课题∶圆锥曲线的切线方程和切点弦方程

圆锥曲线的切线与切点弦方程说明：〔1〕以上方程可以通过局局部割曲线，利用导数求得.〔2〕切点弦方程可以通过两切点具有一样构造方程式且切线有公共交点推导而得.(M 且与圆224x y +=相切的直线方程为 ()2,2P 向圆221x y +=引两切线,PA PB ，其中切点为,A B ，那么AOB S ∆=24y x =在()00,P x y 处的切线为l ，那么点(2,0)A 到直线l 的距离的最小值为 2214x y +=在()00,P x y 处的切线为l ，直线l 与两坐标轴交点分别为,A B ，那么AOB S ∆最小值为 ；AB 最小值为 .二、抛物线的切线与切点弦方程24x y =在1(1,),(2,1)4A B -两点处的切线分别为12,l l ，且1l 与2l 相交于点P 〔1〕求点P 的坐标.〔2〕求直线AB 的方程.22(0)x py p =>，过M 引抛物线的两条切线，切点分别为,A B .（1）证明：,,A M B 三点的横坐标成等差数列.（2）假设(2,2)M p -且AB =.24x y =，过点P 的直线l 交抛物线于,A B 两点，分别以,A B 为切点的两切线12,l l . 〔1〕假设(2,2)P ，求1l 与2l 交点M 的轨迹方程.〔2〕假设点P 为抛物线的焦点F ，证明：〔i 〕MF AB ⊥； 〔ii 〕MA MB ⊥.C ：22x py =的焦点(0,)F c (0)c >到直线l ：20x y --=的距离为322，设P 为直线l 上点，过点P 作抛物线的两条切线12,l l ，求切点分别为,A B .〔1〕求抛物线C 的方程；〔2〕当00(,)P x y 为定点时，求直线AB 的方程；〔3〕当P 在直线上运动时，求FA FB ⋅的最小值. 1C ：22221x y a b+=的两个焦点1(2,0)F -，2(2,0)F ，点(2,3)A 在椭圆上，过点A 的直线l 与抛物线2C ：24x y =交于,B C 两点，抛物线2C 在,B C 两点处的切线分别为12,l l 且1l 与2l 相交于点P .〔1〕求椭圆1C 的方程；〔2〕是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点P ，假设存在，请指出个数？假设不存在说明理由.。

第12讲：圆锥曲线的切线不管是哪一种圆锥曲线的切线，其本质都是圆锥曲线与直线只有一个交点，即联立圆锥曲线方程与直线方程所得到的一元二次方程有且仅有一个根，即0=∆，相信这对于大家来说都不是问题，在这里我们对圆锥曲线的切线做一些总结，以方便大家在最短的时间内解决题目。

（一）椭圆的切线：①12222=+b y a x 在点P(00,y x )处的切线方程为12020=+by y a x x ②过椭圆外一点Q （11,y x ）可以做椭圆的两条切线，两切点所在的直线方程为12121=+by y a x x ③直线m kx y +=与椭圆12222=+by a x 相切时，满足2222m b k a =+例：已知P 为椭圆13422=+y x 上一动点，求点P 到直线062=--y x 的最小值与最大值。

（二）双曲线的切线：①1-2222=by a x 在点P(00,y x )处的切线方程为1-2020=b y y a x x②过椭圆外一点Q （11,y x ）可以做椭圆的两条切线，两切点所在的直线方程为1-2121=byy a x x ③直线m kx y +=与椭圆12222=+by a x 相切时，满足2222-m b k a =（三）抛物线的切线：①py x 22=上某点P （00,y x ）的切线斜率为p x k 0=,点P(px x 2,20)，则切线方程为p x x x p x y 2)(2000+-= ，即pxp x x y 2200-=，通过观察我们知道: 与x 轴的交点为)0,2(x ，切线与x 轴的截距为切点处横坐标的一半， 与y 轴的交点为)2-,0(20px ，在y 轴上的截距为切点纵坐标的相反数。

②A （11,y x ），B （22,y x ）均在抛物线py x 22=上，请推证A 、B 处两切线及其两切线的交点坐标。

A 点处切线p x p x x y 2211-=B 点处切线pxp x x y 2222-=两条切线的焦点坐标（1212,22x x x x p+） 我们发现：i 、两切线的交点横坐标为两个切点的中点M 的横坐标 ii 、根据前面弦长知识点可知，直线与抛物线的两个交点满足：122x x pb =-(b 为直线与对称轴的截距)，那么我们得到：两切线的交点纵坐标(12222x x pbb p p-==-)与直线与对称轴的截距互为相反数 延伸一：过抛物线对称轴上一点(0,b)做直线与抛物线相交于A 、B 两点，过A 、B 分别做抛物线的切线，两切线相交于点Q ，通过几何画板作图我们发现：不论直线绕P(0,b)如何旋转，两切线的交点的纵坐标恒为-b证明：令过P 的直线为y kx b =+，221212(,),(,)22x x A x B x p p联立22x pyy kx b ⎧=⎨=+⎩得122x x pb =-设A 点处切线pxp x x y 2211-=, B 点处切线p x p x x y 2222-=则两条切线的焦点坐标Q （1212,22x x x x p+） ∴12222Q x x pby b p p -===- 证 毕延伸二、过点Q (,)a b （22b pa <）做抛物线的两条切线分别切抛物线于点A 、B ， 直线AB 与y 轴的截距为-b斜率22121212222ABx x x x a p p k x x p p-+===- ∴切点弦方程为：ay x b p=-③对于焦点在x 轴上的抛物线，求切线一般联立方程，利用0=∆求解。

圆锥曲线的切线方程点击此处添加副标题作者：鲜海东微信：xhd143848832211),(1),()0(13))(())((),())(())((),(),()()(2),(),(1202022220020200022222000020000002222000020000222=+=+=+=+=--+--=--+--=-+-=+=+=+by y a x x M b y a x y x M by y a x x y x M b a b y a x r b y b y a x a x M y x M rb y b y a x a x y x M y x M r b y a x r y y x x M y x M r y y x x y x M r y x 弦所在直线方程为：点的引切线有两条，过两切的外部时，过在椭圆当切线方程为：上一点＞＞：过椭圆结论所在直线方程：点切线有两条：切点弦在圆外，过若切线方程：则过一点为圆上，若的方程：：若圆心不在原点，圆结论。

弦所在直线方程为，过两切点的点引切线有且只有两条在圆外时，过当。

的切线方程为上一点：经过圆结论。

两点的直线方程为、所以过两切点，满足直线现观察以上两个等式，发、以有是两条切线的交点，所。

又因、：两点的切线方程分别为、可知过由为引两条切线，切点分别外一点＞＞（）设过椭圆（即由点斜式得切线方程为，得求导，得的两边对）大学隐函数求导）（证明：11),(),,(.11),(11)1().,(),,(),()0121),(,02211(20202020221120220220120100222221212211002222202000202002020222222=+=+=+=+=+=+=+=+--==--==='='+=+b y y a x x B A b y y a x x y x B y x A b y y a x x b y y a x x y x M b y y a x x b y y a x x B A y x B y x A y x M b a by a x by y a x x x x y a x b y y y a x b x x y b y y a x x b y a x)(),()0(2);(),()0(2)2()(),()0(2);(),()0(2)1(511),(1),()00(140000200002000020000220202222002020002222y y p x x y x M p py x y y p x x y x M p py x x x p y y y x M p px y x x p y y y x M p px y by y a x x M b y a x y x M by y a x x y x M b a b y a x +==+==+==+===-=-=-=-弦所在直线方程为的引两条切线，过两切点的外部一点＞过抛物线切线方程为上一点＞过抛物线弦所在直线方程为的引两条切线，过两切点的外部一点＞过抛物线切线方程为上一点＞过抛物线：结论。

