2019高考数学总复习 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.3 幂函数(第二课时)课件 新人教A版必修1

n
1 ＜0 时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线 c3 的 n＝－2，曲线 c4 的 n＝－2，故选 B.
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
规律方法
幂函数图象的特征：(1)在第一象限内，直线 x
＝1 的右侧，y＝xα 的图象由上到下，指数 α 由大变小；在 第一象限内，直线 x＝1 的左侧，y＝xα 的图象由上到下，指 数 α 由小变大．(2)当 α＞0 时，幂函数的图象都经过(0,0)和 (1,1)点，在第一象限内，当 0＜α＜1 时，曲线上凸；当 α＞ 1 时，曲线下凸；当 α＜0 时，幂函数的图象都经过(1,1)点， 在第一象限内，曲线下凸．
点，如图所示．根据点低指数大，有 0＜m＜1，n＜－1.
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
要点三 比较幂的大小 例 3 比较下列各组数中两个数的大小：
11 (1)32 11 与42
－
2－ 3－ 1 ；(2)－3 与－5 1；
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
跟踪演练 3
比较下列各组数的大小：
2 3 0.5 (1)3 与50.5；(2)－3.143 与－π3； 13 (3)24 31 与42
.
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
＝10.
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要点二 例2 幂函数的图象
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
如图所示， 图中的曲线是幂函数 y＝xn 在第一象限的图象，
1 已知 n 取± 2，± 2四个值，则相应于 c1，c2，c3，c4 的 n 依次 为 ( )

2.3 幂函数（第二课时）本单元的教学内容在模块内容体系中的地位和作用: 幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数, 类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法后研究幂函数的图象和性质.而且在研究幂函数的过程中对第二章函数的单调性、奇偶性和反函数的知识进行再现.1.教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质。

2.教学难点：从幂函数的图象中概括其性质。

一、复习引入（1）幂函数的定义及性质总结填写下表：二、讲授新课问题1：我们知道，分数指数幂可以与根式相互转化．把下列各函数先化成根式形式，再指出它的定义域和奇偶性．利用计算机画出它们的图象，观察它们的图象，看有什么共同点？（1）y＝；（2）y＝；（3）y＝；（4）y＝．问题2：仿照问题1研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们的图象看有什么共同点？（1）y＝x－1；（2）y＝x－2；（3）y＝；（4）y＝．思路：先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式，函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合；（1）（2）（4）的定义域都是{x|x≠0}，（3）的定义域是（0，＋）；（1）（4）是奇函数，（2）是偶函数，（3）既不是奇函数也不是偶函数．它们的图象都经过点（1，1），且在第一象限内函数单调递减，并且以两坐标轴为渐近线．总结：研究幂函数时，通常先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式（幂指数是负整数时化为分式）；根据得到的分式或根式研究幂函数的性质．函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x 的集合；奇偶性和单调性直接利用定义进行判断．问题1和问题2中的这些幂函数我们要记住它们图象的变化趋势，有利于我们进行类比．［例1］讨论函数y＝的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．［例2］比较下列各组中两个数的大小：（1）1.5，1.7；（2）0.71.5，0.61.5；（3）（－1.2），（－1.25）．解析：（1）考查幂函数y＝的单调性，在第一象限内函数单调递增，∵1.5＜1.7 ∴1.5＜1.7（2）考查幂函数y＝的单调性，同理0.71.5＞0.61.5．（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，∵（－1.2）＝1.2，（－1.25）＝1.25，又1.2＞1.25∴（－1.2）＞（－1.25）点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．［例3］求函数y＝＋2x＋4（x≥－32）值域．点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．三、课时小结通过本节学习，大家能熟悉并掌握幂函数的图象，提高数学应用的能力.。

[跟进训练]
1.(1)在函数 y＝x12，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1 中，幂函数的个数为(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
(2) 若 函 数
f(x) 是 幂 函 数 ， 且 满 足
f(4) ＝ 3f(2) ， 则
f
1 2
的
值
等
于
________．
(1)B
1 (2)3
[(1)∵y＝x12＝x－2，
＝12log23＝13.]
幂函数的图象及应用
【例 2】 (教材改编题)点( 2，2)与点－2，－21分别在幂函数 f(x)，g(x)的图象上，问当 x 为何值时，有：
(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．
解：设 f(x)＝xα，g(x)＝xβ. ∵( 2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1， ∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象 知， (1)当 x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)； (2)当 x＝1 时，f(x)＝g(x)； (3)当 x∈(0,1)时，f(x)<g(x)．
m2＋2
2．已知 f(x)＝(m＋1)x 是幂函数，则 m＝( )
A．2
B．1
C．3
D．0
D [由题意可知 m＋1＝1，即 m＝0， ∴f(x)＝x2.]
3．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点2，
22，则f(4)＝
________.
1 2
[由f(2)＝ 22可知2α＝ 22，
即α＝－12，
∴f(4)＝4－12＝12.]
幂函数性质的综合应用

2．比较多个幂值的大小，一般采用媒介法，即先判断这 组数中每个幂值与0,1等数的大小关系，据此将它们分成若干 组，然后将同一组内的各数再利用相关方法进行比较，最终确 定各数之间的大小关系．
3．幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复 杂，一般从两个方面考查：
(1)α＞0时，图象过点(0,0)，(1,1)，在第一象限的图象上 升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也 成立．
2．幂函数 y＝xα 在第一象限内图象的画法
(1)当 α＜0 时，其图象可以类似 y＝x－1 画出；
1
(2)当 0＜α＜1 时，其图象可以类似 y＝x2 画出；
(3)当 α＞1 时，其图象可以类似 y＝x2 画出．
1
2．已知 x2<x2 ，试求 x 的取值范围．
1
解：在同一坐标系中，画出 y＝x2，y＝x2 的图象，如图．
【互动探究】 在本例中其他条件不变，只改为“f(x)是减 函数”，又如何确定m的值？
解：根据幂函数的定义得m2－m－5＝1，解得m＝3或m＝ －2.当m＝3时，f(x)＝x2在(0，＋∞)上是增函数，不符合题意．
当m＝－2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数． 故m＝－2.
1．幂函数的判断方法 (1)幂函数同指数函数、对数函数一样，是一种“形式定 义”的函数，也就是说必须完全具备形如y＝xα(α∈R)的函数才 是幂函数． (2)如果函数解析式以根式的形式给出，那么要注意把根式 化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进 行判断．
1
∴满足 x2<x2 的 x 的取值范围是 0<x<1.
幂函数性质的应用
比较下列各组数的大小：
5
(1)3－2