安徽省2020届高三数学上学期10月联考试题理

“皖南八校”2020届高三第一次联考数 学（理科） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在复平面内，复数21iz i=+ (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D 【解析】分析：首先求得复数z ，然后求解其共轭复数即可.详解：由复数的运算法则有：()()()()2121211112i i i i i z i i i i --====+++-， 则1z i =-，其对应的点()1,1-位于第四象限. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.若集合{}2|560A x x x =-->，{}|21xB x =>，则()R C A B =（ ）A. {}|10x x -≤<B. {}|06x x <≤C. {}|20x x -≤<D. {}|03x x <≤【答案】B 【解析】 【分析】求得集合{|1A x x =<-或6}x >，{}|0B x x =>，根据集合运算，即可求解，得到答案．【详解】由题意，集合{}2|560{|1A x x x x x =-->=<-或6}x >，{}{}|21|0x B x x x =>=>，则{}|16R C A x x =-≤≤，所以(){}|06R C A B x x =<≤.故选B ．【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3.若3log 0.3a =，0.3log 0.2b =，0.30.2c =，则（ ） A. a b c << B. b c a << C. a c b << D. b a c <<【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数性质，逐个分析abc 取值范围，进而比较大小。

专题19 椭 圆（客观题）一、单选题1．如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为,,F A B 分别为椭圆的上､下顶点，P 是椭圆上一点，//,||||AP BF AF PB =，记椭圆的离心率为e ，则2e =A ．2BC ．12D 【试题来源】2021年1月浙江省普通高中学业水平考试 【答案】B【解析】()()0,,,0B b F c -，则BF b k c=，所以直线:bAP y x b c =+，与椭圆方程联立()222220a c x a cx ++=，所以点P 的横坐标是2222a c x a c =-+，322b y a c=-+，即2322222,a c b P a c a c ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，222322222222a c b PB a b a a c a c ⎛⎫⎛⎫=⇒+-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 整理为6244264321c a c a c a --+=，两边同时除以6a 得64243210e e e --+=，()()2421410ee e -+-=，210e -≠，所以42410e e +-=，得2e =或2e =（舍）．故选B ． 2．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点M 在椭圆上，以M 为圆心的圆与x 轴相切与椭圆的焦点，与y 轴相交于P ，Q ，若MPQ 为正三角形，则椭圆的离心率为A ．12B ．13C ．2D ．3【试题来源】浙江省金华市义乌市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试 【答案】D【解析】不妨设()00,M x y 在第一象限，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆右焦点，则0x c =，又M 在椭圆上，则20b y a =，∴圆M 的半径2br a =，MPQ 为正三角形，c r ∴==2220ac +=220e +=，解得3e =．故选D ． 【名师点睛】本题考查椭圆离心率的求解问题，求解离心率的关键是能够通过图形中的长度关系构造出关于,a c 的齐次方程，利用齐次方程配凑出离心率e ，解方程求得结果．3．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是A ．,12⎤⎢⎥⎣⎦B ．12⎤⎥⎣⎦C ．,22⎣⎦D ．33⎣⎦【试题来源】河北省衡水中学2021届高三上学期期中（理） 【答案】B【解析】设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为1F ，因为AF BF ⊥，所以四边形为1AF BF 为矩形，所以12AB FF c == 因为ABF α∠=，所以2sin ,2cos ,AF c BF c αα==由椭圆的定义得22sin 2cos a c c αα=+，所以11sin cos 4c e a πααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 因为,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以5,4122πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 4πα⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，4πα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭⎣，所以1e ⎤∈⎥⎣⎦，故选B. 【名师点睛】椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF 1|·|PF 2|；通过整体代入可求其面积等．4．已知F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点，若直线y kx =与椭圆相交于A ，B 两点，且120AFB ∠=︒，则椭圆离心率的取值范围是A．⎫⎪⎪⎣⎭B．⎛ ⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【试题来源】湖北省黄冈市部分普通高中2020-2021学年高三上学期12月联考 【答案】C【解析】连接A ，B 与左右焦点F ，F '的连线，由120AFB ∠=︒，由椭圆及直线的对称性可得四边形AFBF '为平行四边形，60FAF '∠=︒，在三角形AFF '中，()22222cos 3FF AF AF AF AF FAF AF AF AF AF ''''=+-⋅∠=+-⋅，所以()222332AF AF AF AF FF AF AF '+⎛⎫''+-=⋅≤ ⎪⎝⎭，即()2214AF AF FF ''+≤即221444a c ⋅≤，可得1 2c e a =≥，所以椭圆的离心率1,12e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故选C ． 【名师点睛】该题考查的是有关椭圆离心率的取值范围的求解问题，解题方法如下： （1）根据题意，结合椭圆的对称性，连接相应点，得到平行四边形； （2）根据平行四边形的性质，得到角的大小；（3）根据余弦定理，列出相应等式，结合椭圆定义以及基本不等式求得结果．5．已知P 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点，过原点的直线交椭圆于A ，B 两点，且34PA PB k k ⋅=-，则椭圆的离心率为 A ．12B ．13C ．14D．2【试题来源】安徽省六安市第一中学2020-2021学年高三上学期第四次月考（文） 【答案】A【解析】由题可设(),P x y ，()11,A x y ，11,B x y ，则2211122111PA PBy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-，22221x y a b +=，2211221x y a b+=，两式相减可得222211220x x y y a b --+=，即22212221y y b x x a -=--，2234b a ∴-=-，22234a c a -∴=，12c a ∴=，故选A.【名师点睛】（1）该题来自椭圆的一个小结论：若椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，,A B是该椭圆上关于原点对称的两点，P 为椭圆上异于,A B 的任意一点，则PA PB k k ⋅为定值，为22b a-．（2）椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．6．已知椭圆22:195x y E +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上一个动点，Q 为圆22:108400M x y x y +--+=上一个动点，则1PF PQ +的最大值为 A ．12 B 1+ C ．11D ．18【试题来源】江苏省苏州市常熟市2020-2021学年高三上学期阶段性抽测二 【答案】A【解析】由题意得12(2,0),(2,0)F F -，根据椭圆的定义可得1226PF PF a +==，所以126PF PF =-，又圆22:108400M x y x y +--+=，变形可得22(5)(4)1x y -+-=，即圆心(5,4)M ，半径1r =，所求1PF PQ +的最大值，即求1PF PM r ++的最大值，126PF PM PF PM +=-+，如图所示：当2,,P F M 共线时，2PM PF -有最大值，且为25F M ==， 所以126PF PM PF PM +=-+的最大值为5611+=，所以1PF PQ +的最大值，即1PF PM r ++的最大值为11+1=12，故选A7．已知A ､B 分别为椭圆C ：2214x y +=的左､右顶点，P 为椭圆C 上一动点，PA ，PB与直线3x =交于M ，N 两点，PMN 与PAB △的外接圆的周长分别为1L ，2L ，则12L L 的最小值为 ABCD ．