一次函数与 一元一次方程

14.3.1 一次函数与一元一次方程自学指导1、想一想：我们先来看下面的两个问题有什么关系：（1）解方程2x+20=0.（2）当自变量为何值时，函数y=2x+20的值为零？2、议一议：问题一：对于2x+20=0和y=2x+20，从形式上看，有什么相同和不同的地方？问题二：对于（1）和（2），从本质上看，又有什么关系？3、悟一悟：可见，这两个问题实际上是同一个问题。

4、试一试：从函数图象上看，（1）和（2）又是怎么样的关系？自学检测一1.一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s？（用两种方法求解）2.利用图象求方程6x-3=x+2的解，并笔算检验。

自学检测二1.用不同种方法解下列方程：（1）2x-3=x-2．（ 2）x+3=2x+1．2.某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国有出租车公司其中一家签定合同．设汽车每月行驶x千米，应付给个体车主的月费用是y1元，应付给出租车公司的月费用是y2元，y1、y2分别是x之间函数关系如下图所示．每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同，是多少元？当堂训练必做题1下面函数中经过点（１，１）的是（）(A) ｙ＝ｘ－１ (B)(C) y=x+1 (D) y=2x+12函数y=2x+1的图象经过 ( )(A)(2,0) (B)(0,1) (C)(1,0) (D)(12,0)3.函数y=2x-8与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是。

4.已知一次函数y=-3x+6，当x= 时,y=0.当y= 时,x=0.5.已知函数y=kx+2的图象过点A（-2，4），求（1）它的解析式；（2）根据图象回答，当x为何值时，y=0.选做题6.作出函数y=4x-1的图象，并回答以下问题：（1）y随x的变化情况；（2）图象与两坐标轴的交点坐标。

