浙江理工08091期末卷A参考答案

2003/2004学年第二学期《数学分析》期末试卷（A ）一、判断题（每题2分）1、 若，2)0,0(,1)0,0(=-=y x f f 则dy dx y x df 2),()0,0(+-=。

（ ）2、若切线的在点：，则曲线))0,0(,0,0(0),(2)0,0(,1)0,0(f y y x f z C f f y x ⎩⎨⎧===-=。

方向向量为k i s-= （ ） 3、若一元函数连续，，分别在、0000),(),(y x y x f z y x f z ==在点则),(y x f z =连续。

),(00y x （ ） 二、选择题（每题3分）1、级数∑∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+11n nn x n n 的收敛半径为 （ D ）（A ） 0 （B ） ∞+ （C ）e （D ）e12、点32)0,0(x y z +=是函数的 （ C ） （A ）极小值点 （B ）极大值点 （C ）非极值点 （D ）不能判断3、交换二次积分⎰⎰-x y dy edx 0212的积分次序 （ C ）（A ）⎰⎰-xy dx edy 12102 （B ） ⎰⎰-22121y y dx edy （C ） ⎰⎰-121022y y dx edy （D ）⎰⎰-12102xy dx edy4、设⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤=πππx x x x f 21201)(的正弦级数=∑∞=)25(),(sin 1πs x s nx b n n 则和函数为（C ）（A ）1 （B ）12-π （C ）4π（D ）0 5、利用球面坐标化三重积分1)1(:,222222≤-++Ω++⎰⎰⎰Ωz y x dv z y x 为三次积分（ A ）（A ）⎰⎰⎰ϕππρρϕϕθcos 203220sin d d d （B ）⎰⎰⎰ϕππρρϕϕθcos 20320sin d d d（C ）⎰⎰⎰ϕππρρϕϕθsin 203220sin d d d （D ）⎰⎰⎰13220sin ρρϕϕθππd d d 三、填空题（每题3分）1、广义积分⎰+∞+121sin dx xxx 收敛性为2、设=∂∂=22),,(xuy x x f u 则3、设=-=dz y z xz f z 则),,(4、=+-+>≤+⎰⎰Ddxdy y x y R R y x D )963(,0,:2222则二重积分设5、⎰=++=+lds y x xy y x a l )432(,1342222则的椭圆为周长为设三、讨论级数R p n n n p∈∑∞=,sin 11π的敛散性。

2008 ~2009学年第一学期《高等数学A 》期末考试试卷（A 卷）一、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）１．对函数3310y x x =-+在区间[]1,2-应用罗尔中值定理时，满足()0f ξ'=的ξ=（ ） (A) -1 (B) 2 (C) 1 (D) 1± 2．设(cos 1,0(),ln cos ,02x x xf x x π-⎧>⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩则（ ）(A) (0)0f '= (B) (0)1f '= (C) 1(0)2f '=(D) (0)f '不存在3．设在[]0,1上，()0f x ''<，则(0)f '，(1)f '，()(1)0f f -或()(0)1f f - 几个数的大小顺序为( ) (A) ()()(0)(1)10f f f f ''>>- (B) ()()()101(0)f f f f ''>-> (C) ()()()10(0)1f f f f ''->>(D) ()()()(0)101f f f f ''>-> 4．设()f x 在点[],a b 连续是()f x 在点[],a b 可积的（ ）(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C)充要条件 (D) 既非充分又非必要条件 5．()()ln 23f x x =-的10阶导数是（ ）(A)()1011310!23x -⋅- (B)()1011310!23x ⋅- (C)()101039!23x -⋅- (D)()101039!23x ⋅-6. 在下列广义积分中收敛的是（ ）(A)⎰+∞1xdx (B)1⎰(C)1211dx x-⎰(D)⎰+∞11dx x二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）1. 设{}{}1,4,1,4,1,1a b =-=-,则a b 与的夹角为___ ___2. 设()221lim,1n nn x f x x→∞-=+则()fx 的间断点为3．已知5x y e xy +=+，则y '=_______ __4．等边双曲线1xy =在点()1,1处的曲率为 _________5．设曲线L 的参数方程为()()0,01,,t tx f x t y ⎧=⎪=≤≤⎨⎪=⎩⎰⎰则L 的长度为6．222sin cos 1sin x x dx xππ-+=+⎰三、计算题（本题共5小题，每小题6分，满分30分，应写出演算过程及相应文字说明）1．26sin limx tx te tdt x→⎰ 2. ln cos ,sin cos x t y t t t =⎧⎨=-⎩求22d ydx3．2ln x dx x⎰ 4.1-⎰5．求极限()1211lim 111n n n n n n n →∞⎛⎫++++ ⎪ ⎪+++-+⎝⎭四、在曲线()201y xx =≤≤上取点()()2,01t t t <<，设1S 是由曲线2y x =，直线2y t =和0x =所围的面积；2S 是由曲线2y x =，直线2y t =和1x =所围的面积，求t 为何值时12S S +取最小值。

