29-机械能守恒定律及其应用

教师姓名学生姓名填写时间学科物理年级上课时间课时计划2h教学目标教学内容个性化学习问题解决教学重点、难点教学过程第3课时机械能守恒定律及其应用[知识梳理]知识点一、重力做功与重力势能1．重力做功的特点(1)重力做功与路径无关，只与始、末位置的高度差有关。

(2)重力做功不引起物体机械能的变化。

2．重力做功与重力势能变化的关系(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减小；重力对物体做负功，重力势能就增大。

(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量。

即W G＝－(E p2－E p1)＝E p1－E p2＝－ΔE p。

(3)重力势能的变化量是绝对的，与参考面的选取无关。

3．弹性势能(1)概念：物体由于发生弹性形变而具有的能。

(2)大小：弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量越大，劲度系数越大，弹簧的弹性势能越大。

(3)弹力做功与弹性势能变化的关系：类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示：W＝－ΔE p。

知识点二、机械能守恒定律及应用1．机械能：动能和势能统称为机械能，其中势能包括弹性势能和重力势能。

2．机械能守恒定律(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。

(2)表达式：mgh1＋12m v21＝mgh2＋12m v22。

3．守恒条件：只有重力或弹簧的弹力做功。

思维深化判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”。

(1)物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒。

()(2)合外力做功为零，物体的机械能一定守恒。

()(3)物体除受重力或弹力外，还存在其他力作用，但其他力不做功，只有重力或弹力做功，物体的机械能一定守恒。

()答案(1)×(2)×(3)√[题组自测]题组一关于重力势能的理解和机械能守恒的判断1．关于重力势能，下列说法中正确的是()A．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定B．物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大C．一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能减少了D．重力势能的减少量等于重力对物体做的功解析物体的重力势能与参考面有关，同一物体在同一位置相对不同的参考面的重力势能不同，A选项错；物体在零势能面以上，距零势能面的距离越大，重力势能越大；物体在零势能面以下，距零势面的距离越大，重力势能越小，B选项错；重力势能中的正、负号表示大小，－5 J的重力势能小于－3 J的重力势能，C选项错；重力做的功等于重力势能的减少量，D选项对。

答案 D2．将质量为100 kg的物体从地面提升到10 m高处，在这个过程中，下列说法中正确的是(取g＝10 m/s2)()A．重力做正功，重力势能增加1.0×104 JB．重力做正功，重力势能减少1.0×104 JC．重力做负功，重力势能增加1.0×104 JD．重力做负功，重力势能减少1.0×104 J解析W G＝－mgh＝－1.0×104 J，ΔE p＝－W G＝1.0×104 J，C项正确。

答案 C3．(多选)下列叙述中正确的是()A．做匀速直线运动的物体的机械能一定守恒B．做匀速直线运动的物体的机械能可能守恒C ．外力对物体做功为零，物体的机械能一定守恒D ．系统内只有重力和弹力做功时，系统的机械能一定守恒解析 做匀速直线运动的物体，若只有重力对它做功时，机械能守恒，若重力以外的其他外力对物体做功的代数和不为零，则物体的机械能不守恒，故A 错误、B 正确；外力对物体做功为零时，有两种情况：若重力不做功，则其他力对物体做功的代数和必为零，此时物体的机械能守恒；若重力做功，其他外力做功的代数和不为零，此时机械能不守恒，故C 错误；由机械能守恒的条件知D 正确。

答案 BD题组二 机械能守恒定律的应用4.总质量约为3.8吨“嫦娥三号”探测器在距月面3 m 处关闭反推发动机，让其以自由落体方式降落在月球表面。

4条着陆腿触月信号显示，“嫦娥三号”完美着陆月球虹湾地区。

月球表面附近重力加速度约为1.6 m/s 2,4条着陆腿可视作完全相同的四个轻弹簧，在软着陆后，每个轻弹簧获得的弹性势能大约是( )图1A ．28 500 JB ．4 560 JC ．18 240 JD ．9 120 J解析 由机械能守恒定律，mgh ＝4E p ，解得E p ＝mgh4＝4 560 J ，选项B 正确。

答案 B5．(2014·湖北省润德高级中学月考)如图2所示，质量、初速度大小都相同的A 、B 、C 三个小球，在同一水平面上，A 球竖直上抛，B 球以倾斜角θ斜向上抛，空气阻力不计，C 球沿倾角为θ的光滑斜面上滑，它们上升的最大高度分别为h A 、h B 、h C ，则( )图2A ．h A ＝hB ＝hC B ．h A ＝h B ＜h C C ．h A ＝h B ＞h CD ．h A ＝h C ＞h B解析 对于A 球和C 球，当到达最高点时，速度均会减为0，所以由机械能守恒定律可得12m v 20＝mgh ，所以h A ＝h C ，而B 球当上升到最高点时，只有竖直方向的分速度减为0，水平方向速度保持不变，所以由机械能定律得12m v 20＝mgh B ＋12m v 2高，所以h A ＝h C ＞h B ，故D 正确。