思考题7.已知方程ax+b=0的解是-2，下列图象肯定不是直线y=ax+b的是（）(A) (B) (C) (D)。

一次函数与一元一次方程一次函数和一元一次方程是数学中重要的概念，它们在解决实际问题和数学推理中起到了关键作用。

本文将介绍一次函数和一元一次方程的定义、特征以及如何应用于实际问题的解决中。

一次函数的概念：一次函数是指形式为y = ax + b的函数，其中a和b是常数。

其中，a称为斜率，决定了函数的斜率与增长的快慢；b称为截距，决定了函数与y轴的交点位置。

一次函数可以用图像表示为一条直线，其特征是直线是直的，且不平行于坐标轴。

一元一次方程的概念：一元一次方程是指形式为ax + b = 0的方程，其中a和b是已知常数，x是未知数。

解一元一次方程即求出方程中的未知数x的值，使得等式成立。

解一元一次方程的过程可以通过移项、化简等方法实现。

一次函数与一元一次方程之间的关系：一次函数与一元一次方程之间有密切的联系。

对于y = ax + b的一次函数来说，当给定y的值，求解对应的x值时，实际上就是在解一元一次方程ax + b = y。

在图像上看，一次函数的解就是函数与y轴或x轴的交点，也就是方程与坐标轴的交点。

应用举例1：考虑一个线性函数y = 2x + 3。

这个函数表示了一个斜率为2，截距为3的直线。

现在，我们希望求出x = 4时对应的y值。

根据函数的定义，将x代入函数中即可得到y = 2 * 4 + 3 = 11。

因此，当x = 4时，y = 11。

应用举例2：假设我们有一个问题，某商品原价为x元，打了5折后的价格为40元。

我们可以建立一个一元一次方程来解决这个问题。

设商品原价为x元，根据折扣条件得到x * 0.5 = 40，即0.5x = 40，进一步化简可得到x = 80。

因此，该商品原价为80元。

总结：一次函数和一元一次方程是数学中的重要概念，能够广泛应用于实际问题的解决中。

一次函数描述了直线的特征，斜率和截距决定了直线的性质；一元一次方程可以解决未知数的求解问题，通过移项和化简等方法可以求得方程的解。

一次函数与一元一次方程一、引言数学中的一次函数和一元一次方程是初中数学中最基础的概念之一。

理解和掌握这两个概念对于学习数学的后续内容具有重要意义。

本文将对一次函数和一元一次方程进行详细介绍，并探讨它们之间的关系。

二、一次函数的定义及特点一次函数，又称为线性函数，是指一个变量的函数，其最高次项为一次。

一般形式为：y = kx + b，其中k和b为常数，k称为斜率，表示函数的变化趋势，b称为截距，表示函数与y轴的交点。

一次函数的特点有以下几个方面：1. 图像为一条直线，斜率k决定了直线的倾斜程度；2. 函数的自变量为一元变量x，因变量为y；3. 一次函数可表示线性关系，如速度与时间的关系、温度与时间的关系等；4. 一次函数可以通过斜率和截距的值来确定一次函数的图像。

三、一元一次方程的定义及解法一元一次方程是指只有一个变量的一次方程，其一般形式为：ax +b = 0，其中a和b为常数，且a ≠ 0。

解一元一次方程的基本步骤如下：1. 对方程进行整理，将x的项移动到等式的一边，常数项移动到另一边；2. 通过移项和化简的步骤，得到方程的标准形式ax = b；3. 对方程两边同时除以系数a，得到x = b/a；4. 得到方程的解x = b/a。

需要注意的是，一元一次方程可能有无穷多个解，也可能没有解。

当方程无解时，得到矛盾的等式，如0 = 1，这是不成立的。

