一元一次方程与方程组

高中数学经典方程
在高中数学课程中，经典方程一直是学习重点和难点之一。

接下来，我们将系统地介绍几种常见的经典方程及其解法。

一、一元二次方程
一元二次方程是高中数学中最基础的方程之一，通常写成形如ax^2 + bx + c = 0的形式。

解一元二次方程的方法有两种，一种是利用求根
公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a，另一种是通过配方法或因式分解将方
程化简为两个一元一次方程进行求解。

二、一元一次方程组
一元一次方程组是由一组一元一次方程构成的方程组，通常写成形
如
{a1x + b1y = c1
{a2x + b2y = c2
的形式。

解一元一次方程组的方法有代入消元法、相加消元法和矩
阵法等多种，根据具体情况选择最合适的方法进行求解。

三、二元二次方程
二元二次方程是有两个未知数的二次方程，通常写成形如
ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f = 0
的形式。

解二元二次方程的方法比较复杂，常见的有配方法、消元法和三角代换等，需要结合具体题目灵活运用。

四、三角方程
三角方程是含有三角函数的方程，通常写成形如
sinx = sinα 或cosx = cosβ
的形式。

解三角方程的方法有化简式、借值法和利用特殊角的性质等，需要掌握各种角的相关知识和技巧。

通过以上介绍，我们对高中数学中的几种经典方程及其解法有了初步了解。

在学习数学过程中，多加练习和理解，相信对于解题能力的提升会有很大的帮助。

希望以上内容对您有所帮助，谢谢阅读！。

一次方程与一元一次方程组的解法一次方程是指变量次数为1的方程，形如ax + b = 0，其中a和b是已知数，x是未知数。

解一次方程的方法有多种，下面将介绍一些常见的解法。

1. 消元法消元法是一种常见的解一次方程的方法。

通过在方程两边进行等式变换，将方程化简为变量的一个解。

下面以一个示例来说明：例题：解方程3x + 5 = 8。

解法：首先将方程化简为x的形式。

由于方程中只有一个变量x，我们可以通过将方程两边同时减去5来消去常数项，得到3x = 3。

随后，再将方程两边同时除以3，即可得到x的解x = 1。

2. 代入法代入法也是解一次方程的一种常用方法。

该方法适用于方程组中的一个方程可以通过解另一个方程来求得。

以下是一个示例：例题：解方程组2x + y = 5x - y = 1。

解法：首先可以通过第二个方程得到x = y + 1。

随后将x的值代入第一个方程中，得到2(y + 1) + y = 5。

通过对方程进行展开和化简，可求得y = 1。

将y的值代回第二个方程中，得到x = 2。

因此，方程组的解为x = 2，y = 1。

3. 图解法对于一元一次方程，我们还可以使用图解法来求解。

这种方法适用于线性方程的解在坐标系中有几何意义的情况。

下面是一个例子：例题：解方程2x - 3 = 0。

解法：将方程化简为x的形式，得x = 3/2。

在坐标系中，画出直线y = 2x - 3。

根据直线和x轴的交点，可得到x = 3/2。

以上是一次方程的解法，接下来将介绍一元一次方程组的解法。

一元一次方程组是指包含两个或更多个一元一次方程的方程组。

解一元一次方程组的方法有多种，下面将介绍两种常用的解法。

1. 代入法代入法也适用于解一元一次方程组。

该方法通过解其中一个方程，将解代入另一个方程中求得其他未知数的值。

以下是一个示例：例题：解方程组2x + y = 5x - y = 1。

解法：根据第二个方程可得x = y + 1。

将x的值代入第一个方程中，得到2(y + 1) + y = 5。

一次方程与方程组知识点总结归纳一、一元一次方程。

1. 定义。

- 只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。

- 一般形式：ax + b=0(a≠0)，其中a是未知数x的系数，b是常数项。

例如2x + 3 = 0就是一元一次方程。

2. 方程的解。

- 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

例如x = - (3)/(2)是方程2x+3 = 0的解。

3. 等式的性质。

- 性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

如果a=b，那么a±c = b±c。

- 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

如果a = b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么(a)/(c)=(b)/(c)。

- 利用等式的性质可以求解一元一次方程，例如解方程2x+3 = 0，首先根据等式性质1，两边同时减3得2x=-3，再根据性质2，两边同时除以2得x = - (3)/(2)。

4. 一元一次方程的解法步骤。

- 去分母（若方程中存在分母时）：根据等式性质2，在方程两边同时乘以各分母的最小公倍数，将分母去掉。

例如方程(x + 1)/(2)+(x - 1)/(3)=1，分母2和3的最小公倍数是6，方程两边同时乘以6得3(x + 1)+2(x - 1)=6。

- 去括号：根据乘法分配律将括号去掉。

如3(x + 1)+2(x - 1)=6去括号后变为3x+3 + 2x-2 = 6。

- 移项：把含未知数的项移到方程一边，常数项移到另一边，移项要变号。

例如3x+3 + 2x-2 = 6移项后得3x+2x=6 - 3+2。

- 合并同类项：将方程中同类项合并。

如3x+2x=6 - 3+2合并同类项得5x = 5。

- 系数化为1：根据等式性质2，方程两边同时除以未知数的系数。

如5x = 5两边同时除以5得x = 1。

二、二元一次方程（组）1. 二元一次方程。

一元一次方程组一元一次方程组是由两个或多个一元一次方程组成的方程组。

一元一次方程是指最高次项是一次幂（即x的指数为1）的方程。

而方程组则是一组方程的集合，其中的方程可以有一个或多个未知数。

在一元一次方程组中，每个方程都可以用以下形式表示：a₁x + b₁ = 0a₂x + b₂ = 0...aₙx + bₙ = 0其中a₁，a₂，...，aₙ，b₁，b₂，...，bₙ是已知的常数，x是未知数。

