共线定理以及三点共线

向量三点共线定理推论向量三点共线定理是解析几何中的重要定理之一，它描述了三个向量共线的条件。

在本文中，我们将通过推论的方式来详细阐述这一定理的应用。

让我们回顾一下向量三点共线定理的表述：给定三个不共线的点A、B和C，如果向量AC可以表示为向量AB与向量BC的线性组合，那么点A、B和C就共线。

这一定理可以简单地用公式表示为AC = k1 * AB + k2 * BC，其中k1和k2是实数。

基于向量三点共线定理，我们可以得出以下推论：推论一：如果两个向量的比例相等，那么它们共线。

假设有两个向量AB和CD，如果它们的比例相等，即AB/CD = k，则可以通过向量的等式转化为向量的加法运算，得到AC = AD + DC = AD + (AB/k)。

由于向量AD和向量AB/k成比例，根据向量三点共线定理，我们可以得出结论：向量AC与向量AB和向量CD共线。

推论二：如果两个向量的夹角为零或180度，那么它们共线。

假设有两个向量AB和CD，如果它们的夹角为零或180度，即cosθ = AB·CD / (|AB|·|CD|) = 1或-1。

我们可以将向量CD表示为向量AB的倍数，即CD = k * AB。

根据向量三点共线定理的等式形式，我们可以得到AC = AD + DC = AD + k * AB。

由于向量AD和向量AB成比例，根据向量三点共线定理，我们可以得出结论：向量AC 与向量AB和向量CD共线。

推论三：如果三个向量两两共线，那么它们共线。

假设有三个向量AB、BC和CD，如果向量AB与向量BC共线，并且向量BC与向量CD共线，那么根据向量三点共线定理，我们可以得到结论：向量AC与向量AB和向量CD共线。

推论四：如果一个向量与两个共线向量的和共线，那么它们三者共线。

假设有三个向量AB、CD和DE，如果向量AB与向量CD共线，并且向量DE = AB + CD，那么根据向量三点共线定理，我们可以得到结论：向量DE与向量AB和向量CD共线。

思路探寻在解答平面向量问题时，经常要用到平面向量的运算法则、定理、几何意义、公式等.对于多点在同一直线上的问题，可以利用平面向量的三点共线定理进行求解.如图1，O 为直线外一点，在△OPA 中， AP =OP - OA ,设 OP =λ OA +μ OB ,则AP =λ OA +μ OB - OA =μ OB+(λ-1) OA =m ( OB - OA )，而在△OBA 中， AB = OB -OA ，即 AB =mAP ，所以A 、B 、P 三点共线.在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是对于平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x 、y ，使得 OP =x OA +yOB 且x +y =1.这就是平面向量的三点共线定理.该定理常用于判断三点是否共线，证明几个点是否在同一条直线上，求某个向量的表达式，求参数的值等.下面结合实例探讨一下如何运用平面向量三点共线定理解题.例1.已知O 为锐角三角形ABC 的外心，AB =3,AC =6，若 AO =x AB +yAC ，且3x +10y =5，求三角形ABC 的面积.解：由3x +10y =5，得3x 5+2y =1.由题意可得AO =x AB +y AC =3x 5(53 AB )+2y (12AC ),如图2，在直线AB ，AC 上取两点D ,E ，使得 AD =53 AB ， AE =12 AC ，则 AO =3x 5 AD +2y AE ，又3x 5+2y =1，所以O ,D ,E 三点共线.因为O 为△ABC 的外心，且|| AE =|| EC ，则DE ⊥AC ，又|| AD =5，||AE =3，可得sin ∠BAC =45，故S △ABC =12×|| AB ×||AC ×sin ∠BAC=12×3×6×45=365.根据向量式的特点以及3x +10y =5联想到要三点共线定理，于是在直线AB 、AC 上取两点D 、E ，证明 AO =3x 5AD +2y AE ，即可根据三点共线定理证明O ,D ,E 三点共线，从而根据三角形外心的性质和面积公式求得问题的答案.例2.如图3所示，在△ABO 中，OC =14 OA ， OD =12OB ，AD 与BC 相交于点M .设 OA =a ，OB =b ，试用 a 和 b 来表示向量 OM .解：设 OM =ma +nb ，则 AM = OM - OA =m a +n b - a =(m -1)a +nb ，AD = OD - OA =12 OB - OA =-a +12b ，因为A ,M ,D 三点共线，所以存在实数t ，使得 AM =tAD ，即(m -1)a →+n b →=t (-a →+12b →)，所以ìíîïïm -1=-t ,n =t 2,消去t 得m +2n =1，又因为CM = OM - OC =(m -14)a →+n b →， CB = OB - OC =-14a →+b →，且B ,M ,C 三点共线，所以存在实数t 1，使得 CM =t 1CB ，即(m -14)a →+n b →=t 1（-14a →+b →），所以ìíîïïm -14=-14t 1n =t 1，消去t 1得4m +n =1，由上述两式得m =17，n =37，故 OM =17 a +37b .解答本题需抓住A ,M ,D 三点共线和B ,M ,C 三点共线这两个关键点，再将 OA 和OB 作为基底表示出其他向量，利用待定系数法来求参数的值.向量共线定理是平面向量中的一个重要定理.合理运用三点共线定理，往往能起到化繁为简的功效，使问题快速得解.同学们要重视三点共线定理，将其灵活地应用于解题当中.（作者单位：江苏省盐城市龙冈中学）图1图2图348Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

