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指数函数图像

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指数函数的概念与图象

指数函数的概念与图象
天就可以抓8只；那灰太狼第四天可以抓多少只？16只．那第x天抓羊数y应该等于多少呢？
y = 2x
羊村里听到这个秘籍的消息，非常恐慌．还好，这个秘籍呢，落到了村长手里．村长使用了14C
测定法，测出了这秘籍的年代，销毁了这本书．他采用的方法是我们考古学中常用的测定古物年代
的方法．若14C的原始含量为1，则经过x年后的残留量为y＝0.999879x.
典例精析
例1. 比较下列各组数的大小
(1) 1.52.5,1.53.2;
(2) 0.5-1.2,0.5-1.5;
(3) 1.50.3,0.81.2.
练习 1
比较下列各组数的大小
-3.5
(1) 0.3
， 0.3
-2.3
；0.5Biblioteka 1.2(2)， 0.51.2
典例精析
例2.(1)求 y 2 1 的值域.
y = 0. 999 879x
新课
y 2
问题：以上两个函数有何共同特征？
（1）均为幂的形式；
（2）底数是一个常数；
（3）自变量 x 在指数位置.
x
y = 0. 999 879x
ya
x
新课
指数函数的定义：
一般地，函数 y=ax（a＞0且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义
域是R.
（1）底数：大于0且不等于1的常数
(1.01)365 = 37.8
(0.99)365 = 0.03
勤学如初起之苗，不见其增，日有所长。
辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏。
注意
（2）指数：自变量x
（3）系数：1
预习小测
判断下列函数是否为指数函数：
(1) y＝2x；

指数函数图像及其性质

指数函数图像及其性质

0
-1
定义域 值域
R 0,
性 质
（1）过定点（0,1） （2）在R上是增函数
（2）在R上是减函数
探究：比较下列数的大小
1.71x 0.94
x
1.71 1.71
3.1 1
2.5
4 0.94 0.94 1.2
同底数幂比较大小 利用图象的单调性
如何 比较
1、指数函数图象和性质
a>1
6
0<a<1
6 5 4
图 像
-4 -2
5
4
3
3
(0,1)
1 0
2
y=1
2 4 6
2
(0,1)
2 4
y=1
6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
1
1
-4
-2
0
-1
-1
定义域
值域
0,
R
性 （1）过定点（0,1） 质 （2）在R上是增函数 （2）在R上是减函数
2、指数函数的大小比较
人教版高中数学必修1第二章第一节
2.1指数函数图象
及其性质
课前回顾
1、什么样的函数叫指数函数？
x y a (a 0且a 1) 叫做指数函数 一般地，函数 定义域为 R ，值域为(0,) 。
a 为何只
解析式的三 个特点！
能在此 范围内 取值？
指数函数的图象和性质
设问：得到函数图象一般的步骤是什么？研究函数一
…
8
x
4
2
1.4
1
0.71 0.5 0.25
0.13
…
11 x yy 22
y 3

3. 指数函数图像

3. 指数函数图像
x x 1 x 1 2 x 0 ,即x 1 ,或x 0 ，
当0 x 1 时，y 0 ;当x 1 时，y 0 , 故选B
4.翻折变化：
1 y f x 去掉y 轴左边图，保 留y 轴右 边图 y f x 将y 轴右边的图像翻折到左边去
① f x ex f x = e x
② f x = e x f x 2 = e x-2
指数函数的图象
知识点
1.当 当0a

1 a
时， 底数a 越大，图象在x 1 时，底数a 越小，图象在x
0
时越接近y 轴，在x 0 0 时越接近x 轴，在x
时越接近x 轴 0 时越接近y 轴
2.平移变换：左加右减
1 f x 向左平移a 个单位 f x a 2 f x 向上平移 a个单位 f x a 3 f x 向右平 移 a个单位 f x a 4 f x 向下平移a个单位 f x a

解析：① 有界性：由函数的定义域得x 0 , A错； 当x 0 时，y 0 ,B错;
② 指数爆炸，当x , y 0 ,D错
例7 函数y x3 x 2 x 的图象大致是

解析：① 奇偶性：f x x3 x 2 x f x ,故函数为奇函数，C错； ② 有界性：令y 0 ,则 x3 x 2 x 0
D. a b 1 d c
例2 已知1 n m 0 ,则指数函数① y mx ,
② y nx 的图象为
例3 已知函数y ax b a 0且 a 1 的图象经过
第二、三、四象限，则有