圆锥曲线中的切线问题过曲线上一点P(x o ,y o )的切线方程(焦点在x 轴上)：圆：200r b)-b)(y -(y a)-a)(x -(x =+；椭圆：12020=+b y y a x x ;双曲线：12020=-b y y a x x ;抛物线：)(00x x p y y +=.证明：以双曲线为例.442222020220220420222022022020242022202222202022222020)(4)1)(b a x (4)2(,012)b a x (x .11.11b a b a a y x b x a x b y b y a x b y y y b y b y ax b y y a x x b y a x b y y a x x ---=---=∆=-+--⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-得消去①式平方后除以②式，，，.0012222202202220220，即证，所以，得又=∆=--=-b a b a y a x b b y a x 过曲线外一点P(x o ,y o )作曲线的切线，切点A 、B ，过切点A 、B 的直线方程(焦点在x 轴上)：圆：200r b)-b)(y -(y a)-a)(x -(x =+；椭圆：12020=+b y y a x x ;双曲线：12020=-b y y a x x ;抛物线：)(00x x p y y +=.证明：以椭圆为例.设切点),(),,(2211y x B y x A ，以A ，B 为切点的直线方程分别为.1122222121=+=+b y y a x x b y y a x x ，若两切线均是P(x o ,y o )点引出的，即两切线均过点P ，则有.112022********=+=+by y ax x by y ax x ，可知点),(),,(2211y x B y x A 均在直线12020=+b y y a x x 上，所以过切点A ，B 的直线方程为12020=+by y a x x .即证.思考１．（2021全国乙卷）已知抛物线C ：x 2=2py(y>0)的焦点为F ，且点F 与圆M ：x 2+(y+4)2=1上的点最小值为4.(1)求p ；(2)若点P 在M 上，PA ，PB 是C 的两条切线，A ，B 是切点，求PAB ∆面积的最大值．).520;2(最大值为=p 解：(1)焦点坐标为(0,2p )，于4142p=-+是得到p=2;(2)设P(x 0,y 0)，切点为),(),,(2211y x B y x A ，设过点),(11y x A 的方程为x 1x=2(y+y 1)，联立x 2=4y ，化为关于x 的一元二次方程X 2-2x 1x+4y 1=0，得0=∆，所以x 1x=2(y+y 1)是抛物线上过A 的切线方程,同理可得x 2x=2(y+y 2)是抛物线上过B 点的切线方程.于是过P(x 0,y 0)作抛物线的切线，则过切点A ，B 的方程为x 0x=2(y+y 0)，联立抛物线方程消去y 得X 2-2x 0x+4y 0=0，4|4|d AB P 16441||200200202+-=-+=x y x y x x AB 的距离到，点.520S -5)35(151221S 4-114)4(214|4|1644121d ||21S PAB 00020PAB 2020202030202002002020PAB取最小值为时，当，）（，于是）（而所以∆∆∆=-≤≤----=+==++-=+--+=⋅=y y y y y x y x y x x y x y x x AB ２．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，点M 在直线x=-2上运动，线段MF 2与椭圆相交于N ，当NF 1⊥x 轴时，直线MF 2的斜率的绝对值为42.(1)求椭圆方程；(2)设P 是椭圆上一点，直线PF 1的斜率与直线MF 2的斜率之积为31-，证明直线MP 始终与椭圆相切.（1222=+y x ）解：(1).12.2,0122,,22,22,422222222221=+==--=-====y x a a a c b a a b c c a b k NF MF 所以得所以又得为通径的一半，所以（2）设P(x 0,y 0)，M(-2,y 1)，设过P 的直线方程为1200=+y y xx ，联立椭圆方程消去x 得，.0,12,884024)2(20202020204020022020=∆=+-+=∆=-+-+所以而，y x x y x x x y y y x y .3131,31.121000021-=-⋅+-=⋅=+y x y k k y y x x MF PF 即由是椭圆的切线方程所以.MP .12M )1,2(M ,10000001与椭圆相切即证明直线满足椭圆的切线切线，点于是点=++-+=y y xx y x y x y。

圆锥曲线的切点弦方程及其应用摘要：切点弦的问题是圆锥曲线中的重要内容之一，是近几年高考的热点考题，切点弦涉及到的问题，难度较大，技巧性强，计算繁琐，学生遇到此类问题较为棘手，束手无策，这里通过类比推理，探究其规律，掌握其性质，触类旁通，化繁就简，降低难度，进一步提高学习效率。

关键词：圆锥曲线；弦方程；应用1.内容解析1.切点弦的概念：过曲线C（圆，椭圆，双曲线，抛物线）外一点（对非封闭曲线是开口外一点）引两条切线，可以得到两个切点，连接切点即为切点弦。

2.微专题概述：圆锥曲线的切点弦方程是平面解析几何中的一类难点问题，围绕切点弦命制的解析几何试题具有内涵深刻、灵活多变的特点。

本专题在讲解一道课本习题即“过圆上一点圆的切线问题”的求解方法的基础上，立足学生思维的“最近发展区”，通过设置环环紧扣的问题串，最后得出椭圆、双曲线、抛物线的切点弦的一般性结论。

本微专题坚持“以小见大、微中知著”，最终达到启迪学生思维、开阔数学视野、培养类比归纳能力的目的；另一方面，客观题中熟练掌握切点弦方程结论，可以帮助学生有效简化解题过程、提高解题速度。

1.本专题所蕴含的数学思想方法及教学策略分析思想方法：数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般的思想教学策略：讲授法、分组讨论法、引导启示法立足高三年级学生实际、对基本概念和知识点采取讲授的方法；通过设置环环相扣的问题串，让学生分组讨论，教师引导实现同类知识的的迁移和整合归纳；注重问题串的整体性，在问题串的引领下，引导启示学生进行系列、连续的思维活动，使学生思维达到新高度。

1.教学目标1.知识与技能（1）掌握圆锥曲线在某点处的切点弦方程；（2）会用切点弦方程解决一些实际问题；（3）通过复习渗透数形结合、类比的思想，逐步培养学生分析问题和解决问题的能力。