三点共线定理证明
三点共线定理（Theorem of Three Points on One Line）是一个数学定理，它指出，如果三个不同的点都在同一条直线上，则这三个点必定位于同一条直线上。

它的证明可以用一般的方法，也可以用数学归纳法证明。

首先，假设有三个点A、B、C，它们都在同一条直线上。

我们需要证明：A、B、C三点共线。

1. 我们首先证明点A、B、C共线的基本情况——即当
A、B两点位于同一条直线上时，加入点C也在同一条直线上。

假设A、B两点位于同一条直线上，由定义，点C必须位于AB之间，即AB+BC=AC，所以AB+BC=AC，A、B、C三点共线，这就是基本情况的证明。

2. 假设基本情况已经证明，现在考虑一般情况，即假设有N个点A1、A2、…、AN，它们都在同一条直线上。

首先，当N=3时，根据基本情况，A1、A2、A3三点共线；当N=4时，A1、A2、A3三点共线，加入A4点，依然是A1、A2、A3、A4四点共线；以此类推，当N=n时，A1、
A2、…、An n个点共线。

3. 由于当N=3时，A1、A2、A3三点共线，当N=4时，A1、A2、A3、A4四点共线，当N=n时，A1、A2、…、An n个点共线，从而可以得出结论，即当有N个点A1、
A2、…、AN，它们都在同一条直线上时，A1、A2、…、AN N个点共线。

总结，三点共线定理可以用数学归纳法证明。

根据基本情况，A、B两点位于同一条直线上时，加入点C也在同一条直线上；通过对N个点的归纳，可以得出当有N个点A1、A2、…、AN，它们都在同一条直线上时，A1、
A2、…、AN N个点共线，即三点共线定理成立。

向量三点共线定理及其延伸应用汇总1.如何判断三点共线？根据向量三点共线定理，只需判断向量AB和向量AC是否共线即可。

如果它们共线，即存在实数k，使得向量AB=k向量AC，则三点A、B、C 共线。

2.判断四点共面问题将四点依次相连，可以形成三个向量：向量AB，向量AC和向量AD。

如果这三个向量共面，则四点A、B、C、D共面。

这可以通过判断向量AB 和向量AC是否共线，以及向量AB和向量AD是否共线来进行。

3.判断平行四边形平行四边形是指具有两对平行的对边的四边形。

如果一个四边形ABCD是平行四边形，那么向量AB和向量CD是共线的，向量AD和向量BC 也是共线的。

因此，可以通过判断向量AB和向量CD是否共线，以及向量AD和向量BC是否共线来判断一个四边形是否为平行四边形。

4.求解向量坐标问题假设已知三个点A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)在坐标平面上，现要求证这三个点共线。