一元一次方程组的解是使得方程组中所有方程同时成立的未知数的值。

解的个数可以有三种情况：1. 方程组有唯一解：方程组中的所有方程是相容的，即可以通过代数运算将方程组化简为只含一个未知数的方程，并得到唯一解。

2. 方程组没有解：方程组中的方程是不相容的，即无法通过代数运算将方程组化简为只含一个未知数的方程。

3. 方程组有无穷多解：方程组中的方程是相容的，即可以通过代数运算将方程组化简为只含一个未知数的方程，并得到一个含有未知参数的方程。

解一元一次方程组的常用方法有消元法、代入法、加减乘除法等。

下面我们将分别介绍这几种方法。

1. 消元法：消元法是一种通过消去某些未知数的系数，从而化简方程组的方法。

具体步骤如下：a) 将方程组按照系数相同的未知数排列，将其转化为一个增广矩阵的形式。

b) 选取一个方程作为基准方程，通过线性组合将其他方程的某个未知数的系数消为0。

c) 重复b)步骤，直至将方程组化简为只含一个未知数的方程。

d) 求解得到唯一解或无解。

2. 代入法：代入法是一种通过将某个已知解代入其他方程中，从而求得未知数的值的方法。

具体步骤如下：a) 选择一个方程，将其中一个未知数表示为其他未知数的函数。

b) 将已知解代入该方程，得到关于其他未知数的方程。

c) 解这个关于其他未知数的方程，得到其他未知数的值。

d) 将其他未知数的值代入方程组中的其他方程，逐步求解得到未知数的值。

e) 检验解是否满足方程组中的所有方程。

3. 加减乘除法：加减乘除法是一种通过将多个方程进行相加、相减、相乘或相除，从而消去某些未知数的系数，从而化简方程组的方法。

第三章方程与方程组一、一元一次方程1•等式用等号表示相等关系的式子，叫做等式. 等式的性质：(1)等式的两边都加上 (或减去)同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式. 即若a=b，贝U a_m 二b_m.(2) _______________________________________________ 等式的两边都乘以同一个数(或除以同一个不为 ________________________________________________ 的数)，所得结果仍是等式•即a b若a = b，贝U am = bm，或(m = 0)m m2.方程含有未知数的等式叫方程叫方程.使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.求方程的解的过程叫解方程.3•同解方程及方程的同解原理(1 )如果两个方程的解相同，那么两个方程叫同解方程.(2)方程的同解原理：①方程的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得方程与原方程是同解方程.②方程的两边都乘以同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得方程与原方程是同解方程.4.一元一次方程在方程中，只含一个未知数，且未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程.标准形式：ax • b = 0(a = 0) 最简形式：ax二b(a = 0)补含字母系数的方程ax=b的解(1)若a = 0，则方程有唯一解x = b；a(2)若a=0，且b=0,方程变为0 • x=0,则方程有无数个解；(3)若a=0，且0，方程变为0・x=b，则方程无解.5•解一元一次方程的一般步骤(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b; (5)方程两边同除以未知数的系数(系数化为1)，得出方程的解.6 .列方程解应用题的方法及步骤(1 )审题：明确己知是什么，未知是什么及相互关系，并用x表示题中一个合理未知数.(2 )根据题意找出能表示应用题含义的等量关系(关键一步)(3)据等量关系列出正确方程.(4 )解出方程：求出未知数的值.(5)检验、作答，检验应是：检验所求的解既能使方程成立，又能使它符合实际意7 •一兀一次方程应用题的主要类型(1)和差倍分问题 (2)等积变形 (3) 行程问题 (4 )百分比浓度问题(5)劳力调配 (6) 比例问题 (7 )工程问题(8)商品利润率问题(9) 数字问题&几个典型问题 储蓄问题 (1) 本金 顾客存入银行的钱叫本金 (2)利息 银行付给储户的酬金叫利息(3) 本息和 本息和=本金+利息 (4) 期数 存款的时间(年、月等) (5)利率 每个期数内的利息与本金之比.记本金为P,利率为i ，期数为n 则① 单利：本息和=本金+本金利率期数=本金 (1+利率期数)，即S=P (1+in )利息税=利息税率 =本金+ 利息一利息税率=本金+ 利息(1—税率) 最后金额=本息和一税金 市场经济问题 (2)进价，原价，售价，利润率的关系：利润原价汉0.1x —进价打x 折：实际售价=原价X 0.1x .此时，禾U 润率=——=——-----进价进价练习：原价为a ,实际售价为b ,则打 _______________ 折，折扣率为 __________ . 行程问题有相遇问题，追及问题、逆(顺)流问题，上坡、下坡问题等，在运动形式上分直线 运动及曲线运动(如环形跑道、时钟问题)基本量之间的关系：路程 =速度 时间(s =v t )(1)相遇问题：s 甲 ■ s^ = s (或V 甲t V z t 二S), t 为甲、乙相遇时间.(2)追及问题：s 甲=s 乙■ s 0 ( V 甲 v z ,s 0为追及初距离)，V 甲t=V 乙t ■ S 0义.②复利：本息和=本金(1+利率)n即 S=P (1+i )(1)利润=售价一进价 利润率=利润=售价进价进价 进价 〜S 甲B工程问题基本量之间的关系：工作量=工作效率X工作时间. 常见等量关系：甲的工作量+乙的工作量基本量之间的关系：现产量=原产量X （1+增长率）• 百分比浓度问题基本量之间的关系：溶质=溶液X浓度. 水中航行问题基本量之间的关系：V静-v水 =切顺,v静- v水二V逆，v顺-v逆= 2v水川顺-v^ = 2v静二、二元一次方程组1.二元一次方程组的相关概念含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.一般形式：ax by c 0 a 0,b = 0 .含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组. 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做二元一次方程的一个解. 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解.2 .解二元一次方程组（1）代入消元法（代入法）：①用含有x（或y ）代数式表示y （或x），即变成y=ax，b（或x=ay，b）的形式;②将y =ax - b（或x =ay ■ b）代入另一个方程中，消去y （或x），得到一个关于x（或y）的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；④把x（或y）的值代入y=ax，b（或x=ay，b）中，求出y （或x）的值，从而得到方程组的解.（2）加减消兀法（加减法）：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程；④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解.I ------------ ----------------------------------------------- --------------------------------------------: 补三元一次方程组: 三元一次方程就是含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.; 由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.i 解三元一次方程组的一般步骤：[… ①利用代入法或加减法-把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，逍去两组______________《中考基础知识大扫描》中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元二次方程组; ■: ②解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；. : ③将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一i元一次方程；: ④解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值，从而得到方程组的解. iI __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ I3 •二元一次方程组的应用能分析出题目中的等量关系列二元一次方程组.*4 •二元一次方程与一次函数新课标要求：能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解.