14【试题来源】湖南省长郡中学、湖南师大附中、长沙市一中联合体2020-2021学年高三上学期12月联考【答案】A【解析】由已知得(2,0)A -、(2,0)B ，设椭圆C 上动点(,)P x y ， 则利用两点连线的斜率公式可知02-=+PA y k x ，02-=-PA y k x ， ()()22222100142222444---∴⋅=⋅====-+-+---PA PBx y y y y k k x x x x x x 设直线PA 方程为()2y k x =+，则直线PB 方程为()124y x k=--，根据对称性设0k >， 令3x =得5M y k =，14N y k =-，即()3,5M k ，13,4-⎛⎫ ⎪⎝⎭k N ，则154MN k k =+ 设PMN 与PAB △的外接圆的半径分别为1r ，2r ， 由正弦定理得1sin 2N P r M M N =∠，22sin ABr APB=∠，又180∠+∠=︒MPN APB ，sin sin ∴∠=∠MPN APB111222152424+∴====≥=k L r r MNk L r r ABππ，当且仅当154=k k ，即=k 等号成立，即12L LA 8．若点M 到两定点()10,1-F ，()20,1F 的距离之和为2，则点M 的轨迹是 A ．椭圆B ．直线C ．线段D ．线段的中垂线．【试题来源】四川省绵阳市绵阳南山中学2020-2021学年高三上学期11月月考（文） 【答案】C【分析】根据M 到12,F F 的距离之和正好等于12F F ，可得M 的轨迹．【解析】()10,1-F ，()20,1F ，122F F ∴=，因为点M 到两定点()10,1-F ，()20,1F 的距离之和为2，M ∴的轨迹是线段12F F ，故选C ．9．已知椭圆C 经过点()()5004A B -，，，，则椭圆C 的标准方程为 A ．22154x y +=B ．2212516x y +=C ．2211625x y +=D ．221259x y +=【试题来源】西藏日喀则市拉孜县中学2021届高三上学期第二次月考（理） 【答案】B【分析】由所给的椭圆上的点为顶点，即可求出椭圆的方程．【解析】因为椭圆C 经过点()()5004A B -，，，，所以5,4a b ==，且焦点在x 轴上， 所以椭圆的方程为2212516x y +=，故选B. 10．关于x ，y 的方程()22211ax a y +-=表示的曲线为椭圆的一个充分不必要条件为A ．12a >B ．1a >C ．12a >且1a ≠D ．12a >或0a < 【试题来源】百师联盟2021届一轮复习（二） 全国卷III 理数试题 【答案】B【分析】根据椭圆的方程可得021021a a a a >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，求出a 的取值，再根据充分条件、必要条件的定义即可求解．【解析】若方程()22211ax a y +-=表示的曲线为椭圆，则有021021a a a a >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，所以12a >且1a ≠，故选项A 和D 非充分条件，选项C 为充要条件，选项B 为充分不必要条件，故选B ．11．已知实数1,,9m 成等比数列，则椭圆221x y m+=的离心率为AB ．2 C或2D．2【试题来源】宁夏石嘴山市2020届高三适应性测试（理） 【答案】A【分析】由1，m ，9构成一个等比数列，得到m=±3．当m=3时，圆锥曲线是椭圆；当m=﹣3时，圆锥曲线是双曲线，(舍）由此即可求出离心率．【解析】因为1，m ，9构成一个等比数列，所以m 2=1×9，则m=±3．当m=3时，圆锥曲线2xm +y 2=13；当m=﹣3时，圆锥曲线2x m +y 2=1是双曲线，故舍去，则离心率为3．故选A ． 12．椭圆()2222101x y m m m+=>+的焦点为1F 、2F ，上顶点为A ，若123F AF π∠=，则m =A ．1 BCD ．2【试题来源】2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学 【答案】C【解析】在椭圆()2222101x y m m m+=>+中，a ，b m =，1c ==，如下图所示：因为椭圆()2222101x y m m m +=>+的上顶点为点A ，焦点为1F 、2F ，所以12AF AF a ==，123F AF π∠=，12F AF ∴△为等边三角形，则112AF F F =22a c ===，因此，m ．故选C ．13．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，B 是椭圆C 的上顶点，直线13x c =与直线2BF 交于点A ，若124AF F π∠=，则椭圆C 的离心率为ABC．2D．2【试题来源】江西省吉安市2021届高三大联考数学（理）（3-2）试题 【答案】A【解析】由题设知，()0,B b ，()2,0F c ，所以直线2BF 的方程为1x y c b +=，联立131x c x y c b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得，12,33A c b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线13x c =与x 轴交于点M ，则143F M c =，23MA b =， 因为124AF F π∠=，所以14233F M MA c b =⇒=，即2b c =， 所以2224a c c -=，即225a c =，所以2155e e =⇒=，故选A. 14．已知ABCDEF 为正六边形，若A 、D 为椭圆W 的焦点，且B 、C 、E 、F 都在椭圆W 上，则椭圆W 的离心率为 A1B1 C．12D．12【试题来源】湖南省株洲市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量统一检测 【答案】A【分析】设正六边形ABCDEF 的边长为1，则1c OA ==，由21AF FD a +==可得a ，从而可得椭圆的离心率．【解析】设正六边形ABCDEF 的边长为1，如图由A 、D 为椭圆W 的焦点，则在椭圆中，1c OA ==，由B 、C 、E 、F 都在椭圆W 上，则在直角三角形ADF中，DF ===由椭圆的定义可得21AF FD a +==+a =，所以12c e a ===，故选A.15．椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的上、下焦点分别为1F 、2F ，过椭圆上的点M 作向量MN使得12MN F F =，且12 F F N 为正三角形，则该椭圆的离心率为 A．2B．12CD【试题来源】2021届高三湘豫名校联考（2020年11月）（文） 【答案】D【分析】根据12 F F N 为正三角形得到点N 必在x 轴上，即可求出ON ，再根据12MN F F =，即可求出M 点的坐标，代入椭圆方程，根据离心率的公式即可求出离心率．【解析】12F F N 为正三角形，∴点N 必在x 轴上，且1260NF F ∠=︒，1tan60ON OF ∴=︒⋅=，又12MN F F =，),2Mc ∴，又点M在椭圆上，)2222(2)1c ab ∴+=，化简得424810e e -+=，解得2e ==，又01e <<，e ∴=．故选D ． 16．已知曲线Γ：22123x y λλ+=-，则以下判断错误的是A ．0λ<或3λ>时，曲线Γ一定表示双曲线B ．03λ<<时，曲线Γ一定表示椭圆C ．当3λ=-时，曲线Γ表示等轴双曲线D ．曲线Γ不能表示抛物线【试题来源】云南省西南名校联盟2021届高三12月高考适应性月考卷（理） 【答案】B【解析】对Γ：22123x y λλ+=-，当2(3)0λλ-<，即0λ<或3λ>时，曲线Γ表示双曲线，当3λ=-时，Γ：22166y x -=表示等轴双曲线，因为无论λ取何值，曲线方程均只含2x ，2y 项与常数项，因此A ，C ，D 正确；当1λ=时，Γ：222x y +=表示圆，B 错误．选B ．17．已知点P 是椭圆C ：22110064x y +=上一点，M ，N 分别是圆()2261x y -+=和圆()2261x y ++=上的点，那么PM PN +的最小值为A ．15B ．16C ．17D ．18【试题来源】安徽省六安市第一中学2020-2021学年高三上学期第四次月考（理） 【答案】D【解析】如图，椭圆C ：22110064x y +=的108a b ==，，所以6c =，故圆()2261x y -+=和圆()2261x y ++=的圆心为椭圆的两个焦点，则当M ，N 为如图所示位置时，PM PN +最小， 值为12122218PF PF MF MF a +--=-=，故选D ．18．椭圆C ：2221(0)3x y a a +=>的焦点在x 轴上，其离心率为12，则A ．椭圆CB ．椭圆C 的长轴长为4 C ．椭圆C 的焦距为4D ．4a =【试题来源】辽宁省葫芦岛市协作校2020-2021学年高三12月联考 【答案】B【分析】由离心率可求出2a =，结合椭圆的性质可求出椭圆的短轴长，长轴长，焦距．【解析】由椭圆的性质可知，椭圆C 的短轴长为12e ==，则24a =，即2a =，2231c a =-=，所以椭圆C 的长轴长24a =，椭圆C 的焦距22c =，故选B ．19．已知1F ，2F 是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，P 是椭圆上任意一点，过1F 引12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 与短轴端点的最近距离为 A ．1 B ．2 C ．4D ．5【试题来源】河南省洛阳市2021届高三上学期第一次统一考试（文） 【答案】A【分析】根据角平分线的性质和椭圆的定义可得OQ 是12F F M △的中位线， ||5OQ a ==，可得Q 点的轨迹是以O 为圆心，以5为半径的圆，由此可得选项．【解析】因为P 是焦点为1F ，2F 的椭圆2212516x y +=上的一点，PQ 为12F PF ∠的外角平分线，1QF PQ ⊥，设1F Q 的延长线交2F P 的延长线于点M ，所以1||||PM PF =，12212210,PF PF a MF PF PF +==∴=+，所以由题意得OQ 是12F F M △的中位线，所以||5OQ a ==，所以Q 点的轨迹是以O 为圆心，以5为半径的圆，所以当点Q 与y 轴重合时， Q 与短轴端点取最近距离54 1.d =-=故选A ．20．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若23ABCBCF S S=，则椭圆的离心率为A BC ．3D ．