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《圆的对称性》圆日期:目录•圆的定义与基本性质•圆的对称性概述•圆的轴对称性•圆的中心对称性•圆的对称性在日常生活中的应用•总结与展望圆的定义与基本性质定义圆是平面上所有与给定点（称为圆心）距离相等的点的集合。
几何表示通常，我们用圆心O和半径r来表示一个圆，记为⊙O(r)。
圆的定义圆中心的点，记作O，是圆的对称中心。
圆心、半径与直径圆心从圆心到圆上任一点的线段，记作r，长度等于圆的半径。
半径通过圆心，且两个端点都在圆上的线段，记作d，长度等于半径的两倍，即d=2r。
直径圆的基本性质同心性：所有与给定圆同心的圆都共享同一个圆心。
等距性：圆上任意两点到圆心的距离相等。
这些基本性质不仅定义了圆，也为后续研究圆的性质和其在各种应用中的作用奠定了基础。
圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半。
对称性：圆具有旋转对称性，任何经过圆心的角度旋转后，圆保持不变。
圆的对称性概述对称性，在几何学中，是指图形在某个变换下保持不变的性质。
例如，一个图形在旋转、翻折等操作后，如果与原图形重合，那么这个图形就具有对称性。
对称性定义几何变换包括旋转、翻折、平移等。
如果一个图形在这些变换下保持不变，我们说这个图形具有相应的对称性。
变换的种类对称性的定义实际应用圆的对称性在建筑设计、艺术设计、工程学等领域都有广泛应用，对这些应用的理解和分析需要深入研究圆的对称性。
几何基本图形圆是最基本的几何图形之一，对于理解更复杂的几何形状和结构至关重要。
数学理论圆的对称性研究也有助于推动数学理论的发展，如群论、拓扑学等。
为何研究圆的对称性圆的对称性的种类旋转对称性：圆具有旋转对称性，即无论沿着哪个方向旋转，只要旋转的角度相同，都能与原始图形重合。
平移对称性：由于圆是各向同性的，它在任何方向的平移都不会改变它的形状，这也是圆的一种对称性。
翻折对称性：圆也具有翻折对称性，即无论沿着哪条直径翻折，都能与原始图形重合。
总结起来，圆的对称性是其在各个方向上均匀性的体现，这也是它在几何学和应用领域中重要地位的原因之一。
华东师大版九年级数学下册《圆的对称性》评课稿1. 引言华东师大版九年级数学下册《圆的对称性》是一本教材中的重要章节，本篇评课稿旨在对该教材的相关内容进行评估和分析。
通过对教材的结构、教学目标、教学内容和教学方法等方面的探讨，可以更好地了解该章节的教学效果和教学价值。
2. 教材结构《圆的对称性》是华东师大版九年级数学下册的第X章，主要包含以下几个部分： - 第一节：圆的定义和性质 - 第二节：圆内角和圆心角 - 第三节：圆的对称轴 - 第四节：圆的内切与外切3. 教学目标《圆的对称性》这一章的教学目标主要包括： - 了解圆的定义和性质，掌握相关概念和术语。
- 能够计算圆的内角和圆心角，理解它们之间的关系。
- 能够找出圆的对称轴，理解对称轴的作用。
- 掌握圆的内切和外切的相关概念和判断方法。
4. 教学内容4.1 圆的定义和性质此部分主要介绍了圆的定义、圆心、半径和直径的概念。
教师可以通过实物或图片展示，引导学生观察并描述圆的特点。
同时，还可以通过练习题提供练习机会，让学生巩固对圆的定义和性质的理解。
4.2 圆内角和圆心角本节主要介绍了圆的内角和圆心角的概念。
教师可以通过示意图和实例，讲解内角和圆心角的计算方法和性质。
通过切身实践，学生能够更好地理解和运用这些概念。
4.3 圆的对称轴此部分主要介绍了圆的对称轴。
教师可以通过具体的案例，引导学生发现圆的对称轴的特征和性质。
同时，还可以通过练习题提供练习机会，让学生在实践中巩固对对称轴的理解。
4.4 圆的内切与外切本节主要介绍了圆的内切和外切的概念和判断方法。
教师可以通过实物或图片，让学生观察并描述圆的内切和外切的关系和特点。
通过实际案例的演示，学生能够更好地理解和应用内切和外切的概念。
5. 教学方法在教授《圆的对称性》这一章节时，可以采用以下教学方法： - 探究式教学方法：通过提出问题，引导学生积极思考和发现知识，培养学生的探究精神。
- 示范教学方法：通过实例和案例的演示，帮助学生理解和掌握相关概念和方法。
个性化辅导教案形又是轴对称图形的个数是_______．A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个知识点二 圆心角、弧、弦之间的关系1：已知⊙O 的半径为R ，弦AB 的长也为R ，则∠AOB ＝ ．2：已知：⊙O 的半径为2cm ，弦AB 所对的劣弧为圆的31，则弦AB 的长为 cm ；圆心到弦AB 的距离为 cm ． 3：在⊙O 中，圆心角∠AOB ＝90°，点O 到弦AB 的距离为4，则⊙O 的直径的长 ．4：若一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为 ．5：如图，AB 、CD 是⊙O 的两条弦，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，且∠AMN=∠CNM ，AB=6，则CD= ．6：若圆内直径AB 垂直弦CD 于点E ，且AE=5cm,BE=13cm,则圆心到弦CD 的距离为________cm ．7：在半径为8cm 的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ）A 、38cmB 、 34cmC 、4cmD 、8cm8：如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，且CD ＝1，则弦AB 的长是________．