弹塑性力学思考题-大作业

截面为等边三角形的梁 纯弯曲双线性弹塑性模型等边三角形的边长为a ，中性轴经过三角形的形心O ，弯矩作用及坐标系如上图所示。

材料的应力—应变曲线如下图所示：加载过程： (1)、当弯矩M较小，低于某个值时，整个梁都将处于弹性状态。

截面上的应力分布为eI My y =)(σ，其中⎰=udy y e dyy b y I )(2如右图所示，ya yb a y a y u d 3232)(3363-==-=，，此时4963aI e =(2)、随着弯矩M逐渐增大，梁截面的上端（ay u 33=）应力将首先达到屈服点sσ，此时弯矩M 值可以确定：3231s ues a y I M σσ==，1M 为该梁的弹性极限弯矩。

(3)、弯矩M值继续增大，梁截面的上端区域进入塑性变形阶段。

假设弹塑性边界到中性轴的距离为s y梁进入塑性变形阶段后，弯矩])1(1[p sp e ss I Ey g S Eg I y M +-+=σ其中，e I ——弹性区对中性轴的惯性矩p S ——塑性区对中性轴的静矩pI ——塑性区对中性轴的惯性矩首先，当梁截面的下端（ay d 63-=）应力也达到屈服点sσ时，对应的ay s 63=此时4636321623)(ady y b y I a ae ==⎰-54)(33363ady y yb Saap==⎰4336322592311)(ady y b y I aap ==⎰可以得到，弯矩M 值为：s a Eg Mσ32]4327181[-=然后，弯矩M 值继续增大，梁截面的下端区域也将进入塑性变形阶段。

M 增大到某一值时，整个梁截面刚好完全进入塑性区域，这时的0=s y 。

此时0=e I)(3363==⎰-a apdy y yb S433632963)(ady y b y I a ap ==⎰-可以得到，弯矩M 值为：+∞=3M ，3M为梁截面的塑性极限弯矩。

（A ）、当弯矩M介于1M 和2M之间，即21M M M <<时，梁截面的中性轴上方的部分区域进入塑性变形阶段，而其下方的全部区域仍处于弹性变形阶段，且有ay a s 3363<<（如下图所示）此时sasy y aey y a dy y b y I 63)34292()(43632--==⎰-ay ay pssy ya dy y yb S333233)3323()(-==⎰ay ay p ssy ya dy yb y I 3343332)34292()(-==⎰在塑性区，])(1[)(ss s Ey y y g y -+-=σσ（B ）、当弯矩M介于2M和3M之间，即32M M M<<时，梁截面的中性轴下方的部分区域也进入了塑性变形阶段，且有a y s 630<<（如下图所示）此时ssy ssy y y ey ya dy yb y I --==⎰-)34292()(432s sssy aay y aay py ya y ya dy y yb dy y yb S-----+-=+=⎰⎰633233326333)3323()3323()()(s sssy aay y aay py y a y y a dy y b y dy y b y I-----+-=+=⎰⎰63433343632332)34292()34292()()(在上塑性区，])(1[)(s s s Ey y y g y -+-=σσ在下上塑性区，])(1[)(ss s Ey y y g y +-=σσ卸载过程由于当达到塑性极限时，弯矩M值达到∞+，难于分析。

弹塑性力学课程作业1 参考答案一．问答题1. 答：请参见教材第一章。

2. 答：弹塑性力学的研究对象比材料力学的研究对象更为广泛，是几何尺寸和形态都不受任何 限制的物体。

导致这一结果的主要原因是两者研究问题的基本方法的不同。

3. 答：弹塑性力学与材料力学、结构力学是否同属固体力学的范畴，它们各自求解的主要问题都是变形问题，求解主要问题的基本思路也是相同的。

这一基本思路的主线是：（1）静 力平衡的受力分析；（2）几何变形协调条件的分析；（3）受力与变形间的物理关系分析； 4. 答：“假设固体材料是连续介质”是固体力学的一条最基本假设，提出这一基本假设得意义是为利用数学中的单值连续函数描述力学量（应力、应变和位移）提供理论依据。