2.过程与方法首先，通过对过圆上一点的圆的切线的求法的研究，进而设置一些列有较强逻辑关系的问题串，采取学生小组讨论法、教师启发引导法从而完成教学目标。

专题14 圆锥曲线的切线问题一、结论圆锥曲线的切线问题常用方法有几何法，代数法：比如求圆的切线，常用圆心到直线的距离等于半径来解决切线问题，也可以联立直线与圆的方程根据0∆=来求解；比如涉及到椭圆的切线问题，也常常联立直线与椭圆的方程根据0∆=来求解； 对于抛物线的切线问题，可以联立，有时也可以通过求导来求解. 而对于这些圆锥曲线也常常存在一些特殊的求切线公式：1.过圆C :222()()x a y b R −+−=上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R −−+−−=.2.过椭圆22221x y a b+=上一点00(,)P x y 的切线方程为00221x x y ya b +=.3.已知点00(,)M x y ,抛物线C :22(0)y px p =≠和直线l :00()y y p x x =+.(1)当点00(,)M x y 在抛物线C 上时,直线l 与抛物线C 相切,其中M 为切点,l 为切线. (2)当点00(,)M x y 在抛物线C 外时,直线l 与抛物线C 相交,其中两交点与点M 的连线分别是抛物线的切线,即直线l 为切点弦所在的直线.(3)当点00(,)M x y 在抛物线C 内时,直线l 与抛物线C 相离.二、典型例题1．（2021·安徽·六安一中高二期末（文））已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，则椭圆在其上一点()00,A x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，试运用该性质解决以下问题；椭圆221:12x C y +=，点B 为1C 在第一象限中的任意一点，过B 作1C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于,C D 两点，则OCD 面积的最小值为（ ）A ．1 BCD ．2【答案】C 【详解】设1111(,),(0,0)B x y x y >>，由题意得，过点B 的切线l 的方程为：1112x xy y +=， 令0y =，可得12(,0)C x ，令0x =，可得11(0,)D y ，所以OCD 面积111112112S x y x y =⨯⨯=，又点B 在椭圆上，所以221112x y +=，所以121111121111122x y S x y x y x x y y +===+≥=当且仅当11112x yy x =，即111,x y = 所以OCD故选：C【反思】过椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点()00,A x y 作切线，切线方程为：00221x x y ya b+=，该结论可以在小题中直接使用，但是在解答题中，需先证后用，所以在解答题中不建议直接使用该公式.2．（2020·江西吉安·高二期末（文））已知过圆锥曲线221x y m n+=上一点()00,P x y 的切线方程为001x x y y m n +=.过椭圆221124x y +=上的点()3,1A −作椭圆的切线l ，则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（ ） A ．30x y −−= B ．-20x y += C ．2330x y +−= D ．3100x y −−=【答案】B 【详解】过椭圆221124x y +=上的点()3, 1A −的切线l 的方程为()31124y x −+=，即40x y −−=，切线l的斜率为1.与直线l 垂直的直线的斜率为-1，过A 点且与直线l 垂直的直线方程为()13y x +=−−，即20x y +−=. 故选：B【反思】根据题中信息，直接代入公式，但是在代入切线方程为001x x y ym n+=注意不要带错，通过对比本题信息，12m =，4n =，03x =，01y =−，将这些数字代入公式，可求出切线l ，再利用直线垂直的性质求解.3．（2022·江苏南通·一模）过点()1,1P 作圆22:2C x y +=的切线交坐标轴于点A 、B ，则PA PB ⋅=_________.【答案】2− 【详解】圆C 的圆心为()0,0C ，10110CP k −==−， 因为22112+=，则点P 在圆C 上，所以，PC AB ⊥，所以，直线AB 的斜率为1AB k =−，故直线AB 的方程为()11y x −=−−，即20x y +−=， 直线20x y +−=交x 轴于点()2,0A ，交y 轴于点()0,2B ， 所以，()1,1PA =−，()1,1PB =−，因此，112PA PB ⋅=−−=−. 故答案为：2−.另解：过圆C :222()()x a y b R −+−=上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R −−+−−=.可知01x =，01y =；0a b ==，22R =,代入计算得到过点()1,1P 作圆22:2C x y +=的切线为：(10)(0)(10)(0)2x y −−+−−=，整理得：20x y +−=，直线20x y +−=交x 轴于点()2,0A ，交y 轴于点()0,2B ， 所以，()1,1PA =−，()1,1PB =−，因此，112PA PB ⋅=−−=−. 故答案为：2−.【反思】本题中提供了常规方法和使用二级结论的解法，特别提醒同学们，二级结论的公式代入数字时，最忌讳代入错误，所以需要特别仔细。

