【数学】1.4.3《含有一个量词的命题的否定》课件(人教A版选修1-1)

类型二 特称命题的否定
例2 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假. (1)p：∃x0>1，使 x20 －2x0－3＝0； 解答 綈p：∀x>1，x2－2x－3≠0(假). (2)p：有些素数是奇数； 解答 綈p：所有的素数都不是奇数(假). (3)p：有些平行四边形不是矩形. 解答 綈p：所有的平行四边形都是矩形(假).
梳理
写全称命题的否定的方法：(1)更换量词，将全称量词换为存在量词； (2)将结论否定. 对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p： ∀x∈M，p(x)，它的否定綈p： ∃x0∈M，綈p(x0) . 全称命题的否定是特称 命题.
知识点二 特称命题的否定
思考
尝试写出下面含有一个量词的特称命题的否定，并归纳写特称 命题否定的方法. (1)有些实数的绝对值是正数； 答案
反思与感悟
对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后推出矛盾，或找出 存 在 符 合 条 件 的 元 素 . 一 般 地 ， 对 任 意 的 实 数 x ， a>f(x) 恒 成 立 ， 只 要 a>f(x)max；若存在一个实数x0，使a>f(x0)成立，只需a>f(x)min.
跟踪训练3 已知f(x)＝3ax2＋6x－1(a∈R). (1)当a＝－3时，求证：对任意x∈R，都有f(x)≤0； 证明
反思与感悟
全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后 进行否定.
跟踪训练1 写出下列全称命题的否定： (1)p：每一个四边形的四个顶点共圆； 解答 綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆. (2)p：所有自然数的平方都是正数； 解答 綈p：有些自然数的平方不是正数. (3)p：任何实数x都是方程5x－12＝0的根； 解答 綈p：存在实数x0不是方程5x0－12＝0的根. (4)p：对任意实数x，x2＋1≥0. 解答 綈p：存在实数x0，使得 x20 ＋1<0.

情景二 尝试对下述命题进行否定，你 发现有什么规律？
（1）存在有理数，使 x2 20；
（2）有些实数的绝对值是正数。
（ 1 ） 否 定 为 “ 并 非 存 在 有 理 数 x , 使 x 2 2 0 ” .
即 “ 对 所 有 的 有 理 数 x ,x 2 2 0 ” .
命 题 否 定 后 ， 存 在 量 词 变 为 全 称 量 词 ， “ 肯 定 ” 变 为 “ 否 定 ” 。
（1）﹁p：存在一个能被3整除的整数不是奇
数；
（2）﹁p：存在一个四边形，其四个顶点不
共圆；
（3）﹁p： x0∈Z，x02的个位数字等于3.
变式训练:写出下列全称命题的否定,并判断其真假.
1p:对所有的正实数x,都有 xx; 2q:xR,2x33x≥17; 3r:xR,sinxcosx≤2.
新课讲授
从形式看，全称命题的否定是特称命题。
含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论
全称命题 p : xM,p(x)
它的否定 p : xM,p(x)
理论迁移
例1 写出下列全称命题的否定： （1）p：所有能被3整除的整数都是奇数 （2）p：每一个四边形的四个顶点共圆
（3）p：x∈Z，x2的个位数字不等于3.
1.4.3 含有一个量词的命题的否定
复习回顾
1. 全称量词与存在量词的含义及 其符号表示分别是什么？
全称量词：表示“全体”的量词，用符
号“ ”表示；
存在量词：表示“部分”的量词，用符
号“ ”表示.
复习回顾
2.全称命题与特称命题的含义及其一般 表示形式分别是什么？
含 义 一般表示形式
全称命题 特称命题
¬r为假命题.

1．含有一个量词的命题的否定
命题 全称命题p 全称命题的否定¬p 特称命题p 特称命题的否定¬p
命题的表述
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，¬p(x0) ∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，¬p(x)
2.重要结论
(1)全称命题的否定是；特称命题
(2)特称命题的否定是．全称命题
1．命题“任意四边形都有外接圆”的否定为( ) A．任意四边形都没有外接圆 B．任意四边形不都有外接圆 C．有的四边形没有外接圆 D．有的四边形有外接圆 答案： C
[题后感悟] (1)特称命题的否定是全称命题，要否定特称命 题“∃x∈M，p(x)成立”，需要验证对M中的每一个x，均有p(x) 不成立，也就是说“∀x∈M，¬p(x)成立”．
(2)要证明特称命题是真命题，只需要找到使p(x)成立的条件 即可．
(3)只有“存在”一词是量词时，它的否定才是“任意”， 当“存在”一词不是量词时，它的否定是“不存在”．例如： 三角形存在外接圆．这个命题是全称命题，量词“所有的”被 省略了，所以，这个命题的否定是：有些三角形不存在外接 圆．
解析： (1)綈p：∃x∈{二次函数}，x的图象不是抛物 线．假命题．
(2)綈p：在直角坐标系中，∃x∈{直线}，x不是一次函数的 图象．真命题．
(3)綈p：∀x∈{四边形}，不存在外接圆．假命题． (4)綈p：所有棱柱的侧棱都不垂直于底面．假命题.
判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定： (1)所有的矩形都是平行四边形． (2)不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根． (3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解． (4)每个三角形至少有两个锐角．
都是
至多一个 至少一个
任意 所有的
词语的否定 不等于

教材新知导学
知识点一：含有一个量词的命题的否定
1．全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：_∃_x_∈__M__，__¬__p_(x_)___． 2．特称命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定¬p：_∀_x_∈__M__，__¬__p_(_x)___．
3．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，因此， 我们可以通过“举反例”来否定一个全称命题．
4．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则( ) A．¬p：∀x∈R，sinx≥1 B．¬p：∃x∈R，sinx≥1 C．¬p：∀x∈R，sinx>1 D．¬p：∃x∈R，sinx>1 [答案] D [解析] 将“∀”改为“∃”，将“≤”改为“>”即可．
典例探究学案
命题方向一：全称命题、特称命题的否定
跟踪训练
若存在 x0∈R，使 ax20＋2x0＋a＝0，则实数 a 的取值范围是 __________.
[答案] －1<aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
[解析] 当 a＝0 时，x0＝0 满足题意． 当 a≠0 时，由题意知方程 ax2＋2x＋a＝0 有实数根， ∴aΔ≠＝04－4a2≥0 ，∴－1<a<0 或 0<a<1. 综上可知－1<a<1.
确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应 结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称 量词，同时否定结论．
对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词 的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．
跟踪训练
写出下列命题的否定． (1)p：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0； (2)p：有的三角形是等边三角形； (3)p：所有能被3整除的整数是奇数； (4)p：每一个四边形的四个顶点共圆． [解析] (1)¬p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0. (2)¬p：所有的三角形都不是等边三角形． (3)¬p：存在一个能被3整除的整数不是奇数． (4)¬p：存在一个四边形的四个顶点不共圆.