5. 答：请参见本章教材。

6. 答：略（参见本章教材）7. 答：因为物体内一点某微截面上的正应力分量 σ 和剪应力分量τ 同材料的强度分析 问题直接相关，该点微截面上的全应力则不然。

8. 答：参照坐标系围绕一点截取单元体表明一点的应力状态，对单元体的几何形状并不做 特定的限制。

根据单元体所受力系的平衡的原理研究一点的应力状态。

研究它的目的是： 首先是了解一点的应力状态任意斜截面上的应力，进一步了解该点的主应力、主方向、 最大（最小）剪应力及其作用截面的方位，最终目的是为了分析解决材料的强度问题。

9．答：略（请参见教材和本章重难点剖析。

） 10. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。

）11. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。

） 这样分解的力学意义是更有利于研究材料的塑性变形行为。

12. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。

）纳唯叶 (Navier) 平衡微分方程的力学意义是：只有满足该方程的应力解和体力才是客观上可能存在的。

13. 答：弹塑性力学关于应力分量和体力分量、面力分量的符号规则是不一样的。

它们的区别请参见教材。

14、答：弹塑性力学的应力解在物体内部应满足平衡微分方程和相容方程（关于相容方程详见第3、5、6章），在物体的边界上应满足应力边界条件。

弹塑性力学大作业1．简述圣维南原理，并举例说明其应用。

答：圣维南原理：如果作用在弹性体某一小块面积（或体积）上的载荷的合力矩都等于零，则在远离载荷作用区的地方，应力就小得几乎为零，即载荷的具体分布只影响载荷作用区附近的应力分布。

（或：如果把物体的一小部分也置上面力，变换内分布不同的静力等效的面力,当矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著的改变，但远处不计。

例，有柱形构件，在两端截面的形心受到大小相等而方向相反的拉力下，如图a，如果把一端或两端的拉力变换为静力等效力，图b或图c，则只有虚线画出的部分应力分布有显著的改变。

而其余部分所受的影响是可以不计的。

如果再将两端的拉力变为均匀分布的拉力，集度等于F⁄A,其中A为构件的横截面积，图d，仍然只有靠近两端部分的应力受到显著的影响。

这就是圣维南原理的合理例证。

2什么是平面应力问题？分别写出弹性力学平面应力问题的物理方程。

答：平面应力问题：平面应力指只在平面内有应力其平面应力分量（σx，σy ，τxy）存在，且为x，y的函数的弹性力学问题。

平面应力物理方程：εx=1E(σx−μσy );εy=1E(σy−μσx );γxy=2(1+μ)Eτxy；3 简述逆解法及逆解法的基本步骤。

答：先设定各种形式的，满足方程ð4φðy4+ð4φðx2ðy2+ð4φðx4=0的应力函数φ，用公式σx=ðφ2ðy2−X x，σx=ðφ2ðx2−y y，τxy=−ðφ2ðyðx，求出应力分量。

然后根据应力边界条件来考查，在各种形状的弹性体上，这些应力分量对应于什么样面力，从而得出所设定的应力函数可以解决什么问题。

逆解法基本步骤：二 写出下列应力边界条件。

解：图一的边界条件为：(σy )y=±ℎ2=0, (τxy )y=±ℎ2=0, ∫(σx )x=0b 2−b 2dy =−P cos α,∫(τxy )x=0ℎ2−ℎ2dy =−P sin α, ∫(σx )x=0ℎ2−ℎ2ydy =−P cos ℎ2 图二的边界条件为： (σθ)θ=−α2=0， (τγθ)θ=−α2=τ0， (σθ)θ=α2=−q sin α， (τγθ)θ=α2=q cos α2三，已知一点应力状态，试求主应力与主应力方向，并图示。