答案 D考点一机械能守恒的判断 机械能守恒的判定方法(1)做功条件分析法：若物体系统内只有重力和弹簧弹力做功，其他力均不做功，则系统的机械能守恒。

(2)能量转化分析法：若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能(如没有内能增加)。

则系统的机械能守恒。

【例1】 (多选)如图3所示，一轻弹簧一端固定在O 点，另一端系一小球，将小球从与悬点O 在同一水平面且使弹簧保持原长的A 点无初速度地释放，让小球自由摆下，不计空气阻力，在小球由A 点摆向最低点B 的过程中，下列说法中正确的是( )图3A ．小球的机械能守恒B ．小球的机械能减少C ．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变D ．小球与弹簧组成的系统机械能守恒本题可按以下思路进行分析 明确研究对象分析哪些力做功判断是否满足机械能守恒的条件解析小球由A点下摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对小球做了负功，所以小球的机械能减少，故选项A错误，B正确；在此过程中，由于有重力和弹簧的弹力做功，所以小球与弹簧组成的系统机械能守恒，即小球减少的重力势能，等于小球获得的动能与弹簧增加的弹性势能之和，故选项C错误，D正确。

答案BD【变式训练】1．(多选)如图4所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是()图4A．甲图中，火箭升空的过程中，若匀速升空机械能守恒，若加速升空机械能不守恒B．乙图中物体匀速运动，机械能守恒C．丙图中小球做匀速圆周运动，机械能守恒D．丁图中，轻弹簧将A、B两小车弹开，两小车组成的系统机械能不守恒，两小车和弹簧组成的系统机械能守恒解析甲图中无论火箭匀速上升还是加速上升，由于有推力做功，机械能增加，因而机械能不守恒。

乙图中拉力F做功，机械能不守恒。

丙图中，小球受到的所有力都不做功，机械能守恒。

丁图中，弹簧的弹力做功，弹簧的弹性势能转化为两小车的动能，两小车与弹簧组成的系统机械能守恒。

答案CD考点二机械能守恒定律的应用【例2】如图5所示，一半径为R的光滑半圆柱水平悬空放置，C为圆柱最高点，两小球P、Q用一轻质细线悬挂在半圆柱上，水平挡板AB及两小球开始时位置均与半圆柱的圆心在同一水平线上，水平挡板AB与半圆柱间有一小孔能让小球通过，两小球质量分别为m P＝m，m Q＝4m，水平挡板到水平面EF的距离为h＝2R，现让两小球从图示位置由静止释放，当小球P到达最高点C时剪断细线，小球Q与水平面EF碰撞后等速反向被弹回，重力加速度为g，不计空气阻力，取π≈3。

求：图5(1)小球P到达最高点C时的速率v C；(2)小球P落到挡板AB上时的速率v1；(3)小球Q反弹后能上升的最大高度h max。

解析(1)取两小球及细线为系统且圆心所在水平面为零势能面，则在小球P到达最高点C的过程中，系统满足机械能守恒，有－m Q g×14×2πR＋m P gR＋12(m P＋m Q)v2C＝0，解得v C＝2gR。

(2)因v C＞gR，所以剪断细线后小球P做平抛运动，由机械能守恒定律知m P gR＋12m Pv2C＝12m Pv21，解得v1＝2gR。

(3)剪断细线后，小球Q做竖直下抛运动，反弹后做竖直上抛运动到最高点，满足机械能守恒，则有－m Q g×14×2πR＋12m Qv2C＝－m Q g(h－h max)，解得h max＝32R。

答案(1)2gR(2)2gR(3)3 2R(1)本题中剪断细线前，细线对两小球均做功，两小球的机械能均不守恒，但取两小球和细线为系统，则只有重力做功，满足机械能守恒。

剪断细线后两小球的机械能均守恒，因此运用机械能守恒定律解题时，一定要注意研究对象的选择。

(2)用机械能守恒定律解题的基本思路【变式训练】2．如图6所示，半径为R 的光滑半圆形轨道CDE 在竖直平面内与光滑水平轨道AC 相切于C 点，水平轨道AC 上有一轻质弹簧，弹簧左端连接在固定的挡板上，弹簧自由端B 与轨道最低点C 的距离为4R ，现用一个小球压缩弹簧(不拴接)，当弹簧的压缩量为l 时，释放小球，小球在运动过程中恰好通过半圆形轨道的最高点E ；之后再次从B 点用该小球压缩弹簧，释放后小球经过BCDE 轨道抛出后恰好落在B 点，已知弹簧压缩时弹性势能与压缩量的二次方成正比，弹簧始终处在弹性限度内，求第二次压缩时弹簧的压缩量。

图6解析 设第一次压缩量为l 时，弹簧的弹性势能为E p 。

释放小球后弹簧的弹性势能转化为小球的动能，设小球离开弹簧时速度为v 1 由机械能守恒定律得E p ＝12m v 21设小球在最高点E 时的速度为v 2，由临界条件可知mg ＝m v 22R ，v 2＝gR由机械能守恒定律可得12m v 21＝mg ×2R ＋12m v 22以上几式联立解得E p ＝52mgR设第二次压缩时弹簧的压缩量为x ，此时弹簧的弹性势能为E p ′小球通过最高点E 时的速度为v 3，由机械能守恒定律可得：E p ′＝mg ·2R ＋12m v 23 小球从E 点开始做平抛运动，由平抛运动规律得4R ＝v 3t,2R ＝12gt 2解得v 3＝2gR ，解得E p ′＝4mgR由已知条件可得E p ′E p ＝x 2l 2，代入数据解得x ＝2105l 。