2017年高考数学考前回扣教材8-计数原理

《计数原理》（理）知识点串讲一、基本计数原理1．分类加法计数原理做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的办法，在第二类办法中有2m 种不同的办法，…在第n 类办法中有n m 种不同的办法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的办法．2．分步乘法计数原理做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同的方法，…，做第n 个步骤有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．说明：①分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个分事件来完成．②两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关，如果完成一件事情有n 类办法，这n 类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能独立完成这件事情，可类比物理中的“并联”电路来理解；如果完成一件事情需要分成n 个步骤，各个步骤都是相依的、不可缺少的，一个步骤只能完成事情的一部分，必须依次完成所有的步骤，才能完成这件事情，可类比物理中的“串联”电路来理解．③运用两个基本原理解题时，应善于从语言的差异与变化中弄清面临怎样的“一件事”，弄清事件之间的关系是相依还是相斥，然后按照恰当的“对象”进行分类或分步，合理的设计相应的做事方式．分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”．这两个原理是解决排列组合问题的理论基础．二、排列与组合1．排列一般地，从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．说明：①排列的定义中包括两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定的顺序排列”．②只有取出的元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列，元素不完全相同，或元素完全相同而顺序不同的排列属于不同排列．如1，2，3与2，3，4是不同排列；1，2，3与1，3，2也是不同排列．③排列中元素的有序性是判断一个具体问题是不是排列问题的标准，也是与组合问题的根本区别．例如：从1，2，3，5这四个数中每次任取两个数相加（或相乘），可得到多少个不同的和（积）？因为加法（乘法）满足交换律，它们的和（积）与顺序无关，如3+5=5+3，因此不是排列问题．如果从四个数中任取两个数相减（相除），一共有多少个不同的差（商）？因为减法（除法）不满足交换律，35355353⎛⎫-≠-≠ ⎪⎝⎭，取出的两个数就与顺序有关了，属于排列问题．2．排列数（1）定义：从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的排列数，用符号mn A 表示．说明：排列和排列数是两个不同的概念：一个排列是取出的m 个元素按照一定顺序排成的一个具体的排列，是具体的“一件事”；排列数是一个数，是所有的具体排列的数目． 如：从1、2、3中每次任取出两个元素，组成一个两位数．所有的排列有12，13，23，21，31，32．其中每一个数都是一个排列，而排列数是236card()A B ==，{}121323213132B ，，，，，．（2）排列数公式：!(1)(2)(1)()()!m n n A n n n n m n m m n n m =---+=∈N -，，≤． 说明：规定0!1=；乘积形式多用于数字计算，阶乘形式多用于证明恒等式；排列数性质：11m m n n A nA --=；111m m m n n n A mA A ---=+．3．组合一般地，从n 个不同元素中，任意取出()m m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的组合．说明：如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何都是相同的组合．组合的定义中包含两个基本内容：一是取出元素；二是并成一组，并成一组表示将元素合在一起与元素取出的顺序无关．取出的元素是否有顺序，是区分排列和组合的根本依据．4．组合数（1）定义：从n 个不同元素中，任意取出()m m n ≤个元素的所有的组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的组合数，用符号C m n 表示．（2）组合数公式(1)(1)C !m n n n n m m --+=，C m m n n m mA A =． 5．组合数的性质性质1：C C m n m n n -=；性质112:C C C m m m n n n -+=+． 说明：性质1突出了从n 个不同元素中取出m 个元素与从n 个不同元素中取出n m -个元素是一一对应关系，当2n m <时，不计算C m n 而改为计算C n m n -．性质2中注意它的变形公式的应用，如1212(1)C C C (1)m m m n n n n n n m m m -----==-，11C C mm n n m n --=等．6．解排列组合问题的方法（1）先要判断是组合问题还是排列问题，按照元素的性质分类，按照事件的发生过程分步，不重不漏．借助树形图，框图等形的工具直观帮助解题．