可以将它们看作向量，向量AB=(x2-x1,y2-y1)和向量AC=(x3-x1,y3-y1)。

如果这两个向量共线，即存在实数k，使得向量AB=k向量AC，则三个点共线。

5.解决线段相交问题如果已知线段AB和线段CD，在平面上是否相交？可以将线段AB表示为向量AB，线段CD表示为向量CD。

如果向量AB和向量CD共线，那么线段AB和线段CD必定相交；反之，如果不共线，则线段AB和线段CD不相交。

6.判断三角形共线问题已知三角形ABC，如果顶点A、B和C共线，即向量AB和向量AC共线，则三角形ABC退化为一条线段。

7.探索顺、逆时针旋转问题已知三点A、B和C按照顺时针旋转形成的向量AB和向量AC是否共线？如果向量AB和向量AC共线，则这三点按顺时针方向排列；反之，如果不共线，则这三点按逆时针方向排列。

8.求解线段长度问题定理：若O为向量OA与向量OB的中点，则向量OA和向量OB共线且长度相等。

利用这个定理，可以求解线段长度。

空间向量三点共线定理空间向量三点共线定理在几何中相当重要，它提出了一条性质，即如果三个点的位置坐标在一个直线上，那么三个空间向量的结果也必然在相同的直线上。

它，也可以用于侦测空间中的点的关系，如果点的位置坐标满足它，那么这三个点就在一条直线上。

这个定理也可以使几何题中有关三点共线的性质变得更加清晰，从而更轻松地解决题目。

空间向量三点共线定理可以从数学上解释，即这个定理可以从空间中三点的坐标表示出来，这样就更容易理解什么是空间中三点共线。

首先，需要给出空间向量三点共线定理的表述，即“若三点P，Q，R的坐标分别为（a1，b1，c1），（a2，b2，c2），（a3，b3，c3），那么在三点P，Q，R之间的任意两个向量都满足：（a2-a1）（b3-b1）-(a3-a1)(b2-b1)=0这个公式很好理解，它表明了一个重要的性质：三个空间向量的线性相关性，即三个向量的积、差和乘积都为0。

这就是空间向量三点共线定理的数学证明，它可以用来证明三个点的位置坐标是否满足三点共线的条件。

空间向量三点共线定理的推广是非常有用的，例如当我们讨论平面向量的时候。

它也可以应用到平面向量上，平面向量三点共线定理可以这样描述：若三点P，Q，R的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），那么在三点P，Q，R之间的任意两个向量都满足：(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0这就是平面向量三点共线定理，它与空间向量三点共线定理的表达非常相似，只是把空间中的坐标用平面中的坐标来表示。

此外，当讨论空间中的四点共线的时候，空间向量四点共线定理也是可以用的。

四点共线定理描述如下：若四点P，Q，R，S的坐标分别为（a1，b1，c1），（a2，b2，c2），（a3，b3，c3），（a4，b4，c4），那么在四点P，Q，R，S之间的任意三个向量都满足：(a2-a1)(b3-b1)(c4-c1)-(a3-a1)(b2-b1)(c4-c1)+(a4-a1)(b2-b1)(c3-c1)=0这就是四点共线定理的表达，它也可以用来检测四个点是否在一条直线上。