1
研究生弹塑性力学作业题（第二章）
一、一受力物体内某点的应力状态张量为0)
(0
000>⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---=a MPa a a
a a a ij
σ；
试求：（1）写出该应力状态的球应力张量和偏应力张量；（2）该点的主应力；主方向；（3）该点的最大（最小）剪应力及所在平面上的正应力；（4）八面体应力的大小；等效应力。

二、在物体内的某一点，所有的正应力分量都等于零，即0
===z
y
x
σ
σ
σ，
其余三个剪应力分量中一个为零（如0=xy
τ
），试求该点的主应力。

三、证明与三个应力主轴成等角倾斜面（正八面体）上的应力分量是坐标转换时的不变量。

（提示：把八面体应力用不变量表示）
四、如321,,I I I 为应力张量的第一、第二、第三不变量，32,J J 应力偏量的第二、第三不变量。

试证明：2212
3
1I I J
-=
2
1
213327
13
1I I I I J +
-
=
五、图示为一矩形界面水坝，其右侧面受静水压力，顶部受集中力P 作用。

力分量为y
I
M x
=
σ
，I
QS xy
=
τ
，试检验该点应力分量是否满足平衡方程和边
界条件，并求出y
σ的表达式
ql/2
1。

弹塑性理论思考题⒈ 一点的应力状态？答：通过一点P 的各个面上应力状况的集合 ⒉ 一点应变状态？ 答：[受力物体内某点处所取无限多方向上的线应变与剪应变(任意两相互垂直方向所夹直角的改变量)的总和，就表示了该点的应变状态。

]代表一点 P 的邻域内线段与线段间夹角的改变⒊ 应力张量？应力张量的不变量？应力球张量？体积应力？平均应力？应力偏张量？偏应力第二不变量J2的物理意义？单向应力状态、纯剪应力状态的应力张量？给出应力分分量，计算第一，第二不变量。

答：应力张量：代表一点应力状态的应力分量，当坐标变化时按一定的规律变化，其变换关系符合张量之定义，因此，表示点的应力状态的9个分量构成一个二阶张量，称为应力张量。

一点的应力状态可以借用矩阵以张量σij 表示：。

其中：xz τ=zxτ，xy τ=yx τ，yz τ=zy τ。

应力张量的不变量：对于一个确定的应力状态,只有一组(三个)主应力数值,即J 1,J 2,J 3是不变量,不随着坐标轴的变换而发生变化。

所以J 1,J 2,J 3分别被称为应力张量的第一、第二、第三不变量。

应力张量可分解为两个分量0-00+00m x m xy xz ij m yxy m yz m zx zy z m σσσττσστσστσττσσ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，等式右端第一个张量称为应力球张量，第二个张量称为应力偏张量。

应力球张量：应力球张量，表示球应力状态（静水应力状态），只产生体积变形，不产生形状变形，任何切面上的切应力都为零，各方向都是主方向。

应力偏张量：应力偏张量，引起形状变形，不产生体积变形，切应力分量、主切应力、最大正应力及主轴同原σij ，二阶对称张量，同样存在三个不变量J 1' ,J 2' ,J 3' 体积应力：P46平均应力：12311()()33m x y z σσσσσσσ=++=++，m δ为不变量,与坐标无关。

第二章 应力理论和应变理论2—3．试求图示单元体斜截面上的σ30°和τ30°（应力单位为MPa ）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及正负值应作何修正。

解：在右图示单元体上建立xoy 坐标，则知 σx = -10 σy = -4 τxy = -2 （以上应力符号均按材力的规定）代入材力有关公式得：3030cos 2sin 2221041041cos 602sin 607322226.768 6.77()104sin 2cos 2sin 602cos 6022132 3.598 3.60()2x yx yxy x yxy MPa MPa σσσσσατασστατα+-=+----+=++=--⨯+=----+=⋅+=⋅-=--⨯=--代入弹性力学的有关公式得： 己知 σx = -10 σy = -4 τxy = +23030()cos 2sin 2221041041cos 602sin 607322226.768 6.77()104sin 2cos 2sin 602cos 6022132 3.598 3.60()22x yx yxy x yxy MPa MPa σσσσσατασστατα+-=++---+=++=--⨯+=----+=-⋅+=-⋅+=⨯+⨯=由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。