四、一次函数与一元一次方程的关系一次函数和一元一次方程之间存在密切的关系。

一次函数的图像实际上是一元一次方程的解集的图像表示形式。

以一次函数y = 2x + 3为例，我们可以将其转化为一元一次方程2x + 3 = 0，并解得x = -3/2。

这个解告诉我们，当y = 0时，x取-3/2。

因此，一次函数的x轴上的截距实际上就是一元一次方程的解。

同样地，我们可以将一个一元一次方程转化为一次函数的形式。

比如方程3x - 1 = 0，可以转化为函数y = 3x - 1的形式。

一次函数与一元一次方程1，一次函数的概念。

表达式为y=kx+b（k≠0，k、b均为常数）的函数，叫做y是x的一次函数,等号右侧是一次多项式。

当k>0时，y的值随x值的增大而增大，当k<0时，y的值随x值的增大而减小。

当b=0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中的特殊情况。

当常数项为零时的一次函数，可表示为y=kx（k≠0）[这时函数被称为正比例函数，y与x成正比]，这时的常数k也叫比例系数。

y关于自变量x的一次函数有如下关系：1.y=kx+b （k为任意不为0的常数，b为任意实数）x为自变量，y为因变量，k为常数，y 是x的一次函数。

特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx （k为常量，但k≠0）正比例函数图像经过原点2，如何作图（1）列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。

（2）描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。

一般地，y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点即可画出。

正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0，0）和（1，k）两点画出即可。

（3）连线：按照横坐标由小到大的顺序把描出的各点用平滑曲线连接起来。

一次函数和方程，一次函数与一元一次方程有着密切的联系。

任何一个一元一次方程都可以转化为（a、b为常数，）的形式。

因此解一元一次方程也就可以转化为当某一个一次函数值为0时，求相应的自变量的值，从一次函数的图象看，这相当于已知直线，确定它与x轴交点的横坐标的值。

也就是说：一次函数与x轴交点的横坐标就是方程的解。

在一次函数中，y如果等于某一个确定值，求自变量x的值就要解一元一次方程。

例1.如图，分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y（费用＝灯的售价＋电费，单位：元）与照明时间x（小时）的函数图象，假设两种灯的使用寿命都是2000小时，照明效果一样。

（1）根据图象分别求出的函数关系式；（2）当照明时间为多少时，两种灯的费用相同？解：（1）设直线的解析式为由图象得：解得：设直线的解析式为：由图象得：解得：（2）当时，两种灯的费用相等。

1、解方程2x+4=0
2、自变量x为何值时函数y=2x+4的值为0？
3、以上方程2x+4=0与函数y=2x+4有什么关系？
4、是不是任何一个一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a、b是常数，a≠0）？
5、当某个一次函数y=ax+b的值为0时，求相应的自变量x的值。