三点共线怎么证明
三点共线证明⽅法⼀：取两点确⽴⼀条直线，计算该直线的解析式，代⼊第三点坐标看是否满⾜该解析式。

⽅法⼆：设三点为A、B、C，利⽤向量证明：a倍AB向量=AC向量。

三点共线证明⽅法
⽅法⼀：取两点确⽴⼀条直线，计算该直线的解析式。

代⼊第三点坐标看是否满⾜该解析式（直线与⽅程）。

⽅法⼆：设三点为A、B、C。

利⽤向量证明：λAB=AC（其中λ为⾮零实数）。

⽅法三：利⽤点差法求出AB斜率和AC斜率，相等即三点共线。

⽅法四:⽤梅涅劳斯定理。

⽅法五：利⽤⼏何中的公理“如果两个不重合的平⾯有⼀个公共点，那么它们有且只有⼀条过该点的公共直线”。

可知：如果三点同属于两个相交的平⾯则三点共线。

⽅法六：运⽤公（定）理“过直线外⼀点有且只有⼀条直线与已知直线平⾏（垂直）”。

其实就是同⼀法。

三点共线定理及应用三点共线定理是一种几何定理，它指的是，若三点不共线，则它们必然位于某一条直线上。

这个定理有着深远的历史价值和今天广泛的应用。

据说它最早出现在公元前500年的古希腊数学家几何时期，也就是著名的欧几里得的时代，当时的数学家们就把它作为一种理论去验证实际情况。

《三点共线定理》主要指出，若三点不共线，则它们必然位于某一条直线上。

这个定理的可见性很强，只需要画出三点，并且看看三点是否共线，就可以立即得出结论。

更进一步，由三点共线定理可以得到一些重要的实际应用，其中包括空间直线、平面图形、三角形等。

以三空间为例，三点共线定理用于确定空间直线的具体情况。

如果在空间中有三个不同的点，它们之间的距离不是0，并且它们不在同一直线上，则它们之间唯一的连线必定是一条直线。

在平面图形方面，三点共线定理可以用来判断三角形是否位于同一平面内。

例如，若有三个不共线的点，通过它们可以构造出三角形，则这三角形一定位于同一平面上；如果三点共线，则不能构成三角形，也就不能位于同一平面。

另外，三点共线定理也可以用来确定平行线和平面的关系。

在三角形的应用中，三点共线定理也可以用来解决实际问题。

例如，在工程计算中，三点共线定理可以用来衡量三角形的面积。

换言之，只要知道三角形的三点坐标，就可以运用三点共线定理来计算该三角形的面积。

此外，三点共线定理还可以应用于几何图象处理中，例如图像拉伸和旋转等功能的实现。

首先，通过对图像的直线拉伸和旋转，可以用三点共线定理来确定每条线段的另外两点。

其次，三点共线定理还可以用来检测图像中的某一条线段是否与其他线段共线。

最后，在医学影像诊断方面，三点共线定理可以用来确定肿瘤图像在不同层次和角度下的特征，从而帮助医生准确诊断出病原体所在的位置。

综上所述，三点共线定理是一种有着悠久历史的几何定理，它具有大量的实际应用，例如在几何图像处理、医学影像诊断和工程计算等领域都有着广泛的实际应用。

同时，三点共线定理也是数学领域中一个重要的定理，它对于研究更复杂的几何问题也有着重要的意义。

第2节共线向量之三点共线知识梳理1、三点共线的等价关系A ，P ，B 三点共线⇔AP →＝λAB →(λ≠0)⇔OP →＝(1－t)·OA →＋tOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔OP →＝xOA →＋yOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)． 2．结论(1)P 为线段AB 的中点⇔ OP ＝12( OA ＋OB )；(2)G 为△ABC 的重心⇔ GA ＋ GB ＋GC ＝0.(3)若|a ＋b |＝|a －b |，以a ，b 为邻边的平行四边形的形状是矩形 3．三角形三心：内心(三条角平分线交点）、外心（三条垂直平分线交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三条高的交点）。

1．已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若)(31++=(其中P 为平面上任意一点), 则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心2.已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心 3.已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若⋅+)(=⋅+)(=⋅+)(= 0，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心4.已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足++=λ, ),0(+∞∈λ. 则P 点的轨迹一定通过△ABC 的A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心 5．三个不共线的向量,,满足+⋅=+⋅)=+⋅ 0，则O 点是△ABC 的( )A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心6.已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若++= 0, 则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心做一做1．设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值为________．2.已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A 、B 、D 三点共线；(2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．3.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( )A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14bD.13a ＋23b 4．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( )A ．A 、B 、C B ．A 、B 、D C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D5．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．56．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA →＋OB →＋OC →＝0，则△ABC 的内角A 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°7、在△ABC 中，D 为AB 边上的一点，AD=2DB，CD =13CA+x AC,则x =_______ 8．在△ABC 中，AN=12NC，P 为BN 上一点， AP=29AC+x AB,则x =_______9.10．作业：1．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC的面积的比值为 ( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] B2.M 为△ABC 变BC 上任意一点，N 为AM 的中点， AN=x AB+y AC,则x +y =_______3.4.第2节共线向量之三点共线答案答案：做一做1.[答案]－12.[答案]k＝±1.3.B4.B5.B6.B7.238.1 39.10.作业：1.B2.123. 4.。