总体上有三种方法：直接法（先安排特殊元素和特殊位置），间接法（正难则反），分类讨论法．（2）排列组合问题的16字方针，12个技巧．方针是：分类相加、分步相乘、有序排列、无序组合；技巧是：相邻问题捆绑法（莫忘松绑），不相邻问题插空法，多排问题直排法，定序问题可能法，定位问题优先法，有序分配问题先整体后局部分步法，多元问题分类法，构造模型处理法，至少、至多问题间接法，选排问题先选后排法，局部与整体问题排除法，复杂问题转化法．（3）分组问题的求法：设有m n 个元素，平均分成n 组，每组m 个，则有(1)(2)C C C C mm m mm n n m n m mnn A --种分法；平均分成n 组，再分配到n 个位置，有(1)(2)C C C C mm m m mn n m n m m--种分法．若不平均分组或不平均分组再分配，如：6个元素分成3组，一组1个，二组2个，三组3个，则有123653C C C ；若再将这3组分配给3个位置，则有12336533C C C A 种分法．三、二项式定理1．二项展开式在011222()C C C C C n n n n r n r r n n n n n n na b a a b a b a b b ---+=++++++中，右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式，其中各项的系数C (012)r n r n =，，，，叫做二项式系数．式中的C r n r r n a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项；1r n r r r n T C a b -+=（0r n ≤≤，r ∈N ，n +∈N ），此公式称为二项展开式的通项公式． 说明：①其右端展开式共有1n +项．②通项公式1(0)r n r r r n T C a b r n r n -++=∈∈N N ，，≤≤表示的是第1(0)r r n +≤≤项．③a 与b 的位置不能互换，对于任意实数a 与b ，上面的等式恒成立．④二项式系数指01r n n n n n C C C C ，，，，，，二项展开式的系数与a b ，前面的系数有关．2．杨辉三角杨辉三角是我国古代数学的研究成果，它给我们提供了一种研究问题的数学模型，从不同的角度观察研究模型，就可以得到二项式系数的性质：一是对称性，结合公式m n m n n C C -=理解；二是增减性与最大值，如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，最大为2nnC ；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n n n C C -+=；三是各项的二项式系数的和等于2n ，即012r n n n n n n C C C C +++++=，它表明集合S 含有n 个元素，那么它的所有的子集（包括空集）的个数为2n 个．另外，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即1350242n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．3．二项展开式的应用（1）利用通项公式1(0)r n r r r n T C a b r n r n -++=∈∈N N ，，≤≤求指定项、特征项（常数项，有理项等）或特征项的系数．（2）近似计算，当a 与1相比较很小且n 不大时，常用近似公式(1)1n a na ±≈±，使用公式时要注意a 的条件以及对计算精确度的要求．（3）整除性问题与求余数问题，对被除式进行合理的变形，把它写成恰当的二项式的形式，使其展开后的每一项含有除式的因式或只有一、二项不能整除．（4）求展开式的各项的系数和，对形如()n ax b +，2()()n ax bx c a b c ++∈R ，，的式子求其展开式的各项的系数和常用赋值法，即只需令1x =即可，奇数项的系数和为(1)(1)2f f +-，偶数项的系数和为(1)(1)2f f --． （5）最大系数与系数最大项的求法，如求()()nax b a b +∈R ，，展开式的系数最大的项，一般采用待定系数法，设展开式的各项系数分别为121n A A A +，，，，设第r 项的系数最大，应有11r r r r A A A A -+⎧⎨⎩，，≥≥，由此解出r 即可．。

（十三）计数原理
考纲原文
1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理
（1）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.
（2）会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.
2．排列与组合
（1）理解排列、组合的概念.
（2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
（3）能解决简单的实际问题.
3．二项式定理
（1）能用计数原理证明二项式定理.
（2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
高考预测
与2016年考纲相比没什么变化，而且这部分内容作为高考的必考内容，在2017年的高考中预计仍会以“一小（选择题或填空题）”的格局呈现. 预计2017年高考对排列组合问题的考查，仍以实际生活为命题背景，难度中等；二项式定理主要考查利用二项展开式中特定项的系数，已知特定项的系数求参数的值等. 新题速递
1．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是 .