(1)一次函数与二元一次方程(组)以二元一次方程ax + by=c ( a,b = 0 )的解为坐标的点组成的图象与一次函数a cy x 的图象相同.b b广二元一次方程组」a i X+ b,y = c,的解可以看作是两个一次函数y = _ a i X十G和耳x + b2 y = c2b, b| a? C2y -x -的图象的交点.b2b2(2)一次函数与二元一次方程(组)的应用在实际生活中，如何应用函数知识解决实际问题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，再利用方程(组)求解.三、一元二次方程1•一元二次方程的概念方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程.含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.一般形式：ax2bx c 二0(a = 0)其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项.2•一元二次方程的解法(1)直接开平方法形如(x a)^ b的一元二次方程当b 一0时，x • a二.b , x二-a -、b，当b <0时，方程没有实数根.(2)配方法通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法.用配方法解一元二次方程ax2 bx c 0的一般步骤：①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；②移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为(X • m)2二n的形式;④用直接开平方法解变形后的方程.2 b c小2丄b cax bx c = 0 =x x 0= x x 二a a a a2 b , b 、2 c , b、2/ b、2b2「4ac一x x ()() =(x )二a 2a a 2a a4a(3)公式法用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.对于一元二次方程ax2bx c = 0(a = 0)，当b2 -4ac _ 0时，它的根是:f b2_4acx =2a用公式法解一元二次方程的一般步骤：①把方程化为一般形式，确定a,b,c的值;②求出b2 -4ac的值;③若b2 -4ac _0，则把a,b,c及b2 -4ac的值代入一元二次方程的求根公式:「b 二、b2—4ac 2x ，求出X i, X2;若b -4ac：：：0,则方程没有实数根.2a(4)分解因式法当一元二次方程的一边为0时，将另一边分解成两个一次因式的乘积，这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①将方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；一④解这两个二元一次方程，它们的解就是原方程的解. ___________ ________ _________ ______ i 补判别式、韦达定理；:1 .一元二次方程根的判别式[: 我们就把b2 -4ac叫做一元二次方程ax2 bx 0的根的判别式，通常用“丄”; 来表示，即—c. I I '元二次方程根的情况与判别式 的关系：厶＞0=方程有两个不相等的实数根;二=0：=方程有两个相等的实数根；匚＜0：=方程没有实数根； / _0：=方程有两个实数根.2 •一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)如果方程ax 2 • bx • c = 0(a = 0)的两个实数根是 X i ,X 2，那么两根之和，等于方程i 的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积，等于常数项除以二次项系数[I 所得的商，即为+x 2 =—b , X r X 2 =c .；a a:韦达定理的两个重要推论：:I I推论1：如果方程x 2 px ■ q = 0的两个根是x 1, x 2,那么x 1 x 2 - - p , x/2二q .I I推论2 :以两个数x 1,x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是I2x -（为 x 2）x x 1 x 2 = 0.一元二次方程的根与系数的关系的应用：(1) 验根，不解方程，利用韦达定理可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根. (2) 由已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数. ⑶不解方程，可以利用韦达定理求关于x 1,x 2的对称式的值，X 1,X 2互换，代数式不变，那么，我们就称这类代数；式为关于x 1,x 2的对称式.i: (4)已知方程的两根，求作这个一元二次方程. : (5)已知两数的和与积，求这两个数.； (6)已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值. i (7)证明方程系数之间的特殊关系.: (8)解决其它问题，如讨论根的范围，判定三角形的形状等. :根的符号的讨论：I2X1X 2 ,2X 1 x 2X 1X 22 %「x 2 X 1 x 2说明：如果把含x 1, x 2的代数式中；利用韦达定理，还可进一步讨论根的符号，设一元二次方程ax2• bx • c = 0 (a = 0)III的两根为x1,x2，则II■⑴A >0,且X j X2 >0二两根同号.IIII二0,且X1X2 0, x i x2・0：=两根同正；II! 二0,且x1x2 0, x.) x2：：：0二两根同数.II»(2)也a 0,且x1 x2■< 0 二ac v 0二两根异号.II；ac c0，且为+x2=0二两根异号且正根的绝对值较大；II: ac c0，且％+x2 £0二两根异号且负根的绝对值较大.；补二元二次方程组i ；含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程.关；I I 于x, y的二元二次方程的一般形式为：ax2■ bxy cy2dx e^ f = 0( a,b,c至少有[2 2一个不为0). ax ,bxy,cy叫做二次项，a,b,c叫做二次项系数；dx , ey叫做一次项，d,e : 叫做一次项系数；f叫做常数项. [ ；由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组成[ 的方程组都叫做二元二次方程组. 1 : 二元二次方程组的解法：: :1.由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法：: :(1)代入法[ : ①把二元一次方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示；: : ②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元方程；1 ; ③解这个一元方程，求得一个未知数的值；[ ；④把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值，否则，如1果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现增解的问题；; ; ⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组合在一起，就是原方程组[ 的解. : :(2)逆用韦达定理法[ X ：卜y 二ai 对型如y 的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x, y看做一：: \Xy=b i元二次方程一_z2一二az…b 一二0 的两个根，一解这个方程'…求得的一z t,_z2的.值，就是一x, y .的值.所_：% = z 2；i 2 •由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法：；一般步骤：! ①先把方程组中的一个方程分解降次，化为两个一次方程；: ②将这两个一次方程分别与原方程组中的另一个方程联立， 方程和一个二元二次方程组成的方程组；一③解这两个新的方程组，所得的解都是原方程组的解:四、分式方程新课标要求：会解可化为一元一次方程的分式方程(方程中的分式不超过两个) (1) 分式方程的概念分母里含有未知数的方程叫分式方程. (2) 分式方程的解法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程” •它的一般解法是：① 去分母，方程两边都乘以最简公分母； ② 解所得的整式方程；③ 验根：将所得的根代入最简公分母，若等于 0就是增根，应该舍去；若不等于 0就是原方程的根. _______________________________________________________________________________' 补分式分式方程的特殊解法 换元法； 换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种 ［特别形式，一般的去分母不易解决时，可考虑换元法. :用换元法解分式方程的一般步骤：；(1)设辅助的未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式； ■ (2)解所得的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值； ;(3)把辅助未知数的值代入原式中，求出原未知数的值； :(4)检验做答.以原方程的解是两组对称解:h组成两个由一个二元一次。