平面向量三点共线定理的推论及空间推广三点共线定理，又称三点确定一直线，它是平面几何学中一个基本定理。

它宣称，假设有三个不同的点，它们一定能构成一条直线。

本文主要介绍三点共线定理的推论及平面的推广，并且进一步评论该定理在空间几何中的推广。

一、三点共线定理：1. 定义：三点共线定理，又称三点确定一直线，是指，任意三个不同点，它们一定能构成一条直线。

2. 推论：（1）若由不同的三点确定的直线上含有两点，那么其余一点必然也在这条直线上。

（2）如果有一条直线上含有两点，则另一点也必然在这条直线上。

3. 例子：我们从A、B、C三点可以确定一条直线，若在这条直线上发现了B1点，B1点必然和A、C也在这条直线上。

二、平面推广：1.定理：三点共线定理也同样拓展到了平面中，即：任意三个不同点，必定能构成一个平面或一个平行于某平面的直线。

2.推论：（1）若由不同的三点所确定的平面上含有两点，那么另一点必定也在这个平面上。

（2）如果一个平面上含有两点，则另一点也必定在这个平面上。

3.例子：三个点A、B、C在一个平面上，若在这个平面上发现了B1点，那么A、C也必定在这个平面上，这样就可以确定这个平面。

三、空间推广：1.定理：三点共线定理可以拓展到空间几何中，即：任意三个不同点，必定能构成一个平面或一个空间中的直线。

2.推论：（1）若由不同的三点所确定的平面上含有两点，那么另一点必定也在这个平面上。

（2）如果一个平面上含有两点，则另一点也必定在这个平面上。

3.例子：如果三个点A、B、C全都在空间中，若空间中发现了B1点，那么A、C也必定在平面上，这样就可以确定这个平面。

总结：三点共线定理是一个基本定理，指任意三个不同点，一定能构成一条直线，并且这个定理在平面和空间几何中都能成立，一个平面或一个空中的直线，它的推论雷同，即：若有两点，另一点也在这个平面或这条直线上。

共线意为在同一条直线上。

多用于理工类学科，如向量共线、三点共线等。

共线向量
也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b，任意一组平行向
量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。

三点共线
三点共线，数学中的一种术语，属几何类问题，指的是三点在同一条直线上。

可以设三点为A、B、C，利用向量证明：λAB=λAC（其中λ为非零实数）。

共线向量基本定理
如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。

证明：
1）充分性：对于向量a（a≠0）、b，如果有一个实数λ，使b=λa，那么由
实数与向量的积的定义知，向量a与b共线。

2）必要性：已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m 倍，即∣b∣=m∣a∣。

那么当向量a与b同方向时，令λ=m，有b=λa，当向量a
与b反方向时，令λ=-m，有b=-λa。

如果b=0，那么λ=0。

3)唯一性：如果b=λa=μa，那么（λ-μ）a=0。

但因a≠0，所以λ=μ。

共线向量基本定理三点共线
三点共线定理：若OC=λOA+μOB，且λ+μ=1，则A、B、C三点共线。

共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。

证明过程：
AC=OC-OA=λOA+μOB-OA=μOB+（λ-1）OA=μ（OB-OA）。

而AB=OB-OA，即AB=μAC，故A、B、C三点共线。

共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b，任意一组平行向量都可移到同一直线上。

所以称为共线向量。

共线向量基本定理为如果a≠0，那么向量b 与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。

平面向量三点共线定理证明平面向量三点共线定理是指，在平面上，若给定三个向量 a、b 和 c，如果存在实数 k 和 l，使得 a = kb + lc，则称向量 a、b 和 c 共线。