10【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第三次双基检测（理） 【答案】A【解析】设椭圆的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，由x c =-，代入椭圆方程得2by a =±，设2,b A c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(),C x y ，由23ABCBCF SS=，可得222AF F C =，即22,2(,)b c x c y a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即222c x c =-，22b y a -=，所以2x c =，22b y a =-，代入椭圆得，2222414c b a a+=，由222b a c =-得2153e =，解得e =，由01e <<，所以e =．故选A ．21．已知抛物线()220y px p =>的准线与椭圆22194x y +=相交的弦长为p =A ．1B ．2C ．3D ．4【试题来源】云南师大附中2020届高三（下）月考（理）（七） 【答案】C【解析】抛物线的准线方程为2px =-，设其与椭圆相交于A ，B两点，AB = 不妨设0A y >，根据对称知A y =32A x =-或32A x =（舍去），3p =，故选C ．22．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，过2F 垂直于x 轴的直线交C于A ，B 两点，若1AF B △为等边三角形，则椭圆C 的离心率为 A ．12B．2C ．13D．3【试题来源】天津市第一中学2020-2021学年高三上学期第二次月考 【答案】D【分析】利用椭圆方程，求出焦点坐标，通过三角形是等边三角形求解椭圆的离心率即可．【解析】椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，过2F 垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1AF B △为等边三角形，可得222b c a=，所以：)222ac a c =-，即220e +=， 因为()01e ∈，，解得3e =，故选D ． 23．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P (x 1，y 1)，Q (-x 1，-y 1)在椭圆C 上，其中x 1>0，y 1>0，若|PQ |=2|OF 2|，11||||QF PF ≥ A．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B．2]C．12⎛⎤ ⎥⎝⎦D．1]【试题来源】江苏省镇江市丹阳市吕叔湘中学2020-2021学年高三上学期11月教学调研 【答案】C【分析】根据2||2PQ OF =，可得四边形12PF QF 为矩形，设12,PF n PF m ==，根据椭圆的定义以及勾股定理可得()22242c m n n m a c =+-，再分析18m t n m=+的取值范围， 进而求得()222422c a c <≤-，再求离心率的范围即可 【解析】设12,PF n PF m ==，由210,0x y >>，知m n <， 因为()()1111,,,P x y Q x y --，在椭圆C 上，222PQ OP OF ==， 所以，四边形12PFQF 为矩形，12=QFPF；由113QF PF ≥1mn≤<， 由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①；平方相减可得()222mn a c=-②；由①②得()2222242c m n m nmn n m a c +==+-； 令=+m nt n m，令m v n ⎫=∈⎪⎪⎣⎭，所以，1t v v ⎛=+∈ ⎝⎦， 即()2224232c a c <≤-，所以，()222223a c c a c -<≤-，所以，()22211e e e-<≤-，所以，2142e <≤-解得12e <≤，故选C. 24．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 是椭圆短轴的一个顶点，且123cos 4F AF ∠=，则椭圆的离心率e = A ．12B．2 C ．14D．4【试题来源】江苏省泰州市姜堰中学、南通市如东中学、宿迁市沭阳如东中学2020-2021学年高三上学期联考 【答案】D【分析】依题意，不妨设点A 的坐标为()0b ，，在12F AF 中，由余弦定理得22142a c =，再根据离心率公式计算即可．【解析】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2(0)c c >，则椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 的坐标为()0c -，，右焦点2F 的坐标为()0c ，， 依题意，不妨设点A 的坐标为()0b ，，在12F AF 中，由余弦定理得 22212121212||||2cos F F AF AF AF AF F AF ∠=+-⋅⋅，123cos 4F AF ∠=，22223142242c a a a ∴=-⨯=，22218c e a ∴==，解得4e =．故选D ． 25．已知A ､B 为椭圆的左、右顶点，F 为左焦点，点P 为椭圆上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线与线段PF 交于M 点，与y 轴交于E 点，若直线BM 经过OE 中点，则椭圆的离心率为A ．12BC ．13D 【试题来源】黑龙江省哈尔滨市道里区第三中学校2020-2021学年高三上学期期末 【答案】C【分析】根据已知条件求出,,B H M 三点坐标，再由三点共线可得斜率相等，从而得出3a c =可得答案．【解析】由题意可设(,0),(,0),(,0)F c A a B a --，设直线AE 的方程（由题知斜率存在）为()y k x a =+，令x c =-，可得(),()M c k a c --，令0x =，可得(0,)E ka ，设OE 的中点为H ，可得0,2ka H ⎛⎫⎪⎝⎭，由,,B H M 三点共线，可得BH BM k k =，即()2kak a c a c a-=---，即为3a c =，可得13c e a ==，故选C ．26．已知命题p ：22x my =表示焦点在y 轴的正半轴上的抛物线，命题q：22162x y m m +=-+表示椭圆，若命题“p q ∧”为真命题，则实数m 的取值范围是 A ．26m -<< B ．06m <<C ．06m <<且2m ≠D ．26m -<<且2m ≠【试题来源】安徽省皖江名校联盟2021届高三第二次联考（理） 【答案】C【解析】对于命题2:2p x my =表示焦点在y 轴的正半轴上的抛物线，所以0m >，对于命题22:162x yq m m +=-+表示椭圆，所以602062m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩，解得26m -<<且2m ≠， 因为命题“p q ∧”为真命题，所以命题p 和命题q 均为真命题， 所以实数m 的取值范围是06m <<且2m ≠．故选C ．27．已知()11,0F -，21,0F ，M 是第一象限内的点，且满足124MF MF +=，若I 是12MF F △的内心，G 是12MF F △的重心，记12IF F △与1GF M △的面积分别为1S ，2S ，则A ．12S S >B ．12S SC ．12S S <D ．1S 与2S 大小不确定【试题来源】浙江省十校联盟2020-2021学年高三上学期10月联考 【答案】B【分析】作出图示，根据,I G 的特点分别表示出1S ，2S ，即可判断出12,S S 的大小关系．【解析】因为121242MF MF F F +=>=，所以M 的轨迹是椭圆22143x y +=在第一象限内的部分，如图所示：因为I 是12MF F △的内心，设内切圆的半径为r ，所以()12121222MMFMF F F rF F y ++⋅⋅=，所以3M y r =，所以12121223I MF F y F F r y S ⋅⋅===，因为G 是12MF F △的重心，所以:1:2OG GM =， 所以12112221133323M M MOF F OF F F yy S S S ⋅===⋅=，所以12S S ，故选B ． 28．已知1F 、2F 为椭圆和双曲线的公共焦点，P 为其一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为A ．BCD ．【试题来源】【新东方】【2020】【高三上】【期中】【HD -LP367】【数学】 【答案】C【解析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a 12()a a >，半焦距为c ， 椭圆和双曲线的离心率分别为1e 和2e ，11||PF r =，22||PF r =， 由椭圆和双曲线的定义可知，1212r r a +=，1222r r a -=±， 因为123F PF π∠=，由余弦定理得222121242cos3c r r r r π=+-221212r r r r =+-，所以22212121124()343c r r r r a r r =+-=-，且22212122124()4c r r r r a r r =-+=+，所以222212443(44)a c c a -=-，即2221234a a c +=，则2221314e e +=，由柯西不等式得22212121131(1)()(13e e e e ++≥⨯+，所以12113e e +≤=，当且仅当13e =，2e =时，等号成立．故选C 29．如图，设1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是以12F F 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长2PF 与椭圆交于点Q ，若124PF QF =，则直线2PF 的斜率为A ．2-B ．1-C ．12-D ．1【试题来源】浙江省宁波十校2020-2021学年高三上学期期中联考 【答案】A【解析】如下图，连接11,PF QF ，设()20QF x x =>，则14PF x =，因为122PF PF a +=，122QF QF a +=，所以224PF a x =-，12QF a x =-，在△1PF Q 中，1290F PF ︒∠=，所以22211+=PF PQ QF ，即()()()2224242x a x x a x +-+=-，整理得3a x =， 所以121244tan 22464PF x xPF F PF a x x x∠====--，所以直线2PF 的斜率为()21tan 1802k PF F ︒=-∠=-．