从图像上看，相当于确
定直线y=ax+b与x轴交点的横坐标的值。

6、仔细理解例1中的解法1与解法2有什么不同。

【学习流程】
1、解方程ax+b=0（a、b为常数，a≠0）
2、合作交流
自变量x为何值时，一次函数y=ax+b的值为0，这句话与解方程ax+b=0（a、b为常数）到底有什么关系？
3、探究问题
一个物体现在的速度是3m/秒，其速度每秒增加2m/秒，再过几秒它的速度为11m/秒？
1）、此问题用方程来解如何去解？
2）、画出y=2x-8的函数图象
如果速度y是时间x的函数，则上述问题与y=2x+3有什么关系？如何去解上述问题？
4、知识巩固
1）、当自变量x的取值满足什么条件时，函数y=3x+8的值满足于下列条件：
①、y=0 ②、y=-7
2）、利用函数图象解5x-3=x+2
5、整体感知
如何理解一次函数与x轴交点的横坐标与解方程的关系？
【课堂检测】
A、基础知识巩固
1、当自变量x的取值满足什么条件时，函数y=5x+7的值满足下列条件
（1）、y=0 （2）、y=20
B、能力提升
当自变量x取何值时，函数y=5
2
x+1与y=5x+17的值相等？。

一次函数与一元一次方程一次函数和一元一次方程是数学中基础而重要的概念。

它们在解决实际问题和建立数学模型方面发挥着重要的作用。

本文将详细介绍一次函数和一元一次方程的概念、性质以及它们与实际问题的应用。

一、一次函数一次函数又被称为线性函数，是数学中的一种基本函数类型。

一次函数的一般形式为f(x) = kx + b，其中k和b是常数，x为自变量，f(x)为因变量。

k代表直线的斜率，b代表直线的截距。

一次函数的图像是一条直线。

一次函数有许多重要性质。

首先，一次函数的斜率k决定了直线的倾斜程度，正斜率表示直线上升，负斜率表示直线下降。

其次，斜率为0的一次函数是水平直线，表示函数的值不随x的变化而改变。

最后，截距b表示函数图像与y轴的交点，即当x=0时，函数的值为b。

一次函数在实际问题中有广泛的应用。

例如，用来描述物体的运动规律、计算成本和收益之间的关系等等。

通过分析一次函数的斜率和截距，我们可以推断函数的性质并作出合理的预测，从而解决实际问题。

二、一元一次方程一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程。

一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b是已知常数，x是未知数。

解一元一次方程就是找出使方程成立的未知数的值。

解一元一次方程的常用方法是移项、消元和合并同类项。

通过这些操作，我们可以逐步简化方程，直到找到未知数的值。

解一元一次方程的过程中，需要注意不改变方程的等价性。

一元一次方程在实际问题中有广泛的应用。

例如，用来解决物体的运动问题、计算购物打折后的价格等等。

通过建立方程，我们可以形象地描述问题，并通过解方程求解未知数的值，从而得到准确的结果。

三、一次函数与一元一次方程的关系一次函数与一元一次方程有着密切的联系。

事实上，一次函数可以用一元一次方程的形式来表示。

考虑一次函数f(x) = kx + b，我们可以将其转化为一元一次方程kx + b = 0。

反过来，一元一次方程也可以用一次函数的图像来解释。

一次函数与一元一次方程之间的关系1. 概述一次函数与一元一次方程是初等数学中的重要概念，它们之间存在着密切的通联。

通过研究一次函数与一元一次方程之间的关系，可以帮助我们更好地理解数学概念，提升解决实际问题的能力。

2. 一次函数的定义一次函数是指形式为y=ax+b的函数，其中a和b是常数且a不等于零。

一次函数的图像是一条直线，因此也称为线性函数。

一次函数的特点是经过点（0，b），斜率为a。

3. 一元一次方程的定义一元一次方程是指形式为ax+b=0的方程，其中a和b是已知常数且a不等于零。

一元一次方程的解是使得等式成立的未知数的值。

4. 一次函数与一元一次方程的关系一次函数与一元一次方程之间有着密切的通联。

通过一次函数的表达式y=ax+b，我们可以得到一元一次方程ax+b=0。

而通过一元一次方程ax+b=0，我们也可以得到一次函数的表达式y=ax+b。

5. 一次函数的斜率与一元一次方程的解一次函数的斜率a代表了直线的倾斜程度，而一元一次方程的解x就是使得方程成立的值。

通过一次函数的斜率a，我们可以判断直线的走势，而通过一元一次方程的解x，我们可以得到使得等式成立的值。

6. 一次函数的图像与一元一次方程的解一次函数的图像是一条直线，而一元一次方程的解对应了直线与x 轴的交点。

通过一次函数的图像，我们可以直观地看出直线与x轴的交点坐标，而通过一元一次方程的解，我们可以计算出交点的具体数值。

7. 解一元一次方程画一次函数的图像通过解一元一次方程来画一次函数的图像是一种常见的方法。