浙江理工大学2011—2012学年第2学期 《高等数学A2》期末试卷（A ）卷承诺人签名： 学号： 班级： （本试卷共四页）一、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分） 1. 函数()()224,y x y x y x f ---=的极值为（ ）A .极大值为8B ．极小值为0C .极小值为8D .极大值为02.二元函数(,)f x y 在点00(,)P x y 处 ①连续；②两个偏导数连续；③可微；④两个偏导数都存在，那么下面关系正确的是（ ）A ．③①④ B. ③②① C. ③④① D. ②③①3. 曲线222x y z z x y -+=⎧⎨=+⎩在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 4. 设⎰⎰σ=+Dy x d e I 22, 4:22≤+y x D , 则=I （ ）A.)1(24-πe B. )1(24-πe C. )1(4-πe D. 4e π 5. 设∑是球面2222x y z R ++=，则222dSx y z ∑++⎰⎰＝（ ） A. 24R π B. 4π C. 2R π D. π6. 若1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A. 条件收敛 B. 绝对收敛 C. 发散 D. 敛散性不能确定二、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1. 曲面xy z =上点M 处的法线垂直于平面52=--z y x ，则M 的坐标是 ;2. 设22z xy u -=，则u 在)1,1,2(-处的方向导数的最大值为 ;3. 交换积分顺序，有()=⎰⎰--221,y y ydx y x f dy______________________ ;4. 设椭圆L：13422=+y x 的周长为l，则⎰=+Lds y x 2)23( ;5. 设()f x 是周期为2的周期函数，它在区间(1,1]-的定义为210()01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩，则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于 .三、解答题（本题共6小题，每小题6分，满分36分）1．求过点M （4,-3,1）且与两直线：326-==zy x 和⎩⎨⎧=+-=+-+022012z x z y x 都平行的平面方程．2. 设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z zx x y∂∂∂∂∂．3. 将函数1()f x x=展开为3x -的幂级数，并求收敛域.4. 计算⎰⎰⎰Ωz y x xy d d d ，其中Ω是由柱面122=+y x 及平面0,0,1===y x z 所围成且在第一卦限内的区域.5. 求曲线积分22(2)(sin )Lxy dx x y dy --+⎰，其中L 是沿曲线1y =0，1）到点（2，1）的弧段.6. 计算曲面积分2y dzdx zdxdy ∑+⎰⎰，其中∑是球面2224(0)x y z z ++=≥的上侧.四、综合题（本题共2小题，每小题8分，满分16分）1. 验证2232(38)(812)y x y xy dx x x y ye dy ++++在整个 xoy 平面内是某一函数(,)u x y 的全微分,并求这样的一个(,)u x y .2. 求幂级数115n n n n x ∞-=∑的收敛域、和函数以及数项级数15n n n∞=∑的和.五、证明题（4分）设∑∞=12n n a 收敛，证明级数1nn a n ∞=∑绝对收敛.一、选择题（本题共6小题, 每小题4分，满分24分）1．A; 2．D ; 3．A; 4．C; 5．B ； 6.B 二、填空题（本题共5小题, 每小题4分，满分20分）1. (-1,2,-2);2. ;3.()()⎰⎰⎰⎰----+11111012,,x xdy y x f dxdy y x f dx ;4. 12l ;5.32三、解答题（本题共6小题，每小题6分，满分36分）1. 1(6,2,3)s =-,2121(2,1,4)201i j ks =-=----, ………2分取平面的法向量为12623(11,30,2)214i jkn s s =⨯=-=-----………2分所以平面方程为：11(4)30(3)(1)0x y z --++--=，即1130135x y z -+-=…2分2.121211()0z f y f yf f x y y∂''''=⋅+⋅+=+∂, ……………2分 2111122212222211[()][()]z x xf y f x f f f x f x y y y y y∂''''''''''=+⋅+⋅--+⋅+⋅-∂∂ 111222231.x f xyf f f y y''''''=+-- .………4分3.解：)3(31)(-+=x x f =)33(1131-+⋅x , ……………2分因为∑∞=+=-011)1(n n n xx ，)1,1(-∈x , 所以∑∞=-⋅-=-+⋅)33(31)1()33(1131n n n x x =∑∞=+--01)3()31()1(n n n n x , 其中1331<-<-x ，即60<<x . ……………3分 当0=x 时，级数为∑∞=031n 发散；当6=x 时，级数为∑∞=⋅-031)1(n n 发散,故x 1=∑∞=+--01)3()31()1(n n n n x ，)6,0(∈x . ………1分 4. 解：如图，选取柱面坐标系,此时⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤,10,2π0,10:r z θΩ所以π112000d d d d d cos sin d xy x y z r r r r z θθθΩ=⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ………3分=⎰⎰r r d d 2sin 213102πθθ=814)42cos (142π0=⋅-r θ. ………3分 5. 解：令22P x y =-，2(sin )Q x y =-+,则2,Py∂=-∂1,Q x ∂=-∂ ………2分 选择:1BA y =由B （2，1）到A （0，1）,则由格林公式得原式2(2L Bx y+=-⎰⎰………2分22()(2)(sin )AB DQ Pdxdy x y dx x y dy x y∂∂=--+--+∂∂⎰⎰⎰22(2)Ddxdy x dx =-+-⎰⎰⎰2208(2)423Ddxdy x dx π=-+-=-+-⎰⎰⎰. ………2分6. 解：补上221:0 (4)z x y ∑=+≤下侧。