第16讲圆锥曲线中的切线方程与切点弦方程（高阶拓展、竞赛适用）（4类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线切线的定义2.理解、掌握圆锥曲线的切线问题及其相关计算【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习1过圆2+2=2上一点0,0的切线方程:B 0+B 0=22.设0,0为椭圆22+22=1上的点,则过该点的切线方程为:B 02+B 02=13.设0,0为双曲线22−22=1上的点,则过该点的切线方程为:B 02−B 02=14.设0,0为抛物线y 2=2B 上的点,则过该点的切线方程为B 0=+05.设0,0为圆2+2=2外一点,则切点弦的方程为:B 0+B 0=26.设0,0为椭圆22+22=1外一点,过该点作椭圆的两条切线,切点为A ,B 则弦B 的方程为:B 02+B 02=17.过0,0为双曲线22−22=的两支作两条切线,则切点弦方程为B 02−B 02=18.设0,0为抛物线2=2B 开口外一点,则切点弦的方程为:001．（2022高三·全国·专题练习）椭圆223144x y +=上点P (1,1)处的切线方程是．2．（22-23高三下·河南·阶段练习）已知椭圆222:1y C x t+=，离心率为2，过()1,2P 的直线分别与C 相切于A ，B 两点，则直线AB 方程为（）A ．10x y +-=或410x y +-=B ．410x y +-=C ．10x y +-=D ．10x y ++=或410x y +-=3．（22-23高二上·江西吉安·期末）已知过圆锥曲线221x y m n +=上一点(),o o P x y 的切线方程为001x x y y m n+=.过椭圆221124x y +=上的点()3,1A -作椭圆的切线l ，则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（）A ．30x y --=B ．-20x y +=C ．2330x y +-=D ．3100x y --=1．（2022·全国·高三专题练习）求过椭圆221169x y +=上一点3222,2M ⎛⎫⎪⎝⎭的切线l 方程．2．（22-23高三全国·课后作业）曲线194+=上点到直线280x y -+=距离的最小值为．3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线62260x y +-=经过椭圆()222210x y a b a b+=>>的一个顶点E 和一个焦点F ．(1)求椭圆的标准方程；(2)求过()5,3P与椭圆相切的直线方程．4．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知椭圆22:1(0)y x M a b a b+=>>过点(6和(3.(1)求M 的离心率；(2)若直线:l y x m =+与M 有且仅有一个交点，求l 的一般式方程.5．（23-24高二下·河南开封·期末）已知椭圆C 的两个焦点坐标分别是()12,0F -，()22,0F ，且经过点53,22P ⎛⎫⎪⎝⎭．(1)求C 的标准方程；(2)已知直线l 与2PF 平行，且与C 有且只有一个公共点，求l 的方程．考点二、双曲线中的切线方程和切点弦方程1．（2024高三·全国·专题练习）求双曲线2214x y -=在点(3P 处的切线方程．2．（2023高二·全国·专题练习）过点(3,3)P 作双曲线C ：221x y -=的两条切线，切点分别为,A B ，求直线AB 的方程．3．（2022高三·全国·专题练习）已知双曲线22153x y -=的一条切线的斜率为2，求这条切线方程．1．（2024高三·全国·专题练习）（1）求双曲线2212y x -=在点处的切线方程；（2）已知()1,1P 是双曲线外一点，过P 引双曲线2212y x -=的两条切线,PA PB ，A ，B 为切点，求直线AB的方程．2．（2020高三·江苏·专题练习）在双曲线22925225x y =-上求一点，使到直线30x y --=的距离最短．1．（2022高三·全国·专题练习）抛物线214y x =过点(0,2)-的切线方程为（）A ．0x =B ．22y x =±-C ．2y x =±-D ．2y =-2．（2022高三·全国·专题练习）过点()2,1P -作抛物线C ：22x y =的两条切线，切点分别为A ，B ，求直线AB 的方程．3．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线2:4C y x =，过点()1,1P -作抛物线C 的两条切线,PM PN ，切点分别为,M N ，则MN =.4．（2024高三·全国·专题练习）已知M 是直线:220l x y --=上的动点，过点M 作抛物线21:4C y x =的两条切线，切点分别为A ，B （与坐标原点O 不重合），当0OA OB ⋅=时，直线AB 的方程为．1．（2023高三·全国·专题练习）过抛物线24x y =上一点()4,4的抛物线的切线方程为.2．（21-22高二下·河南新乡·期末）过点()30A -,作抛物线24y x =的切线，则切点的横坐标为．3．（2023·山东·模拟预测）已知抛物线C ：24x y =，过直线l ：24x y +=上的动点P 可作C 的两条切线，记切点为,A B ，则直线AB （）A ．斜率为2B ．斜率为2±C ．恒过点()0,2-D ．恒过点()1,2--4．（24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(2)1M x y ++=上点的距离的最小值为2．(1)求p ；(2)已知点(1,2)P --，PA ，PB 是抛物线C 的两条切线，A ，B 是切点，求AB ．1．（2021·天津·高考真题）已知椭圆()222210+=>>x y a b a b 的右焦点为F ，上顶点为B BF =（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．2．（2021·全国·高考真题）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB 面积的最大值．1．（2024·四川德阳·三模）已知F 为抛物线C ：24x y =的焦点，过点F 且倾斜角为60o 的直线l 与抛物线C 相交于不同的两点A B 、，若抛物线C 在A B 、两点处的切线相交于点P ，则PF =.2．（2024·河南洛阳·模拟预测）（多选）过点4)向抛物线28x y =作两条切线，切点分别为()()1122,,,A x y B x y F 、为抛物线的焦点，则（）A．12x x +=-B ．1232x x =C ．||||49AF BF ⋅=D ．||||18AF BF +=3．（2024高三·全国·专题练习）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：24x y =与直线(),0y kx a a =+>交与M ,N 两点，(1)当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由.4．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2e =，椭圆上的点P 与两个焦点12F F 、构成的三角形的最大面积为1．(1)求椭圆C 的方程；(2)若点Q 为直线20x y +-=上的任意一点，过点Q 作椭圆C 的两条切线QD QE 、（切点分别为D E 、），试证明动直线DE 恒过一定点，并求出该定点的坐标．5．（2024·全国·模拟预测）设抛物线2:2(0)C x py p =>，直线10x y -+=与C 交于A ，B 两点，且8AB =．(1)求抛物线C 的方程；(2)已知点P 为()2211x y ++=上一点，过点P 作抛物线C 的两条切线PD ，PE ，设切点分别为D ，E ，试求直线PD ，PE 斜率之积的最小值．6．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的长轴为双曲线2212x y -=的实轴，且经过点2P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．(1)求椭圆E 的标准方程．(2)已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>在其上一点()00,Q x y 处的切线方程为00221xx yy a b +=．过椭圆E 的左焦点1F 作直线l 与椭圆E 相交于,A B 两点，过点,A B 分别作椭圆的切线，两切线交于点M ．求证：1MF AB ⊥．1．（2022高三·全国·专题练习）求过椭圆221169x y +=上一点M ⎛ ⎝⎭的切线l 方程．2．（2022高三·全国·专题练习）设双曲线C ：2221x y -=上点P ．求双曲线C 在点P 处的切线l 的方程．3．（2021高三·全国·专题练习）求与双曲线221164x y -=有共同的渐近线，且与直线5680x y --=相切的标准双曲线方程.4．（22-23高三上·广东佛山·阶段练习）已知圆的方程为221x y +=，抛物线的方程为283y x =，则两曲线的公共切线的其中一条方程为．5．（2023·全国·模拟预测）已知拋物线2:2(0),C x py p C =>的一条切线方程为10x y --=，则C 的准线方程为．6．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知抛物线22(0)y px p =>与斜率为32p 的直线恰有一个公共点P ，则点P 的纵坐标为（）A ．164B ．132C ．116D ．187．（2024高三·全国·专题练习）已知()1,1P 是双曲线外一点，过P 引双曲线2212yx -=的两条切线,PA PB ，,A B 为切点，求直线AB 的方程．8．（2020·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，动点P 在椭圆22:1169x y C +=上运动，则点P 到直线50x y --=的距离的最大值为．9．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知抛物线24x y =，P 为直线1y =-上一点，过P 作抛物线的两条切线，切点分别为,A B ，则PA PB ⋅的值为（）A ．0B ．1C ．-2D ．-110．（2023高三·全国·专题练习）已知点P （x ，y ）是椭圆22194x y +=上任意一点，则点P 到直线l ：y x =+的最大距离为.1．（2022高三·全国·专题练习）已知椭圆221259x y +=与双曲线()2222:10,0x y C m n m n -=>>有公共焦点12,F F ，点94,5P ⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线C 上，则该双曲线在点P 处的切线的斜率为．2．（2024·广东茂名·模拟预测）已知抛物线C ：24x y =，定点()1,0T ，M 为直线112y x =-上一点，过M 作抛物线C 的两条切线MA ，MB ，A ，B 是切点，则TAB △面积的最小值为.3．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知O 为坐标原点，抛物线2=2B >0上有异于原点的()11,A x y ，()22,B x y 两点，F 为抛物线的焦点，以A ，B 为切点的抛物线的切线分别记为PA ，PB ，则（）A ．若2124p x x =，则A ，F ，B 三点共线B ．若212y y p =-，则A ，F ，B 三点共线C ．若π2APB ∠=，则A ，F ，B 三点共线D ．若112FA FB p +=，则A ，F ，B 三点共线4．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知()0,2,A P 是抛物线21:4C x y =上任一点，Q 为PA 的中点，记动点Q 的轨迹为2C .(1)求2C 的方程；(2)过点P 作曲线2C 的两条切线，切点分别为,M N ，求点P 到直线MN 的距离的最小值.5．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，上顶点为A ，抛物线2:2(0)T y px p =>的焦点为2F ．(1)记椭圆C 与抛物线T 在第一象限的交点为B ，若13BF =T 的方程；(2)过点1F 的直线l 与抛物线T 相切于第一象限，切点为P ，证明：直线l 经过点A ，且A 为线段1PF 的中点．6．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，渐近线方程为3y x =±，且经过点P ⎛- ⎝⎭．(1)求双曲线C 的方程；(2)过点P 作双曲线C 的切线,l l 与x 轴交于点Q ，试判断1F PQ ∠与2F PQ ∠的大小关系，并给予证明．7．（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线2222Γ:1(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为1F ，过1F 与x 轴垂直的直线交Γ于,A B 两点，且1AB =，离心率为2.(1)求Γ的方程；(2)已知圆222(0)x y r r +=>上点()00,x y 处的切线方程是200x x y y r +=，利用类比思想可知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y a b -=.过点(),1(22)C m m -<<分别作双曲线2222Γ:1(0,0)x y a b a b-=>>的左､右两支的切线，切点分别为,P Q ，连接PQ ，并过线段PQ 的中点F 分别再作双曲线左､右两支的切线，切点分别为,D E ，证明：点,,C D E 在同一条直线上.8．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知椭圆22122:1x y C b a+=与双曲线()222122:10,x y C a b C a b -=>>的焦点与2C的焦点间的距离为1b =.(1)求1C 与2C 的方程；(2)过坐标轴上的点P 可以作两条1C 与2C 的公切线.（i ）求点P 的坐标.（ii ）当点P 在y 轴上时，是否存在过点P 的直线l ，使l 与12,C C 均有两个交点？若存在，请求出l 的方程；若不存在，请说明理由.9．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知曲线C 上的动点M 满足12||||||2MF MF -=，且()()122,0,2,0F F -.(1)求C 的方程；(2)已知直线l 与C 交于,P Q 两点，过,P Q 分别作C 的切线，若两切线交于点R ，且点R 在直线14x =上，证明：l 经过定点.10．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，在椭圆E 上仅存在6个点()1,2,3,4,5,6i M i =，使得12i M F F △为直角三角形，且12i M F F △面积的最大值为2.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)已知点P 是椭圆E 上一动点，且点P 在y 轴的左侧，过点P 作24y x =的两条切线，切点分别为A 、B .求22OF A OF B S S +△△的取值范围.（1）求实数b 的值；（2）求以点A 为圆心，且与抛物线2．（安徽·高考真题）设F （Ⅰ）过点()0,4P -作抛物线,A B 到直线的距离为（1）求抛物线E的方程；（2）设动直线l与抛物线点7．（湖南·高考真题）已知抛物线的焦点也是椭圆C的公共弦的长为26.2）过点的直线相交于，两点，与相交于，两点，且在点处的切线与绕点旋转时，（1）求点A，B的坐标；（2）求PAB∆的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.。