故选A ．30．已知P 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上的点，1F ，2F 分别是C 的左，右焦点，O是坐标原点，若212OP OF OF +=且1260F PF ∠=︒，则椭圆的离心率为 A ．12BCD 【试题来源】福建省莆田第一中学2021届高三上学期期中考试 【答案】A【解析】如图所示，设M 是2PF 中点，则22OP OF OM +=，1||2||PF OM =， 因为212OP OF OF +=，所以1||||OM OF =，所以112||||2PF F F c ==，因为1260F PF ∠=︒，所以1122||||||2PF F F PF c ===．由椭圆的定义得12||||2PF PF a +=， 所以11222,,22c c c a e a +=∴=∴=．故选A 二、多选题1．已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆M 与坐标轴分别交于A ，B ，C ，D 四点，且从1F ，2F ，A ，B ，C ，D 这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆M 的离心率的可能取值为A ．3 B ．2 C ．512- D ．312- 【试题来源】湘鄂部分重点学校2020-2021学年高三上学期11月联考（理） 【答案】BC【分析】结合椭圆的对称性，只需要考虑三种情况，即以D 、C ，2F 作为三角形的三个顶点；以C 、1F 、2F 作为三角形的三个顶点或以C 、A 、2F 作为三角形的三个顶点，分别根据图形列出关于以a 、b 、c 的齐次式，化简求离心率．【解析】①如图，若以D 、C ，2F 作为三角形的三个顶点，则2DC CF ⊥， 由勾股定理可得，()()2222a ba a c ++=+，由222b ac =-，可得220c ac a +-=，即210e e +-=，因为01e <<，解得512e =；②如图，若以C 、1F 、2F 作为三角形的三个顶点， 则12CF CF ⊥，故245OCF ∠=︒，则2c e a ==；③如图，若以C 、A 、2F 作为三角形的三个顶点， 则22CF AF ⊥，245CF O ∠=︒，则22c e a ==；故选BC ．2．已知F 是椭圆2212516x y +=的右焦点，M 为左焦点，P 为椭圆上的动点，且椭圆上至少有21个不同的点()1,2,3,i P i =，1FP ，2FP ，3FP ，…组成公差为d 的等差数列，则A ．FPM 的面积最大时，24tan 7FPM ∠= B ．1FP 的最大值为8 C ．d 的值可以为310D ．椭圆上存在点P ，使2FPM π∠=【试题来源】湖北省十一校考试联盟2020-2021学年高三上学期12月联考 【答案】ABC【解析】由椭圆2212516x y +=，当点P 为短轴顶点时，FPM ∠最大，FPM 的面积最大，此时24tan 7FPM ∠=，此时角为锐角，故A 正确、D 错误； 椭圆上的动点P ，1a c PF a c -≤≤+，即有128PF ≤≤，又椭圆上至少有21个不同的点()1,2,3,i P i =，1FP ，2FP ，3FP ，…组成公差为d 的等差数列，所以1FP 最大值8，B 正确；设1FP ，2FP ，3FP ，…组成的等差数列为{}n a ，公差0d >，则12a ≥，8n a ≤，又11n a a d n -=-，所以663121110d n ≤≤=--，所以3010d <≤，所以d 的最大值是310，故C 正确．故选ABC【名师点睛】由椭圆性质知在椭圆上的点中，与焦点构成的三角形面积、以该点为顶点的角最大时，点在短轴端点上；且2||8FP ≤≤，进而可得d 的范围．3．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1F ，2F 分别为左、右焦点，1A ，2A 分别为左、右顶点，P 为椭圆上的动点，且12120PF PF PA PA ⋅+⋅≥恒成立，则椭圆C 的离心率可能为A ．12BC D ．2【试题来源】云南省楚雄州2021届高三上学期期中教学质量检测（理） 【答案】AC【解析】设()00,P x y ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，则()100,PF c x y =---，()200,PF c x y =--， ()100,PA a x y =---，()200,PA a x y =--．因为22221212022PF PF PA PA x y a c ⋅+⋅=+--2222220222b x b x a c a ⎛⎫=+--- ⎪⎝⎭222222022330c x a c a c a =+-≥-≥恒成立，所以离心率3c e a =≤．故选AC 【名师点睛】此题考查椭圆的几何性质的应用，考查的离心率的求法，解题的关键是由12120PF PF PA PA ⋅+⋅≥转化为坐标的关系，进而可得到,a c 的关系，考查计算能力，属于中档题4．设椭圆22193x y +=的右焦点为F ，直线(0y m m =<<与椭圆交于A ， B 两点，则下述结论正确的是 A ．AF +BF 为定值 B ．△ABF 的周长的取值范围是[6，12]C ．当m =时，△ABF 为直角三角形D ．当m =1时，△ABF【试题来源】海南省2020届高三高考数学五模试题 【答案】AD【解析】设椭圆的左焦点为F '，则AF BF '= 所以=6AF BF AF AF '+=+为定值，A 正确；ABF 的周长为AB AF BF ++，因为AF BF +为定值6，所以AB 的范围是()0,6， 所以ABF 的周长的范围是()6,12，B 错误；将y =(A ，B，因为)F，所以(?60BA BF ⋅=-=-<，所以ABF 不是直角三角形，C 不正确；将1y =与椭圆方程联立，解得()A -，)B ，所以112ABFS=⨯=D 正确．故选AD. 5．已知椭圆22:163x y C +=的左、右两个焦点分别为12,F F ，直线(0)y kx k =≠与C 交于A ，B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是A ．四边形12AF BF 为平行四边形B ．1290F PF ︒∠<C ．直线BE 的斜率为12k D ．90PAB ︒∠>【试题来源】重庆市第八中学2021届高三上学期高考适应性月考（二） 【答案】ABC 【解析】A 选项：根据对称性，如上图有2112,,OA OB BOF AOF OF OF =∠=∠=，所以21BOF AOF ≅，即12OAF OBF ∠=∠，则12//AF BF ，12AF BF =，所以四边形12AF BF 为平行四边形；A 正确．B 选项：由余弦定理222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠，12F F =，12,PF x PF x ==，由直线(0)y kx k =≠中k 存在故x ≠所以212cos F PF ∠=，令t x <=，则x t =+，所以212226cos 166t F PF t t∠==---，203t ≤<， 120cos 1F PF ≤∠<，即1290F PF ∠<︒；B 正确．C 选项：若(,)A m km ，则(,)B m km --，(m,0)E ，所以直线BE 的斜率为22km km =；C 正确．D 选项：由上可设:()2k PB y x m =-，联立椭圆方程22:163x y C +=，整理得22222(2)2120k x mk x m k +-+-=，若(,)p p P x y ，则2222p mkx m k -=+，即2222p mk x m k =++，322p mk y k =+，所以直线PA 的斜率为32221222mk km k mk k k -+=-+，故AB AP ⊥，即90PAB ∠=︒，故D 错误．故选ABC ． 三、填空题1．点P 是椭圆22:1167x y C +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，且12PF F △的内切圆半径为1．当点P 在第一象限时，它的纵坐标为__________．【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第五次复习检测（理） 【答案】73【分析】椭圆的焦点三角形问题，充分利用椭圆的定义，从两个角度表示出12PF F S ，建立关于p y 的关系式求解．【解析】因为128PF PF +=，126F F =，所以()1212121172PF F S PF PF F F =++⨯=；因为12121372PF F p p SF F y y =⋅==，所以73p y =．故答案为73【名师点睛】椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|＋|PF 2|＝2a 等．2．已知椭圆221164x y +=上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为6，则点P 到另一个焦点的距离为__________．【试题来源】上海市奉贤区2021届高三上学期一模 【答案】2【解析】利用椭圆定义122PF PF a +=，4a =，可知268PF +=，即22PF =.3．已知F 1，F 2是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过左焦点F 1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且|AF 1|＝3|BF 1|，|AB |＝|BF 2|，则椭圆C 的离心率为__________． 【试题来源】广西北海市北海中学2021届高三12月考试（理）【答案】5【解析】设1BF k =，则13AF k =，24BF k =，由12122BF BF AF AF a +=+=， 得25a k =，22AF k =，在2ABF 中，21cos 4BAF ∠=， 又在12F AF 中，22212(3)(2)(2)1cos 2324k k c F AF k k +-∠==⨯⨯，得2c =故离心率5c e a ==．故答案为54．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l交椭圆于A B ，两点，且A B ，的中点为112M ⎛⎫⎪⎝⎭，，则椭圆的离心率为__________． 