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插值法

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时间价值计算的灵活运用 （一）知三求四的问题： F =P ×(F /P,i ，n) P =F ×(P /F,i ，n) F =A ×(F /A,i ，n) P =A ×(P /A,i ，n)
给出四个未知量中的三个，求第四个未知量的问题。

1.求年金A
【例题22·单选题】企业年初借得50000元贷款，10年期，年利率12％，每年末等额偿还。

已知年金现值系数(P ／A,12％,10)=5.6502，则每年应付金额为( )元。

Ａ.8849 B.5000 Ｃ.6000 D.28251 【答案】A
【解析】A=P ÷(P/A ，i ，n)=50000÷5.6502=8849（元）。

P =A ×(P /A,i ，n)
50000=A ×（P/A,12%，10）
【例题23·单选题】某公司拟于5年后一次还清所欠债务100000元，假定银行利息率为10%，5年10%的年金终值系数为6.1051，5年10%的年金现值系数为3.7908，则应从现在起每年末等额存入银行的偿债基金为（ ）元。

A.16379.75
B.26379.66
C.379080
D.610510 【答案】A
【解析】本题属于已知终值求年金，故答案为：100000/6.1051=16379.75（元）。

10万
0 1 2 3 4 5 A A A A A F=A ×(F/A,i ，n) 10万=A ×（F/A,10%,5） 2.求利率（内插法的应用）
【例题24·计算题】郑先生下岗获得50000元现金补助，他决定趁现在还有劳动能力，先找工作糊口，将款项存起来。

郑先生预计，如果20年后这笔款项连本带利达到250000元，那就可以解决自己的养老问题。

问银行存款的年利率为多少，郑先生的预计才能变为现实？ 【答案】50000×（F/P ，i,20）=250000
（F/P ，i ，20）=5，即（1+i ）20
=5 可采用逐次测试法（也称为试误法）计算： 当i=8%时，（1+8%）20
=4.661 当i=9%时，（1+9%）20=5.604 因此，i 在8%和9%之间。

运用内插法有i=i 1 +
1
21
B B B B --×(i 2- i 1)
i=8%+(5-4.661) ×（9%-8%）/（5.604-4.661）=8.359%
说明如果银行存款的年利率为8.359%，则郑先生的预计可以变为现实。

25万
5万
F=P ×(F/P,i ，n) 25=5×（F/P,i,20）
【例题25·计算题】某公司第一年年初借款20000元，每年年末还本付息额均为4000元，连续9年付清。

问借款利率为多少？
【答案】20000=4000×（P/A ，i ，9） （P/A ，i ，9）=5
i=13.72%
风险头寸，是指银行每天进行的外汇交易、贷款和存款存在的差额。

净敞口，是指所面临的风险的概率。

信用风险，是指因交易一方不能履行或不能全部履行交收责任而造成的风险。

假如已知对方有严重的财务危机，可能造成本单位1万元的损失。

而实际结果却造成了1万元以上的损失，这种情况就叫信用风险贴水。

套期保值，是指把期货市场当作转移价格风险的场所，利用期货合约作为将来在现货市场上买卖商品的临时替代物，对其现在买进准备以后售出商品或对将来需要买进商品的价格进行保险的交易活动。

i-8% 5-4.661
9%-8% 5.604-4.661
=
利率 系数
利率 5- 4.661
5.604-4.661
=
i-8% 9%-8% （F/P,i,20）=5
系数
5
8% i 9%
5
i-12%
14%-12% 4.9464-5.3282
5-5.3282 =。

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插值法内插与外插

插值法内插与外插

插值法内插与外插插值法(内插与外插)Interpolation and Extrapolation数学问题探讨当我们在表现资料时，常常会有需要比实际量测点上的值更细密的情况，或者是有需要在范围外预测其值。

比方说天气图的绘制，不论是气压或是雨量，都不可能做到处处都有测量站，又例如我们关心一天之中温度随时间的变化，但是实际上记录气温的动作可能只是每小时一次，则我们要作一个连续的图时，就会用到插值法。

插值法的中心议题是：在我们己具备一组表列数(tabulated value)的情况下，如何得出没被定到之区域的值。

什么样的函数才能被插值，这是数学上讨论的间问题，参见课文p.99第四段。

然而，我们会要用到插值法的场合往往都不知道描述对象背后的函数是什么形式(但相信其有连续的本质)，因此我们也只能尽力求真实。

使用插值法所建立的函数，在表列点上一定要重现原本给定的表列值，否则就不是插值法而是函数近似或曲线拟合的间问题了，它们是不一样的。

插值的作法，很直观地来讲，就是，(1)先从表列值来获得函数f(x)，再(2)用函数f(x)求出我们所要的任何特定x之f(x)函数值。

然而，比较精密且系统化的数值方法却不是用这两个步骤来进行插值，原因是前述两阶段方法对于插值的精密度并没有控制，效率较差，也比较会有进位误差。

一般在做插值法，是从欲插值点x附近的几个表列点xi开始，建立插值函数f(x)，并且也试著网罗更多表列点来插值，看随著项数变多误差会不会变小，如此找出最适合的函数f(x)。