第8题图 第9题图 第10题图9：如右图，⊙O 的半径为5，弦AB=8，点M 是弦AB 上的动点，则OM 不可能是（ ）A 、2B 、3C 、4D 、510：如图，已知⊙O 的半径为5，点O 到弦AB 的距离为3，则⊙O 上到弦AB 所在直线的距离为2的点有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个11：如图，AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是半径AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ．求证：=AC BD．12：如图所示，已知AB交⊙O于C、D且AC=BD，你认为OA=OB吗？为什么？13：如图AB、CD是⊙O的两条弦，OF⊥CD，OE⊥AB且OE=OF求证：AB=CD．14：如图所示，点P为⊙O弦AB的中点，PC⊥OA，垂足为C，求证：PA•PB=AC•OA．【课堂练习】1：下列判断中，正确的是（）A、平分弦的直线垂直于弦；B、平分弦的直线也平分弦所对的两条弧；C、弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧；D、平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦．2：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A、CM=DMB、弧CB=弧DBC、∠ACD=∠ADCD、OM=MD第2题图第5题图3：已知圆的半径为5，圆心到弦的距离为4，则弦长为（）A、3B、6C、4D、84：已知⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，则AB、CD之间的距离为（）A、17 cmB、7 cmC、12 cmD、17 cm或7 cm5：如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（0，2），N （0，8）两点，则点P的坐标是（）A、(5，3)B、(3，5)C、(5，4)D、(4，5)6：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°，以C为圆心，以CA的长为半径的圆交AB于点D，求AD的度数．7：如图是一个装有水的水管的截面，已知水管的直径是100cm，装有水的液面宽度为AB=60cm，则水管中水的最大深度为多少？【能力大考验】1：下列语句中，正确的有（）（1）相等的圆心角所对的弧相等；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）长度相等的两条弧是等弧；（4）经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；A、1个B、2个C、3个D、4个2：如图，在半径为2cm的⊙O内有长为2cm的弦AB，则此弦所对的圆心角∠AOB的度数为（）A、60°B、90°C、120°D、150°第2题图第3题图3：如图，AB是⊙O的直径，若∠COA=∠DOB=60°，则与线段AO等长的线段（）A、3条B、4条C、5条D、6条4：⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB=6cm,CD=8cm,求两平行弦之间的距离．5：如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足P是OB的中点，CD＝6 cm，求直径AB的长．6：如图所示，点A、B为⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合），连结PA、PB，过O作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF= ．7：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，若以点C为圆心，CB为半径作圆交AB于点P，求AP=_________．第6题图第7题图第8题图8：如图，⊙O过点B、C圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为．60，求CD的长．9：如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm,∠DEB=10：如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为11：如图是一个地通桥，上面是半径为2m的半圆，下面是一矩形，半圆拱的圆心到地面2m，现一辆高3.3 m，宽2.8 m的卡车想从这里通过，问这辆卡车能过去吗？请说明理由．。
北师大版九年级数学下册：第三章 3.2《圆的对称性》精品教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第三章《圆》是整个初中数学的重要内容，而本节课《圆的对称性》则是这一章节的重点和难点。
教材从圆的轴对称性入手，引导学生探究圆的对称性质，进而推导出圆的直径所在的直线即为圆的对称轴。
本节课通过丰富的实例和生动的活动，让学生深刻理解圆的对称性，并为后续学习圆的性质打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了八年级数学的大部分内容，对轴对称图形有了一定的认识，能够理解并运用轴对称的性质。
但他们对圆的对称性的理解还不够深入，需要通过本节课的学习，进一步加强对圆对称性质的认识。
同时，学生对圆的相关知识掌握程度不一，需要在教学过程中关注不同学生的学习需求。
三. 教学目标1.理解圆的对称性，掌握圆的对称轴的定义及性质。