A. 0 a 1 ,b 1

指数函数图像的变换(采用)ppt课件

指数函数图像的变换(采用)ppt课件
x x ( 2 ) 当 x 0 时，总有 a b 1 ;
x x ( 3 ) 当 x 0 时，总有 0 a b 1 ;
以上时a>1时的情况，那0<a<1是什么样的呢？ x x x 0 . 2,y 0 . 3 与 y 0 . 5 图像， 画出 y 并比较0<a<1 时a对函数图象变化的影响.
特别当x<0时，指数函数的底数越小，函数值减少越快 即0<a<1时，a越小，图像越 “陡”.
综上总结， ya中 ,指数 x 与底数 a 满足以下
x
即a>1时，a越大，图像越“陡”. 即0<a<1时，a越小，图像越 “陡”.
x x
同一 x 下，比较 y a与 y b的大小方法
x
x 正半轴（即 x 0 ），同一 x 下， a 越大， y a 的值
f( x m ) )与 y 推广:比较函数 y f (x 的关系
向左平行移动m个单位长度 y f ( x ) 当m>0时,
yf( x m )
) 向右平行移动|m|个单位长度 yf( x m ) 当m<0时, y fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(x
作业：
P A 组第 3 题， B 组第 2 题 77
ya中 ,指数 x 与底数 a 满足以下规律
x
即a>1时，a越大，图像越“陡”. 即0<a<1时，a越小，图像越 “陡”.
x x
同一 x 下，比较 y a与 y b的大小方法
x
x 正半轴（即 x 0 ），同一 x 下， a 越大， y a 的值
x x 负半轴（即 x 0 ），同一 x 下， a 越大， y a 的值 .

指数函数图像

指数函数图像

1、在同一坐标系中，画出下列函数的图象：
（1）y = 3 x
（2）y = 3 －x

y (1 )x
y
=3
y = 3x
y = a x 与 y = a －x 关于 y 轴对称
1
o
x
（a＞0且a ≠ 1 ) 的图象
如何？
y
1
o
x
定义域 R
值域 ( 0 , + ∞)
过点 ( 0 , 1 )
当x＞0时，y＞1 当x＜0时，0＜y＜1
将 y = 2 x 的图象向左
平移一个单位长度就 可得到y = 2 x + 1 的 图
象， x 改为 y = 2 x + 1 + 1
3、(1)若 y = ( a 2 －4 ) x 是一个指数 函数，求 a 的取值范围。
(2)若指数函数y=(2a+1)x是一个减函 数，求a的取值范围.
1
（3）求函数y=3 的定x 义域与值域.
2) y = 0 . 5 x
3）y = 3 · 2 x
4） y = x 0.6
函数 y = 0.5 x、y = (1/3) x 、
y = 0.25 x ……
函数 y = 2 x、y = 3 x 、y = 4x ……
○ 二讲解新课： ○ 函数 y = a x ( a ＞ 0 且 a ≠ 1 ) 的图象如何？
1
判断函数 y = a x －2 + 3 的图象是否恒过一定点？
2
如果是，求出定点坐标，如果不是，说明理由。
重点归纳
1、指数函数的定义： y = a x ( a ＞ 0 且 a ≠ 1 ) 2、指数函数的图象和性质：
y

《指数函数》PPT课件

《指数函数》PPT课件

商的乘方
商的乘方等于乘方的商。 如：$(a/b)^n = a^n div b^n$。
指数函数的极限与连续
极限性质
当底数大于1时，指数函数随着指 数的增大而趋于无穷大；当底数 在0到1之间时，指数函数随着指 数的增大而趋于0。
连续性
指数函数在其定义域内是连续的， 即对于任意两个相邻的点，函数值 之间的差可以无限小。
。
工程学
在工程学中，指数函数可用于 描述材料疲劳、信号处理等问
题。
计算机科学
在计算机科学中，指数函数可 用于算法分析、图像处理等领
域。
THANKS
感谢观看
02 指数函数的运算 性质
指数函数的四则运算
加法运算
同底数指数相加，指数 不变，底数相乘。如：
$a^m + a^m = 2a^m$。
减法运算
同底数指数相减，指数 不变，底数相除。如： $a^m - a^m = 0$。
乘法运算
同底数指数相乘，指数 相加，底数不变。如：
$a^m times a^n = a^{m+n}$。
级数展开的定义
将指数函数表示为无穷级数的形式，便于分析和 计算。
泰勒级数展开
通过泰勒公式将指数函数展开为幂级数，适用于 函数在某点的局部逼近。
麦克劳林级数展开
特殊形式的泰勒级数，用于在原点处展开指数函 数。
指数函数的傅里叶变换
傅里叶变换的概念
01
将时间域的函数转换为频域的函数，便于分析信号的频率特性
指数函数在生物学中的应用
细菌增长模型
指数函数可以描述细菌在适宜环 境下的增长情况，用于预测细菌
数量。
药物代谢动力学
指数函数可以模拟药物在体内的 代谢过程，用于计算药物浓度随