圆锥曲线的切点弦、中点弦、切线
圆锥曲线中点弦公式：py-αx=pβ-α^2。

立体几何定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。

旋转轴叫做圆锥的轴。

垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面。

不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。

曲线，是微分几何学研究的主要对象之一。

直观上，曲线可看成空间质点运动的轨迹。

微分几何就是利用微积分来研究几何的学科。

为了能够应用微积分的知识，我们不能考虑一切曲线，甚至不能考虑连续曲线，因为连续不一定可微。

这就要我们考虑可微曲线。

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3.1圆锥曲线切线的定义设直线l '与圆锥曲线相交于P 、Q 两点（对于双曲线P 、Q 在同一支上），将直线绕点P 旋转，使点Q 逐渐靠近点P ，当l '转到直线l 的位置时，点P 与Q 重合，这时直线l 叫做圆锥曲线在点P 的切线，P 叫做切点.经过点P 与切线垂直的直线叫做圆锥曲线在点P 的法线[10].以抛物线为例，作图1如下：3.2圆锥曲线的切线方程（1）过圆锥曲线上一点的切线方程容易得到，过圆锥曲线上一点的切线方程如下：经过椭圆 12222=+by a x 上一点()00,y x P 的切线方程为:12020=+b y y a x x ；经过双曲线12222=-b y a x 、12222=-bx a y 上一点()00,y x P 的切线方程分别为:12020=-b y y a x x 、12020=-bxx a y y ； 经过抛物线px y 22±=、py x 22±=的切线方程分别为:()x x p y y o o +±=、()y y p x x o o +±=.所以经过圆锥曲线上一点()00,y x P 的切线方程，就是把圆锥曲线方程中的2x 和2y'分别为换为0x x 和0y y ,x 和y 分别换为)2(0x x +和)2(0y y +，即“替换法则”. （2）定斜率的切线方程容易证明，对于定斜率圆锥曲线的切线方程如下：斜率为k ，并且和椭圆12222=+by a x 相切的切线方程为:222b k a kx y +±=(不问ab的大小)；斜率为k ，并且和双曲线12222=-b y a x 、12222=-bx a y 相切的切线方程分别为:222b k a kx y -±=(222b k a ≥)、222b k a kx y -±=(222a k b ≤)；斜率为k ，并且和抛物线px y 22±=、py x 22±=相切的切线方程分别为:kp y 2±=（k 0≠）、22pk y =.3.3圆锥曲线切点弦从圆锥曲线外一点向圆锥曲线引两条切线（如果存在），那么经过两切点的圆锥曲线的弦叫做切点弦[11].圆锥曲线外一点()11,P x y 向圆锥曲线引两条切线，求经过两切点的切点弦方程同样可用2x 和2y 分别换为x x 1和y y 1,x 换成21x x +,y 换成21yy +的“替换法则”去求它，即[12]：经过椭圆 12222=+by a x 上一点()11,y x P 的切点弦方程为:12121=+b y y a x x ；经过双曲线12222=-b y a x 、12222=-bx a y 上一点()11,y x P 的切点弦方程分别为:12121=+b y y a x x ,12121=-bxx a y y ； 经过抛物线px y 22±=、py x 22±=上一点()11,y x P 的切点弦方程分别为:()x x p y y o +±=1,()y y p x x o +±=1. 3.4圆锥曲线焦点弦如果经过焦点的直线和圆锥曲线相交于两点，那么经过这两交点的圆锥曲线的弦叫做焦点弦[13]．4 圆锥曲线切线的性质及其应用探讨圆锥曲线有许多共同的优美性质[14].下面我们探讨圆锥曲线的几个简单性质，并给出应用例子，希望这些性质及其应用能有助于初学者对圆锥曲线切线有所了解，从而有效解决相关问题.性质1：在圆锥曲线的准线l （相应准线）上任取一点P ，经过P 点引圆锥曲线的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点，则切点弦AB 经过焦点F （相应焦点）且AB 垂直于PF .证明：首先看椭圆的情形.如图2，设椭圆的方程为12222=+b y a x （a ＞b ＞０）,在左准线上任取一点⎪⎪⎭⎫⎝⎛-n c a P ,2，经过P 点所引两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点，则切点弦AB 的方程为：22222b a ny a x cb a =+- . 又左焦点()0,1c F -满足切点弦AB 的方程，所以点1F 在AB 这条直线上，即切点弦AB 过焦点1F ．又因为2201b cnca c c n k PF -=+-+--= ,cn b n a b a k AB 2222=--=,所以有122-=⋅-=cnb b cn k k ABPF即AB 垂直PF ．同理可证在右准线上的点P 引椭圆的两条切线PA ，PB 的切点弦AB 经过右焦点且AB 垂直PF .同理可证对双曲线12222=-by a x 和12222=-bx a y ，性质1也成立.下面看抛物线的情形.如图3，设抛物线的方程为px y 22=，在其准线上任取一点⎪⎭⎫⎝⎛-n p P ,2，则经过点P 引两切线PA ，PB ，其中A 、B 为切点，则切点弦AB 的方程为：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x p p ny 2.又因为抛物线px y 22=的焦点为⎪⎭⎫⎝⎛0,2p F ，满足切点弦AB 的方程，所以切点弦AB经过焦点F .又p np p n k PF -=--=22 ,n p k AB = ， 所以有 1-=⋅-=n p p n k k AB PF 即AB 垂直PF .同理可证对于抛物线px y 22-=和py x 22±=，性质1也成立.推论：在圆锥曲线上经过焦点弦AB 两端点的切线的交点P 落在（相应）准线l 上.证明：先看椭圆的情形.设经过椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的焦点弦AB 的两端点A 、B 的两条切线相交于()11,y x P ，则直线AB 的方程为12121=+byy a x x . x又因为焦点()0,C F ±的坐标满足切点弦方程121=±acx ，即c a x 21±= ，故P 点落在圆锥曲线的准线上.同理可证对于双曲线、抛物线推论也成立. 下面举例说明性质1及推论的应用.例1[14]：（2006年全国高考题（Ⅱ）理第21题）已知抛物线y x 42=的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两个动点，且−→−−→−=FB AF λ(λ＞0)，过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M .（1）证明−→−−→−⋅FB FA 为定值；（2）设的△ABM 面积为S ，写出()λf S =的表达式并求S 的最小值. 解法一:详见2006年全国高考题（Ⅱ）理第21题数学试题卷(理科类)答案. 解法二：（1）−→−−→−=FB AF λ∴A 、F 、B 三点共线.即直线AB 经过抛物线y x 42=的焦点F . ∴由性质1知 AB FM ⊥. ∴−→−−→−⊥AB FM . 即0=⊥−→−−→−AB FM .∴−→−−→−⋅FB FA 为定值0.（2） 直线AB 经过抛物线y x 42=的焦点 ∴两切线的交点M 在准线上 −→−−→−⊥AB FM AB FM S ⋅=∴21AB 为定值且4=AB∴要求S 的最小值，需求FM 的最小值∴当且仅当M 在y 轴上时，即()1,0-M 时，S 取得最小值4422121=⨯⨯=⋅=∴AB FM S ∴S 的最小值为4.说明：（1）由性质1的结论知，本题中的M 事实上在准线2py -=上且−→−−→−⊥AB FM ，这样此题便可迎刃而解.