2．5(2x +
的展开式中，x 3的系数是 .（用数字填写答案）
答案
1．120 【解析】将所有的安排方法分成两类：第一类：歌舞类节目中间不穿插相声节目，有
321322A A A 62224=⨯⨯=种；第二类：歌舞类节目中间穿插相声节目，有31113224A A A A 622496=⨯⨯⨯=种；根据分类加法计数原理，共有9624120+=种不同的排法．
2．10 【解析】5(2x +的展开式的通项为555255C (2)2C r r
r r r r
x x ---=(0r =，1，2，…，5)，令532
r -=得4r =，所以3x 的系数是452C 10=.。

【步步高】（全国通用）2016版高考数学复习 考前三个月 第三篇 回扣专项练8 计数原理 理1.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A.12种B.10种C.9种D.8种2.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A.60种B.63种C.65种D.66种3.从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )A.9B.10C.18D.204.用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A.243B.252C.261D.279 5.使⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A.4B.5C.6D.7 6.设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m +1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m 等于( )A.5B.6C.7D.8 7.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 6，x <0，－x ， x ≥0，则当x >0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为( )A.－20B.20C.－15D.158.一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A.3×3!B.3×(3！)3C.(3！)4D.9! 9.10名同学合影，站成了前排3人，后排7人.现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为( )A.C 27A 55B.C 27A 22 C.C 27A 25 D.C 27A 35 10.若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a 3x 8的展开式中，x 4的系数为7，则实数a ＝________. 11.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________.12.从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种.(用数字作答)13.若⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x n 展开式中各项的二项式系数之和为32，则该展开式中含x 3的项的系数为________.14.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机(甲、乙、丙、丁、戊)准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有________种.15.实验员进行一项实验，先后要实施5个程序(A ，B ，C ，D ，E )，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序C 或D 在实施时必须相邻.则实验顺序的编排方法共有________种.答案精析回扣专项练81.A [分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C 12＝2(种)选派方法； 第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C 24＝6(种)选派方法.由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6＝12(种).]2.D [满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有C 45＝5(种)； 二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有C 25·C 24＝60(种)；三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种).] 3.C [由于lg a －lg b ＝lg a b (a >0，b >0)，从1,3,5,7,9中任取两个作为a b 有A 25＝20种，又13与39相同，31与93相同，∴lg a －lg b 的不同值的个数有A 25－2＝20－2＝18，选C.] 4.B [0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个).∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个).]5.B [展开式的通项公式T r ＋1＝C rn (3x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r ， ∴T r ＋1＝3n －r C rn xn －52r ，r ＝0,1,2，…，n . 令n －52r ＝0，n ＝52r ，故最小正整数n ＝5.] 6.B [(x ＋y )2m 展开式中二项式系数的最大值为C m 2m ，∴a ＝C m 2m .同理，b ＝C m ＋12m ＋1.∵13a ＝7b ，∴13·C m 2m ＝7·C m ＋12m ＋1. ∴13·m ！m ！m ！＝7·m ＋！m ＋！m ！.∴m ＝6.] 7.A [当x >0时，f (x )＝－x <0，所以f [f (x )]＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x 6，T r ＋1＝C r 6x －12(6－r )·(－12x )r ＝(－1)r C r6x －3＋r 2＋r 2， 由r －3＝0，得r ＝3.所以f [f (x )]表达式的展开式中常数项为(－1)3C 36＝－20.]8.C [把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种.]9.C [从后排抽2人的方法种数是C 27；前排的排列方法种数是A 25.