【试题来源】吉林省梅河口市第五中学2021届高三上学期第三次月考（文）【答案】2【解析】由题意知(),0F c -，()0,P b -，所以直线FP 的斜率为00()b bc c--=---，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211221x y a b +=①，2222221x y a b+=②，①-②得2222121222x x y y a b --=-，即()()()()1112221222x x y y y y a x x b =-+--+， 因为112M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，是A B ，的中点，所以122x x +=，121y y +=，所以()()2112222x y y a b x =---，所以2122122ABy y b k x x a-==--， 因为//AB FE ，所以222b b c a-=-，即22a bc =，所以222b c bc +=，所以b c =，所以22222a b c c =+=，所以c e a ==【名师点睛】本题的关键点是利用点差法设设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减得2222121222x x y y a b --=-，112M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，是A B ，的中点，所以 122x x +=，121y y +=，可得2122122ABy y b k x x a-==--，再计算00()FP b b k c c --==---， 利用AB FP k k =结合222a b c =+即可求离心率．5．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长，则该椭圆的离心率为__________．【试题来源】北京市中国人民大学附属中学2021届高三上学期数学统练5试题【解析】如下图所示，设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，设过椭圆右焦点2F 且垂直于长轴的弦为AB ，则2AB c =，212AF AB c ==，由勾股定理可得1AF ==，由椭圆的定义可得122AF AF a +=2c a +=，所以，该椭圆的离心率为21cea====．6．已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>，左焦点(,0)F c-，右顶点(,0)A a，上顶点(0,)B b，满足0FB AB=，则椭圆的离心率为__________．【试题来源】四川省成都市第七中学2020-2021学年高三期中（文）【解析】由0FB AB=可得，()(),,0c b a b⋅-=，即222ac b a c==-，则210e e+-=，解得e=（舍）7．已知椭圆1C：()222210x ya ba b+=>>和双曲线2C：22221(0,0)x ym nm n-=>>的焦点相同，1F，2F分别为左､右焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，PM x⊥轴，M为垂足，若223OM OF=(O为坐标原点)，则椭圆和双曲线的离心率之积为__________．【试题来源】浙江省台州市六校2020-2021学年高三上学期期中联考【答案】32【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，根据223OM OF=，得到P的横坐标为23c，设12,PF s PF t==，分别利用椭圆和双曲线的定义求得,s t，然后再利用椭圆和双曲线的第二定义求解．【解析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，所以22233OM OF c==，即P的横坐标为23c，设12,PF s PF t==，由椭圆的定义得2s t a+=，由双曲线的定义得2s t m-=，联立解得,s a m t a m=+=-，设椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e，由椭圆的第二定义得22223pPF t ca a ax cc c==--，解得123t a e c=-，由双曲线的第二定义得22223p PF t cm m m x c c c==--，解得223t e c m =-，又t a m =-，则223a e c =，1232e e =，所以12232c e e e a ==，故答案为328．已知F 为椭圆22:143x y C +=的左焦点，定点()3,3A --，点P 为椭圆C 上的一个动点，则PA PF +的最大值为__________．【试题来源】湖南省长沙市广益实验中学2020-2021学年高三上学期第一次新高考适应性考试 【答案】9【分析】设椭圆的右焦点为1(1,0)F ，再利用数形结合分析求解． 【解析】设椭圆的右焦点为1(1,0)F ，111=||24||4||49PA PF PA a PF PA PF AF ++-=+-≤+==．【名师点睛】圆锥曲线中的最值问题常用的解题方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法．要根据已知条件，灵活选择方法求解．9．椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>，以原点为圆心，半径为椭圆C 的半焦距的圆恰与椭圆四个项点围成的四边形的四边都相切，则椭圆C 的离心率为__________． 【试题来源】江苏省镇江市2020-2021学年高三上学期期中【分析】由题意画出图形，利用等面积法可得关于a ，b ，c 的等式，结合隐含条件即可求得椭圆的离心率．【解析】如图所示，过点O 作22OM A B ⊥，则290OMA ∠=︒，由题意可得，22221122OB OA A B OM ⋅=⋅，即a b c ⋅=，又由222a b c =+可得，()()2222222a a c a a c c -=+-，整理可得442230a c a c +-=，因为c e a =，所以42310e e -+=，解得2e =，因为01e <<，所以12e =．故答案为12． 10．如图，过原点O 的直线AB 交椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）于A ，B 两点，过点A分别作x 轴、AB 的垂线AP ，AQ 分别交椭圆C 于点P ，Q ，连接BQ 交AP 于一点M ，若34AM AP =，则椭圆C 的离心率是__________．【试题来源】重庆市第八中学2021届高三上学期高考适应性月考（三）【分析】设11(,)A x y ，22(,)Q x y ，根据已知条件得B 、P 、M 的坐标，AB AQ ⊥、B ，M ，Q 三点共线，211211y y x x x y -=--以及1212y y x x +=+114y x ，由A ，Q 在椭圆上有2221222212y y b x x a-=--，联立所得方程即可求离心率．【解析】设11(,)A x y ，22(,)Q x y ，则11(,)B x y --，11(,)P x y -，11,2y M x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由AB AQ ⊥，则1212111212111y y y y y xx x x x x y --=-⇒=--- ①， 由B ，M ，Q 三点共线，则BQ BM k k =，即1212y y x x +=+114yx ②．因为2211221x y a b +=，2222221x y a b +=，即22221212220x x y y a b--+=，2221222212y y b x x a -=--③， 将①②代入③得2214b e a =⇒=．11．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为F ，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P，Q 两点，若||3||PF QF =，且120PFQ ∠=，则椭圆E 的离心率为__________．【试题来源】四川省眉山市仁寿第二中学2020-2021学年高三上学期第四次诊断（理） 【答案】4【解析】取椭圆的右焦点F '，连接QF '，PF '，由椭圆的对称性，可得四边形PFQF '为平行四边形，则PF QF '=，180********FPF PFQ ∠='=-∠-=，||3||PF QF =3||PF '=，而||||2PF PF a '+=，所以2a PF '=，所以32a PF =， 在PFF '中，2222222914||||58144cos 32332222a a c PF PF FF FPF e a PF PF a +-+-∠===-''''=⨯⨯，解得4e =，故答案为4． 【名师点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．本题中，由椭圆的对称性以及椭圆的定义得到2a PF '=，所以32aPF =，然后在PFF '中，根据余弦定理得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．12．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，椭圆上的点M 满足：1223F MF π∠=且122MF MF →→⋅=-，则b =__________．【试题来源】河北省保定市2021届高三上学期10月摸底考试 【答案】1【分析】先根据数量积运算得124MF MF =，再结合椭圆的定义与余弦定理即可得1b =． 【解析】因为1223F MF π∠=且122MF MF →→⋅=-，所以124MF MF =， 由椭圆的定义得122MF MF a +=，故222121224MF MF MF MF a++= 所以在12F MF △中，由余弦定理得1222212124cos 2MF M F M F c M F F MF =+-∠，代入数据得222144848288a cb ----==，解得1b =．故答案为1． 【名师点睛】解题的关键在于应用定义122MF MF a +=与余弦定理1222212124cos 2MF M F M F c M F F MF =+-∠列方程求解得1b =．13．已知椭圆的方程为222116x y m+=，焦点在x 轴上，m 的取值范围是__________．【试题来源】江西省贵溪市实验中学2021届高三上学期第二次月考数学（三校生）试题。