中考数学复习重要知识点专项总结—方程和方程组一、方程有关概念1、方程：含有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。

3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。

4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。

二、一元方程1、一元一次方程（1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）（2）一玩一次方程的最简形式：ax=b（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）（3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。

（4）一元一次方程有唯一的一个解。

2、一元二次方程（1）一元二次方程的一般形式：（其中x是未知数，a、b、c 是已知数，a≠0）（2）一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法（3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如果没有要求，一般不用配方法。

（4）一元二次方程的根的判别式：当Δ＞0时方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时方程有两个相等的实数根；当Δ<0时方程没有实数根，无解；当Δ≥0时方程有两个实数根（5）一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两个根，那么：，（6）以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：三、分式方程（1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

（2）分式方程的解法：一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。

特殊方法：换元法。

（3）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。

四、方程组1、方程组的解：方程组中各方程的公共解叫做方程组的解。

2、解方程组：求方程组的解或判断方程组无解的过程叫做解方程组3、一次方程组：（1）二元一次方程组：一般形式：（不全为0）解法：代入消远法和加减消元法解的个数：有唯一的解，或无解，当两个方程相同时有无数的解。

各类方程组的解法 The pony was revised in January 2021一、一元一次方程步骤：系数化整、去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1。

1、系数化整：分子分母带有小数或分数的系数化成整数，方法是分子分母同时乘一个数使得系数变成整数；2、去分母：将包含的分母去掉，方法是等式两边同时乘所有分母的最小公倍数；3、去括号：根据去括号法则将括号去掉；4、移项：过等号要变号，将含未知数的放等号左边，常数放等号右边；5、合并同类项：根据合并同类项法则将同类项合并：6、系数化1：将未知数的系数化成1，方法是等式两边同时除以未知数的系数。

注：不一定严格按照步骤，例如移项的同时可以合并同类项，a(A)=b（a、b是已知数，A是含未知数的一次二项式）型方程可以先将括号前的系数化成1，第5步系数为1时省略1且第6步不需要写。

二、二元一次方程（组）一个二元一次方程有无数个解，它表示平面内一条直线，直线上每个点的坐标都是方程的解。

由两个二元一次方程联立成的二元一次方程组代表空间内两条直线，其公共点坐标就是方程组的解。

当然，若两直线平行则方程组无解，若两直线重合则方程组有无数个解。

当方程组形式复杂时先根据一元一次方程的解法化简成一般形式，然后求解。

1、代入消元法：⑴将任意一个方程变形成“y=带x的式子”或者“x=带y的式子”的形式，代入另一个方程，变成一个一元一次方程；⑵解一元一次方程；⑶将解代入任意一个原方程解出另一个未知数的值，并写出解。

2、加减消元法：⑴方程两边同时乘一个合适的数使得有同一个未知数的系数的绝对值相等（若已有系数的绝对值相等则这一步跳过）；⑵两个方程左右加或减变成一元一次方程（系数相等用减，系数互为相反数用加）；⑶解一元一次方程；⑷将解代入任意一个方程解出另一个未知数的值，并写出解。

3、图像解法：根据图像与方程的关系，在同一个平面直角坐标系中画出两个方程代表的直线，找出公共点的横坐标与纵坐标（不推荐此方法，因为当解为分数时看不出，这只能表示一种关系）。

