高考数学大一轮复习 4.7正弦定理、余弦定理 理 苏教版

第七节 正弦定理和余弦定理1．正弦定理 2．余弦定理 3．三角形的面积公式第一课时 正弦定理和余弦定理(一) 考点一 利用正、余弦定理解三角形考法(一) 正弦定理解三角形[典例] (1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝30°，则cos B ＝________.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.考法(二) 余弦定理解三角形[典例] (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，则△ABC 的周长为( ) A ．7.5 B ．7 C ．6 D ．5(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b 2c －a ＝sin Asin B ＋sin C，则角B ＝________. [题组训练]1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( ) A.24 B ．－24 C.34 D ．－342.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π33.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C . (1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值．考点二 判定三角形的形状[典例] (1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝a c ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形[变透练清]1.(变条件)若本例(1)条件改为“a sin A ＋b sin B <c sin C ”，那么△ABC 的形状为________．2.(变条件)若本例(1)条件改为“c －a cos B ＝(2a －b )cos A ”，那么△ABC 的形状为________．3.(变条件)若本例(2)条件改为“cos A cos B ＝ba＝2”，那么△ABC 的形状为________．[课时跟踪检测]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin A a ＝cos Bb ，则B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定3．在△ABC 中，cos B ＝ac (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b＝( )A ．14B ．6 C.14 D. 65．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π66．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(b cos A ＋a cos B )＝c 2，b ＝3,3cos A ＝1，则a ＝( )A. 5 B ．3 C.10 D ．47．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________.8．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c＝________.9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，且a ＝2c ，则cos A ＝________.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝2B . (1)求证：a ＝2b cos B ； (2)若b ＝2，c ＝4，求B 的值．12．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)求A 的大小； (2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．第二课时 正弦定理和余弦定理(二)考点一 有关三角形面积的计算[典例] (1)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝7，c ＝4，cos B ＝34，则△ABC 的面积等于( ) A ．37 B.372 C ．9 D.92(2)△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，则B ＝______. [变透练清]1.(变条件)本例(1)的条件变为：若c ＝4，sin C ＝2sin A ，sin B ＝154，则S △ABC ＝________. 2.(变结论)本例(2)的条件不变，则C 为钝角时，ca 的取值范围是________．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(2b －a )cos C ＝c cos A . (1)求角C 的大小；(2)若c ＝3，△ABC 的面积S ＝433，求△ABC 的周长．考点二 平面图形中的计算问题[典例] 如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π4，AB ⊥AD ，AB ＝1.(1)若AC ＝5，求△ABC 的面积； (2)若∠ADC ＝π6，CD ＝4，求sin ∠CAD .[题组训练]1.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为________．2.如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，且∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列．(1)求sin ∠CED ；(2)求BE 的长．考点三 三角形中的最值、范围问题[典例] (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，A ≠π2，sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，则角A 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6B.⎝⎛⎦⎤0，π4C.⎣⎡⎦⎤π6，π4D.⎣⎡⎦⎤π6，π3 (2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2A ＋cos 2B ＝2cos 2C ，则cos C 的最小值为( )A.32 B.22 C.12 D ．－12[题组训练]1．在钝角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为钝角，若a cos A ＝b sin A ，则sin A ＋sin C 的最大值为( ) A. 2 B.98 C ．1 D.782．在△ABC 中，已知c ＝2，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，则a ＋b 的取值范围为________． 3．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos B b ＋cos C c ＝sin A3sin C .(1)求b 的值；(2)若cos B ＋3sin B ＝2，求△ABC 面积的最大值．考点四 解三角形与三角函数的综合应用考法(一) 正、余弦定理与三角恒等变换[典例] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知 b sin A ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6. (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．考法(二) 正、余弦定理与三角函数的性质[典例] 已知函数f (x )＝c os 2x ＋3sin(π－x )c os(π＋x )－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，b sin C ＝a sin A ，求△ABC 的面积．[对点训练]在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，(2a －c )cos B －b cos C ＝0. (1)求角B 的大小；(2)设函数f (x )＝2sin x cos x cos B －32cos 2x ，求函数f (x )的最大值及当f (x )取得最大值时x 的值． [课时跟踪检测]1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为( ) A.12 B.14C ．1D ．22．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，则角B 的大小为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π63．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝3， S △ABC ＝22，则b 的值为( ) A ．6 B ．3 C ．2 D ．2或34．在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，t a n ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．25．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a sin B ＝3b cos A ，当b ＋c ＝4时，△ABC 面积的最大值为( )A.33 B.32C. 3 D ．2 3 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( )A ．2＋ 3B ．2＋ 2C ．3D ．3＋ 27．在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 12b cos A ＝sin B ，且a ＝23，b ＋c ＝6，则△ABC 的面积为________．9．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠BAC ＝π2，点D 在边BC 上，AD ＝1，且BD ＝2DC ，∠BAD ＝2∠DAC ，则sin Bsin C＝________.10．如图所示，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E为垂足，若DE ＝22，则cos A ＝________.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c (1＋cos B )＝b (2－cos C )． (1)求证：2b ＝a ＋c ；(2)若B ＝π3，△ABC 的面积为43，求b .12．在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长；(2)求c os ⎝⎛⎭⎫A －π6的值．。

cos B＝____2_a_c____； a2＋b2－c2
cos C＝_____2_a_b_____
④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A
解斜
①已知三边，求各角；
三角 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和它们的夹
形的 ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 角，求第三边和其他两
第四章 三角函数与解三角形
第22讲 解三角形
激活思维
1．在△ABC中，已知a＝7，b＝5，c＝3，则角A的大小为
(
A)
A．120°
B．90°
【解析C】．由60余°弦定理知 cos A＝b2＋2cb2c－a2D＝．－4125，°所以 A＝120°.