安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则A ．B ．C ．D ．2．已知直线与直线，则“”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列四个数中最大的是A ．B ．C ．D．4．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：与时间（单位：h ）之间的关系式为，其中为初始污染物含量，均为正的常数，已知过滤前后废气的体积相等，且在前4h 过滤掉了的污染物．如果废气中污染物的含量不超过时达到排放标准，那么该工厂产生的废气要达到排放标准，至少需要过滤的时间为A ．4hB ．6hC ．8hD ．12h5．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是A ．B ．1{244x A xy B x ⎧⎫===<<⎨⎬⎩⎭∣A B ⋂=(1,2)-[1,2)-(2,1)--(2,1]--21:10l a x y ++=2:370l x ay -+=3a =12l l ⊥lg 20lg(lg 20)2(lg 20)1lg 20P mg /L)t 0e(0)tP P t λ-=…0P 0,P λ80%00.04P ()f x ()f x 1()cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭1()sin f x x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．D ．6．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．7．已知函数，则满足的的取值范围是A ．B ．C ．D ．8．定义为不超过的最大整数，区间（或）的长度记为．若关于的不等式的解集对应区间的长度为2，则实数的取值范围为A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知，若，则下列命题正确的是A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则10．已知，且，则A ．B ．CD．11．已知函数与的导函数分别为与，且的定义域均为为奇函数，则A ．B ．为偶函数C ．D ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若“”是假命题，则实数的最小值为______．1()ln ||f x x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭1()cos f x x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭22,1()1ln(2),1x ax a x f x x x ⎧-+<-=⎨-+-⎩…R a (,0]-∞[0,)+∞[2,)-+∞[2,0]-33()e e x x f x x --=-+(22)(1)6f m f m -++>m (3,)+∞3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭7,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭[]x x []a b ，(,),[,),(,]a b a b a b b a -x []2[]6k x x >-k 40,5⎛⎤ ⎥⎝⎦14,25⎛⎫⎪⎝⎭1,12⎛⎤⎥⎝⎦4,15⎛⎤⎥⎝⎦,(0,1)(1,)m n ∈⋃+∞211log 2,log 212m n a a==-2a =2mn =2a >2mn >1mn =1a =1mn >1a >0,0ab >>24a b +=1ab (12)2a b + (2)412b a a+…()f x ()g x ()f x '()g x '(),(),(),()f x g x f x g x '',()(6)3()(2),(4)g x f x f x g x g x ''--==-+R (2)(6)0g g +=(4)f x '+()(8)f x f x =+20241()0k g k ==∑π2π,,sin 43x x m ⎡⎤∀∈>⎢⎥⎣⎦m13．若函数在时取得极小值，则的极大值为______．14．已知函数，若存在两条不同的直线与曲线和均相切，则实数的取值范围为______.四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（Ⅰ）已知函数满足，求在区间上的值域；（Ⅱ）若函数的最小值为，且，求的最小值.16．（15分）设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数13的图象的对称中心为．（Ⅰ）求实数m ，n 的值；（Ⅱ）求的零点个数.17．（15分）已知函数.（Ⅰ）若，证明：；（Ⅱ）若且存在，使得成立，求的取值范围．18．（17分）已知函数．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求的极值；（Ⅲ）若恒成立，求的取值范围．19．（17分）已知函数．2e ()1xf x x bx =++2x =()f x ()()3ln f xg x x ==+()y f x =()y g x =m 2()f x ax bx =+()(1)2f x f x x -+=()f x (0,1)2(1)1x y x x =>-M 0m M <<11M m m +-()f x '()f x ()f x ''()f x '()0f x ''=0x ()()0,x f x ()y f x =32()9f x mx nx x =+--(1,2)--()f x 2()ln 1()a f x a x a x=+-∈R 1a =()0f x …0a >0(0,e]x ∈()01f x <-a ()(1)ln ,f x a x x x a =++∈R 2a =-()y f x =(e,(e))f 1a =()f x 2()e x a f x x -+…a e ()ln ,x m f x m x m x x=--∈R（Ⅰ）讨论的单调性．（Ⅱ）当时．（ⅰ）证明：当时，；（ⅱ）若方程有两个不同的实数根，证明：．附：当时，．()f x 1m =2x …()f x x >()f x a =12,x x 122x x +>0x →2e 11,e 7.4,ln 20.7x x-→≈≈数学•答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．答案B 命题意图本题考查集合的交运算.解析由已知，得，由，得，所以，所以．2．答案A 命题意图本题考查充分必要条件的判断．解析若，则，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件．3．答案C 命题意图本题考查对数函数的性质．解析由的单调性可知，即．故最大的是．4．答案C 命题意图本题考查函数的实际应用．解析依题意得，当时，，当时，，则，可得，即，所以，当时，解得，故至少需要过滤8h才能达到排放标准．5．答案D 命题意图本题考查函数图象的识别．解析对于A ，当时，，排除A ；对于B ，因为，所以函数为偶函数，与函数图象不符，排除B ；对于C ，当时，由0，得，排除C ，故选D ．6．答案B 命题意图本题考查函数的单调性．{1}A x x =-∣ (1)244x <<22x -<<{22}B x x =-<<∣{1A B x ⋂=-∣…2}x <12l l ⊥230a a -=0a =3a =3a =12l l ⊥lg y x =lg10lg 20lg100<<1lg 202,<<21lg(lg 20)lg 21,1,(lg 20)lg 20∴<<<- 2lg 20(lg 201)lg 200,(lg 20)lg 20=->∴>2(lg 20)0t =0P P =4t =00(180%)0.2P P P =-=400e0.2P P λ-=4e0.2λ-=1ln 54λ=ln540e t P P -=ln5400e 0.04t P P P -=…8t …(0,1)x ∈()0f x <11()sin()sin f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=---=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 1()sin f x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0x >1ln ||x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭1x =解析易知在上单调递减，要使在上单调递减，则需满足解得，即的取值范围是．7．答案D 命题意图本题考查利用函数性质解不等式．解析令为奇函数，且易知在上单调递增．原不等式可转化为，即，解得．8．答案B 命题意图本题考查新定义及不等式与函数综合问题．解析设，作出的图象，因为不等式的解集对应区间的长度为2，所以解集只可能为或．当解集为时，如图（1），数形结合易知即无解．当解集为时，如图，数形结合易知即解得所以．综上，实数的取值范围为．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．答案ABC 命题意图本题考查指、对数的运算性质和函数的性质．1ln(2)y x =-+[1,)-+∞()f x R 1,2131,aa ⎧-⎪⎨⎪+⎩……0a …a [0,)+∞()(3)3e e,()()0,()xxg x f x x g x g x g x -=+-=-++-=∴ ()g x R (22)(25)3,(1)(2)3,f m g m f m g m -=-++=-+∴ (25)(2)0g m g m -+->(25)(2),252g m g m m m ->-∴->-73m >(),()|26|f x kx g x x ==-(),()f x g x []|2[]6|k x x >-[2,4)[3,5)[2,4)(2)(2),(4)(4),f g f g >⎧⎨⎩…2|226|,4|246|,k k >⨯-⎧⎨⨯-⎩…[3,5)(2)(2)(2),(4)(4),(5)(5),f g f g f g ⎧⎪>⎨⎪⎩……2226,4246, 5256,k k k ⎧⨯-⎪>⨯-⎨⎪⨯-⎩……1,1,24,5k k k ⎧⎪⎪⎪>⎨⎪⎪⎪⎩……1425k <…k 14,25⎛⎤ ⎥⎝⎦解析由题意知，所以，所以．对于A ，若，则，故A 正确；对于B ，若，则，所以，故B 正确；对于C ，若，则，解得，故C 正确；对于D ，若，则，不能得到，故D 错误．10．答案BC命题意图本题考查基本不等式的应用．解析对于A ，因为，所以，所以，故A 错误；对于，当且仅当时等号成立，故B 正确；对于C ，因为C 正确；对于D ，因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，故D 错误．11．答案ACD命题意图本题考查抽象函数及函数的性质．解析对于A ，因为为奇函数，所以，令，得，故A 正确；对于B ，由，得，又，所以，即，所以，又的定义域为，故为奇函数，故B 错误；对于C ，由，可得为常数）.，又，所以，所以，所以，所以是周期为8的函数，同理也是周期为8的函数，故C 正确；222log 12,log m a n a =-=22log ()21mn a a =-+2212a a mn -+=2a =122mn ==2a >2221(1)1a a a -+=->122mn >=1mn =2210a a -+=1a =1mn >2221(1)0a a a -+=->1a >0,0a b >>42a b =+…2ab …12112141B,(2)442444b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝…22b a ==224448a b =++=++=24a b +=42b a =-22(42)164481616b a a a a a a a-+=+=+--…a =4b =-(4)g x +(4)(4)g x g x -+=-+2x =(2)(6)0g g +=()(6)3g x f x --=()(6)0g x f x ''+-=()(2)f x g x ''=-(2)()(6)f x g x f x '''+==--(2)(6)f x f x ''+=--(4)(4)f x f x ''+=--(4)f x '+R (4)f x '+()(2),(4)(4)f x g x g x g x ''=--+=-+()(2)(f x g x b b =-+(6)(4)f x g x b -=-+=(4)g x b -++()(6)3g x f x --=()(6)()(4)3g x f x g x g x b --=++-=()(4)g x g x ++=3,(4)(8)3b g x g x b ++++=+()(8)g x g x =+()g x ()f x对于D ，，令，得，则，再令，得，又是周期为8的函数，所以，因为，所以，又，所以，故D 正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．答案命题意图本题考查全称量词命题．解析因为“”是假命题，所以“”是真命题，所以，故实数．13．答案命题意图本题考查利用导数研究函数的极值．解析由题意可得，，解得，所以，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的极大值为．14．答案命题意图本题考查导数的几何意义、公切线及函数与方程．解析设曲线上的切点坐标为，由已知得为，即上的切点坐标为，由已知得，则公切线的方程为，即，消去，得．