（2）由推论知M 在准线上，当且仅当M 在y 轴上，即()1,0-M 时,S 取得最小值.这样来解答相对较简单，节约解题时间.例2[15]:（2006年重庆高考试题文科22题）如图4,对每一个正整数n ,()n n n y x A ,是抛物线y x 42=上的点,过焦点F 的直线n FA 交抛物线于另一点()n n n t s B ,.(1)试证: 4-=n n s x (n ≥1);(2)取n n x 2=,并记n C 为抛物线上分别以n A 与n B 为切点的两切线的交点.试证:122121+-=++++-n n n FC FC FC .下面主要看第二问的解答.解法一:详见2006年全国统一考试(重庆卷)数学试题卷(文科类)答案.解法二:(1)略.(2)nn x 2= ∴42422n n x y ==,则n A 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝4,22n n n A ，所以过n A 的直线的斜率()n n x x y k 22211==='=-. 设()y x C n ,，则直线n n C A 的方程为:()n n nx y 224212-=--.由性质1推论知, n n C A 与n n C B 的交点n C 在相应准线1-=y 上.把1-=y 代入直线n n C A 方程解得1212--=n n x .yx故有⎪⎭⎫⎝⎛----1,21211n n n C ,又()1,0F .∴1121122112122122212------+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-==n n n n n n n FC .().1222112112121212121122211121221+-=--+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++=++++---n n n nn n n FC FC FC 说明：此解法优点在于,利用圆锥曲线切线性质求出两切线交点坐标,可大大减少运算量，减少运算时间.由推论知当直线l 过焦点并与圆锥曲线交于A 、B 两点，则经过A 、B 的两切线的交点落在相应的准线上；那么对于任一点()00,y x P 任作直线l 与圆锥曲线交于M 、N 两点,经过M 、N 的两切线的交点是否也落在某一固定的直线上呢？为此通过证明得出性质2.性质2：过圆锥曲线外任一点()00,y x P 作直线l ，交圆锥曲线于M 、N 两点,若圆锥曲线在点M 、N 处切线的交点为Q ，则点Q 在一定直线上.证明：首先来看椭圆的情形.设椭圆的方程为12222=+by a x (a ＞b ＞０),过椭圆外一点()00,y x P 任作直线l 交椭圆于M 、N 两点,椭圆在点M 、N 处切线的交点为Q .设),(11y x M 、),(22y x N ,则两切线的方程分别为:MQ :12121=+b y y a x x ，NQ :12222=+byy a x x . 可解得交点的坐标为：1221122)(y x y x y y a x --=， 1221122)(y x y x x x b y ---=. 设过点()00,y x P 的直线l 的方程为)(00x x k y y -=-,则0011)(y x x k y +-=, 0022)(y x x k y +-=.于是()[][]()()0012002200211221)(y kx x x y x x k x y x x k x y x y x --=+--+-=-，()1212x x k y y -=-.所以()()()00200121221221122)(y kx ka y kx x x x x ka y x y x y y a x -=---=--=, ()()()00200121221221122)(y kx b y kx x x x x b y x y x x x b y --=----=---=. 消去k ,得12020=+b y y a x x .所以点P 在定直线12020=+by y a x x 上. 说明:（1）当点P 在椭圆内部时,任作直线l 与椭圆都有两个交点,此时轨迹为直线12020=+byy a x x .(2）当点P 在椭圆外部时,要使过点P 的直线与椭圆有两个交点,则斜率k 受到限制.同理可证双曲线对性质2也成立.设双曲线方程为12222=-by a x (a ＞0，b ＞０),过双曲线外一点()00,y x P 任作直线l 交双曲线于M 、N 两点,双曲线在点M 、N 处切线的交点为Q ,则点Q 在定直线12020=-byy a x x 上. 说明：当点P 在无穷远处时,过点P 任作直线即为一族平行直线.此时问题变为:斜率为k 一组平行直线交圆锥曲线于M 、N 两点,过M 、N 两点的切线的交点在一定直线上.下面看抛物线的情形.已知抛物线px y 22=，过抛物线外一点()00,y x P 任作直线l 与交抛物线于M 、N 两点,曲线在点M 、N 处的切线交点为Q .设),(11y x M 、),(22y x N ,则两切线的方程分别为:MQ :)(11x x p y y +=,NQ :)(22x x p y y +=.可解得交点的坐标为 ：211221y y y x y x x --=，2121y y x x p y --=.设过()00,y x P 的直线l 的方程为:()00x x k y y -=-.把0011)(y x x k y +-=,0022)(y x x k y +-=代入直线l 的方程解得:kkx y x 00-=，n py =.再消去k ，得()00x x p y y +=.所以点P 在定直线()00x x p y y +=上,故性质2得证. 特别地，当点P 坐标取圆锥曲线的焦点坐标时，该性质变为性质1的推论，即性质2为性质1的推论推广[16].例3：已知抛物线C :2x y =,过点()2,0P 的直线交抛物线于M 、N 两点,曲线C 在点M 、N 处的切线交点为Q ,求点Q 所在的直线.解法一:设()11,y x M , ()22,y x N ,则211x y =,222x y =,过点M 、N 的切线方程分别为()1121y y x x +=，()2221y y x x +=. ∴()11212x x x x y -=- ，()22222x x x x y -=-, 由这两方程解得221x x x +=，21x x y =. 设过点()2,0P 的直线斜率为k ，则方程为2+=kx y (1) 把（1）式代入抛物线方程2x y =，消去y ，得 022=--kx x .由韦达定理得 2,2121-==+x x k x x ,所以2-=y .即点Q 的轨迹在定直线2-=y (x ∈R)上.解法二：由性质2和2x y =知21=p 把00=x ，20=y 代入方程 ()00y y p x x += 得2-=y ，即点Q 的轨迹在定直线2-=y (x ∈R)上.说明：在解题时如果学生懂得性质2，那么就可以直接利用公式来解决，节约做题时间.例4[17]:(2005年江西高考题理科试卷)设抛物线C :2x y =的焦点为F ,动点P 在直线：02=--y x 上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB 且与抛物线C 分别相交于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程; （2）证明：∠PFA =∠PFB .解：详见2005年江西高考题理科试卷答案.由（2）的结论和答案激发了一种思想：对于圆锥曲线外一点P 作圆锥曲线的两条切线，切点分别为A 、B .F 为圆锥曲线的其一焦点.当P 点在F 相应的准线上时，由性质1知AB PF ⊥,即∠PFA =∠PFB = 90.当点P 不在准线上时，是否也有∠PFA =∠PFB ？为此通过证明得出性质3.性质3：过圆锥曲线外一点P 作圆锥曲线的两条切线PA ，PB ，其中A 、B 为切点，F 为圆锥曲线的焦点，则PFB PAF ∠=∠.证明：先看椭圆的情形.如图5,设椭圆的方程为12222=+by a x （a ＞b ＞０）,()n m P ,，()11,y x A ，()22,y x B ，则直线AB 的方程为122=+bny a mx ,即 02222=-+b a ny a mx b . 