一次方程与一元一次方程组一次方程与一元一次方程组是数学中的重要概念，对于解决实际问题和推导数学理论起着重要的作用。

本文将介绍一次方程及其性质，以及如何建立和求解一元一次方程组。

一、一次方程的定义与性质一次方程是指未知数的次数为1的方程。

一般形式为：ax + b = 0，其中a和b为已知的系数，x为未知数。

一次方程的特点是只有一个未知数，求解过程相对简单。

其解的性质包括：唯一解、无解、无数解。

1. 唯一解：当一次方程存在唯一的解时，表示方程左右两边的值相等。

例如：3x - 5 = 7，解为x = 4。

2. 无解：当一次方程无解时，表示方程左右两边的值不相等。

例如：2x + 3 = 2(x + 1)。

3. 无数解：当一次方程有无数个解时，表示方程左右两边的值恒等。

例如：x + 2 = x + 2。

二、一元一次方程组的定义与解法一元一次方程组是由若干个一次方程组成的方程组，其未知数个数为1。

一般形式为：{a1x + b1y = c1{a2x + b2y = c2一元一次方程组可以通过多种方法求解，以下介绍两种常用的方法：代入法和消元法。

1. 代入法：设定其中一个方程的未知数为t，并将其代入另一个方程中，从而将方程组转化为一个一次方程。

例如：{2x + 3y = 8{4x - 2y = 2设定y = t，那么第一个方程可以变为2x + 3t = 8。

将其代入第二个方程，得到4x - 2t = 2。

将这个一次方程求解得到x = 3，再代入第一个方程求解得到y = 2。

2. 消元法：通过将方程组的两个方程相加或相减，消除一个未知数，得到一个只含一个未知数的一次方程，从而求解未知数。

例如：{2x + 3y = 8{4x - 2y = 2将第一个方程的两倍加上第二个方程，得到8x = 18，解得x = 9。

再将x的值代入第一个方程，得到27 + 3y = 8，解得y = -7。

三、一次方程与一元一次方程组的应用一次方程与一元一次方程组在实际问题中有广泛的应用。

一次方程与方程组【学习目的】①如何解一元一次方程（概念、性质的理解） ②实际问题与一元一次方程③二元一次方程组的解法（加减消元、代入消元） ④实际问题与二次方程组 考点一：一元一次方程及其解法例1：下列各式是一次方程的是（只填序号）（7）2+x ；（8）01222=++x x例2：检验下面方程后面括号里的数是不是方程的解：（1）4)1(213-+=-x x （1-=x ）；例3：用适当的数或式子填空，使所得结果仍是等式. （1）如果23+=-b a ，那么=+1a ； （2）如果523+=x x ，那么-x 35=；（4）如果n m 25=，那么=m ；例4： 解下列一元一次方程：（1）148+=y y ； （2）)4(35-=x x基础训练1、下列方程中，是一元一次方程的是 （ ）2、下列各式中：①512=-x ；②4+8=12；③85+y ；④032=+y x ；⑤122=+x x ；⑥1522--x x ；A.①②④⑤B.①②⑤⑦⑧C.①⑦D.①3、下列方程中，解为4的方程是 （ ）4、下列等式变形正确的是 （ ） A.如果b a =，那么11+=-b a B.如果61.0=x ，那么6.0=x C.如果33-=-y x ，那么0=-y x D.如果my mx =，那么y x =5、下列变形正确的是 （ ） A.由x x 453=+得543-=-x x B.由106=+x 得610+=x C.由x x 348-=得438=-x x D.由3)1(2=-x 得312=-x6、以下等式变形不正确的是 （ ） A.由22+=+y x ，得到y x = B.由332-=-b a ，得到b a =2 C.由an am =（0≠a ），得到n m = D.由n m =，得到an am =27、解方程x x 2323-=-时，正确且合理的移项是 （ ） A.3232+-=+-x x B.3322+-=+-x x C.2323-=-x x D.2323+=+x x8、在解下列方程1253--=+x x 的过程中，移项正确的是 （ ） A.5123+-=-x x B.1523-=--x x C.5123--=+x x D.5123--=--x x9、一元一次方程033=-x 的解是 （ ）10、若代数式2+x 的值为1，则x 等于 （ ） A.1 B.-1 C.3 D.-3 11、解下列方程：（1）75=+x ； （2）204=-x ； （3）844=-x ；（1强化训练1、若代数式5-x 与12-x 的值相等，则x 的值是.A.2=mB.3-=mC.3±=mD.1=m5、下列变形正确的是 （ ）C.若)1()1(22+=+c b c a ，则b a =D.若x x 22-=，则22-=7、已知关于x 的方程082=-+a x 的解是3=x ，则a 的值为 （ ）A.2B.3C.4D.5A.)1(3155--=x xB.)13(1--=x xC.)1(315--=x xD.)1(335--=x xA.)13(3612+=+-x x xB.)13(36)1(2+=+-x x xC.)13(3)1(2+=+-x x xD.)1(3)1(+=+-x x x 10、解下列方程：（1）84673-=+-x x x ； （2）)20(75)20(34x x x x --=--；12、解下列一元一次方程：能力提升1、在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在方程的两边 （ ） A.乘以同一个数 B.乘以同一个整式 C.加上同一个代数式 D.都加上12、当m 为何值时，关于x 的方程273)(23434-+=+--x x x x m m 是一元一次方程？4、关于x 的方程03)1(2=---n x m 是一元一次方程. （1）m 、n 应满足什么条件？（2）若此方程的根为整数，求整数m 的值.考点二：一元一次方程的应用（重点）例1：七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观，共589人，到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人.设到雷锋纪念馆的人数为x 人，可列方程为.例2：全班同学去划船，如果减少一条船，每条船正好坐9名同学；如果增加一条船，每条船正好坐6名同学，问原有多少条船？基础训练1、某村原有林地120公顷，旱地60公顷，为适应产业结构调整，需把一部分旱地改造为林地，改造后，旱地面积占林地面积的20％，设把x 公顷旱地改造为林地，则可列方程为 （ ） A.)120%(2060x x +=- B.120%2060⨯=+x C.)60%(20180x x +=- D.120%2060⨯=-x2、超市店庆促销，某种书包原价每个x 元，第一次降价打“八折”，第二次降价每个又减10元，经两次降价后售价为90元.则得到方程 （ ） A.90108.0=-x B.901008.0=-x C.108.090=-x D.90108.0=--x x3、某文具店一支铅笔的售价1.2元，一支圆珠笔的售价为2元.该店在“儿童节”举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元.若设铅笔卖出x 支，则依题意可列得的一元一次方程为 （ ） A.87)60(9.028.02.1=+⨯+⨯x x B.87)60(9.028.02.1=-⨯+⨯x x C.87)60(8.02.19.02=+⨯+⨯x x D.87)60(8.02.19.02=-⨯+⨯x x4、学校机房今年和去年共购置了300台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，则今年购置计算机的数量是 （ ） A.75台 B.150台 C.175台 D.225台5、甲乙两站间的路程为360千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶48千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶88千米，两列火车同时开出，同向而行，慢车在前，快车在后，问经过几小时快车追上慢车？6、某人将人民币若干元以一年定期的方式存入银行，年利率为2.25％，到期时银行向他支付的本息是20450元，那么此人当时存入人民币多少元?7、某商品的进价为2000元，标价为3000元，商店要求以利润不低于5%的售价打折出售，售货员最低可以折几折出售此商品?8、某通讯管道工程，若由甲、乙两个工程队单独铺设，分别需要20天和30天完成.