八年级数学专题五：第十二讲：分式方程

第十二、十三讲：分式方程金牌数学专题系列导入知识要点分式定义：（、为整式，中含有字母）性质通分：约分：分式方程定义：分母含有未知数的方程。

如解法思想：把分式方程转化为整式方程方法：两边同乘以最简公分母依据：等式的基本性质注意：必须验根应用：列分式方程解应用题及在其它学科中的应用ABABA MB MMABA MB MMx xA B B=⨯⨯≠=÷÷≠⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪-=+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪()()5113【本章思想方法】1、把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题；2、本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等；3、类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则；一、分式的运算【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b caa a a±±=≠2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc daa ca c ac ac ac±±=±=≠≠3.分式的乘法与除法:b d bda c ac=,b c b d bda d a c ac÷==4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法：+m n m na a a=，m n m na a a-÷=6.积的乘方与幂的乘方:()m m mab a b=，()m n mna a=7.负指数幂:1ppaa-=，01a=8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式22)2a b a ab b±=±+（，22)()a b a b a b+-=-（犯人被执行枪决，由于子弹质量不好，第一枪没响，接着又开了第二枪。

第三枪。

这时犯人哭了，抱着法警的大腿说：大哥你掐死我把！太他妈吓人了.第 2 页 共 9 页（一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：2211(1),(2),(3),(4),(5)2x a b x y x yx y x y x y a bπ--+ - +-+，是分式的有：.题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x（3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x（2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件 【例4】（1）当x 为何值时，分式x-84为正； （2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数. 《练习》：1．当x 取何值时，下列分式有意义：（1）3||61-x（2）1)1(32++-x x （3）x111+2．当x 为何值时，下列分式的值为零： （1）4|1|5+--x x（2）562522+--x x x3．解下列不等式（1）012||≤+-x x （2）03252>+++x x x（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：M B MA MB M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数第 3 页 共 9 页【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+-= （2）ba ba +-04.003.02.0=题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）y x yx --+- （2）b a a --- （3）b a ---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x ，求y xy x yxy x +++-2232的值.【例4】已知：21=-x x ，求221xx +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.《练习》：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）yx yx 5.008.02.003.0+-（2）b a ba 10141534.0-+ 2．已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.3．已知：311=-b a ，求aab b b ab a ---+232的值.4．若0106222=+-++b b a a ，求ba ba 532+-的值.5．如果21<<x ，试化简x x --2|2|xx x x |||1|1+---.（三）分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.第 4 页 共 9 页2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. 题型一：通分【例1】将下列各式分别通分.（1）cb ac a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--； （3）22,21,1222--+--x x x x xx x ； （4）aa -+21,2 题型二：约分 【例2】约分：（1）322016xy y x -； （3）n m m n --22； （3）6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算 【例3】计算：（1）42232)()()(a bc ab c c b a ÷-⋅-；（2）22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+； （3）mn mn m n m n n m ---+-+22；（4）112---a a a ；（5）874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--； （6）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ； （7）)12()21444(222+-⋅--+--x x x x x x x 题型四：化简求值题 【例4】先化简后求值（1）已知：1-=x ，求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；（2）已知：432zy x ==，求22232z y x xz yz xy ++-+的值；（3）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a aa --的值.第 5 页 共 9 页题型五：求待定字母的值 【例5】若111312-++=--x Nx M x x ，试求N M ,的值. 《练习》：1．计算（1）)1(232)1(21)1(252+-++--++a a a a a a ；（2）ab abb b a a ----222； （3）ba c cb ac b c b a c b a c b a ---++-+---++-232； （4）b a b b a ++-22；（5）)4)(4(ba abb a b a ab b a +-+-+-；（6）2121111x x x ++++-； （7）)2)(1(1)3)(1(2)3)(2(1--+-----x x x x x x . 2．先化简后求值（1）1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a . （2）已知3:2:=y x ，求2322])()[()(yxx y x y x xy y x ÷-⋅+÷-的值. 3．已知：121)12)(1(45---=---x Bx A x x x ，试求A 、B 的值. 4．当a 为何整数时，代数式2805399++a a 的值是整数，并求出这个整数值.二、 分式方程（一）分式方程题型分析 题型一：用常规方法解分式方程 【例1】解下列分式方程（1）x x 311=-； （2）0132=--x x ； （3）114112=---+x x x ； （4）x x x x -+=++4535题型二：特殊方法解分式方程第 6 页 共 9 页【例2】解下列方程（1）4441=+++x x x x ； （2）569108967+++++=+++++x x x x x x x x【例3】解下列方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+)3(4111)2(3111)1(2111x z z y y x 题型三：求待定字母的值 【例4】若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值.【例5】若分式方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围.题型四：解含有字母系数的方程 【例6】解关于x 的方程)0(≠+=--d c dcx b a x题型五：列分式方程解应用题例1 沿河两地相距s 千米，船在静水中的速度为a 千米/时，水流速度为b 千米/时，此船一次往返所需时间为( )A.ba s+2小时 B.ba s-2小时 C.(b s a s +)小时D.(ba sb a s -++)小时 例2 赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完.当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完.他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x 页，则下面所列方程中，正确的是( )A.21140140-+x x =14 B.21280280++x x =14 C.21140140++x x =14 D.211010++x x =1 《练习》： 1．解下列方程： （1）021211=-++-xxx x ； （2）3423-=--x x x ； （3）22322=--+x x x ；第 7 页 共 9 页（4）171372222--+=--+x x x x xx （5）2123524245--+=--x x x x （6）41215111+++=+++x x x x2．解关于x 的方程：（1）b x a 211+=)2(a b ≠； （2）)(11b a xbb x a a ≠+=+.3．如果解关于x 的方程222-=+-x xx k 会产生增根，求k 的值.4．当k 为何值时，关于x 的方程1)2)(1(23++-=++x x kx x 的解为非负数.5．已知关于x 的分式方程a x a =++112无解，试求a 的值.6.一汽车从甲地开往乙地，每小时行驶v 1千米，t 小时可到达，如果每小时多行驶v 2千米，那么可提前到达________小时.7.我国政府为解决老百姓看病问题，决定下调药品价格.某种药品在2001年涨价30%后，2003年降价70%至a 元，则这种药品在2001年涨价前的价格为________元.8. (1)有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期完成，若乙队单独做要超过规定日期3天完成；现在先由甲、乙两队合做2天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期完成，问规定日期多少天？(2)一组学生乘汽车去旅游，预计共需车费120元.后来人数增加了41，车费用仍不变，这样每人可少摊3元，原来这组学生有多少人？（二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下： 一、交叉相乘法 例1．解方程：231+=x x 二、化归法例2．解方程：012112=---x x 三、左边通分法例3：解方程：87178=----x x x 四、分子对等法例4．解方程：)(11b a xb b x a a ≠+=+第 8 页 共 9 页五、观察比较法 例5．解方程：417425254=-+-x x x x六、分离常数法例6．解方程：87329821+++++=+++++x x x x x x x x七、分组通分法 例7．解方程：41315121+++=+++x x x x （三）分式方程求待定字母值的方法例1．若分式方程xmx x -=--221无解，求m 的值。