2．在△ABC 中，设 b＝5，c＝5 3，A＝30°，则 a＝
问题
个角
2．三角形常用面积公式
(1) S＝12a·ha(ha 表示边 a 上的高)； (2) S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A.
3．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式 解的个数
a＝b sin A __一__解____
b sin A＜a＜b ___两__解___
6＋ 2
则由正弦定理sinb B＝sinc C，得 c＝bssininBC＝2ssiinn6705°°＝2×
4 3
＝
2＋
6 3.
2
6
3 A＝4，B＝π，b＝ 3，则 a＝5______，c＝____5________．
53
【解析】由 cos A＝45，可知 A 为锐角，所以 sin A＝ 1－cos2A＝35.由正弦定理，得 a＝

导学目标：1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题 .2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.自主梳理1. 三角形的有关性质(1) 在厶 ABC 中，A + B + C - __ ; (2) a + b ___ c , a — b <c ；⑶ a>b ? sin A _____ s in B ? A _____ B ；1 1(4)三角形面积公式：Si\ABC = ^ah = ^ab sin C 1=q ac sin B =1. （xx •上海改编）若厶ABC 的三个内角满足 sin A ： sin B ： sin C = 5 ： 11 ： 13,则a :b :c = ________ .2. ________________________ （xx •天津改编）在厶ABC 中,内角A B, C 的对边分别是 a ,b ,c ,若a 2— b 2= 3bc , sin C = 2^3sin B 贝U A = .3. （xx •烟台一模）在厶ABC 中，A = 60°, b = 1, △ ABC 的面积为，3,则边a 的值为(5)在三角形中有：sin 2 角形；sin( A + B ) = sin C, sinA = sin 2B ? A = B 或 ?三角形为等腰或直角三A + B厂=cosC2.4. （xx •山东）在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c.若a = . 2, b= 2, sin2 n5. （xx •北京）在厶ABC中，若b= 1, c=^3, C=，贝U a= _________课堂话动區|突破考点研祈热点MI MI-w -w -^r -MI MI探究点一正弦定理的应用例 1 (1)在厶ABC中, a= •. 3, b= 2, B= 45°，求角A C和边c；⑵在厶ABC中, a= 8, B= 60°, C= 75°,求边b 和c.、 1变式迁移 1 (1)在厶ABC中，若tan A= — , C= 150°,BC= 1,贝U AB= _________3⑵在厶ABC中，若a= 50, b= 25托,A= 45°，贝U B= ________ .探究点二余弦定理的应用例2 已知a、b、c分别是△ ABC中角A、B C的对边，且a2+ c2—b2= ac.(1)求角B的大小；⑵若c= 3a,求tan A的值.变式迁移2 在厶ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，B= 牛，b= 13, a + c= 4,求a.探究点三正余弦定理的综合应用例3 在厶ABC中, a、b、c分别表示三个内角A B、C的对边，如果(a2+ b2)sin( A—B = (a2—b2)sin( A+ B，试判断该三角形的形状.AC cos B变式迁移3 （xx •天津）在厶ABC中, = .•AB cos C（1）证明：B= C⑵若cos A= —3,求sin j4B+专的值.1.解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用.2•在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍.3. 在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点：一是要用到三角形的内角和及正、余弦定理，二是要用到三角变换、三角恒等变形的原则和方法. “化繁为简” “化异为同”是解此类问题的突破口.（满分：90分）一、填空题（每小题6分，共48分）1. （xx •湖北改编）在厶ABC中，a= 15, b= 10, A= 60°，贝U cos B=2.