如果两队从两端同时施工4天，然后再由乙队单独施工，则还需多少天才能完成?9、一个长方形的宽、长之比是2：3，且周长是30，求长和宽.10、把一批图书分给七年级（1）班的同学阅读，若每人分3本，则剩余20本，若每人分4本，则缺25本，这个班有多少学生？11、某寄宿制学校有大、小两种类型的学生宿舍共50间，大宿舍每间可住8人，小宿舍每间可住6人，该校360名住宿生恰好住满这50间宿舍.求大、小宿舍各有多少间？12、一艘轮船在A、B两个港口之间航行，顺流需要4个小时，逆流需要5个小时，已知水流速度是每小时2千米，求轮船在静水中的速度.强化训练1、王大爷用280元买了甲、乙两种药材，甲种药材每千克20元，乙种药材每千克60元，且甲种药材比乙种药材多买了2千克，则甲种药材购买了千克.这条公路长（）A.900米B.1200米C.1000米D.1300米3、互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为220元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为（）A.120元B.100元C.80元D.60元4、小陈妈妈做儿童服装生意，在“六一”这一天上午的销售中，某规格童装每件以60元的价格卖出，盈利20％，求这种规格童装每件的进价.5、如图，小黄和小陈观察蜗牛爬行，蜗牛在以A为起点沿直线匀速爬向B点的过程中，到达C点时用了6分钟，那么还需要多长时间才能到达B点？6、为有效开展阳光体育活动，云洱中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分.已知七年级一班在8场比赛中得到13分，问七年级一班胜、负场数分别是多少？7、联华商场以150元/台的价格购进某款电风扇若干台，很快售完.商场用相同的货款再次购进这款电风扇，因价格提高30元，进货量减少了10台.（1）这两次各购进电风扇多少台？（2）商场以250元/台的售价卖完这两批电风扇，商场获利多少元？8、一队学生从学校出发，以4km/h的速度去某农场参与义务劳动，走了1km时，一名学生奉命以5km/h的速度回校取一件物品，取了物品后又立即以同样的速度追赶队伍，结果在距农场1.5km的地方追上了队伍，求学校到农场的路程.9、A.B两地相距169千米，甲以42千米/时的速度从A地驶向B地，出发30分钟后因故障需停车修理.这时，乙车以39千米/时的速度从B地想A地驶来.已知甲排除故障用了20分钟，问乙车出发后经过多少时间与甲车相遇?能力提升1、从甲地到乙地，先下山后走平路，某人骑自行车从甲地以每小时12千米的速度下山，再以每小时9千米的速度通过平路，到乙地共用了55分钟；他回来时以每小时8千米的速度通过2、甲、乙两人同时从A地前往相距25.5千米的B地，甲骑自行车，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍快2千米，甲先到达B地后，立即由B地返回，在途中遇到乙，这时距他们出发时间为3小时，求两人的速度.3、某人原计划骑车以12千米/时的速度由A地到B地，这样便可以在规定的时间到达B地，但他因事将原计划出发的时间推迟了20分钟，只好以每小时15千米的速度前进，结果比规定的时间早4分钟到达B地，求A、B两地间的距离．4、已知甲、乙两种商品原单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10％，乙商品提价5％,调价后，甲、乙两种商品的单价和比原单价和提高了2％.求甲、乙两种商品的原单价各是多少?5、甲乙两件服装成本共500元，商店决定把甲服装按50％的利润定价，乙服装按40％的利润定价.在实际销售中，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店获利共157元.甲乙两件服装成本价分别是多少?6、某市居民生活用电基本价格为每度0.4元，若每月用电量超过a度，超过部分按基本电价的70％收费.(1)某户5月份用电84度，共交电费30.72元，求a的值.(2)若该户6月份的电费平均每度为0.36元，求6月份共用电多少度?7、若商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元.(1)若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；(2)某商场销售一台甲种电视机可获利150 元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售时获利最多，应选择哪种进货方案？8、某地的一种绿色蔬菜，在市场上若直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润4000元，经精加工后销售，每吨利润7000元．当地一家公司现有这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果对蔬菜进行精加工，每天可加工6吨，但每天两种方式不能同时进行．受季节等条件的限制，必须用15天时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕．为此，公司研制了三种方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能地对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜，在市场上直接出售；方案三：将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并刚好15天完成．如果你是公司经理，你会选择哪一种方案，说说理由．9、某钟表每小时比标准时间慢3分钟.若在清晨6时30分与准确时间对准，则当天中午该钟表指示时间为12时50分时，准确时间是多少？考点三：二元一次方程（组）及其解法例1：下列四个方程中，是二元一次方程的是 （ ）例2：下列方程组中，不是二元一次方程组的是 （ ）例3：为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生有x 人，女生有y 人，根据题意，所列方程组正确的是 （ ）A.⎩⎨⎧=+=+302378y x y xB. ⎩⎨⎧=+=+303278y x y x C.⎩⎨⎧=+=+783230y x y x D. ⎩⎨⎧=+=+782330y x y x（1）哪几对是方程52=-y x 的解？（2）哪几对是方程63=+y x 的解？（3）哪几对是方程组⎩⎨⎧=+=-6352y x y x 的解？例5：解方程组（1）⎩⎨⎧=+=-②①522y x y x ； （2）⎩⎨⎧=+=+252y x y x ； （3）⎩⎨⎧=+-=22332y x y x .基础训练1、下列方程中，是二元一次方程的为 （ ）2、下列方程组中，是二元一次方程组的是 （ ）3、已知甲、乙两数的和是7，甲数是乙数的2倍.设甲数为x ，乙数为y ，根据题意，列方程组正确的是 （ ）A.⎩⎨⎧==+y x y x 27B.⎩⎨⎧==+x y y x 27C.⎩⎨⎧==+y x y x 272D.⎩⎨⎧==+xy y x 2724、某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元，如果35名学生购票恰好用去750元，甲、乙两种票各买了多少张?设买了x 张甲种票，y 张乙种票，则所列方程组正确的是 （ ）A.⎩⎨⎧=+=+750241835y x y xB.⎩⎨⎧=+=+750182435y x y xC.⎩⎨⎧=-=-750182435y x y xD.⎩⎨⎧=-=-750241835y x y xA.5B.3C.3D.16、用加减消元法解方程组⎩⎨⎧-=-=+②①156734y x y x ，若要消去y ，则应 （ ）A.①ⅹ3+②ⅹ2B.①ⅹ3-②ⅹ2C.①ⅹ5+②ⅹ3D.①ⅹ5-②ⅹ37、用代入法解方程组⎩⎨⎧=-=+②①25343y x y x ，代入后化简比较容易变形的是（ ）8、已知⎩⎨⎧==21y x 是关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-632by ax by ax 的解，则=a .9、解方程组⎩⎨⎧=+=-②①178923y x y x10、解下列方程组：（1）⎩⎨⎧=+=-02372y x y x； （2）⎩⎨⎧=+-=-73123y x y x .