若存在两条不同(4)(4)g x g x -+=-+0x =(4)(4)g g =-(4)0g =4x =(0)(8)g g =-()g x (0)(8)0g g ==(4)(4)g x g x -+=-+(1)(7)0,(3)g g g +=+(5)0g =(2)(6)0g g +=20241()253[(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)k g k g g g g g g g ==+++++++∑(8)]25300g =⨯=π2π,,sin 43x x m ⎡⎤∀∈>⎢⎥⎣⎦π2π,,sin 43x x m ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦…m …m e()22e (1)(1)(),(2)01x x x b f x f xbx ''-+-==++1b =-()22e (1)(2)()1x x x f x xx '--=-+()f x (,1)-∞(1,2)(2,)+∞()f x (1)e f =(0,()y f x =(11,,0x x …()f x '=y -=)1x x -y x =+()y g x =()222,3ln ,0x x x +>()g x '=1x()()22213ln y x x x x -+=-2212ln y x x x =++2212ln x x ==+1x 2222ln 4x m x +=的直线与曲线均相切，则关于的方程有两个不同的实数根．设，则，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，由可得，当且时，，当时，且，则的大致图像如图所示，所以，解得．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．命题意图本题考查二次函数的性质、基本不等式．解析（I ）由题意得，即，………………（1分）所以且，解得．所以，…………………………………………………………………………………（3分）则在上单调递增，在上单调递减，又，所以在区间上的值域为．…………………………………………………………（6分）（II ），(),()y f x y g x ==2x 24m =222ln x x +2ln (),0x h x x x +=>21ln ()x h x x '--=()0h x '>10e x <<()0h x '<1ex >()h x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭max 1()e e h x h ⎛⎫== ⎪⎝⎭()0h x =21ex =0x →0x >()h x →-∞x →+∞()0h x >()0h x →()h x 20e 4m <<0m <<22(1)(1)2ax bx a x b x x +-+-+=22ax a b x ---=22a -=0a b +=1,1a b =-=2()f x x x =-+()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭11(0)(1)0,24f f f ⎛⎫===⎪⎝⎭()f x (0,1)10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦22111111x y x f x x x ===-⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，，由（I ）知，所以，即．……………………………………（9分）所以，……（12分）当且仅当时等号成立．所以的最小值为1.…………………………………………………………………………（13分）16．命题意图本题考查利用导数研究函数的性质．解析（I ）因为，所以，所以，………………………………………………………………（3分）又因为的图象的对称中心为，所以…………………………………………………………………（5分）即解得…………………………………………………………………………（7分）（II ）由（I ）知，，所以，…………………………………………………………（9分）令，得或，……………………………………………………………………（10分）当变化时，的变化情况如下表：-31+0-0+↗14↘-18↗所以的极大值为，极小值为，…………………………………………（13分）1x >101x<<110,4f x ⎛⎫⎛⎤∈⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦1[4,)1f x ∈+∞⎛⎫ ⎪⎝⎭4M =11111141(4)2(22)1444444m m m m m m m m m m -⎛⎫⎛⎫+=-++=++⨯+= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭…2m =11M m m+-32()913f x mx nx x =+--2()329f x mx nx '=+-()622(3)f x mx n mx n ''=+=+()f x (1,2)--(1)2(3)0,(1)9132,f m n f m n ''⎧-=-+=⎨-=-++-=-⎩30,2,m n m n -+=⎧⎨-+=⎩1,3.m n =⎧⎨=⎩32()3913f x x x x =+--2()3693(3)(1)f x x x x x '=+-=+-()0f x '=3x =-1x =x (),()f x f x 'x (,3)-∞-(3,1)-(1,)+∞()f x '()f x ()f x (3)14f -=(1)18f =-又，所以有3个零点．………………………………………………………………………………（15分）17．命题意图本题考查利用导数研究函数性质．解析（I ）若，则，所以．…………（2分）由得，由得，所以在上单调递减，在上单调递增，……………………………………………（4分）所以有极小值，也是最小值，且，所以．……………………………………………………………………………………………（6分）（II ）由题意得，…………………………………………………（7分）因为，所以令，得，令，得，故在上单调递减，在上单调递增．………………………………………………（9分）若，则在上的最小值为．………………………………（10分）要使条件成立，只需，解得．…………………………………（12分）若，则在上的最小值为，………………………………………（13分）令，无解．……………………………………………………………………………（14分）故的取值范围为．……………………………………………………………………………（15分）18．命题意图本题考查导数的几何意义及利用导数求函数极值、解决不等式恒成立问题．解析（I ）当时，，故曲线在点处的切线方程为．…………………………………………（4分）（II ）当时，，则，………………………………（6分）令，得，令，得，(10)6230,(3)140f f -=-<=>()f x 1a =1()ln 1f x x x =+-22111(),0x f x x x x x '-=-=>()0f x '<01x <<()0f x '>1x >()f x (0,1)(1,)+∞()f x min ()(1)0f x f ==()0f x …222()(),0a a a x a f x x x x x '-=-=>0a >()0f x '>x a >()0f x '<0x a <<()f x (0,)a (,)a +∞0e a <<()f x (0,e]()ln 1f a a a a =+-()ln 11f a a a a =+-<-10ea <<e a …()f x (0,e]2(e)1ea f a =+-211ea a +-<-a 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭2a =-()ln ,()ln ,(e)1,(e)0f x x x x f x x f f ''=-===()y f x =(e,(e))f e y x =-1a =()2ln (0)f x x x x x =+>()3ln f x x '=+()0f x '<30e x -<<()0f x '>3e x ->所以在上单调递减，在上单调递增，………………………………………（8分）所以，无极大值．………………………………………………………（9分）（III ）令，由得，…………………………………………………………（10分）令，则在上单调递减，又，故．……………………………………………………………………………………………………（11分）下面证明当时，．易知．……………………………………………（12分）设，则，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，则，即．……（14分）设，则，当时，，当时，，故，则，即．……………………………………………（15分）故，则．故所求的取值范围是．………………………………………………………………………（17分）19．命题意图本题考查利用导数讨论函数的单调性、证明不等式．解析（I ）由已知，得．………………………（1分）当时，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增；………………………………………………（2分）当时，令，得，令，得或，所以在上单调递减，在和上单调递增；……………………………（3分）当时，在上恒成立，所以在上单调递增；…………………（4分）()f x ()30,e -()3e ,-+∞()33()e e f x f --==-极小值2()e (1)ln x a g x a x x x x -=-+-+(1)0g …11e(1)1e 0a a a a ---++=-…1()e a q a a -=-()q a R (1)110q =-=1a …1a …()0g x …212e (1)ln e 2ln x a x a x x x x x x x x ---+-+--+…()e 1x p x x =--()e 1x p x '=-(,0)x ∈-∞()0p x '<(0,)x ∈+∞()0p x '>()p x (,0)-∞(0,)+∞()(0)0p x p =…e 1x x +…()ln 1(0)t x x x x =-+>11()1x t x x x '-=-=(0,1)x ∈()0t x '>(1,)x ∈+∞()0t x '<max ()(1)0t x t ==ln 10x x -+…ln 1x x -…121e 2ln e 2(ln )20x x x x x x x x x x x x x ----+=-+--+=…()0g x …a (,1]-∞()222(1)e e e (),0x x x x m x m m f x x x x x x '---=-+=>1m …()0f x '<01x <<()0f x '>1x >()f x (0,1)(1,)+∞1e m <<()0f x '<ln 1m x <<()0f x '>1x >0ln x m <<()f x (ln ,1)m (0,ln )m (1,)+∞e m =()0f x '…(0,)+∞()f x (0,)+∞当时，令，得，令，得或，所以在上单调递减，在和上单调递增．……………………………（5分）（II ）（i ）由题可知，即证当时，．令，则．………………………………（7分）令，则．令，则，易知在上单调递增．………（8分）所以，则在上单调递增，所以，则在上单调递增，……………………………………（9分）所以，则在上单调递增，所以，原不等式得证．…………………………………………………………………………………………（10分）（ii ）当时，，由（I ）知在上单调递减，在上单调递增，所以，当且时，，由（i ）可知当时，，由方程有两个不同的实数根，得．………………………………………（12分）不妨设，则，要证，即证，又在上单调递增，所以只需证，即证．………………………………………………………………………………（13分）设，则．…………………………………………（14分）e m >()0f x '<1ln x m <<()0f x '>ln x m >01x <<()f x (1,ln )m (0,1)(ln ,)m +∞2x …e 1ln 0x x x x x--->e 1()ln ,2x s x x x x x x =---…()22e (1)1()x x x x s x x '--+-=()2()e (1)1,2x t x x x x x =--+-…()e 21x t x x x '=--()e 21,2x n x x x x =--…()(1)e 2x n x x '=+-()n x '[2,)+∞2()(2)3e 20n x n ''=->…()n x [2,)+∞2()(2)2e 50n x n =->…()t x [2,)+∞2()(2)e 50t x t =->…()0,()s x s x '>[2,)+∞2e 57.4()(2)ln 20.7 2.50.50222s x s =--≈--=>…1m =e 1()ln x f x x x x =--()f x (0,1)(1,)+∞min ()(1)e 1f x f ==-0x >0x →()f x →+∞x →+∞()f x →+∞()f x a =12,x x e 1a >-12x x <121(0,1),(1,),2(1,2)x x x ∈∈+∞-∈122x x +>212x x >-()f x (1,)+∞()()212f x f x >-()()112f x f x >-()()(2)g x f x f x =--222e 1e 1()()(2)(1)(2)x x g x f x f x x x x -'''⎡⎤--=+-=--⎢⎥-⎣⎦设，则，设，则，当时，单调递减，当时，单调递增，又因为，所以存在，使得，………………………………………………………………（15分）当时，，即，当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增．…………………………………………（16分）又因为，所以当时，，当时，，所以当时，单调递减，因为，所以，所以，故原命题得证．…………………………………………………………（17分）2e 1()x h x x -=3(2)e 2()x x h x x '-+=()(2)e 2x u x x =-+()(1)e xu x x '=-01x <<()0,()u x u x '<1x >()0,()u x u x '>(0)0,(1)2e 0,(2)2u u u ==-<=0(1,2)x ∈()00u x =00x x <<()0u x <()0h x '<0x x >()0u x >()0h x '>()h x ()00,x ()0,x +∞2e 1(1)e 1,(2)e 14h h -=-=<-01x <<()e 1h x >-12x <<()e 1h x <-01x <<()(1)[()(2)]0,()g x x h x h x g x '=---<1(0,1)x ∈()1(1)(1)(1)0g x g f f >=-=()()112f x f x >-。