所以 0221212=-+b a ny a mx b ，则有212221amx b b a ny -=. 设F 为左焦点，则()0,c F -，所以()11,y c x FA +=−→−，()n c m FP ,+=−→−,故P=⋅−→−−→−FP FA ()11,y c x +()n c m ,+()()11ny c x c m +++=()()212221a mx b b a c x c m -+++=()()22212a a cm a x a mc c +++=()()2212mc a cx a a ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=m ac a x ac a 1()()em a ex a ++=1（e 是椭圆的离心率）.由向量的内积公式PFA FP FA FP FA ∠⋅=⋅−→−−→−−→−−→−cos ||||，所以()()−→−−→−−→−−→−−→−−→−⋅+⋅+=⋅⋅=∠FPFA em a ex a FPFA FPFA PFA 1cos又由椭圆的焦半径公式可知：1||ex a FA +=−→−，所以()()()()−→−−→−+=⋅++⋅+=∠FPem a FPex a em a ex a PFA 11cos同理可得:()−→−+=∠FPem a PFB cos ，所以PFB PFA ∠=∠.说明：当F 为右焦点时，同理可得PFB PFA ∠=∠. 同理可证对双曲线性质3也成立.下面看抛物线的情形.如图6， 设抛物线的方程为：px y 22=，()n m P ,，()1,1y x A ，()2,2y x B ，则直线AB 的方程为: ()x m p ny +=.所以()11x m p ny += ， 又⎪⎭⎫⎝⎛0,2p F ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=−→−11,2y p x FA ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=−→−n p m FP ,2,故()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅−→−−→−222222,2,21111111p m p x x m p p m p x ny p m p x n p m y p x FP FA由向量的内积公式 PFA FP FA FP FA ∠⋅=⋅−→−−→−−→−−→−cos ||||，所以||||22||||cos 1−→−−→−−→−−→−−→−−→−⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅⋅=∠FP FA p m p x FP FA FP FA PFA又由抛物线的焦半径可知：2||1px FA +=−→−，所以 ||2||222||||cos 11−→−−→−−→−−→−−→−−→−⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅⋅=∠FP p m FP p x p m p x FP FA FP FA PFA 同理可得：||2cos −→−⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∠FP p m PFB ，所以 PFB PFA ∠=∠.说明：如果在教学中教师能引导学生这样分析和探讨得出性质3，那么像例4第二问这样的题目学生在解答时可做到心中有数,且能信心十足地解答好该题[18].性质4：经过圆锥曲线外一点P （双曲线两焦点所在的线段中点除外）作圆锥曲线的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B .过P 作倾斜角为θ的直线交圆锥曲线于M 、N 两点，与切点弦交于C 点，则直线MN 上的三线段PM 1、PC 1、PN1成等差数列. 证明：首先看椭圆的情形.如图7,设椭圆的方程为12222=+by a x （a ＞b ＞０），椭圆外一点()00,y x P ，两切点为A 、B 两点，则直线AB 的方程为：12020=+by y ax x （1）.设直线MN 的参数方程为 ⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x （t 为参数）（2）,由（1）、（2）式得2020220220sin cos 1b y a x b y a x t +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= 且PC t =. 再将（2）代入椭圆方程12222=+by a x ，得关于t 的方程：01sin cos 2sin cos 220220202022222=-++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b y a x b y a x t t b a θθθθ.因为直线与圆锥曲线有两个交点,所以()2002222sin sin sin cos θθθθy x a b --+=∆>0，方程有两根，设两根为1t 、2t ，则PM t =1，PN t =2,所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=+220222020*******sin cos 21111b y a x b y a x t t t t t t PN PM o θθ 由此可发现PCt PN PM 2211==+ 故PM 1、PC 1、PN1成等差数列.同理可证对双曲线性质4也成立.下面看抛物线的情形.如图8，设抛物线的方程为px y 22=，抛物线外一点()00,y x P ，两切点分别为A 、B 两点，则直线AB 的方程为：()x x p yy +=00（1）.设直线MN 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x （t 为参数）（2）,由（1）、（2）式得:θθcos sin 2020p y y px t --=且PC t = 把（2）带入抛物线方程px y 22=，得关于t 的方程：()()θθcos 2sin 020t x p t y +=+.所以()02cos sin 2sin 02002=-+-+px y t p y θθθ因为直线与圆锥曲线有两个交点,所以∆＞0，方程有两根，设其两根为1t 、2t ，则PM t =1，PN t =2,所以().22cos sin 21111200212121t y px p y t t t t t t PN PM =--=+=+=+θθ 所以PM 1、PC 1、PN1成等差数列. 特别地，当0=θ时，过P 点的直线PM 平行于对称轴与抛物线只有一个交点M ，这时由高等几何的知识，N 可视作无穷远点，因而有01→PN. 即有 PM 1= PC 2, 故M 是PC 的中点.例5[19]：双曲线方程1422=-y x ，)3,1(-P ,ST 为切点弦，过P 点的直线为2+-=x y ，并与双曲线交于A 、B 两点，与切点弦交于C 点.证明三线段PA1、PC 1、PB1成等差数列.证明: ST 的方程为,134=--y x 与2+-=x y 的交点为⎪⎭⎫ ⎝⎛-116,1128C . 11239=∴PC , 392112=PC . 又2+-=x y 与1422=-y x 的交点为()0,2A ，⎪⎭⎫⎝⎛-34,310B . 621=∴PA , 26231=PB ∴PC PB PA 23921126236211==+=+ ∴PA 1、PC 1、PB1成等差数列. 性质5：从圆锥曲线上一点P 引切线和法线分别交x 轴所在直线于T 、N ，交y 轴所在直线于T '、N '，则N P PN T P PT '⋅='⋅.证明：先看椭圆等的情形.如图10，设椭圆的方程为12222=+by a x （a ＞b ＞０）,经过其上一点()ααsin ,cos b a P 的切线与法线方程分为:ab y a x b =⋅+⋅ααsin cos ,()ααααcos sin cos sin 22b a y b x a -=⋅-⋅x它们与长轴所在直线的交点是：⎪⎭⎫ ⎝⎛0,cos αa T ，()⎪⎭⎫⎝⎛-0,cos 122αb a a N .