强化训练13、方程组⎩⎨⎧=+=+4222y x y x 的解是.4、已知⎩⎨⎧==12y x 是二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+17my nx ny mx 的解，则=+n m 3.5、如果0112523=+---m n n m y x 是二元一次方程，则 （ ）A.1=m ，2=nB.3=m ，4=nC.2=m ，1=nD.1-=m ，2=n6、用代入法解方程组⎩⎨⎧=--=421y x x y 时，代入正确的是 （ ） A.42=--x x B.422=--x xC.422=+-x xD.42=+-x x7、二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+425y x y x 的解为 （ ） A.⎩⎨⎧==41y x B.⎩⎨⎧==32y x C.⎩⎨⎧==23y x D.⎩⎨⎧==14y x8、小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果x 千克，乙种水果y 千克，则可列方程组为 （ ）A.⎩⎨⎧+==+22864y x y xB.⎩⎨⎧+==+22864y x x yC.⎩⎨⎧-==+22864y x y xD.⎩⎨⎧-==+22864y x x y10、解方程组：⎩⎨⎧=+=-2332y x y x能力提升1、如果关于x 的方程组⎩⎨⎧=-=+1293y x y ax 无解，求a 的值.2、已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=+=+yx my x 15有正整数解，求正整数解m 的值.3、已知方程组⎩⎨⎧-=-=+4252by ax y x 和方程组⎩⎨⎧=+=-8203ay bx y x 同解，求2019)2(b a +的值.4、已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧-=-+=+81232181125a y x a y x 的解满足0>x ，0>y ，求实数a 的取值范围.考点四：二元一次方程组的应用（重点）例1：为丰富同学们的课余生活，体育委员小强到体育用品商店购羽毛球拍和乒乓球拍，若购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小强一共用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍，设每副羽毛球拍为x 元，每副乒乓球拍为y 元，列二元一次方程组得（ ）A.⎩⎨⎧=+=+320)(650y x y xB.⎩⎨⎧=+=+32010650y x y xC.⎩⎨⎧=+=+320650y x y xD.⎩⎨⎧=+=+32061050y x y x例2：在红城中学举行的“我爱祖国”征文活动中，七年级和八年级共收到征文118篇，且七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还多2篇，求七年级收到的征文有多少篇？基础训练1、陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种.两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同.由于会场布置的需要，购买时以一束(4个气球)为单位.已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格是（）A.19元B.18元C.16元D.15元2、某校去年有学生1000名，今年比去年增加4.4％，其中寄宿学生增加了6％,走读学生减少了2％.问该校去年有寄宿学生与走读学生各多少名?设去年有寄宿学生x名,走读学生y名,则可列出方程组为.3、根据图提供的信息，可知一个杯子的价格是元.4、某次训练，李明骑车平均速度每分钟600m，跑步平均速度每分钟200m，自行车和长跑路段共5千米，用时15分钟.求自行车路段和长跑路段的长度.5、根据图中的信息，求梅花鹿和长颈鹿现在的高度.6、世界读书日，某书店举办“书香”图书展，已知《汉语成语大词典》和《中华上下五千年》两本书的标价总和为150元，《汉语成语大词典》按标价的50％出售，《中华上下五千年》按标价的60％出售，小明花80元买了这两本书.求这两本书的标价各多少元.7、某一天，蔬菜经营户老李用了145元从蔬菜批发市场批发一些黄瓜和茄子，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如表所示：当天他卖完这些黄瓜和茄子共赚了50元，这天他批发的黄瓜和茄子分别是多少千克？8、某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为12元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆，现在停车场共有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费480元，中、小型汽车各有多少辆.强化训练1、某校春季运动会比赛中，七年级一班和五班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：一班与五班得分比是6:5.乙同学说：一班的得分比五班得分的2倍少40分.若设一班得x 分，五班得y 分，根据题意，所列的方程组应为 （ ）A.{y x y x 56402=-=B.{y x y x 56402=+=C.{y x y x 65402=+=D.{y x y x 65402=-= 2、某地准备对一段长120米的河道进行清淤疏通.若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天；若甲工程队先单独工作8天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天.设甲工程队平均每天疏通河道x 米，乙工程队平均每天疏通河道y 米，则)(y x +的值为.3、学生在素质教育基地进行社会实践活动，帮助农民伯伯采摘了黄瓜和茄子共42kg ，了解到这些蔬菜的种植成本共44元，还了解到如下信息:(1)请问采摘的黄瓜和茄子各多少千克?(2)这些采摘的黄瓜和茄子可赚多少元?4、有大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨.请根据以上信息，提出一个能用方程（组）解决的问题，并写出这个问题的解答过程.5、有一个运输队承包了一家公司运送货物的业务，第一次运送18t，派了1辆大卡车和5辆小卡车；第二次运送38t，派了2辆大卡车和11辆小卡车，并且两次派送的车都刚好装满. （1）两种车型的载重量各是多少？（2）若大卡车运送一次的费用为200元，小卡车运送一次的费用为60元，在第一次运送过程中怎样安排大小车辆，才能使费用最少？（直接写出派车方案）能力提升共重多少千克？2、甲、乙两班同时从学校A出发去距离学校75km的军营B军训，甲班学生步行速度为4km/h，乙班学生步行速度为5km/h，学校有一辆汽车，该车空车速度为40km/h，载人时的速度为20km/h，且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生，现在要求两个班的学生同时到达军营，问他们至少需要多少时间才能到达？3、小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤.妈妈：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两样菜只要36元”；爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨50％，排骨单价上涨20％”；小明：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？”请你通过列方程（组）求解这天萝卜、排骨的单价（单位：元/斤）.4、甲种矿石含铁54％，乙种矿石含铁36％，将两种矿石若干吨进行混合得到含铁48％的矿石，如果混合时甲种矿石比原来少取12吨，乙种矿石比原来多取10吨，那么混合后的矿石含铁45％，问原来混合时，两种矿石各取多少吨？5、在矩形ABCD中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示.试求图中阴影部分的总面积.。

