镇江市2009届高三第三次调研测试数学试卷(word版,含答案)
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镇江市2009届高三第三次调研测试数学试卷命题单位：镇江市教育局教研室第Ⅰ部分(正卷)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分。
不需写出解答过程。
请把答案写在答题纸的指定位置上。
1、已知集合｝｛40|A <≤=x x ，｝｛2|1|B ≤-=x x ，则B A = ，2、已知复数z 满足10)31(=+z i ,则z = 。
3、命题“存在Z x ∈，使032≤++m x x ”的否定是 。
4、下面是一个算法的程序框图，当输入的值x 为8时，则其输出的结果是 。
5、设A 是满足不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤4040y x 的区域，B 是满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤444y x y x 的区域；区域A 内的点P 的坐标为()y x ,，当R y x ∈,时，则D P ∈的概率为 。
6、一个三棱锥的三视图是三个直角三角形， 如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积 为 。
7、某班学生在一次数学考试中成绩分布如下表：的累积频率是 （精确到8、点),(y x P 在直线04=-+y x 上，则22y x +的最小值是 。
9、设[]x 表示不超过x 的最大整数，则x 的不等式[][]03652≤--x x 的解集是。
10、已知数列{}n a 对于任意*,N q p ∈，有q p q p a a a +=+，若521=a ，则=100a 。
11、已知41)6sin(=-απ，则)26sin(απ+= 。
12、函数1)3(l o g -+=x y a )1,0(≠>a a 且的图象恒过定点A ，若点A 在直线02=++ny mx 上，其中0>mn ，则nm 21+的最小值为 。
13、已知点O 在ABC ∆内部，且有OC OB AB 54+=，则OAB ∆与OBC ∆的面积之比为 。
14、已知过点)3,9(P 的直线l 与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点，则距离AB 最小值为 。
二、解答题：本大题共6小题，计90分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内。
15、（本小题满分14分） 已知21)4tan(=+απ（1） 求αtan 的值；（2）求ααα2cos 1cos 2sin 2+-的值。
16、（本小题满分14分）多面体ABCDE 中，1====AE AC BC AB ，2=CD ，ABC AE 面⊥，CD AE //。
（1）求证：BCD AE 面//；（2）求证：BCD BED 面面⊥。
17、(本小题满分15分)如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花园AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知AB=3米，AD=2米，（1）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内? (2)当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小?并求最小面积；(3)若AN 的长度不少于6米，则当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小面积。
18、（本小题满分15分）已知圆4)4()3(:22=-+-y x C ，直线1l 过定点)0,1(A 。
（1）若1l 与圆相切，求1l 的方程；（2）若1l 与圆相交于Q 、P 丙点，线段PQ 的中点为M ，又1l 与022:2=++y x l 的交点为N ，判断AN AM ∙是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由。
19、（本小题满分16分） 已知直线01:=+-y x l ，⊙2:22=+y x O 上的任意一点P 到直线l 的距离为d 。
当d 取得最大时对应P 的坐标()n m ,，设x xn mx x g ln 2)(-+=。
（1） 求证：当1≥x ，0)(≥x g 恒成立； （2） 讨论关于x 的方程：tx exx x g xn mx +-=-+2342)(根的个数。
20、（本小题满分16分）已知数列}{n a 和}{n b 满足：λ=1a ，n a a n n +=+321，)93()1(+--=n a b n nn ，其中λ为实数，n 为正整数。
（1） 若数列}{n a 前三项成等差数列，求λ的值；（2） 试判断数列}{n b 的前n 项和，是否存在实数λ，使得对任意正整数n 都有b S a n <<？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由。
参考答案第Ⅰ部分（正卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分。
1、[]3,02、103、对任意Z x ∈使032>++m x x 4、2 5、216、π147、57.08、89、{}104<≤-x x 10、40 11、87 12、4 13、1:5 14、38二、解答题：本大题共6小题，计90分。
解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内。