指数函数图像及性质


我 也
下列函数中，哪些是指数函数？ 不 是
y 4x
y x4
y 4x
y 4x1
二、发现问题，探求新知
怎样得到指数函数图像? 指数函数图像的特点? 通过图像，你能发现指数函数的哪 些
性质?
y
y ax
(a 1)
1
0
x
y
y ax
(0 a 1)
1
0
x
指数函数
的图像及性质
a>1
0<a<1
五、小结归纳，拓展深化
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ 你又掌握了哪些学习数学方法？ 你能将指数函数的学习与实际生活联系起
来吗？
一、创设情境，形成概念
对折次数 1
所得纸
2
的层数
底为常数
2 4＝ 22
3 8＝23
指数为自变量
x
y 2x
形如 y a x ( a 0, 且a 1 ) 的函数叫做指数函数，
幂为函数
其中 x 为自变量，定义域为 R
定义：函数 y a x( a 0且a 1 )叫做指数函数，
其中 x 为自变量，定义域为 R
质 在 R 上是单调 增函数 在 R 上是单调 减函数
三、深入探究，加深理解
y
y 1 x 2
y 1 x 3
在第一象限 沿箭头方向
底增大
y 3x y 2x
底互为倒数的 两个函数图像 关于y轴对称
1
y 1 x
2
0 y 1 x
x
3
四、当堂训练，共同提高
例1： 比较下列各题同中底两指数值幂的比大
大小
（1） 1.72.5 , 1.73;
小，构造指数函数， 利用函数单调性

指数函数的图象和性质


1
1
练习：比较大小 a3和a 2，（a 0, a 1)
方法总结
（1）构造函数法：要点是利用函数的单调性，数的特征是同底不同 指（包括可以化为同底的），若底数是参变量要注意分类讨论。比 较两个同底数幂的大小时,可以构造一个指数函数,再利用指数函数的 单调性即可比较大小. （2）搭桥比较法：用别的数如0或1做桥。数的特征是不同底不同指。 比较两个不同底数幂的大小时,通常引入第三个数作参照.
分析：(1)因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数 的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算 倍增期.(2)要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与 倍增期的数量关系. 解：(1)观察图,发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年 约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年， 所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年.(2)因为倍增期为 20年，所以每经过20年，人口将翻一番.因此，从80万人开始， 经过20年，该城市人口大约会增长到160万人.
x
用描点法作函数y (1)x 和y (1)x的图象.
函
2
3
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
数 y=2-x … 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8 …
图 y=3-x … 27 9 3 1 1/3 1/9 1/27 …
象 y (1)x 2
特 征
y (1)x 3
y
O
思考：若不用描点法， 这两个函数的图象又该 如何作出呢？
底数a由大变小时函数图像在第一象限内按＿＿顺＿＿
时针方向旋转.
问题三：图象中有哪些特殊的点？
答：四个图象都经过点＿(＿0＿,1＿) ．
a>1

指数函数的图像及性质


∴1－3c>3a－1，即3c＋3a<2. 【答案】 D
求与指数函数有关的函数的定义域与值域
求下列函数的定义域和值域：
(1) y＝( 1 )2x－x2；(2)y＝9x＋2×3x－1.
2
思路点拨：这是与指数函数有关的复合函数，可以利 用指数函数的概念和性质来求函数的定义域、值域，对于 形式较为复杂的可以考虑利用换元法(如(2))．
素材2.1 设函数f x =a－ (a 0且a 1)，
x
若f 2 = 4，则a = f (2)与f 1的大小关系 是 ；
，
xa x 2 函数y = 0 a 1的 | x| 图象的大致形状是

解析：
1由f 2 4，得a
－2
1 4，所以a ， 2
另一部分是：y=3x
(x<0)
向左平移
1个单位
y=3x+1 (x<-1).
图象如图：
(2)由图象知函数在（-∞，-1］上是增函数，
在（-1，+∞）上是减函数. (3)由图象知当x=-1时,函数有最大值1,无最小值. 探究提高
在作函数图象时,首先要研究函数与某一
基本函数的关系.然后通过平移或伸缩来完成.
考点探究
点评： 利用单调性可以解决与指数函数有关的值域 问题．指数函数本身是非奇非偶函数，但是与指数函数有
关的一些函数则可能是奇函数或偶函数．要注意使用相关
的概念和性质解决问题．
考点探究
2 2.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x∈(0，1)时，f(x)＝ x . 4 ＋1 (1)求 f(x)在(－1，1)上的解析式； (2)证明：f(x)在(0，1)上是减函数．

