x ）.又－1＜x －2≤1时，f （x －2）=2（x －2）－1=2x －5，∴f （x ）=－f （x －2）=－2x +5（1＜x ≤3）.评述：将1＜x ≤3转化成－1＜x －2≤1，再利用已知条件是解本题的关键.直击高考1．（2020年江苏卷）设a 为实数，记函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为g (a )。