我们会比较希望演算法在从表列值建立插值用函数时，也能提供误差分析以供我们或程式来判断。

毕竟可用的插值函数f(x)并非唯一，而即便是己设定了采用一种方法，如多项式法，也会有该使用多少项才最恰当的问题。

建立插值函数所需之邻近表列值个数，我们称之为插值法的order(阶)，较高阶未必保证得到较合理的插值，这点在多项式插值法尤其如此，要小心注意。

详见课文中之例图上两图实线都是原现象背后的真正值，短虚线代表低阶多项式插值结果，长虚线代表高阶多项式插值结果。

数据插值方法

数据插值方法

数据插值方法
数据插值方法是用于填补数据缺失或缺失值的一种技术。

常用的数据插值方法包括：
1. 线性插值法（Linear Interpolation）：通过已知数据点之间
的直线，对缺失值进行估算。

2. 多项式插值法（Polynomial Interpolation）：使用多项式函
数来拟合已知数据点，进而求得缺失值。

3. 样条插值法（Spline Interpolation）：通过光滑的曲线来插值，可分为线性样条插值、二次样条插值等。

4. K近邻插值法（K-nearest neighbor Interpolation）：基于已
知数据点的距离进行插值，找出最近的K个数据点，并计算
插值值。

5. 拉格朗日插值法（Lagrange Interpolation）：使用拉格朗日
插值多项式来估算缺失值。

6. 牛顿插值法（Newton Interpolation）：使用牛顿插值多项式
来估算缺失值。

7. 分段插值法（Piecewise Interpolation）：根据已知数据点的
特征，将数据范围划分为多个区间，并在每个区间内进行插值计算。

以上是常用的数据插值方法，每种方法都有其适用的场景和优缺点，选择适合的插值方法需要考虑数据的特点以及具体需求。

插值方法

插值方法

就是对应点上的函数值。这种形式的插值称作为拉
格朗日（Lagrange）插值。
2.n=2
线 性 插 值 只 利 用 两 对 值 (x0,y0) 及 (x1,y1) 求 得
y=f(x)的近似值，误差较大。
p2(x0)=y0,p2(x1)=y1,p2(x2)=y2
p2(x)是x的二次函数，称为二次插值多项式。
第1章 插值方法
插值法是一种古老的数学方法。早在 1000多年前，我国历法上已经记载了应用一 次插值和二次插值的实例。 拉格朗日（Lagrange）、牛顿 （Newton）、埃特金（Aitken）分别给出了 不同的解决方法。
1.1 拉格朗日插值公式 1.2 牛顿插值公式 1.3 埃特金插值公式 1.4 存在惟一性定理 1.5 插值余项 1.6 分段三次埃尔米特插值 1.7 三次样条插值 1.8 应用实例
［a,b］,有与x有关的ξ(a<ξ<b)存在, 使得
其中ω(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn)。
［例５］ 设f(x)=lnx, 并假定已给出值表试近 似计算ln(0.6)的值，并指出精度。 值表 0.4 -0.916291
x lnx
0.5 -0.693147
0.7 -0.356675
0.8 -0.223144
(x∈［-5,5］)。
取等距节点xi=-5+i(i=0,1,…,10), 试建立插值多项式 L10(x), 并作图形, 观察L10(x)对f(x)的逼近效果。
图1-3 例6的图形
1.6 分段三次埃尔米特插值
为了避免 Runge现象的发生 , 我们很自 然地会想到把区间［-5, 5］等分为10个小区 间, 在每一个小区间内应用低次插值。但由 于每个小区间只有两个端点（插值节点） , 按照我们已知的方法, 得到的将是一个分段 线性插值函数。
插值法

插值法


余项表达式只有在 f ( x)的高阶导数存在时才能 应用.
当n = 1时，线性插值余项为 1 1 R1 ( x ) = f ( ) 2 ( x ) = f ( ) ( x - x0 )( x - x1 )， [ x0 , x1 ] 2 2 当n = 2时，抛物插值的余项为 1 R2 ( x ) = f ( ) ( x - x0 )( x - x1 )( x - x 2 )， [ x0 , x 2 ] 6
1.2 二次插值
n=2
1.2.1 待定系数法 已知 x0 , x1 , x2; y0 , y1 ,y2 , 求 P2 ( x) = a0 a1 x a2 x 2
使得 P2 ( x 0 ) = y0 , P2 ( x1 ) = y1 , P2 ( x2 ) = y2
为求P2(x),将三点代入其表达式,即可得到三个方程式, 方程组的解是否存在? 若存在解,是否唯一?! 从而联立方程组解出系数a0, a1, a2即可:
插值
在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连 续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散 函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限 个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近 似值
早在6世纪，中国的刘焯已将等距二次插值 用于天文计算。17世纪之后，I.牛顿，J.-L. 拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插 值公式。在近代，插值法仍然是数据处理和 编制函数表的常用工具，又是数值积分、数 值微分、非线性方程求根和微分方程数值解 法的重要基础，许多求解计算公式都是以插 值为基础导出的
插值法就是一种基本方法 一般地，构造某种简单函数代替原来函数。
当精确函数 y = f(x) 非常复杂或未知时，在一 系列节点 x0 … xn 处测得函数值 y0 = f(x0), … yn = f(xn)，由此构造一个简单易算的近似函 数 g(x) f(x)，满足条件g(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。这里的 g(x) 称为f(x) 的插值函数。