2—6. 悬挂的等直杆在自重W 作用下（如图所示）。

材料比重为γ弹性模量为 E ，横截面面积为A 。

试求离固定端z 处一点C 的应变εz 与杆的总伸长量Δl 。

解：据题意选点如图所示坐标系xoz ，在距下端（原点）为z 处的c 点取一截面考虑下半段杆的平衡得：c 截面的内力：N z =γ·A ·z ；c 截面上的应力：z z N A zz A Aγσγ⋅⋅===⋅； 所以离下端为z 处的任意一点c 的线应变εz 为：题图1-3zz zE Eσγε==；则距下端（原点）为z 的一段杆件在自重作用下，其伸长量为：()22z z z z z z z z y zz l d l d d zd EEEγγγε=⎰⋅∆=⎰⋅=⎰=⎰=；显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）：()2222ll A l lW ll d l EEAEAγγ⋅⋅⋅⋅⋅=⎰∆===　；（W=γAl ）2—9.己知物体内一点的应力张量为：σij =50030080030003008003001100-⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦应力单位为kg ／cm 2 。

第二章 应力理论和应变理论2— 15.如 所示三角形截面水 材料的比重 γ，水的比重 γ 1。

己求得 力解 ：σ x = ax+by ， σy =cx+dy- γy ， τxy =-dx-ay ；根据直 及斜 上的 界条件，确定常数 a 、b 、c 、 d 。

解：首先列出OA 、 OB 两 的 力 界条件：OA ：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x= γ1 y ； T y =0σx =-γ1y ； τxy =0代入： σx =ax+by ； τxy =-dx-ay 并 注 意 此 ： x =0得 ： b=- γ1； a=0；OB ： l 1=cos β ； l 2=-sin β， T x =T y =0：x cosxy sin0 yx cosy sin⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ a ）将己知条件： σ x=1xy=-dxyγ y-γ y ； τ； σ =cx+dy-代入（ a ）式得：1 y cos dx sin0L L L L L L L L L bdx coscxdyy sin L L L L L L L L L化 （ b ）式得： d = γ12β；ctgT4n2τ 30° δ 30°30°化 （ c ）式得： c =γctg β -2γ 13y10x10Ox12 6τxy103 Pa2— 17.己知一点 的 力 量6 10 00 0δ y求 点的最大主 力及其主方向。

x题1-3 图解：由 意知 点 于平面 力状 ，且知：σx =12×O103σ y =10× 103 τ xy =6× 103，且 点的主 力可由下式求得：β212 101221.2xyxy21023n 22xy22610βγ 1y113710311 6.0828 10317.083 10 3 Paγ34.91724 10BA然：y117.083 10 3Pa2 4.917 10 3Pa30σ 1 与 x 正向的 角 ： （按材力公式 算）c2 xy2 6 12 sin 2tg 2121026xycos2然 2θ 第Ⅰ象限角： 2θ=arctg （ +6） =+80.5376 °则：θ=+40.2688 B 40° 16＇或（-139° 44＇）2— 19.己知应力分量为：σx=σy=σz=τxy=0，τzy=a，τzx=b，试计算出主应力σ1、σ2、σ3 并求出σ2 的主方向。