它们与短轴所在直线的交点是：⎪⎭⎫ ⎝⎛'αsin ,0b T ，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--'b b a N αsin ,022. 于是有 222222sin sin cos sin cos cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⋅ααααααb b a b a a T P PTαα2222cos sin b a +=()()2222222222sin sin cos sin cos cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--='⋅b b a b a b a b a a N P PN αααααα αα2222cos sin b a +=故N P PN T P PT '⋅='⋅其次看双曲线的情形.如图11，设双曲线的方程为12222=-by a x ，过其上一点()θθtan ,sec b a P 的切线与法线方程分为:ab y a x b =⋅-⋅θθtan sec ，()θθθθsec tan sec tan 2⋅+=⋅+⋅b a y b x a .故T 、T '、N 、N '的坐标分别为:⎪⎭⎫ ⎝⎛0,sec θa T ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-'θtan ,0b T ，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,sec 22a b a N θ，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+'b b a N θtan ,022 于是有 22222tan tan sec tan sec sec ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⋅θθθθθθb b a b a a T P PTθθ2222sec tan b a +=22222222tan sec tan sec ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='⋅b a a b a b N P PN θθθθ θθ2222sec tan b a += 即N P PN T P PT '⋅='⋅再次看抛物线的情形.如图12，设抛物线的方程为px y 22±=,过其上一点()pt pt P 2,22的切线与法线方程分别为:0222=+-pt ty x ，()22122t pt y tx +-+故T 、T '、N 、N '的坐标分别为:()0,22pt T -，()()0,212t p N +，()pt o T ,'，()()2212,0t pt N +'于是有 ()()()()2222222222pt pt pt pt pt pt T P PT -+⋅++='⋅()222412t t p +=()()[]()()[]22222221222212t pt pt pt t p pt N P PN +-+⋅+-='⋅()222412t t p +=所以N P PN T P PT '⋅='⋅ ，即性质5得证.例6: 椭圆的方程为192522=+y x ，过其上一点⎪⎭⎫ ⎝⎛-59,4P 得切线l 与x 轴、y 轴相交于T 、T '，过点P 的法线l '与x 轴、y 轴相交于N 、N ',求N P PN '⋅的值.分析：由性质5可知//PN PN PT PT ⋅=⋅，要求N P PN '⋅可转化为求T P PT '⋅.解： 直线l 为椭圆的切线，且切点⎪⎭⎫ ⎝⎛-59,4P∴直线l 的方程为1959254=+-yx∴⎪⎭⎫⎝⎛-0,425T ，()5,0T 'x由两点间的距离公式得：20419590442522=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=PT ，()54145954022=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++='T P N P PN T P PT '⋅='⋅ ∴N P PN '⋅=25369541420419=⨯. 总之，在教学过程中引导学生通过探究性学习获得圆锥曲线的一些切线的性质并加以应用，不仅可以让学生进一步加深对圆锥曲线知识的理解，提高解题能力，而且可以培养学生的创造性思维，提高学生的学习数学的兴趣[20].5 结论5.1主要发现圆锥曲线切线的性质及其应用为相关问题的求解和证明提供十分有效的解题思路，有助于学生对圆锥曲线切线知识有更深刻认识.探讨圆锥曲线切线的性质，不仅需要对基础知识熟练掌握，而且要灵活运用相关知识，善于将知识点衔接起来，归纳总结三种圆锥曲线的内在个性特点.只有通过不断地分析典型题目，找出内在规律及它们的一些性质进行总结，才能找出圆锥曲线具有的统一性质.总之，在高考中圆锥曲线切线的相关问题既有一定难度，又有一定的技巧性和整体性，但只要我们善于思考和总结就容易找到解决问题的突破口，也会发现圆锥曲线切线的性质对求解该类问题有着很大的帮助. 5.2启示圆锥曲线切线的性质是解决与圆锥曲线切线相关问题的关键点，理解掌握圆锥曲线切线的性质和证明思路，对解决圆锥曲线的相关问题有极大的帮助.但要理解掌握和灵活运用性质去解决问题时，必须对基础知识熟练掌握，且能够将知识点融会贯通. 5.3局限性本毕业论文提供的仅是有限的几个性质及证明方法，还有许多性质未能得出，限我个人能力有限，不能提供更多的性质以便解决许多相关的问题，同时也没能完全给出相应的应用，这是本毕业论文的不足. 5.4努力方向除了文中所述的几个性质外，根据三种圆锥曲线的内在个性特点可能还有其他的一些性质，这些性质将有待我们作进一步探讨研究，以弥补本论文的不足.参考文献[1] 郑观宝.圆锥曲线的一个共通性质[J].中学数学研究，2006，（8）：44.[2] 人民教育出版社中学数学室.全日制普通高级中学教科书(第二册上)[M].北京：人民教育出版社，2004:91-122.[3] 张留杰. 圆锥曲线的一个性质的证明与推广[J]. 数学通讯，2003，（15）:25-27.[4] 周伟林. 圆锥曲线切点弦的一个性质[J].考试周刊，2007,（3）:49-50.[5] 黄继创. 圆锥曲线的一个几何特征[J].数学通讯，2006,（6）:94-95.[6] 吴翔雁. 圆的重要性质在圆锥曲线上的推广[J].数学通讯，2005,（7）:25-27.[7] 张家瑞.圆锥曲线的一个性质[J].数学教学通讯，2006，（8）:55-56.[8] 潘德党. 圆锥曲线的一个性质及应用[J].数学教学研究，2007,（3）:25-26.[9] 李铭祺.高中几何学习指导[M].西安：陕西人民教育出版社.1987:125-126.[10] 刘膺淳.高中数学知识转化为能力的途径[M].长沙：湖南人民出版社,1988: 115-118.[11] 黄熙宗.圆锥曲线切点弦方程的简易求法[J].苏州教育学院学报,1991，5（3）：18-19.[12] 王保庆，杨振兴，蔡凯.圆锥曲线切点弦方程的性质新探[J]. 数学教学通讯，2009, 5：28-29.[13] 邱昌银.圆锥曲线准切线焦点弦的相关性质[J].数学通讯，2003，（5）：12-13.[14] 杨宣文，杨国平.圆锥曲线的又一性质[J].数学教学通讯，2006,（7）:35-37.[15] 蔡献慧.圆锥曲线切点弦的应用[J].洛阳师范学院学报，2006,5（5）:158-159.[16] 储炳南.圆锥曲线的一个统一性质[J].数学教学，2006，（11）：24—26.[17] 梁平. 圆锥曲线切线性质在高考试题中应用[J].解题研究,2001，(3):34-35.[18] 卢伟峰.圆锥曲线切线的一个性质[J].数学教学通讯，2008，(4)：16-17.[19] 李建明.两道高考题引出的圆锥曲线的一个性质[J].数学通讯，2007，（3）：10-11.[20] 李凤华.相似圆锥曲线的一条优美性质[J]. 数学通讯,2008,(11)：33-34.。