首先根据一元一次方程ax+b=0，求出未知数x的值，然后将这些值代入一次函数的表达式y=ax+b，得到对应的y值，最后用这些点画出一次函数的图像。

8. 画一次函数的图像解一元一次方程通过画一次函数的图像来解一元一次方程也是一种常见的方法。

首先根据一次函数的表达式y=ax+b，画出函数的图像，然后找到直线与x轴的交点坐标，即为一元一次方程的解。

一次函数与方程、不等式的关系考点·方法·破译 1． 一次函数与一元一次方程的关系：任何一元一次方程都可以转化成kx ＋b ＝0(k 、b 为常数，k ≠0)的形式，可见一元一次方程是一次函数的一个特例．即在y ＝kx ＋b 中，当y ＝0时则为一元一次方程．2． 一次函数与二元一次方程(组)的关系：⑴任何二元一次方程ax ＋by ＝c (a 、b 、c 为常数，且a ≠0，b ≠0)都可以化为y ＝a c x b b-+的形式，因而每个二元一次方程都对应一个一次函数；⑵从“数”的角度看，解方程组相当于求两个函数的函数值相等时自变量的取值，以及这个函数值是什么；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两个函数图像交点的坐标．3． 一次函数与一元一次不等式的关系：由于任何一元一次不等式都可以转化成ax ＋b ＞0或ax ＋b ＜0(a 、b 为常数，a ≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看成是当一次函数的函数值大于或小于0时，求相应自变量的取值范围．经典·考题·赏析【例1】直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x ＋b ＞k 2x 的解为( )A ．x ＞－1B ．x ＜－1C ．x ＜－2D ．无法确定 【解法指导】由图象可知l 1与l 2的交点坐标为(－1，－2)，即当x ＝－1时，两函数的函数值相等；当x ＞－1时，l 2的位置比l 1高，因而k 2x ＞k 1x ＋b ；当当x ＜－1时，l 1的位置比l 2高，因而k 2x ＜k 1x ＋b ．因此选A ．【变式题组】01．(浙江金华)一次函数y 1＝kx ＋b 与y 2＝x ＋a 的图象如图，则下列结论：①k ＜0；②a ＞0；③当x ＜3时，y 1＜y 2中，正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．302．如图，已知一次函数y ＝2x ＋b 和y ＝ax －3的图象交于点P (－2，－5)，则根据图像可得不等式2x ＋b ＞ax －3的解集是________． 03． (武汉)如图，直线y ＝kx ＋b 经过A (2，1)，B (－1，－2)两点，则不等式12x ＞kx ＋b ＞－2的解集为_________．第1题图 第2题图 第3题图【例2】若直线l 1：y ＝x －2与直线l 2：y ＝3－mx 在同一平面直角坐标系的交点在第一象限，求m 的取值范围． 【解法指导】直线交点坐标在第一象限，即对应方程组的解满足00x y >⎧⎨>⎩，从而求出m 的取值范围．解：23y x y mn =-⎧⎨=-⎩，∴51321x mm y m ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，∴00x y >⎧⎨>⎩，∴5013201m m m⎧>⎪⎪+⎨-⎪>⎪+⎩，即10320m m +>⎧⎨->⎩，∴－1＜m ＜32．【变式题组】01． 如果直线y ＝kx ＋3与y ＝3x －2b 的交点在x 轴上，当k ＝2时，b 等于( )A ．9B ．－3C ．32-D ．94-02． 若直线122y x =-与直线14y x a =-+相较于x 轴上一点，则直线14y x a =-+不经过( ) A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限03． 两条直线y 1＝ax ＋b ，y 2＝cx ＋5，学生甲解出它们的交点坐标为(3，－2)，学生乙因抄错了c 而解出它们的交点坐标为(34，14)，则这两条直线的解析式为____________．04． 已知直线y ＝3x 和y ＝2x ＋k 的交点在第三象限，则k 的取值范围是________．【例3】已知直线l 1经过点(2，5)和(－1，－1)两点，与x 轴的交点是点A ，将直线y ＝－6x ＋5的图象向上平移4个单位后得到l 2，l 2与l 1的交点是点C ，l 2与x 轴的交点是点B ，求∴ABC 的面积．【解法指导】设直线l 1的解析式为y ＝kx ＋b ，∴l 1经过(2，5)，(－1，－1)两点， ∴251k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得21k b =⎧⎨=⎩，∴y ＝2x ＋1，∴当y ＝0时，2x ＋1＝0，x ＝12-，∴A (12-，0)．