研究生弹塑性力学复习思考题1. 简答题：（1） 什么是主平而、主应力、应力主方向？简述求一点主应力的步骤？ （2） 什么是八面体及八面体上的剪应力和正应力有何其特点 （3） 弹性本构关系和塑性本构关系的各自主要特点是什么？ （4） 偏应力第二不变量丿2的物理意义是什么？（5） 什么是屈服面、屈服函数？ Tresca 屈服条件和Mises 屈服条件的儿何 与物理意义是什么？（6） 什么是Drucker 公设？该公设有何作用？（能得出什么推论？） （7） 什么是增量理论？什么是全量理论？ （8） 什么是单一 Illi 线假定？（9） 什么是平而应力问题？什么是平而应变问题？在弹性范用内这两类问题之间有 和联系和区别？（10） 论述薄板小挠度弯曲理论的基木假定？二、计算题1、已知P 点的应力张量为「3 1 r叭=10 21 2 0求该点的主应力、主方向及最人剪应力2、利用应变协调条件检杳其应变状态是否存在存在?° 红 i f + YP ________ OiLti -------- 二.=0dx idx j dXjdXtt, dx i dx h(1) e x =Axy 2, £y =Bx 2y, y xy =0, A^ B 为常数=k(x 2+ y 2\= ky 2,/vv = 2kxy k 为常数y xz z z2z 25x 2⑵ % = y 23、写出如下问题的边界条件(a)用直角坐标,(b)用极坐标°ly4、正方形薄板三边固定，另一边承受法向压力p = -p. sin —,如图所示，设位移函数为 b利用Ritz 法求位移近似解（泊松比v=0）o5、 悬臂梁在自 由端受亲中力P 作用，如图所示。

试用极小势能原理求最大挠度dP丿 -Z ----------------------------------------- 1z/ X< -------------------- -------------------------- >、'y第5题图提示设梁的挠1111线为2 3vv = a 2x +a 3x6、 对给定的应力函数： （1） （p } = = Cxy 3,试确定它们哪个能作为平面问题的应力函数，并分析它们能解什么问题？3F xv 3 P（2） 证明0= —[xy - ^-] + — b 可以作为应力函数，并求在区域xAO,—cYyYc 区4c " 3c~ 4c'域内的应力分量，并分析该应力函数可以解决那类平|何问题。

已知某材料在纯剪作用下应力—应变关系如图所示，弹性剪切模量为G ，Poisson 比为ν，剪切屈服极限为s τ，进入强化后满足const G d d ==,/γτ。

若采用Mises 等向硬化模型，试求 （1）材料的塑性模量（2）材料单轴拉伸下的应力应变关系。

解：（1）因为τττγ221232*123121J d J h d p⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡= 所以 τγd hd p *3*1=,3*3G d d h p==γτ （2） 弹性阶段。

因为)1(2υ+=EG ，所以)1(2υ+=G E 由于是单轴拉伸，所以εσE = 塑性阶段。

ijp ij fd d σλε∂∂= 1111)1(σσσε∂∂∂∂=fd f h d kl kl p解：在板的固定端，挠度和转角为零。

显然：()0)(b y ==±=±=ωωa x 满足0)(2)(2)(222221=-⋅-=∂∂±=b y x a x C xa x ω故222222111)()(b y a x C w C w --==满足所有的边界条件。

02))((2)y(222221=⋅--=∂∂±=y b y a x C b y ω2、用Ritz 法求解简支梁在均布荷载作用下的挠度（位移变分原理）步骤：（1）设挠度的试验函数 w (x ) = c 1x (l -x )+c 2x 2(l 2-x 2)+…显然，该挠度函数满足位移边界w (0) =0，w (l ) = 0。

（2）求总势能()⎰⎰-''=+=∏l 002qwdx dx w EI 21lV U 仅取位移函数第一项代入，得()()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∏l 0121dxx l qx c c 2EI 21（3）求总势能的极值EI24ql c 0c 211==∂∏∂ 代入挠度函数即可1.假定矩形板支承与承受荷载如图所示， 试写出挠度表示的各边边界条件： 解：简支边OC 的边界条件是：()00==y ω()0022220)(M xy D M y y y -=∂∂+∂∂-===ωνω自由边AB 的边界条件是：()0)(2222=∂∂+∂∂===b x by y x y M ωνω，()()q y x yD V b y b y y -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂-+∂∂-===23332ωνω两自由边的交点B ：()0,===b y a x ω()B by a x xy R M ===,2是B 点支座的被动反力。