由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是C 27A 25.]10.12 解析 T r ＋1＝C r 8x 8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 3x r ＝a r C r 8x 8－43r ，由8－43r ＝4得r ＝3，由已知条件a 3C 38＝7，则a 3＝18，a ＝12.11.96解析 将5张参观券分成4堆，有2个联号有4种分法，每种分法再分给4人，各有A 44种分法，∴不同的分法种数共有4A 44＝96.12.60解析 分三步：第一步，一等奖有C 16种结果；第二步，二等奖有C 25种结果；第三步，三等奖有C 33种结果，故共有C 16·C 25·C 33＝6×10＝60种可能的结果.13.－80解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x n 展开式中各项的二项式系数之和为32，∴2n ＝32，n ＝5.故展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·25－r ·x 5－r ·(－1)r ·x －r ＝(－1)r ·25－r ·C r 5·x 5－2r .令5－2r ＝3，解得r ＝1，则该展开式中含x 3的项的系数为－16×5＝－80，故答案为－80.14.24解析 先把甲、乙捆绑在一起有A 22种情况，然后对甲、乙整体和戊进行排列，有A 22种情况，这样产生了三个空位，插入丙、丁，有A 23种情况，所以着舰方法共有A 22A 22A 23＝2×2×2×3＝24(种).15.24解析 依题意，当A 在第一步时，共有A 22A 33＝12(种)；当A 在最后一步时，共有A 22A 33＝12(种).所以实验的编排方法共有24种.。

计数原理两个计数原理（II ） 排列、组合（II ） 二项式定理（II ）1.从考查题型来看，涉及本知识点的题目以选择题、填空题为主，考查计数原理及二项式展开式中特定项或其系数等问题，2.从考查内容来看，主要考查利用两个计数原理及排列数、组合数公式，结合分类讨论思想考查完成事情的方法总数；考查利用二项式定理，求解二项展开式中特定项或其系数或系数的最大或最小问题等.3.从考查热点来看，排列、组合、二项式定理是高考命题的热点，根据两个计数原理及排列数、组合数公式确定完成事情的方法总数，同时注意方法的选用.二项展开式中特定项的系数问题是主要的考查内容，着重考查学生运用公式计算的能力.1.两个计数原理(1)分类加法计数原理：完成一件事有类不同的方案，在第一类方案中有 种不同的方法，在第二类中有种不同的方法，…，在第类方案中有种不同的方法，则完成这件事的所有方法种数为.(2)分步乘法计数原理：完成一件事需要个不同的步骤，在第一个步骤中有种不同的方法，在第二个步骤中有种不同的方法，…，在第个步骤中有种不同的方法，则完成这件事的所有方法种数为.(3)两个计数原理的区别在于完成事情的方法是可以完成事情的所有，还是完成事情的某一个步骤.分类加法计数原理中的各种方法都是相互独立的，任何一种方法都能够完成这件事情；分步乘法计数原理中各个步骤的方法是相互联系的，只有各个步骤都完成，才能完成这件事情.要注意两个计数原理的综合应用. 2.排列、组合(1)排列与排列数：一般的，从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列，所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示.n 1m 2m n n m 12n Nm m m =+++L n 1m 2m n n m 12n Nm m m =⨯⨯⨯L n ()m m n ≤n m n m A mn排列数公式：.全排列：.规定：.(2)组合与组合数：一般的，从个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合，所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示.组合数公式：. 规定：.组合数的性质：，.(3)排列与组合的异同点：共同点是“从个不同元素中取出个元素”，都是取元素；不同点是排列是取出元素后要按照给定的顺序排列，组合则只需要取出元素放在一起即可.因此，我们区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看选出的元素是否需要排序. (4)比较常见的一些方法：特殊元素、特殊位置优先安排法，相邻元素捆绑法，相间、分离元素插空法，间接法，分类讨论法等.要能够根据问题所呈现的信息，看是否存在元素、位置的特殊性，考查的元素是否相邻等，若考查的问题比较复杂，则需要综合考虑，分类讨论时，则要注意分类标准的确定，要保证不重不漏.若类与类之间出现重叠，则要把重叠的情况找出来，在整体中减去这些重叠的部分. 3.二项式定理：(1)二项式定理：公式 叫做二项式定理.：二项式系数， ：二项展开式的通项，即. !A (1)(2)(1)()!mn n n n n n m n m =---+=-L A !(1)(2)21nnn n n n ==--⋅L 0!1=n ()m m n ≤n mn m C mn A (1)(2)(1)!C A (1)(2)21!()!m m n nmm n n n n m n m m m m n m ---+===--⋅-L L 01nC =C C mn m nn -=11C C C m m m n n n -+=+n ()m m n ≤011()C C C C ()nn n k n k k n n n n n n a b a a b a b b n --*+=+++++∈N L L C (0,1,2,,)k n k n =L C k n k k n a b -1C k n k kk n T ab -+=要注意第项二项式系数与第项的系数的区别. (2)二项式系数的相关性质：，.若为偶数，则第项的二项式系数最大；若为奇数，则第和项的二项式系数和最大.(3)利用二项展开式的通项求特定项的系数时，可以通过建立方程找到该项是展开式的哪一项，然后再求得该项的系数.(4)二项展开式的系数和或差问题的求解策略通常是采用赋值法，令，则可以求得二项展开式中所有项的系数的和；令，则可以求得二项展开式中所有项的系数正、负相间的和；若上述两式相加或相减，则可以得到展开式中所有的奇数项系数的和与偶数项系数的和；令，则可以求得展开式中常数项的系数. (5)求解两个二项式乘积中一些特定项或特定项的系数的问题可以根据多项式的乘法法则，弄清楚这些特定的项的构成规律，然后再进行具体的计算.1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．24【答案】A【解析】由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ．【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．