又∴y ＝－6x ＋5的图象向上平移4个单位后得l 2，∴l 2的解析式为y ＝－6x ＋9， ∴当y ＝0时，－6x ＋9＝0，x ＝32，∴B (32，0)． ∴2169y x y x =+⎧⎨=-+⎩，∴13x y =⎧⎨=⎩，∴C (1，3)，∴AB ＝32－(12-)＝2，∴S ∴ABC ＝12×2×3＝3．【变式题组】01． 已知一次函数y ＝ax ＋b 与y ＝bx ＋a 的图象相交于A (m ，4)，且这两个函数的图象分别与y 轴交于B 、C 两点(B 上C 下)，∴ABC 的面积为1，求这两个一次函数的解析式． 02． 如图，直线OC 、BC 的函数关系式为y ＝x 与y ＝－2x ＋6．点P (t ，0)是线段OB 上一动点，过P 作直线l 与x 轴垂直．⑴求点C 坐标； ⑵设∴BOC 中位于直线l 左侧部分面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；⑶当t 为何值时，直线l 平分∴COB 面积． 演练巩固·反馈提高 01． 已知一次函数y ＝32x ＋m ，和y ＝12-x ＋n 的图象交点A (－2，0)，且与y 轴分别交于B 、C 两点，那么∴ABC 的面积是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．602． 已知关于x 的不等式ax ＋1＞0(a ≠0)的解集是x ＜1，则直线y ＝ax ＋1与x 轴的交点是( )A ．(0，1)B ．(－1，0)C ．(0，－1)D ．(1，0)第3题图 第6题图03． 如图，直线y ＝kx ＋b 与x 轴交于点A (－4，0)，则y ＞0时，x 的取值范围是( )A ．x ＞－4B ．x ＞0C ．x ＜－4D ．x ＜0 04． 直线kx －3y ＝8，2x ＋5y ＝－4交点的纵坐标为0，则k 的值为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－205． 直线y ＝kx ＋b 与坐标轴的两个交点分别为A (2，0)和B (0，－3)．则不等式kx ＋b ＋3≥0的解集为( ) A ．x ≥0 B ．x ≤0 C ．x ≥2 D ．x ≤206． 如图是在同一坐标系内作出的一次函数y 1、y 2的图象l 1、l 2，设y 1＝k 1x ＋b 1，y 2＝k 2x ＋b 2，则方程组111222y k x b y k x b ⎧⎨⎩＝＋，＝＋的解是( )A ．22x y =-⎧⎨=⎩B ．23x y =-⎧⎨=⎩C ．33x y =-⎧⎨=⎩D ．34x y =-⎧⎨=⎩07． 若直线y ＝ax ＋7经过一次函数y ＝4－3x 和y ＝2x －1的交点，则a ＝_________．08． 已知一次函数y ＝2x ＋a 与y ＝－x ＋b 的图象都经过A (－2，0)，且与y 轴分别交于B 、C 两点，则S ∴ABC ＝_________．09． 已知直线y ＝2x ＋b 和y ＝3bx －4相交于点(5，a )，则a ＝___________．10．已知函数y ＝－x ＋m 与y ＝mx －4的图象交点在x 轴的负半轴上，则m 的值为__________． 11．直线y ＝－2x －1与直线y ＝3x ＋m 相交于第三象限内一点，则m 的取值范围是___________． 12．若直线122a y x =-+与直线31544y x =-+的交点在第一象限，且a 为整数，则a ＝_________． 13．直线l 1经过点(2，3)和(－1，－3)，直线l 2与l 1交于点(－2，a )，且与y 轴的交点的纵坐标为7．⑴求直线l 2、l 1的解析式；⑵求l 2、l 1与x 轴围成的三角形的面积； ⑶x 取何值时l 1的函数值大于l 2的函数值？14．(河北)如图，直线l 1的解析式为y ＝－3x ＋3，l 1与x 轴交于点D ，直线l 2经过点A (4，0)，B (3，32-)． ⑴求直线l 2的解析式； ⑵求S ∴ADC ；⑶在直线l 2上存在异于点C 的另一点P ，使得S ∴ADP ＝S ∴ADC ，求P 点坐标．第14题图15．已知一次函数图象过点(4，1)和点(－2，4)．求函数的关系式并画出图象．⑴当x 为何值时，y ＜0，y ＝0，y ＞0？ ⑵当－1＜x ≤4时，求y 的取值范围； ⑶当－1≤y ＜4时，求x 的取值范围．16．某医药研究所开发了一种新药，在实验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2h时血液中含药量最高，达每毫升6μg (1μg ＝10－3mg )，接着就逐步衰减，10h 后血液中含药量为每毫升3μg ，每毫升血液中含药量y (μg )随时间x (h )的变化如图所示，当成人按规定剂量服药后， ⑴分别求x ≤2和x ≥2时，y 与x 之间的函数关系式；⑵如果每毫升血液中含药量在4μg 或4μg 以上时，治疗疾病才是有效的，那么这个有效时间是多长？第16题图l 2。

