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y
o h
l
x
x 0, y 0, u 0, v 0 x l , y 0, u 0, v 0 x l, y h ,v 0 2
y
o
h
l
x
x 0, y 0, u 0, v 0 x l , y 0, u cos v sin 0
B 2 E 3 F 2 f ( x) x Cx D, f1 ( x) x x 2 6 2 x f ( y ), y y ( Bx C ) Ex F Py B 2 xy x Cx D 2
（7)
常数确定后代入式（7），所得结果与式（5）相同。
q y dy (4 y 3 3h 2 y ) x g ( x) x 2lh 3 q ( y ) h 0, g ( x) x y 2l 2 xy
（3）
（4）
y
q (4 y 3 3h 2 y h 3 ) x 2lh 3
注意：式（1）、（3）、（4）表达的仅是静力可能的应力分 量，若为正确解答，则还需满足以应力表示的相容方程。
由此解得：
2 2 1 1 1 2 e1 q, e2 q E1 E2 4、位移及应力分量为：
2 2 1 1 1 2 u1 0, v1 q( y a) q(a h) E1 E2 2 1 2 u2 0, v2 q( y h) E2
y
[练习4] 图所示的几种受力体是否为平面问题？若是，则是 平面应力问题，还是平面应变问题？ h
q
R
O
q h x o z R O x
Q Q
O
z
y
y
R>>h
y
R>>h b)
y
a)
p
R O p x O
p
z L
p
y R<<l y c)
解： 图 a)所示为平面应力问题。图b）所示荷载垂直作用 于板面，故为薄板弯曲问题。图c）所示荷载作用于板 边，荷载及横截面沿z轴无变化，且R<<L，故为平面 应变问题。
xy
h
x
y
P
O
h
y
x
y
yx
y
yx
y a) 解： 1、列出应力边界条件
y b)
y c)
（1）左边界： ( x ) x h 0, ( xy ) x h 0 （2）右边界： ( x ) x h y , ( xy ) x h 0
(1)
解：1、采用位移解法。由于此结构处于双向均匀受压状态 （应力、应变为常量），因此，可假设其位移是线性函数， 现分上、下两区域表达为：
ABCD部分：
u1 a1 x b1 y c1 ,
CDEF部分： u2 a2 x b2 y c2 ,
v1 d1 x c1 y f1
v2 d 2 x c2 y f 2
(2)
（3）上端部：
h
h h
( y ) y 0 dx P sin
(3) ( 4) (5)
h ( y ) y 0 xdx P sin 2 h
h h
( xy ) y 0 dx P cos
[练习7] 图所示结构由两种不同材料构成。试求其在竖向均布 E 荷载q作用下的位移和应力解答（设h，a，L，1, 1, E2 , 2 , q 均已 知）。
(1)
( 2)
显然式（1）、式（2）能满足平面应力情况下的拉梅方程式。 2、考虑位移约束和变形连续条件：
(u1) x l 0, (u2 ) x l 0, (u2 ) y h 0, (v2 ) y h 0 (v1) y a (v2 ) y a
由此解得：
a1 b1 c1 a2 b2 c2 0 d 2 0, f 2 e2h, d1 0, f1 e1a e2 (a h)
y yf ( x) f1 ( x) y 4 d 4 f ( x) d 4 f1 ( x) y 4 4 x dx dx4 4 4 0, 2 2 0 4 y x y d 4 f ( x) d 4 f1 ( x) 0, y 0 4 4 dx dx
( 2)
由于A同处于AB，AC边界，因此，需同时满足式（1）和式（2） ，由此解得： x y xy 0 ，问题得证。
[练习6] 图a）所示为一矩形截面水坝，其右侧面受静水压力。
顶部受集中力P作用。试写出水坝的应力边界条件，固定边不必考 虑。
P x O
h 2
P x O
由式（3）、（4）解出常数 A 和 B ，进而可求得应力分量：
q q A 2 ,B h h
x 0, y
4.分析：