换句话说，如果存在两个实数 k 和 l，使得 a 是向量 b 和向量 c 的线性组合，那么这三个向量是共线的。

为了证明这一定理，我们可以使用向量的坐标表示以及向量共线的性质。

假设给定三个向量a=(x1,y1)、b=(x2,y2)和c=(x3,y3)。

我们知道，两个向量共线是指它们的方向相同或相反。

因此，我们先证明如果a和b共线，且a和c共线，那么a、b和c三个向量共线。

首先，假设a和b共线，即存在实数k1和l1，使得a=k1b+l1c。

同样地，假设a和c共线，即存在实数k2和l2，使得a=k2b+l2c。

然后，我们将这两个等式相减，得到：a-a=(k1b+l1c)-(k2b+l2c)0=(k1-k2)b+(l1-l2)c根据向量等式的传递性，上述等式成立当且仅当系数相等，即：k1-k2=0且l1-l2=0这意味着k1=k2且l1=l2将这些相等的系数代回前面的等式中，我们得到：a=k1b+l1c因此，我们证明了a、b和c三个向量共线。

接下来，我们证明反过来也成立：如果a、b和c三个向量共线，那么a和b共线，且a和c共线。

假设 a、b 和 c 三个向量共线，即存在实数 k 和 l，使得 a = kb+ lc。

我们可以将b和c表示为a和c的线性组合：b=(1/k)a-(l/k)c然后，我们可以看到：a = k((1/k)a - (l/k)c) + lc将a替换为b和c的线性组合：a = a - lc + lc上述等式成立。

因此，我们证明了反过来的结论：如果a、b和c三个向量共线，那么a和b共线，且a和c共线。

综上所述，我们证明了平面向量三点共线定理的两个方向。

最后，值得注意的是，我们假设了a、b和c三个向量不同于零向量。

这是因为零向量与任何向量都共线，而我们关注的是非零向量的共线性。

三点共线和为1定理
首先，让我们来看一下这个定理的证明。

假设A、B和C不共线，即它们不在同一条直线上。

那么我们可以通过取一个非零实数λ，
使得λA + (1-λ)B = C。

根据这个等式，我们有A + B + (-1)C = 0。

这意味着A、B和C是线性相关的，这与它们的和为1的条件相
矛盾。

因此，我们得出结论，A、B和C必须共线。

三点共线和为1定理的重要性在于它提供了一种判断三个点是
否共线的方法。

通过检查这三个点的和是否等于1，我们可以快速
判断它们是否共线。

这对于解决许多几何和线性代数中的问题都非
常有用。

此外，这个定理还在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在工
程和建筑领域，我们经常需要确定三个点是否共线，以便设计和建
造各种结构。