浙江理工大学07 高等数学（A ）期终试卷题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 总分 复核教师签名得 分阅 卷 教 师 签 名一、选择题（本题共5小题, 每小题4分，满分20分）1．二元函数),(y x f 在点),(00y x 处两个偏导数),('00y x f x ，),('00y x f y 存在，是),(y x f 在该点可微的[ ]． （A ）充分而非必要条件； （B ）既非充分又非必要条件； （C ）充分必要条件； （D ）必要而非充分条件．2．设),(y x f 是连续函数，则⎰⎰>=axa dy y x f dx I 0)0(),(=[ ]．（A ）⎰⎰a y dx y x f dy 0),(； （B ）⎰⎰a aydx y x f dy 0),(；（C ）⎰⎰ayadx y x f dy 0),(； （D ）⎰⎰aadx y x f dy 0),(．3．曲面xy z =上点M 处的法线垂直于平面52=--z y x ，则点M 的坐标是[ ]．（A ）)2,2,1(--； （B ）)2,2,1(； （C ）)2,2,1(--； （D ）)2,2,1(--． 4．下列级数收敛的是 [ ]．(A) ∑∞=1tan n n π； （B ）∑∞=+12)11ln(n n ； （C ）∑∞=2ln 1n n n ； （D ）∑∞=+-12)11(21)1(n n n n n ． 5．微分方程x e y y y x cos 422=+'-'' 的待定特解的结构为[ ]．(A) x ae y x cos = (B) xAxe y x cos =(C))cos sin (x b x a xe y x += (D) )cos sin (x b x a e y x +=二、填空题（本题共5小题, 每小题4分，满分20分）1． 已知 ,yx u =则du = ． 2．设积分区域D 是由直线0=y 、1=x 及x y 2= 所围成的闭区域，则⎰⎰Dxyd σ = ．3．设∑是球面2222a z y x =++的外侧，则⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 333 = ． 4．微分方程y y xy ln '=的通解为 ．5．将函数2xx e e shx --=展开成x 的幂级数，=shx ．三（本题6分）设,0=-xyz e z 求xz ∂∂．四（本题满分6分）求微分方程x y y y 234'5''-=++的通解．五（本题8分）求dy y x dx y x L⎰+--)sin ()(22其中L 是在半圆周22x x y -=上由点)0,0(到点)1,1(的一段弧．六（本题满分8分）设曲线积分dy x x xf dx x yf L⎰-+])(2[)(2在右半平面)0(>x 内与路径无关，其中)(x f 可导，且1)1(=f ，求)(x f ．七（本题满分8分）将函数)0(1)(π≤≤+=x x x f 展开成余弦级数。