高考★圆锥曲线★的基本公式推导(学长整合版)

高考数学圆锥曲线公式
以下是一些常见的高考数学圆锥曲线公式:
1. 椭圆公式:a = π/2(x - b)^2,其中a、b为椭圆的长轴和短
轴长度,π约为3.14。

2. 圆公式:r = (a + b) / 2,其中a、b为椭圆的长轴和短轴长度,a和b分别表示椭圆的两个端点之间的距离。

3. 双曲线公式:c = π/4(x - y)^2,其中c为双曲线的公共参数方程,x为双曲线的参数离心率,y为双曲线的参数向心率。

4. 抛物线公式:p = (a + b) / 2,其中a、b为抛物线的长轴和
短轴长度,p为抛物线的参数方程。

5. 等腰三角形公式:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。

6.直角三角形公式:勾股定理:a^2 + b^2 = c^2,其中a、b为直
角三角形的两条直角边长度,c为直角三角形的斜边长度。

7. 等边三角形公式:a = b,其中a和b为等边三角形的两条边长度。

这些公式是高考数学圆锥曲线部分的基础,掌握这些公式能够更
好地理解和解决圆锥曲线问题。

同时也要注意在解题过程中对参数的取值作出适当的规定,这一点在考试中也非常关键。

推导过程圆锥曲线的方程推导与性质证明圆锥曲线是数学中的重要概念，涉及到方程推导与性质证明。

在本文中，将对圆锥曲线的方程推导和性质进行详细讨论。

我们将从定义出发，逐步推导，并通过严密的数学证明，揭示圆锥曲线的性质。

首先，让我们从圆锥曲线的定义开始。

圆锥曲线是在三维空间中，由平面切割一个圆锥而形成的曲线。

根据切割的不同方式，圆锥曲线可以分为三类：椭圆、抛物线和双曲线。

我们将依次推导这三类圆锥曲线的方程以及性质。

1. 椭圆的方程推导与性质证明椭圆是圆锥曲线的一种，在平面几何中具有重要的应用。

我们来推导椭圆的方程。

首先，考虑一个平面上的点P(x, y)，到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a，其中a为椭圆的长半轴。

根据距离公式，PF1 = √((x - x1)² + (y - y1)²)和PF2 = √((x - x2)² + (y - y2)²)，带入公式得到√((x - x1)² + (y - y1)²) + √((x - x2)² + (y - y2)²) = 2a，对该方程进行平方处理得到(x - x1)² + (y - y1)² + 2√((x - x1)² + (y - y1)²)√((x - x2)²+ (y - y2)²) + (x - x2)² + (y - y2)² = 4a²。

化简上述方程可以得到(x - x1)² + (y - y1)² + (x - x2)² + (y - y2)² +2√((x - x1)² + (y - y1)²)√((x - x2)² + (y - y2)²) = 4a²，这就是椭圆的方程。

圆锥曲线定理公式
圆锥曲线定理是一组用来描述圆锥曲线的基本公式和定理。

以下是几个常见的圆锥曲线定理公式：
1. 椭圆公式：设椭圆的焦点为F1和F2，长轴长度为2a，短
轴长度为2b，椭圆上任一点P的坐标为(x, y)，则有
(PF1 + PF2) = 2a
2. 双曲线公式：设双曲线的焦点为F1和F2，长轴长度为2a，椭圆上任一点P的坐标为(x, y)，则有
(PF1 - PF2) = 2a
3. 抛物线公式：设抛物线的焦点为F，直线称为准线，焦距为p，抛物线上任一点P的坐标为(x, y)，则有
PF = PM
其中M为准线上距离P最近的一点，PM为焦点F和点M
之间的距离。

这些公式是圆锥曲线定理中的基本公式，它们描述了不同类型的圆锥曲线的几何属性和特征。

通过这些公式，我们可以确定圆锥曲线的形状、焦点位置和重要参数等信息。

圆锥曲线的几大大题特征公式：焦半径、准线、弦长、切线方程、弦中点公式、极线方程 圆锥 曲线 的切 线 方程 在 历年高考题中出现，但是在高中教材及资料都涉及较少。

本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。

从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法。

【基础知识1：切线方程、极线方程】【1-0】公式小结：x 2换成xx 0，y 2换成yy 0，x 换成(x+x 0)/2,y 换成(y+y 0)/2. 【1-1】 椭圆的切线方程 ：①椭圆 12222=+by a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=+b yy a xx 。

②过椭圆 12222=+by a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=+b yya xx 。

③椭圆12222=+by a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是022222=-+C b B a A(也就是下篇文档所讲的硬解定理公式△=0的充要条件) 【1-2】双曲线的切线方程：①双曲线12222=-by a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=-b yya xx 。

②过椭圆 12222=-by a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=-b yya xx 。