15、解：（1）解：αααπαπαπtan 1tan 1tan 4tan1tan 4tan)4tan(-+=-+=+，由21)4tan(=+απ，有21tan 1tan 1=-+αα，解得31tan -=α。
……7分（2）解法一：1cos 21cos cos sin 22cos 1cos 2sin 222-+-=+-ααααααα ……11分65213121tan cos 2cos sin 2=--=-=-=αααα。
……14分解法二：由（1），31t a n -=α，得ααcos 31sin -=∴αα22cos 91sin = αα22cos 91cos 1=-∴109cos 2=α ……10分于是541cos 22cos 2=-=αα，53cos 32cos sin 22sin 2-=-==αααα ……12分代入得65541109532cos 1cos 2sin 2-=+--=+-ααα。
……14分 16、证明：（1）∵CD AE //BCD AE 面⊄∴BCD AE 面// ……4分（2）令BC 中点为N ，BD 中点为M ，连结MN 、EN∵MN 是BCD ∆的中位线∴CD MN // ……6分又∵CD AE // ∴MN AE //∴ABC MN 面⊥ ……8分 ∴AN MN ⊥∵ABC ∆为正∆∴BC AN ⊥ ……10分 ∴BCD AN 面⊥又∵1==MN AE ，MN AE //∴四边形ANME 为平行四边形 ……12分∴BCD EN 面⊥∴BCD BED 面面⊥ ……14分17、解：（1）设x AN =米，()2>x ，则2-=x ND∵AM AN DC ND = ∴AM x x =-32∴23-=x x AM ……2分∴3223>>-x x x∴0643232>+-x x ……4分 ∴0)8)(83(>--x x ∴382<<x 或8>x ……5分 （2）212)2(12)2(32322-+-+-=-=x x x x xS AMPN ……7分12212)2(3212)2(12)2(32+-+-=-+-+-=x x x x x2412362=+≥此时4=x ……10分（3）∵12212)2(3+-+-=x x S AMPN )6(≥x令t x =-2)4(≥t ，12123)(++=tt t f ……11分∵2123)(tt f -='当4≥t 时，0)(>'t f ∴12123)(++=tt t f 在[)+∞,4上递增 ……13分∴27)4()(min ==f t f此时6=x ……14分 答：（1）382<<AN 或8>AN（2）当AN 的长度是4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小面积为24平方米； （3）当AN 的长度是6米时，矩形AMPN 的面积最小，最小面积为27平方米。
……15分 18、（1）解：①若直线1l 的斜率不存在，即直线是1=x ，符合题意。
……2分 ②若直线1l 斜率存在，设直线1l 为)1(-=x k y ，即0=--k y kx 。
由题意知，圆心)4,3(以已知直线1l 的距离等于半径2，即：21432=+--kk k ，解之得43=k ……5分所求直线方程是1=x ，0343=--y x ……6分 （2）解法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为0=--k y kx由⎩⎨⎧=--=++0022l y kx y x 得)123,1222(+-+-K k K k N ……8分又直线CM 与1l 垂直，由⎪⎩⎪⎨⎧--=--=)3(14x k y k kx y 得)124,134(2222k k k k k k M +++++ ……11分 ∴22222222)123()11222()124()1134(+-+-+-⋅+++-+++=⋅k k k k kkkkk kAN AM……13分6121311122222=++⋅+++=k k kkk 为定值。
故AN AM ⋅是定值，且为6。
……15分 19、解：（1）由题意得)1,1(-P ， ……2分∴1=m ，1=n ∴x xx x xn mx x g ln 21ln 2)(--=-+= ……3分∴0)1(12211)(22222≥-=+-=-+='xx xx x xxx g ，∴)(x g 在[)+∞,1是单调增函数， ……5分 ∴01ln 211)1()(=--=≥g x g 对于[)+∞∈,1x 恒成立。
……6分（2）方程tx exx x g xn mx +-=-+2342)(； ∴tx ex x x +-=2342ln 2 ……7分∵0>x ，∴方程为t ex x xx +-=42ln 22……9分令xx x L ln 2)(=，t ex x x H +-=42)(2，∵2ln 12)(xx x L -='，当),0(e x ∈时，0)(≥'x L ，∴)(x L '在(]e ,0上为增函数；[)+∞∈,e x 时，0)(≤'x L ， ∴)(x L '在[)e ,0上为减函数， ……12分 当e x =时，ee L x L 2)()(max == ……13分2222)(242)(e t e x t ex x x H -+-=+-=，∴函数)(x L 、)(x H 在同一坐标系的大致图象如图所示， ∴①当ee t 222>-，即ee t 222+>时，方程无解。
②当e e t 222=-，即e e t 222+=时，方程有一个根。
③当ee t 222<-，即ee t 222+<时，方程有两个根。
……16分第Ⅱ部分（附加卷） 一、必做题21、解：（1）由92411=+-++n n n n a a a a 得4124291--=--=+n nn n a a a a ，求得372=a ，5133=a ，7194=a ……3分(2)猜想1256--=n n a n ……5分证明：①当1=n 时，猜想成立。