在△ ABC中, AB= 3, AO 2, BO^10，贝U XB- XC- ________ .2A c —b3•在△ ABC中, sin 2="2^（a,b,c分别为角A,B,C的对边），则△ ABC勺形状为____4. （xx •苏州调研）在厶ABC中，若A= 60°, BC- 4 3, AO 4 2，则角B的大小为5. _____________________________ （xx •湖南改编）在厶ABC中，角A, B, C所对的边长分别为a, b, c,若C= 120°, c= Q2a,则a, b的大小关系为.6. __________________________________________________________ 在△ ABC中, B= 60°, b2= ac,则厶ABC的形状为_________________________________________ .7. __________________________ （xx •广东）已知a, b, c分别是△ ABC的三个内角A, B, C所对的边，若a= 1, b =^3, A+ C= 2B,则sin C—.8. （xx •福建龙岩高三一模）在锐角△ ABC中，ADLBC垂足为D,且BD： DC： AD=2 :3 : 6,则/ BAC的大小为_________ .二、解答题（共42分）A9. （14分）（xx •浙江）在厶ABC中,角A, B, C所对的边分别为a, b, c,且满足cos?= ¥ AB- XC= 3.5（1）求厶ABC的面积；（2）若b+ c = 6,求a的值.10. （14分）（xx •陕西）在厶ABC中，已知B= 45°, D是BC边上的一点，AD= 10, AC =14 , DC= 6, 求AB的长.2 211. （14 分）（xx •重庆）设厶ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3b + 3c —3a2=课IS境习IE 聃題is炳规把答凰4 2bc.（1）求sin A的值；（（n 、2sin i A+ —sin i B+ C+ 丁⑵求 --------- 匚 --------------- 的值.5. 1B = 2. vC 为钝角，•••nB必为锐角」B=7,解析 方法由正弦定理,12 n sin B'sin3边, •- A =——.•- a = b = 1.6 方法二 由余弦定理c 2= a 2 + b 2— 2ab cos C 得， 3= a + a + 1，即 a + a — 2 = 0, 解得a = 1, a = — 2（舍去）. 课堂活动区 例1解题导引 已知三角形的两边和其中一边的对角， 但要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、 方法如下：在△ ABC 中，已知a 、b 和A ,求B.若A 为锐角, =b sin A 时，有一解；③当 b sin A <a <b 时，有两解；④当 角或钝角，①当a >b 时，有一解；②当 a w b 时，无解. 解⑴由正弦定理拓—=侖得，sin 山三3•••a>b,.・. A >B ,「. A = 60° 或 A = 120°.当 A = 60° 时，C = 180°b sin C 6+ . 2c= __ =可利用正弦定理求其他的角和 无解三种情况.具体判断①当a > b 时，有一解；②当 a <b sin A 时，无解.若 A 为直 —45°— 60°= 75°,sin B 2当 A = 120° 时，C = 180 b sin C 疋-灵c= sin B综上，A = 60°, C = 75 或 A = 120°, C= 15°,⑵ v B= 60°, C = 75°a b—45°— 120°= 15°, c乖+忑,c = 2 , 6— .2 c =厂.,• A = 45°.c由正弦定理.sin A sin B sin C + a • sin B 厂 a • sin C 厂 得 b = = 4 6, c == 4 3+ 4.sin A、sin A Y• b = 4, c = 4 3+ 4.答案自主梳理 1. (1) n (2)>(3)>> (4) ^bc sin A (5) A + 4与 2.—A • B • C 2 2 sin A sin B sin Cb 22 2 2 2 2+ c — 2bc cos A a + c — 2ac cos B a + b — 2ab cos C2F Sin A 2F Sin B 2R sin Ca 2Rb 2R csin A : sin2R自我检测2 | 2 2b +c — aB: sin C2bc2,2 2 a + c — b 2ac2ab1. 5： 11 ：132.30 °3.莎4. -6变式迁移1 ⑴冷° (2)60或 120°解析 (1) •••在厶ABC 中，tanA = 3, C = 150° 1 A=——.又T BC= 1. 10 _ 5 BC- sin C =典 AB= sin A = ~^2~ a b ••• A 为锐角，••• sin •••根据正弦定理得 ⑵由b >a ，得BA ,由乔=乔， 得sin B = b s 丄仝牡x ，=二得 a 50 2 2， •/ 0°<B <180°,A B = 60° 或 B= 120° 222例 2 解(1) T a + c — b = ac , 2 2.2“a + c —b 1 • cos B = =~. T 0<B <n , •2ac 2⑵ 方法一 将c = 3a 代入a 2 + c 2— b = ac , b = 7a .亠 b 2 + c 2— a 2弭7 由余弦定理，得 cos A = =^4. 0<A < n , • sin A = ；：： 1 — cos ?A = 口 ,A sin A J 3•- tan A = = 士一. cos A 5方法二 将 c = 3a 代入 a 2+ c 2— b 2= ac , 得b = 7a .由正弦定理，得 sin B = 7sin 由(1)知，B =n , • sin A^ ^41. 