2.能够运用圆的对称性解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、动手操作能力和推理能力。
四. 教学重难点1.圆的对称性的理解。
2.圆的对称轴的定义及性质的掌握。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作探究法和实例分析法，引导学生从实际问题中发现圆的对称性，通过自主探究和合作交流，深入理解圆的对称性质。
六. 教学准备1.准备相关的实例和图片，用于引导学生发现圆的对称性。
2.准备圆规、直尺等学具，让学生动手操作，加深对圆对称性质的理解。
3.准备一些实际问题，用于巩固学生对圆对称性的运用。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）通过展示一些具有对称性的图片，如剪纸、建筑等，引导学生对对称性产生兴趣。
然后提出问题：“你们认为什么样的图形才能称为对称图形？”让学生回顾轴对称图形的概念。
2. 呈现（10分钟）呈现圆的轴对称性实例，如圆形的剪纸、钟表等，引导学生观察并描述圆的对称性质。
同时提出问题：“圆有对称轴吗？如果有，在哪里？”让学生思考并讨论。
3. 操练（10分钟）让学生分组，每组用圆规和直尺画出一个圆形，并用折纸的方法找出圆的对称轴。
第三章圆
《圆的对称性》教学设计说明
一、学生起点分析
学生的知识技能基础：本节课是在学生了解了圆的定义与弦、弧的定义以及旋转的有关知识的基础上进行的，它是前面所学知识的应用，也是本章中证明同圆或等圆中弧等、角等以及线段相等的重要依据，也是下一节课的理论基础，因此，本节课的学习将对今后的学习和培养学生能力有重要的作用.
二、教学任务分析
知识与技能
通过探索理解并掌握:（1）圆的旋转不变性；（2）圆心角、弧、弦之间相等关系定理.
过程与方法
通过动手操作、观察、归纳，经历探索新知的过程，培养学生实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力.
情感态度与价值观
（1）通过引导学生动手操作，对图形的观察发现，激发学生的学习兴趣．（2）在师生之间、生生之间的合作交流中进一步树立合作意识，培养合作能力，体验学习的快乐．
（3）在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心．
教学重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．教学难点：圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．
三、教学设计分析
本节课设计了七个教学环节：认识圆的对称性（轴对称图形，中心对称图形）、认识圆心角的概念、探索圆心角，弦，弧的关系、合作学习、练习提高、课堂小结、布置作业.
数学活动一：认识圆的对称性
提问一：我们已经学习过圆，你能说出圆的那些特征？
提问二：圆是对称图形吗？
（1）圆是轴对称图形吗？你怎么验证
圆是轴对称图形，对称轴有无数条（所有经过圆心的直线都是对称轴） 验证方法：折叠
（2）圆是中心对称图形吗？你怎么验证？ 同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点?
现在老师把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定． 将上面这个圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗?
通过旋转的方法我们知道：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．即圆是中心对称图形.对称中心为圆心． 数学活动二：了解圆心角的定义
如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．
数学活动三、探索圆心角定理
尝试与交流．按下面的步骤做一做：
1．在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O 和⊙O ′，沿圆周分别将两圆剪下．
2．在⊙O 和⊙O ′上分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A ′O ′B ′ (如下图示)，圆心固定．注意：∠AOB 和∠A ′O ′B ′时，要使OB 相对于0A 的方向与O ′B ′相对于O ′A ′的方向一致，否则当OA 与O ′A ′重合时，OB 与O ′B ′不能重合．
3．将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA 与O ′A ′重合．
教师叙述步骤，同学们一起动手操作．
通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由．
结论可能有：
1．由已知条件可知∠AOB=∠A ′O ′B ′．
2．由两圆的半径相等，可以得到∠OBA=∠O ′B ′A ′=∠OAB 和∠O ′A ′B ′．
3．由△AOB ≌△A ′O ′B ′可得到AB ＝A ′B ′．
4．由旋转法可知AB =''A B
刚才到的AB =''A B 理由是一种新的证明弧相等的方法——叠合法．我们在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA 与O ′A ′重合时，由于∠AOB=∠A ′O ′B ′．这样便得到半径OB 与O ′B ′重合．因为点A 和点A ′重合，点B 和点B ′重合，所以AB 和A ′B ′重合，弦AB 与弦A ′B ′重合，即AB ＝A ′B ′． 在上述操作过程中，你会得出什么结论?