小学数学认识简单的方程组方程组是数学中一个重要的概念，它由多个方程构成，常常用于解决实际问题或者描述数学关系。

在小学数学中，我们经常会遇到一些简单的方程组，接下来我们就来认识一下。

一、一元一次方程组一元一次方程组是由一个未知数和一个一次方程构成的方程组。

例如：方程组1：x + 2 = 5方程组2：2x - 3 = 7解这些方程组的方法是把方程中的未知数与常数项分开，然后根据方程中的运算规则相应地进行运算，最终得到未知数的值。

例如：方程组1的解法：x + 2 = 5x = 5 - 2x = 3方程组2的解法：2x - 3 = 72x = 7 + 32x = 10x = 10 / 2x = 5这样就分别求得了方程组1和方程组2的未知数x的值。

二、二元一次方程组二元一次方程组是由两个未知数和两个一次方程构成的方程组。

例如：方程组3：x + y = 72x - y = 1解这个方程组的方法有很多种，比较常用的是代入法和消元法。

使用代入法，我们可以先解出其中一个未知数，然后将其代入另一个方程中求解另一个未知数。

具体步骤如下：将方程3中的x + y = 7进行整理，得到y = 7 - x。

然后将y的值代入方程4中，得到2x - (7 - x) = 1。

继续化简，得到x = 2。

将x的值代入方程3中，得到y = 7 - 2，即y = 5。

所以方程组3的解为x = 2，y = 5。

使用消元法，我们可以通过消去其中一个未知数的系数，然后将方程相加或相减消去这个未知数。

具体步骤如下：将方程3乘以2，得到2x + 2y = 14。

将方程4与新得到的方程进行相减，得到3y = 13。

继续化简，得到y = 13 / 3。

将y的值代入方程3中，得到x + 13 / 3 = 7。

继续化简，得到x = 7 - 13 / 3，即x = 2。

所以方程组3的解为x = 2，y = 13 / 3。

三、三元一次方程组三元一次方程组是由三个未知数和三个一次方程构成的方程组。

一元一次方程二元一次方程组一、一元一次方程例如：求解方程3x+5=0。

解题步骤：1.移项得到3x=-5；2.除以系数3得到x=-5/3；3.解出x=-5/3，即方程3x+5=0的解为x=-5/3二、一元一次方程组一元一次方程组是指由若干个一元一次方程组成的方程组，其一般形式为⎧⎧⎧⎧⎧a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0...anx+bny+cn=0，其中ai，bi和ci为已知数，且ai≠0，bi≠0（i=1,2,...n）。

解一元一次方程组的基本步骤是通过消元法或代入法将方程组化简为只含有一个未知数的方程，然后求出未知数的值，最后代入原方程求出其他未知数的值。

例如：求解方程组⎧⎧⎧⎧⎧2x+y=-33x-4y=6解题步骤：1.通过消元法，将第二个方程的系数乘以2,得到⎧⎧⎧⎧⎧2x+y=-33x-4y=62.消去y的系数，得到⎧⎧⎧⎧⎧2x+y=-33x-4y=63.将得到的方程组化简，得到⎧⎧56x=-12；y=15解得x=-12/56，y=15即方程组⎧⎧⎧⎧⎧2x+y=-33x-4y=6的解为x=-12/56，y=15三、二元一次方程组二元一次方程组是指含有两个未知数的一次方程组，其一般形式为⎧⎧⎧⎧⎧a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2...anx+bny=cn，其中ai，bi和ci为已知数，且ai≠0，bi≠0（i=1,2,...n）。

解二元一次方程组的基本步骤是通过消元法或代入法将方程组化简为只含有一个未知数的方程，然后求出未知数的值，最后代入原方程求出其他未知数的值。

例如：求解方程组⎧⎧⎧⎧⎧2x+3y=53x-4y=14解题步骤：1.通过消元法，将第二个方程的系数乘以2，得到⎧⎧⎧⎧⎧2x+3y=56x-8y=282.消去x的系数，得到⎧⎧⎧⎧⎧2x+3y=56x-8y=283.将得到的方程组化简，得到⎧⎧11y=25；x=14/8解得y=25/11，x=14/8即方程组⎧⎧⎧⎧⎧2x+3y=53x-4y=14的解为y=25/11，x=14/8四、一元一次方程（组）的应用1.速度问题汽车以恒定速度行驶，已知汽车每小时行驶60千米，问行驶t小时后，汽车行驶的千米数？解：设行驶的千米数为x，则根据速度=距离/时间的公式可得x=60t。

初中数学方程知识点总结数学方程是初中数学中的重要内容之一，它是一种用符号表示的等式，通过找出未知数的值来解决问题。

在初中数学中，我们需要掌握各种类型的方程，包括一元一次方程、一元一次不等式、一元一次方程组等。

本文将对这些内容进行详细总结。

一、一元一次方程一元一次方程是最基本的方程类型，它由一个未知数和其系数构成。

一元一次方程的一般形式为ax+b=0，其中a和b是已知数，a≠0。

解一元一次方程的基本步骤如下：1. 化简方程，消去系数。

2. 将方程两边同时乘以适当的数，使得未知数的系数变为1。

3. 通过逆运算求得未知数的值。

二、一元一次不等式一元一次不等式是由一个未知数和其系数构成的不等式。

解一元一次不等式的基本步骤如下：1. 将不等式化简，去掉绝对值等符号。

2. 根据不等式的性质，进行移项、合并同类项等操作。

3. 注意改变不等号的方向，找出满足不等式的解集。

三、一元一次方程组一元一次方程组是由两个以上的一元一次方程构成的方程组。

解一元一次方程组的基本步骤如下：1. 选择一方程，通过消元的方式使得此方程的未知数系数为1。

2. 将已经消元后的方程代入其他方程，求得未知数的值。

3. 将解代入原方程组，验证是否是真解。

4. 如果方程组无解或者有无穷多组解，需要进行特殊讨论。

四、二元二次方程二元二次方程是由二次项和一次项组成的方程。

二元二次方程的基本形式为ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0，其中a、b、c、d、e都是已知数且a与b不同时为0。

求解二元二次方程的方法有以下几种：1. 直接法：将其中一个未知数表示成另外一个未知数的函数，然后代入方程，得到关于一个未知数的一元二次方程，然后求解。

2. 消元法：通过消元将方程简化成只包含一个未知数的一元二次方程，然后求解。

3. 代入法：将方程中的某一个未知数表示成另外一个未知数的函数，然后代入方程，得到关于一个未知数的一元二次方程，然后求解。