又 b = 7a >a ,「. B >A ,2 5 .7 • cos A = 1 — sin A =^^. • tan方法三 T c = 3a ,由正弦定理，得2n sin A = A.cos A 5 ' sin C = 3sin A n T B = ■—, • C = n — (A + B ) 32 n • sin( — — A ) = 3sin A,3 .• 2 n 2 n . • • sin cos A - cos sin 3 3 3 1 • 〒cos A + ^sin A = 3sin T —A A = 3sin A, A = cos A 5 ' 变式迁移2 解 由余弦定理得，b 2= a 2 + c 2— 2ac cos B 2 2 -2 2 2 , 、2 =a + c — 2ac cos3 n = a + c + ac = (a + c ) — ac .又a + c = 4, b =*/13, • ac = 3, a + c = 4，解得 a = 1, c = 3,或 a = 3, c = 1.ac = 3• 5sin A = 3cos A ,： tan 联立3系.2 2 2 2解 方法一 v(a + b )sin( A — B ) = (a — b )sin( A + B ) ? a [sin( A — B ) — sin( A + B )]2=b [ — sin( A + B ) — sin( A — EE)],22• 2 a cos A sin B = 2b cos B sin A, 由正弦定理，得 sin A cos A sin B = sin B cos B sin A , 得2A= 2B 或 2A= n — 2B, 2 2方法二 同方法一可得 2a cos A sin B = 2b cos B sin A ,变式迁移3 (1)证明 在厶ABC 中，由正弦定理及已知得 sin B cos B 十口= .于是 sin B cos C — cos B sin C = 0, sin C cos C即 sin( B — C ) = 0.因为一 n <B — C < n ，从而 B — C = 0. 所以B= C⑵解由 A + B+ C = n 和(1)得 A= n — 2B,斗1故 cos 2 B =— cos( n — 2B ) =— cos A = 3. 又 0<2B < n ,于是 sin 2 B=寸 1 一 ---------2cos 2B =2,23从而sin 4 B = 2sin 2 B cos 2 B = 2cos 4 B= cos 2B — sin 72B=-7.所以sinsin 4 B cos 专 + cos 4 B sin4,2 — 7“318 课后练习区1. 解析根据正弦定理 a b sin A =sin B'• sin 2 A = sin 2 B,由 0<2A <2 n , 0<2B<2 n , 即厶ABC 是等腰三角形或直角三角形.由正、余弦定理，即得2,2 2 2,2 2• a 2( b 2 + c 2— a 2) = b 2( a 2 + c 2 — b 2),即(a 2— b 2)( c 2— a 2— b 2) = 0,二 a = b 或 c 2= a 2 + b 2,•三角形为等腰三角形或直角三角形.••• a等于1或3.例3解题导引利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关可得• 6：°= —^，解得sin B=f,又因为b<a，则B<A,故B为锐角,所以cos B= rJ 1 —sin 2B= ~~.(5(5解析由余弦定理得，cos A = AB +•謬=莫4—2 = 屉民3X 2X 1 = 2.3. 直角三角形2A 1 — cos A c — b 解析•/ sin 22= — 2 2 2 b b + c — a222••• cos A =-=「——? a 2+ b 2= C 2,符合勾股定理，c 2bc即厶ABC 为直角三角形. 4. 45°解析•/ BOAC •- A >B,所以角B 是锐角， BC ACAC. sin A皿写羽即 sin B =BC=—4：3— = 2，所以 B = 45 .22aba —b = ab , a — b =，因为 a >0, b >0,a + b4'2c ， 由正弦定理得，sin A —sin 5. a >b 解析 所以 因为 C = 120°, c = 2a ,2 2 . 2c 2= a 2 + b 2— 2ab cos C,2a 2 = a 2 + b 2— 2ab - 2 .所以 aba — b= ■ >0,所以 a >b .a + b6. 等边三角形解析 ■/ b 2= a 2 + c 2— 2ac cos B,「. ac = a 2+ c 2— ac , •(a — c )2= 0,二 a = c ,又 B = 60°, • △ ABC 为等边三角形. 7. 1 解析 由 A + C = 2B 及 A + B + C = 180° 知， 1 所以 由正弦定理知， = ，即sin sin A sin 60由 a <b 知，A <B 二 A = 30°,C = 180°— A — B= 180°— 30°— 60°= 90°/• sinC = sin 90 1.B = 60°. 1 A = 2.c n& & 解析则tan设/ BAD= a 1 a = 3, tan 3 ，/ DA(= 3 ,1 2，/• tan / BAC= tan( ata n a + tan 1 — tan a tan 31 1 + _ 32 =1. 1 1 1 —匚x ：3 2n•••/ BAC 勺大小为？9.