在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
上面的结论，在同圆中也成立．于是得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． A
A'
这就是我们通过实验利用圆的旋转不变性探索到的圆的另一个特性：圆心角、弧、弦之间相等关系定理．
注意：在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提．否则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论．
(通过举反例强化对定理的理解)请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图．
如下图示.虽然∠AOB=∠A ′O ′B ′，但AB ≠A ′B ′AB ≠''A B
下面我们共同想一想．
在同圆或等圆中 弧相等
相等的圆心角
如果在同圆或等圆这个前提下，将题设和结论中任何一项交换一下，结论正确吗?你是怎么想的?请你说一说．
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
注意：
（1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则，丢掉这个前提，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．
（2）此定理中的“弧”一般指劣弧．
（3）要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦这四个概念和“所对”一词的含义．否则易错用此关系．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，择其有关部分．如“在同圆中，等弧所对的圆心角相等”等等．
例题： 如图，AB ，DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 的一点，且AD CE ，BE 与CE 的大小有什么关系？为什么？
（过程见课本）
（补充例题）
例．如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为EF ． A
（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
（2）如果OE=OF，那么AB与CD的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？•为什么？∠AOB与∠COD呢？
D
分析：（1）要说明OE=OF，只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中说明AE=CF，即说明AB=CD，因此，只要运用前面所讲的定理即可．（2）∵OE=OF，∴在Rt△AOE和Rt△COF中，
又有AO=CO是半径，∴Rt△AOE≌Rt•△COF，
∴AE=CF，∴AB=CD，又可运用上面的定理得到=
解：（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE=OF
理由是：∵∠AOB=∠COD
∴AB=CD ∵OE⊥AB，OF⊥CD ∴AE=1
2
AB，CF=
1
2
CD∴AE=CF
又∵OA=OC ∴Rt△OAE≌Rt△OCF∴OE=OF
（2）如果OE=OF，那么AB=CD，AB=CD，∠AOB=∠COD
理由是：∵OA=OC，OE=OF ∴Rt△OAE≌Rt△OCF ∴AE=CF
又∵OE⊥AB，OF⊥CD ∴AE=1
2
AB，CF=
1
2
CD∴AB=2AE，CD=2CF
∴AB=CD ∴AB=CD，∠AOB=∠COD
课时小结
通过这一节的学习，在得出本节结论的过程中，回忆一下我们使用了哪些研究图形的方法?(同学们之间相互讨论、归纳)
利用旋转的方法得到了圆的旋转不变性，由圆的旋转不变性，我们探究了圆心角、弧、弦之间相等关系定理
AB CD
四、教学反思
本节课的教学策略是通过教师引导，让学生观察、思考、交流合作活动，让学生亲身经历知识的发生、发展及其探求过程，再通过教师演示动态课件及引导，让学生感受圆的旋转不变性，并能运用圆的对称性研究圆中的圆心角、弧、弦间的关系定理.同时注重培养学生的探索能力和简单的逻辑推理能力.体验数学的生活性、趣味性，激发他们的学习兴趣.
（1）情景引入中运用媒体形象直观的展现了圆心角、弧、弦之间的关系，激发学生的学习兴趣，并让学生体会到数学对称之美
（2）在探究圆的旋转不变性和探究圆心角、弧、弦之间的关系定理时，教师应用白板的旋转功能让学生观察——猜想——证明——归纳的数学过程，让学生既轻松又形象直观地获得了新知.
总的来说，本节课中应充分将课堂还给学生，把数学的课堂变成了数学探讨的课堂，学生探究的课堂，让学生体验到数学的美.。