一次函数与一元一次方程一次函数与一元一次方程是初中数学中的重要概念，它们在数学中具有广泛的应用。

本文将介绍一次函数和一元一次方程的定义、特点以及它们之间的关系。

一、一次函数的定义和特点一次函数是指自变量的最高次数为1的函数，它的一般形式可以表示为y = kx + b，其中k和b为常数。

1.1 斜率和截距在一次函数的一般形式中，k代表函数的斜率，用来描述函数的“倾斜程度”。

斜率越大，函数的增长速度就越快；斜率为负值时，函数呈现下降趋势；斜率为零时，函数呈现水平的特点。

b代表函数的截距，也叫做常数项，它表示函数与y轴的交点在y 轴上的坐标。

截距的值会影响函数图像的位置，当截距为正时，函数图像在y轴的上方；截距为负时，函数图像在y轴的下方。

1.2 函数图像一次函数的图像通常是一条直线，该直线通过平面直角坐标系中的两个点。

根据斜率和截距的不同取值，函数图像可能呈现不同的倾斜和位置。

二、一元一次方程的定义和特点一元一次方程指的是只有一个未知数，并且这个未知数的最高次数为1的方程。

一元一次方程的一般形式可以表示为ax + b = 0，其中a和b为已知的实数，且a≠0。

2.1 求解一元一次方程为了求解一元一次方程，我们需要通过一系列变形和运算，将方程化简为x的形式，得到x的值。

在变形过程中，我们需要遵循一个原则：将方程两边进行相同的运算，保持等式成立。

比如，我们可以通过加减法、乘除法等方式将方程中的常数项和x的系数进行运算，最终求解出方程的解。

2.2 解的判断在求解一元一次方程时，解的个数取决于方程的系数和常数的取值情况。

当方程有解时，它有且只有一个解；当方程没有解时，我们会发现方程两边无法相等；当方程有无数解时，我们会发现方程两边恒相等。

三、一次函数与一元一次方程的关系一次函数与一元一次方程之间存在着密切的关系，它们可以相互转化。

3.1 一次函数转化为一元一次方程当已知一个一次函数的函数表达式时，我们可以通过令函数等于0，将一次函数转化为一元一次方程。

§11.3.1 一次函数与一元一次方程讲课人：凤小刚【教学目标】1. 理解一次函数与一元一次方程的关系，会根据图象解决一元一次方程求解问题。

2. 学习用函数的观点看待方程的方法，感受“转化”的数学思想。

3. 经历方程与函数关系问题的探究过程，学习用联系的观点看待数学问题。

【重难点】理解一次函数与一元一次方程的关系，会用函数的思想处理一元一次方程的问题【教学方法】自主——合作——探究；归纳——总结——应用.【教学流程】一、英语与汉语之间转化我是一个男孩。

转化成英语为：I am a boy。

转化成汉语为：二、“解方程ax+b=0（a≠0）”与“当y=ax+b的值为0时，x为何值？”两问题之间的转化1、老师为了检测小凯的数学学习情况，编了二道测试题.问题①：问题②：解方程2x+20=0 当函数y=2x+20的值0时，x为何值？解：x=－10 解：∵y=0∴=0∴x=－10问题①②有何关系？答：2、“问题转化”练习①填表②解方程5x-3=x+2经移项、合并后为 =0,可以转化为当函数 的值为0时，求自变量x 值。

解方程6x+1=x-3经 ,可以转化为当函数 的 时，求 值。

(注意:任意一个方程经移项、合并后都可写成ax+b=0的形式.)三、“解方程ax+b=0（a ≠0）”与“求直线y=ax+b 与x 轴交点的横坐标” 两问题的转化。

问题③：求函数y=2x+20的图象与x 轴的交点的横坐标；答： “问题转化”练习 1、填表：2、解方程5x-3=x+2经移项、合并后为 =0,可以转化为求函数的图象与x 轴的交点的横坐标；解方程6x+1=x-3经 可以转化为 求的图象与 。

3、已知：函数y=2x+20的图象 则方程2x+20=0的解为 。

问题① ③有何关系呢？x =－10 解：∵与x 轴交点的纵坐标为0. ∴ =0∴ x =－10问题①：解方程2x +20=0 +204、根据下列图象，我能说出哪些一元一次方程的解？并直接写出相应方程的解？. 5、已知方程ax+b=0的解是-2，下列图像肯定不是直线y=ax+b 的是（ ）问题①②从数的角度看（注意：双向箭头表示两者之间可以互相转化。

一次函数及一元一次方程教案一、教学目标1. 让学生理解一次函数的定义、性质和图像，能够熟练地列出一次函数的表达式。

2. 让学生掌握一元一次方程的定义、解法和应用，能够熟练地解一元一次方程。

3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容1. 一次函数的定义：一般形式为y=kx+b（k、b为常数，k≠0）。

2. 一次函数的性质：随着x的增大，y的值按照k的的正负变化。

3. 一次函数的图像：是一条通过点（0，b）和斜率为k的直线。

4. 一元一次方程的定义：形式为ax+b=0（a、b为常数，a≠0）。

5. 一元一次方程的解法：移项、合并同类项、化简。

6. 一元一次方程的应用：解决实际问题。

三、教学重点与难点1. 教学重点：一次函数的定义、性质、图像；一元一次方程的解法、应用。

2. 教学难点：一次函数的图像理解；一元一次方程的解法步骤。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究一次函数和一元一次方程的规律。