解(1)因为 cos A = 一2A5，3 4所以 cos A = 2cos - — 1 =二，sin A=：.2 5 5(9(14(62sin由余弦定理得，A D + D C —A C cos / AD = 2AD- DC =100+ 36— 196 = 1 =2X 10X6 =— 2,•••/ ADC= 120°/ ADB= 60° . 在厶 ABD 中, AD= 10, B = 45°, / ADB= 60°,AB AD由正弦疋理得sin / AD B sin B ，AD- sin / ADB 10sin 60 •ABsi n B 10X ~2-5 J 6..2 2sin 4511.解 (1)b 2 + 3c 2— 3a 2 = 4 2bc ,,2224y J 2• b + c — a =^^bc.3 由余弦定理得，cos A = b + c — a- 口3，又 0<A < n,故 sin A = 1 — cos ?A = 3 …32bc(4(6(8(141 — cos2 A(8分)2sin A + 亍 sin A —22sin A又由 A B- AC= 3 得 bc cos A = 3,所以 bc = 5,1因此匕 S A ABC = q bc sin A = 2. .............................. ⑵由⑴知，bc = 5,又b + c = 6, 由余弦定理，得 a 2= b 2+ c 2— 2bc cos A = (b + c )2—■16bc = 20,所以 a =2 5.10.解 在厶 ADC 中, AD= 10, AC= 14, DG= 6,兀，亠 n/ 'IA + — ^|||B +C +*1 — cos2 A（14 分）2019-2020年高考数学大一轮复习4.8正弦定理和余弦定理应用举例学案理苏教版导学目标： 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算关的实际问题.回扣教材务实墓础自主梳理1. 仰角和俯角与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角， 目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角.（如图所示）2•方位角一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角 45°，是指北偏东 45°,即 东北方向. 3. 方向角：相对于某一正方向的水平角.（如图所示）① 北偏东a °即由指北方向顺时针旋转 a °到达目标方向. ② 北偏西a 。

所以 26＜m＜ 2，即 m 的取值范围为 26， 2.
考点二 利用正、余弦定理判定三角形的形状
重点保分型考点——师生共研 [典例引领] 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对边分别是 a，b，c， 若 sin2 B2＝c－2ca，则△ABC 的形状一定是________． 解析：由题意，得1－c2os B＝c－2ca，即 cos B＝ac，又由余 弦定理，得ac＝a2＋2ca2c－b2，整理得 a2＋b2＝c2，所以△ABC 为直角三角形．
答案：直角三角形
[类题通法] 判定三角形形状的 2 种常用途径
[提醒] 在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并 注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角 A，B，C 的范围对三角函数值的影响．
[即时应用] 1．(2019·宿迁期中)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是
a，b，c，若 c＝2acos B，则△ABC 的形状为______________． 解析：∵c＝2acos B， ∴由正弦定理，得 sin C＝sin(A＋B)＝2sin Acos B， 即 sin Acos B＋cos Asin B＝2sin Acos B， ∴sin Acos B＝cos Asin B，可得 tan A＝tan B， 又 0＜A＜π，0＜B＜π，∴A＝B， 故△ABC 的形状为等腰三角形． 答案：等腰三角形
[由题悟法] 三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式 S＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A，一般 是已知哪一个角就使用哪一个公式． (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理 进行边和角的转化．
[即时应用] (2018·镇江高三期末)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别 为 a，b，c，若 bcos A＋acos B＝－2ccos C. (1)求 C 的大小； 解：(1)由正弦定理sina A＝sinb B＝sinc C及 bcos A＋acos B ＝－2ccos C，得 sin Bcos A＋sin Acos B＝－2sin Ccos C， 所以 sin(B＋A)＝－2sin Ccos C， 所以 sin C＝－2sin Ccos C. 因为 C∈(0，π)，所以 sin C＞0， 所以 cos C＝－12，所以 C＝23π.