三点共线和为1定理为我们提供了一个简单而有效的
工具来解决这类问题。

总之，三点共线和为1定理是一个简洁而重要的数学定理，它
揭示了三个点之间的线性关系和共线性质。

它不仅在数学理论中有
着重要的地位，而且在实际问题中也有着广泛的应用。

通过理解和
运用这个定理，我们可以更好地理解和解决许多与三点共线性相关的问题。

三点共线和等和线定理教案教案：三点共线和等和线定理一、引言三点共线和等和线定理是几何学中的基本概念和定理，它们在解决直线和三角形相关问题时起着重要作用。

本教案将简要介绍三点共线和等和线定理的概念，并结合具体例子进行讲解。

二、三点共线定理1. 定理表述三点共线定理又称为共线性定理，它表述为：如果三点A、B、C 在同一条直线上，那么它们就是共线的。

2. 证明思路三点共线定理是几何学中最为简单的定理之一。

我们可以通过反证法来证明此定理。

假设三点A、B、C不在同一条直线上，我们尝试从中找出矛盾的地方。

3. 证明过程假设A、B、C不在同一直线上，我们可以通过连接AB、AC和BC 三条线段来形成一个三角形。

根据三角形的性质，我们知道三角形的三条内角和等于180度。

但是根据题设，我们假设的A、B、C不在同一条直线上，意味着我们无法形成一个三角形。

因此，假设不成立，即可证明三点共线定理成立。

4. 实例演示取一根硬尺，在纸上任意选取三个点A、B、C，并用硬尺连接它们三点，若可以通过硬尺将三个点连成一条直线，即可证明三点共线。

三、等和线定理1. 定理表述等和线定理是指：若两条直线都和一条第三条直线等夹，则这两条直线互相平行。

2. 证明思路我们可以通过使用平行线的性质来推导等和线定理。

通过构造平行线和利用平行线的性质，我们可以得到等和线定理的结论。

3. 证明过程假设直线AB与直线CD都和直线EF等夹，我们可以通过反证法来证明直线AB与直线CD互相平行。

首先，我们假设直线AB与直线CD不平行。

根据几何学基本原理，如果两条直线不平行，那么它们一定会有一个交点。

我们找到这个交点，并用尺规作图的方法证明AB与CD不能与EF等夹。

但是这与题设矛盾，因为题设中AB与CD都与EF等夹。

因此，我们的假设不成立，即可证明直线AB与直线CD互相平行。

4. 实例演示在纸上绘制一条直线EF，并选择两个与直线EF等夹的直线AB和CD。

我们可以通过测量角度的方法来验证直线AB与直线CD是否平行，从而验证等和线定理的正确性。

知识梳理(一）、对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b aλ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：(二）、三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且OP xOA yOB =+。

特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y >>当点P 在线段AB 之外时，0xy <典例剖析例1、 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则yx 41+ 的最小值是 分析：点P 落在ABC 的边BC 上 ∴B ，P,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+=　且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++　x>0,y>040,0y xx y ∴>> 由基本不等式可知：44y x x y +≥=，取等号时4y xx y=224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起， 较综合考查了学生基本功.例2、在△ABC 中，13AN NC =，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211分析：,,B P N三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+8111m ∴+=311m ∴=，故选C例3、在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为 ．：因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：1()2AO AB AC ∴=+m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+22m nAO AM AN ∴=+ 又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=变式、直线l 过ABCD 的两条对角线AC 与BD 的交点O ，与AD 边交于点N,与AB 的延长线交于点M 。

是平行四边形，于是 第三讲点共线、线共点在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、 塞瓦定理 的应用。

1•点共线的证明点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线；证明两点的连线 必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等。

n(n A 4)点共线可转化为三点共线。

例1如图，设线段AB 的中点为C,以AC 和CB 为对角线作平行四边形AECD ,BFCG 。

又作平行四边形 CFHD , CGKE 。

求证：H , C , K 三点共线。

证连AK , DG , HB 。

£可证AK^HB 。

四边形AHBK 其对角线AB , KH 互相平分。

而C 是AB 中点，线段KH由题意，AD^EC^KG , 是平行四边形,过C点，故K, C, H 点共线例2 如图所示，菱形ABCD中，/A=120 ° , O为△ABC外接圆，M为其上点，连接MC交AB于E, AM 交CB延长线于F。

求证：D , E, F 点共线证如图，连AC ，DF ，DE因为M 在Go 上,则 ZAMC =60 ° zSABC= ZACB ， 有△AMC S /ACF ,得MC CF CF MA CA CD又因为Z AMC = BAC ，所以A AMC ^z EAC ,得 MC AC ADMA AE AECF AD 所以 ，又Z BAD = ZBCD=120。

，知Z FD s CD AE△ADE 。

所以Z ADE= /DFB 。

因为 AD //BC ，所以Z ADF= ZDFB= ZADE ,于是 F ,E , D 三点共线例3 四边形ABCD 内接于圆，其边 AB 与DC 的延长线交于点P , AD 与BC的延长线交于点Q 。

由Q 作该圆的两条 点分别为E , F 。

求证：P , E , F 三点共 如图。

连接PQ ,并在PQ 上取一点M ，使得切线QE 和QF , 切B ,C , M , P 四点共圆，连 CM , PF 。