2qy 3x qx 3x (1 ) Py , xy (2 ) h h h h
（5)
f （1） (x)中的 Cx 不能略去，因为 Cx 对剪应力有影响。
[练习2] 如图2（a），三角形悬臂梁只受重力作用，梁的密度 为 ，试用纯三次式应力函数求解该梁的应力分量。
l
o
y
g
x
o
x q0 l
l
q0
g
x
y
（a)
图2
（b)
解：1.设应力函数为： Ax3 Bx2 y Cxy2 Dy3 不难验证其满足 4 0 。所以应力分量为：
[练习2] 如图所示为平面物体，角 A y 0 B 均为直角，其附近边界表面 和角 yx 0 A 均不受外力，试说明 A 、B 两点的 0 x 应力状态。 xy 0 y x 解： 由于 A 点附近边界不受外力，该 o 点的应力分量应满足如下边界条 件： ( x ) A ( y ) A ( xy ) A 0 即 A 点处于零应力状态。而 B 点处 于凹角的顶点，该点所取的微分单 元体的各个面均不是边界面，因此， 其上的应力分量是未知的，未必为 零，由理论分析知，凹角处 点的 B 应力趋于无限大。
x1 1q, x2 2q,
y1 q, y 2 q,
xy1 0 xy2 0
§3-7 《平面问题的直角坐标解答》习题课
[练习1]设有矩形截面的竖柱，其密度为 ，在一边侧面上受 均布剪力 q ，如图1，试求应力分量。 解: 1.采用半逆解法，设 x 0。导出 O x 使其满足双调和方程： h 2 x 2 Xx 0, f ( x) g q
x1 0, y1 e1, xy1 0
3、考虑应力边界条件和应力连续条件（CD面为光滑接触）：
( y1) y 0 q, ( xy1) y 0 0 ( y1) y a ( y 2 ) y a , ( xy1) y a ( xy2 ) y a 0
B
[练习3] 试写出表中所示各平面物体的位移边界条件（用直角 坐标），其中第二图中o点不动，过 o点的水平线段无转动。 解：各位移边界条件见表所列。
o
h
x
h x 0, y , u 0 2 h x 0, y , u 0, v 0 2
y
o
h
x
x 0, y 0 u 0, v 0, v 0 x
[练习5] 如图所示薄板条在y方向受均匀拉力 作用，试证明在板中间突出部分的尖端A处无 应力存在。 解: 本题可视为平面应力问题，AB和AC都 是自由边界（且 1 2 ），无面 力作用，即： X Y 0 。代入边 界条件有： AB边界： l1 cos1, m1 sin 1
x
（1）
x
xy
（2） y 6q 3q x dy 3 x 2 ydy 3 x 2 y 2 f ( x) x lh lh
0
利用上、下面边界条件确定 f (x)
( xy )
y h 2
3q 2 0, f ( x) x 4lh
3qx2 xy (4 y 2 h 2 ) 4lh3 将式（3）代入平衡微分方程中的第二式，得：
q C O A y B q
N2
2
x
1
N1
cosα 1σ x sinα 1τ xy 0 cosα 1τ xy sinα 1σ y 0
(1)
l AC边界：2 cos 2 cos1 m2 sin1
cos1 x sin 1 xy 0 cos1 xy sin 1 y 0
q A C E
E1 1
E2 2
Oax B源自h D FL yL
u1 0, v1 e1( y a) e2 (a h) u2 0, v2 e2 ( y h)
(3) (4)
(5) x 2 0, y 2 e2 , xy2 0 E1 1E1 2 E2 x1 ( x1 1 y1 ) e1, x 2 e2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 E1 E1 E2 y1 ( y1 1 x1 ) e1, y 2 e2 (6) 2 2 2 1 1 1 1 1 2 xy1 G1 xy1 0, xy2 0
《平面问题的基本理论》习题课
[练习1] 悬臂梁上部受线形分布载荷， 如图所示。试根据材料力学中 的 x 表达式，再用平衡微分方程导出 y 和 xy的表达式。 解：由材料力学知，过 P 点横截面 上的弯矩为： qx 3 M
z
q
h/2 h/2
o
P
l
x
y
（ 1）