指数函数及其图像与性质_图文


小试牛刀
例2.判断下列函数在其定义域上的单调性
(1)y=4x; 解：
知识积累：
y
指数函数y=2x的性质 x
（1）函数的定义域为R，值域为(0，∞); （2）图像都在x轴的上方，向上无限延伸，
向下无限接近x轴； （3）函数图象都经过（0,1）点； （4）函数图像自左至右呈上升趋势。
动手试一试
列表：
x
…
-3
…
8
图像：
指数函数y= 的图像
-2
-1.5
-1
-0.5
指数函数及其图像与性质_图文.ppt
直观感知：核裂变
如果裂变次数为x ，裂变后的原子核为 y，则y与x之间的关 系是什么？
y=2x
你还能举出一些类似的例子吗？ （如细胞分裂……）
归纳结论
指数函数的概念：
一般地，设a>0且a≠1，形如y=ax的函数称为指数函数。 定义域：R
学以致用
问题：对于其它a的值，指数函数的图像又 是怎样的呢？
及时复习~~积沙成塔
指数函数的图像和性质：
y=ax
a
a>1
0<a<1
图
像
性 质
(1)函数值都是正的； (2)x=0时，y=1； (3)当x>0时，y>1;当x<0时， 0<y<1； (4)f(x)=2x在（-∞，+ ∞）上是增函数。
（1）函数值都是正的； （2）x=0时，y=1； （3）当x>0时， 0<y<1 ;当x<0时， y>1 ； （4）f(x)=2x在（-∞，+ ∞）上是增函数。
0
0.5
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指数函数图像
指数函数图像教案
海丰实验中学李小辉
教学目标:
1、知识目标:通过描点并结合图形计算器绘图，初步掌握指数函数的图像。

2、能力目标:图形计算器绘图的使用，图像的理解
3、情感目标:通过学生的参与过程，培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。

教学重点、难点:
1、重点:指数函数的图像
2、难点:指数函数图像的理解，掌握，运用图像解题。

教学方法:引导——发现教学法、比较法、讨论法
教学过程:
一、问题引入
大家都知道掌握一个函数的图像对于我们掌握一个函数的性质是非常重要的，在初中的时候我们学习过一次函数，二次函数，反比例函数的图像。

那么我们指数函数的图像是怎样的呢，那么这节课我们就来学习一下指数函数的图像二(函数图像的画法:
x1,,x 先描点画图:指数函数 y = 2， y = 的草图图像 ,,2,,
观察思考:(讨论描点画图应该注意什么,)
问题 1:(1)两个函数图像有什么共同点 ,又有何不同特征,
(2)两个图像有何共同特点,
分析:它们的图像都在x轴的上方，且都过同一个点(0，1)。

图像在x轴上方说明y,0，向下与x轴无限接近;过点(0，1)说明x=0时，
y=1。

(3)再看看它们有何不同之处,
分析:当底数为2时图像上升，当底数为时，函数图像下降。

说明:当a=2即大于a,1时函数在R上为增函数，当a= 即大于0小于1时函数在R上为减函数
(4)除此之外，还有什么特征,若在坐标系上画一条直线y=1, 分析:当底数是2时，落在第一象限的图像都在直线y=1的上边，落在第二象限的图像都在直线y=1的下边，当底数是时恰好相反。

用图形计算器绘图验证并完成表格:
a>1 0<a<1
图
象
图像分布在一、二象限，与轴相交，落在轴的上方。

都过点(0，1) 图
像
特
征
第一象限的点的纵坐标都大于1;第一象限的点的纵坐标都大于0且
第二象限的点的纵坐标都大于0且小于1;第二象限的点的纵坐标都大
小于1。

于1。

从左向右图像逐渐上升。

从左向右图像逐渐下降。

x1,,x思考:函数y=2的图像与函数y=的图像有什么关系,利用图形计算器绘图,,2,,
x1,,x分析、总结(y=与y=()0)的图像关系呢, aa,,a,,
三、例题示范
在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图像:
x1,,x(1)y=3 (2)y= ,,3,,
学生用描点法画图，并比较
四、归纳小结
1、本节课的主要内容是:指数函数的定义、图像和性质
2、本节学习的重点是:掌握指数函数的图像和性质
3、学习的关键是:弄清楚底数 a 的变化对于函数值变化的影响。

结合图形计算器加深对指数函数图像形状的理解，为今后解题打好牢固的基础。

五、布置作业。