2．（2018新课标全国Ⅲ理科）的展开式中的系数为A ．10B ．20C ．40D ．80【答案】C【解析】由题可得T r+1=C 5r (x 2)5−r (2x )r =C 5r∙2r ∙x 10−3r ，令10−3r =4,则r =2，1r +1r +0122n n n n n n C C C C +++⋅⋅⋅+=021312n n n n n C C C C -++⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅=n 12n +2C nn n 112n -+112n ++12C n n-12Cn n+1x =1x =-0x =522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4x所以C 5r ∙2r =C 52×22=40.故选C.【名师点睛】本题考查二项式定理，准确写出二项展开式，能正确求出的通项 ，从而求得系数． 3．（2018新课标全国Ⅱ理科）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ． B ． C ．D ．【答案】C【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C. 【名师点睛】先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.古典概型中基本事件数的探求方法：(1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 4．（2017新课标全国I 理科）展开式中的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C【解析】因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故的系数为，选C.【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含的项共有几项，进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项展开式中的不同.5．（2017新课标全国II 理科）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，4x 30723=+112114115118210C 45=7+23=11+19=13+17=3031=4515621(1)(1)x x++2x 6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x++=⋅++⋅+6(1)x +2x 22261C 15xx ⋅=621(1)x x ⋅+2x 442621C 15x x x⋅=2x 151530+=2x r则不同的安排方式共有 A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种【答案】D【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有种． 故选D ．【名师点睛】（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解． 6．（2017新课标全国III 理科）的展开式中的系数为 A ．B ．C ．40D ．80【答案】C【解析】， 由展开式的通项公式可得：当时，展开式中的系数为；当时，展开式中的系数为，则的系数为.故选C.【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.1．[辽宁省大连市2020届高三上学期第二次模拟考试数学（理）试卷] (x 2−1x )n 的展开式中，常数项为15，则n =24C 2343C A 36⨯=()()52x y x y +-33xy80-40-()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-()52x y -()()515C 2rrrr T x y -+=-3r =()52x x y -33xy()3325C 2140⨯⨯-=-2r =()52y x y -33x y ()2235C 2180⨯⨯-=33xy804040-=A ．3B ．4C ．5D ．62．[山东省烟台市2019-2020学年高三上学期期末考试数学试题]为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为（ ） A ．216B ．480C ．504D ．6243．[黑龙江省哈尔滨市香坊区第六中学校2019-2020学年高三上学期期末数学（理)]某市为了提高整体教学质量，在高中率先实施了市区共建“1+2”合作体，现某市直属高中学校选定了6名教师和2名中层干部去2所共建学校交流学习，若每所共建学校需要派3名教师和1名中层干部，则该市直属高中学校共有（ ）种选派方法 A ．160B ．80C ．40D ．204．[内蒙古乌兰察布市等五市2019-2020学年高三1月调研考试（期末)数学（理)]二项式()6210mx m x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的展开式中常数项为60，则m =（ ） A 2B 3C ．2D ．35．[2020届湖北省黄冈市高三上学期期末数学（理)]将甲、乙、丙、丁四人分配到A 、B 、C 三所学校任教，每所学校至少安排1人，则甲不去A 学校的不同分配方法有（ ）A ．18种B ．24种C ．32种D ．36种6．[湖北省武汉市部分学校2020届高三上学期起点质量监测数学（理)试题] 若32nx x ⎛+ ⎝的展开式中所有项系数和为81，则展开式的常数项为________.7．[四川省泸县泸州市第四中学2019-2020学年高三上学期期末考试数学（理）]已知21()nx x+的展开式的各项系数和为64，则展开式中3x 的系数为______8．[天津市滨海新区七所学校2019-2020学年高三上学期期末数学试卷]二项式1022x x ⎫⎪⎭，则该展开式中的常数项是______.9．[2020届浙江省绍兴市诸暨市高三上学期期末数学试题]用0，1，2，3，4组成没有重复数字的四位数，其中奇数有______个.10．[2020届河南省驻马店市高三上学期期末数学(理)]某部队在训练之余，由同一场地训练的甲､乙､丙三队各出三人，组成33⨯小方阵开展游戏，则来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率为______.1．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能：礼、乐、射、御、书、数.“礼”，礼节，即今德育：“乐”，音乐，“射”和“御”，射箭和驾驭马车的技术，即今体育和劳动：“书”，书法，即今文学；“数”，算法，即今数学。