物理学5功和保守力做功

a
a
l
xdx
2l
前已得出：
Af
mg(l a)2
2l
mg(l 2 a2 ) mg(l a)2 1 mv2
2l
2l
2
得v
g l
1
(l 2 a 2 ) (l a)2 2
§3 保守力的功与势能 一、 保守力
rB
B
两个质点之间的引力
B
第四章 功和能
§4.1 功 §4.2 动能定理 §4.3 保守力功与势能 §4.4 功能原理机械能守恒定律
§1 功和功率
一、恒力做功 直线运动
A=Fcos S
记作A F S F r
F
F

M
M
S
位移无限小时：
dA

F

dr
dA称为元功
功等于质点受的力和它的位移的点积(标积)
例１一水平放置的弹簧，其一端固定，另一端系一小球，求小
球的位置由A到B的过程中弹力对它所做的功。（在O处弹簧无 形变）
解：根据胡克定律 F F kx
W F dr

xB Fdx
xA
xB xA

kxdx

O

1 2
A
k xB2
B
xA2

1 2
k xA2
作用在质点
上．在该质点从坐标原点运动到(0，2R)位
置过程中，力
F
对它所作的功为多少？
y
b
b
A a F.dr a (Fxdx Fydy)
R
x O
例4 如图，水平桌面上有质点 m ，桌面的摩 擦系数为μ 求：两种情况下摩擦力作的功

解： 抛体在重力场中运动，
m g 是一恒量，
y
但m 的轨迹是一抛物线， 取一元位移d r
dr b
a
m g 与位移的夹角θ时时在变 在这一元段内写出元功
mg
x
dA Fdrmgdr
m gdscosmgdy
b
b
b
A
Fdr
a
Fcosds mg
a
a
dy
m g(ybya) 9
解：(1)建坐标系如图
l-a O
fμ m(lg x)/l l l μmg
A f afdra l (lx)dx μm(g lx)2l μm(g la)2
a x
2l
a 2l
注意：摩擦力作负功！ 21
(2)对链条应用动能定理：
l-x O
A＝ AP＋ Af 1 2m2v 1 2m0 2v
x
v0
0AP＋ Af
1m2v 2
x
A Pa lp d r a lm l x gd m x(l2 2 g l a 2 )
前已得出： Af
μm (gl a)2
2l
m(lg 2a2)μ m(lg a)21m2v
2l
2l
2
得 v
g l
1
(l2 a 2)μ (l a )22
13
3） A为合外力作功的代数和，不是合外力中某 一个力的功。动能定理中的速度必须相对同一 个惯性系。
4）通过作功，质点与外界进行能量交换。 如果 外力对物体做正功，质点动能增加； 如果 外力对物体做负功，质点的动能减少，
即物体克服外力作功，是以减少自身的动能为 代价。
所以，动能是物体因运动而具有的作功的本领。

1. 参考系：为描述物体的运动而选的标准物2. 坐标系3. 质点：在一定条件下，可用物体上任一点的运动代表整个物体的运动，即可把整个物体当做一个有质量的点，这样的点称为质点（理想模型）4. 位置矢量（位矢）：从坐标原点指向质点所在的位置5. 位移：在t ∆时间间隔内位矢的增量6. 速度 速率7. 平均加速度8. 角量和线量的关系9. 运动方程10. 运动的叠加原理位矢：k t z j t y i t x t r r ϖϖϖϖϖ)()()()(++==位移：k z j y i x t r t t r r ϖϖϖϖϖϖ∆+∆+∆=-∆+=∆)()(一般情况，r r ∆≠∆ϖ速度：k z j y i x k dt dz j dtdy i dt dx dt r d t r t ϖϖϖϖϖϖϖϖϖ•••→∆++=++==∆∆=0lim υ 加速度：k z j y i x k dtz d j dt y d i dt x d dtr d dt d t a t ϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖ••••••→∆++=++===∆∆=222222220lim υυ 圆周运动 角速度：•==θθωdtd 角加速度：••===θθωα22dtd dt d （或用β表示角加速度） 线加速度：t n a a a ϖϖϖ+= 法向加速度：22ωυR R a n ==指向圆心 切向加速度：αυR dtd a t == 沿切线方向 线速率：ωυR =弧长：θR s =1.牛顿运动定律：牛顿第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，直到其他物体作用的力迫使它改变这种状态牛顿第二定律：当质点受到外力的作用时，质点动量p的时间变化率大小与合外力成正比，其方向与合外力的方向相同牛顿第三定律：物体间的作用时相互的，一个物体对另一个物体有作用力，则另一个物体对这个物体必有反作用力。

作用力和反作用力分别作用于不同的物体上，它们总是同时存在，大小相等，方向相反，作用在同一条直线上。

8
y2 x2 F xyi ( x y) j , W Wx Wy Fx dx Fy dy x1
2）沿ODB至B作的功
y
A(0,1)
y1
WODB WOD WDB
1 0 1 1 0 0 0 0
B(1,1)
WOD xydx ( x y)dy xydx 0 0 xdx 0
r2 r1 r1
F ma t i
r2 2 W F dr (t i ) (5t dt i ) 5 4 5t dt t 20J 4 0 01
3 2 2
20
例3 一沿x方向的力， 作用在一质量为3 kg的质点上， 质点的运动方程为 x=3t-4t2+t3 (SI)，则力在最初 4秒内作 的功为______，力在最初4秒内的冲量值为______ 。
6
例 3 质量 m=1kg 的质点在外力作用下，其运动方程 2 为： r 2t i 2t j SI ，则在最初2s内外力对质点所作的功 为多少？ (习题二 ,12，lue) 2 d r 解I: 质点受力： 由功的定义式求解 F ma m 2 F m 4 j F 4 j dt 2s内质点位移： r r (2s) r (0s) 4i 8 j 外力作功： W F r 4 j (4i 8 j ) 32J 解2: 运用动能定理求解 v2 t 2s 2i 8 j 速度： v0 t 0 2i , 速度大小： v0 v0 2, v 2 v 2 2 2 8 2 68
9
例2 弹簧对物体的作用力为F kxi kyj ，k为物体在