2024届高三10月大联考（全国乙卷）英语·全解全析及评分标准第一部分 听力（共两节，满分30分）1—5 BCBCB 6—10 CABAC 11—15 BAACB 16—20 CABCA第二部分阅读理解（共两节，满分40分）第一节（共15小题；每小题2分，满分30分）A【语篇解读】本文是一则通知，介绍了一个演讲的相关信息，包括内容、时间、地点、演讲者等。

21. B 【解析】推理判断题。

根据第二段中的“…is for anyone looking for a solution to the constant stressfulfeelings, distraction and anxiety that disturb us in today’s fast-paced world.”可知，这个演讲能帮助人们在快节奏的世界里找到应对压力、注意力分散及焦虑的方法，故选B。

22. D 【解析】细节理解题。

根据Event Schedule部分中的“8:30 pm －10:00 pm: Vegetarian Dinner &Networking”可知，晚上8点半至10点的活动安排是吃素餐，同时进行社交活动。

故选D。

23. D 【解析】细节理解题。

根据Speaker Biography中的“He emphasizes the concept that ‘self-care isn’tselfish’”可知，Pandit Dasa认为利己不是自私，故选D。

B【语篇解读】本文是一篇记叙文，主要介绍作者参加读书活动时，倾听了非裔美籍作家Kendall Glaspie 朗读他所创作的诗歌Loved-Unloved: A Black Man’s Puzzle。

Kendall Glaspie的朗读和诗歌主题引发了作者的共鸣和对该作品的赞赏。

24. C 【解析】细节理解题。

根据第一段中的“As the audience in the library expanded, I noticed that I was amonga minority of white and elderly supporters.”可知, 出席读书会的听众中有白人和老年人。