2. 利用多媒体课件，展示一次函数的图像，增强学生对函数概念的理解。

3. 通过实例分析，让学生学会将实际问题转化为方程求解。

五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生认识一次函数和一元一次方程。

2. 新课讲解：讲解一次函数的定义、性质、图像；一元一次方程的定义、解法。

3. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。

4. 应用拓展：分析实际问题，引导学生学会用一元一次方程解决问题。

5. 课堂小结：总结一次函数和一元一次方程的重要知识点。

6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。

六、教学活动1. 复习导入：回顾上一节课的内容，通过提问方式检查学生对一次函数和一元一次方程的理解。

2. 小组讨论：让学生分组讨论一次函数和一元一次方程在实际生活中的应用，分享各自的发现和体会。

3. 案例分析：选取几个实际问题，让学生尝试用一元一次方程解决，并讨论解题过程中的注意事项。

4. 课堂演示：老师通过多媒体课件展示一次函数的图像，引导学生观察和分析图像的特性。

一次函数与一元一次方程一次函数与一元一次方程都是数学中基础的概念，用来描述数值之间的关系。

虽然它们在形式上有所区别，但本质上都是线性关系的一种表达方式。

下面将分别从定义、图像特征、性质和应用等方面展开，详细介绍一次函数与一元一次方程。

一、一次函数1. 定义：一次函数是指定义域内的每一个元素与值域内的每一个元素之间存在着一一对应关系的函数。

一次函数的表达式为y=ax+b，其中a 和b为常数，且a≠0。

2.图像特征：一次函数的图像呈现一条直线，斜率a代表了直线的斜率大小，b代表了直线与y轴的交点。

3.性质：(1)一次函数的斜率表示了函数图像在定义域内的变化趋势，斜率为正表示函数图像上升，斜率为负表示函数图像下降。

(2)常函数是一种特殊的一次函数，其斜率恒为0，函数图像为一条水平直线。

(3)一次函数的图像关于直线y=x对称。

(4)一次函数的定义域为全体实数，值域也为全体实数。

4.应用：(1)一次函数广泛应用于物理学中的运动学问题，例如描述直线运动的速度-时间关系。

(2)一次函数可以用来描述经济学中的线性需求或供给曲线。

(3)一次函数也常用于描述回归分析中的线性关系。

1. 定义：一元一次方程是指一个未知数x的一次多项式等于一个已知数的关系式。

一元一次方程的一般形式为ax+b=0，其中a和b为已知实数，a≠0。

2.图像特征：一元一次方程没有直接的图像特征，因为它只是一个等式，而非函数表示的关系。

3.性质：(1)一元一次方程通常只有一个实数解，除非方程的系数a为0，此时方程无解或有无穷多解。

(2)一元一次方程可以通过移项、合并同类项和因式分解等方式进行求解。

(3)一元一次方程的解可以通过图像上与x轴的交点表示。

(4)一元一次方程的解可以是实数或复数。

4.应用：(1)一元一次方程广泛应用于代数中的各个领域，用来求解问题中的未知数。

(2)一元一次方程在几何学中用于解决线性关系问题，例如求线段的长度或面积。

(3)一元一次方程也常用于物理学问题中的运动学分析，比如解决速度、时间或位置等相关问题。

一次函数和一元一次方程的关系
一次函数和一元一次方程：
1. 一次函数是指在定义域内满足一次顺序导数为常数的函数，即函数
y=f(x) 在定义域 D 上满足 y'=k=常数，这里 k 称为函数 f 的一次导数，f 称为一次函数。

2. 一元一次方程是指由一元一次未知函数和常数之间的关系形成的方程，即 y=ax+b，这里 y 是一个未知函数，a 和 b 是常数，我们需要求
出 y 的值，该方程的解是 y 的值。

3. 一次函数和一元一次方程之间的关系是：由一次函数所描述的函数
和一元一次方程的系数 a 和 b 是一一对应的。

一次函数表示为 y=kx+b，一元一次方程表示为 y=ax+b，这里的 k 就等于一元一次方程中的 a，b 是一元一次方程中的 b，即一次函数和一元一次方程的系数是相等的。

4. 一次函数和一元一次方程都可以表示实际中的某种物理关系，而其
中的系数对应了关系的特化表达，通过对系数的变化，可以直观地表
示物理关系的变化。

比如，当一次函数 k 值变大，表示某种物理关系
加强，变小则表示物理关系减弱，所以一次函数和一元一次方程都可
以用来表示实际问题。

5. 一次函数和一元一次方程可以用来解决实际中的问题。

对于一元一次方程，可以通过解方程的方法求解出 y 的取值范围。

而一次函数的求解则比较简单，可以直接计算得到系数，然后将其代入函数中求出函数值等。

因此，一次函数和一元一次方程都可以用来帮助我们解决实际问题。