③椭圆12222=-by a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是022222=--C b B a A【1-3】抛物线的切线方程：物线 px y 22= 上一点),(00y x P 处的切线方程是 )(200x x p yy +=②过抛物线 px y 22=外一点 处所引两条切线是)(200x x p yy +=③抛物线 px y 22=与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是AC pB 22=【1-4】 基础知识的证明：【公式一：曲线C 上切点公式证明】1、第1种证明思路：过曲线上一点的切线方程设曲线C 上某一点处 ),(00y x P 的 切 线 方 程 为)(00x x k y y -=-, 联立方程，令0=∆,得到k 的表达式，再代入原始式，最后得切线方程式1)()(2202202020=+=+by a x b yy a xx （注: k 的表达式可以在草稿中巧用点差法求,具体见下）2、第2种证明思路：点差法(求斜率，其余跟第一种方法一样)证明：设某直线与曲线C 交于M 、N 两点坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，中点P ),(00y x则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221ΛΛΛΛb y a x by a x ⇒)2()1(-，得.02222122221=-+-b y y a x x 2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴ 又.22,000021211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=Θ 2200a b x y k MN -=⋅∴ (弦中点公式的椭圆基本表达式。

圆锥曲线的几大大题特征公式：焦半径、准线、弦长、切线方程、弦中点公式、极线方程/*另外，针对“计算不好”的同学，本人提供“硬解定理”供大家无脑使用。

具体的请参考本目录下的【硬解定理的推导和使用】文章。

*/圆锥曲线的切线方程在历年高考题中出现，但是在高中教材及资料都涉及较少。

本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。

从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法。

【基础知识1：切线方程、极线方程】【1-0】公式小结：x 2换成xx 0，y 2换成yy 0，x 换成(x+x 0)/2,y 换成(y+y 0)/2.【1-1】椭圆的切线方程： ①椭圆12222=+y x上一点),(00y x P 处的切线方程是12020=+yy xx 。

(【1-2【1-3 【1-41、第入原始式，最后得切线方程式1)()(2202202020=+=+by a x b yy a xx （注:k 的表达式可以在草稿中巧用点差法求,具体见下）2、第2种证明思路：点差法(求斜率，其余跟第一种方法一样)证明：设某直线与曲线C 交于M 、N 两点坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，中点P ),(00y x则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221 b y a x b y a x ⇒)2()1(-，得.022********=-+-b y y a x x2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴又.22,000021211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--= 2200a b x y k MN -=⋅∴(弦中点公式的椭圆基本表达式。

双曲线则是2200ab x y k MN =⋅) 当M 、N 无限趋近时，P 在椭圆C 上。

即得切线斜率0022y x a b k ⋅-= 3、第三种证明思路(注意：仅供理解，考试使用可能分证明：由2（圆锥曲线切线证明）（同一目录下文章）可知圆上一点的切线方程。

圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）基础知识及常⽤结论圆锥曲线必背⼝诀(红字为⼝诀)-椭圆⼀、椭圆定义定点为焦点，定值为长轴.（定值=2a ）椭圆.定点为焦点，定直线为准线，定值为离⼼率.（定值=e ）定点为短轴顶点，定值为负值. （定值2k e 1=-）⼆、椭圆的性质定理长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理①准线⽅程准焦距，a ⽅、b ⽅除以c ②通径等于 2 ep ，切线⽅程⽤代替③焦三⾓形计⾯积，半⾓正切连乘b ④注解：1长轴2a =，短轴2b =，焦距2c =，则：222a b c =+2准线⽅程：2a x c= （a ⽅除以c ）3椭圆的通径d ：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距离称为椭圆的通径.（通径22c b 2b 2a c ad 2ep =??==）过椭圆上00x y (,)点的切线⽅程，⽤00x y (,)等效代替椭圆⽅程得到.等效代替后的是切线⽅程是：0022x x y y1a b+=4、焦三⾓形计⾯积，半⾓正切连乘b焦三⾓形：以椭圆的两个焦点12F F ,为顶点，另⼀个顶点P 在椭圆上的三⾓形称为焦三⾓形.半⾓是指12F PF θ=∠的⼀半.则焦三⾓形的⾯积为：2S b 2tanθ=证明：设1PF m =，2PF n =，则m n 2a +=由余弦定理：222m n 2mn 4c cos θ+-?=22224a 4b m n 4b ()=-=+-即：22mn 2mn 4b cos θ-?=-，即：22b 1mn (cos )θ=+.即：2122b mn PF PF 1||||cos θ==+故：12F PF 1S m n 2sin θ=??△2212b b 211sin sin cos cos θθθθ=?=++⼜：22221222sin cossin tan cos cosθθθθθθ==+ 所以：椭圆的焦点三⾓形的⾯积为122F PF S b 2tan θ=. 三、椭圆的相关公式切线平分焦周⾓，称为弦切⾓定理①1F2FOxyPmn切点连线求⽅程，极线定理须牢记②弦与中线斜率积，准线去除准焦距③细看中点弦⽅程，恰似弦中点轨迹④注解：1弦切⾓定理：切线平分椭圆焦周⾓的外⾓，平分双曲线的焦周⾓. 焦周⾓是焦点三⾓形中，焦距所对应的⾓.弦切⾓是指椭圆的弦与其切线相交于椭圆上时它们的夹⾓，当弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切线是两个焦点弦的⾓平分线.2若000P x y (,)在椭圆2222x y 1a b+=外，则过0P 作椭圆的两条切线，切点为12P P ,，则点0P 和切点弦12P P ,分别称为椭圆的极点和极线.切点弦12P P 的直线⽅程即极线⽅程是0022x xy y1a b+=（称为极线定理）3弦指椭圆内的⼀弦AB .中线指弦AB 的中点M 与原点O 的连线，即OAB ?得中线.这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离2c a x c=-去除准焦距2bp c=，其结果是：2AB OM2c p b k k x a==- 4中点弦AB 的⽅程：在椭圆中，若弦AB 的中点为00M x y (,)，弦AB 称为中点弦，则中点弦的⽅程就是2200002222x x y y x y a b a b+=+，是直线⽅程.弦中点M 的轨迹⽅程：在椭圆中，过椭圆内点000P x y (,)的弦AB ，其中点M 的⽅程就是22002222x x y y x y a b a b+=+，仍为椭圆.这两个⽅程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.圆锥曲线必背⼝诀(红字为⼝诀)-双曲线⼀、双曲线定义⼆、双曲线的性质定理基本同椭圆，有所区别：实轴虚轴与焦距，形似勾股弦定理①准线⽅程准焦距，a ⽅、b ⽅除以c ②通径等于 2 e p ，切线⽅程⽤代替③焦三⾓形计⾯积，半⾓余切连乘b ④注解：1实轴2a =，虚轴2b =，焦距2c =，则：222a b c +=2准线⽅程2a x c=± （a ⽅除以c ）准焦距p ：焦点到准线的距离：2b pc = （b ⽅除以c ）3通径等于2 e p ，切线⽅程⽤代替双曲线的通径d ：过焦点垂直于长轴的直线与双曲线的两交点之间的距离称为双曲线的通径.（通径22c b 2b 2a c ad 2ep =??==）过双曲线上000P x y (,)点的切线⽅程，⽤000P x y (,)等效代替双曲线⽅程得到，等效代替后的是切线⽅程是：0022x x y y1a b-=4焦三⾓形计⾯积，半⾓余切连乘b焦三⾓形：以双曲线的两个焦点12F F ,为顶点，另⼀个顶点P 在椭圆上的三⾓形称为焦三⾓形.半⾓是指12F PF γ=∠的⼀半.双曲线2222x y 1a b-=的左右焦点分别为12F F ,，点P 为双曲线上异于顶点任意⼀点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点三⾓形满⾜：2122b PF PF 1cos γ=- 其⾯积为；122F PF S b co 2t γ=.证明：设21PF m PF n ,==，则m n 2a -=在12F PF ?中，由余弦定理得：222121212PF PF 2PF PF F F cos γ+-=，即：222m n 2mn 4c cos γ+-?=22224a 4b m n 4b ()=+=-+ 即：2222m n 2mn m n 4b cos ()γ+-?=-+即：22mn 2mn 4b cos γ-?=，即：22b mn 1(cos )γ=-即：22b mn 1cos γ=-，即：2122bPF PF 1cos γ=-那么，焦点三⾓形的⾯积为：12F PF 1S mn 2sin γ?=?212b 21sin cos γγ=?-2222b 22b 122sin cossin cos sinγγγγγ==?-2b 2cot γ= 故：122F PF S b 2cot γ= 同时：12F PF 12P P 1S F F y c y 2?=?=?，故：2p b y c 2cot γ=±? 双曲线的焦点三⾓形的⾯积为：122F PF S b co 2t γ=.三、双曲线的相关公式切线平分焦周⾓，称为弦切⾓定理①切点连线求⽅程，极线定理须牢记②弦与中线斜率积，准线去除准焦距③细看中点弦⽅程，恰似弦中点轨迹④注解：1弦切⾓定理：切线平分椭圆焦周⾓的外⾓，平分双曲线的焦周⾓.焦周⾓是焦点三⾓形中，焦距所对应的⾓. 弦切⾓是指双曲线的弦与其切线相交于双曲线上时它们的夹⾓，当弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切线是两个焦点弦的⾓平分线.如图，12F PF ?是焦点三⾓形，12F PF ∠为焦周⾓，PT 为双曲线的切线. 则PT 平分12F PF ∠.2若000P x y (,)在双曲线2222x y 1a b-=外，以包含焦点的区域为内，不包含焦点的区域为外，则过0P 作双曲选的两条切线，切点为1P 、2P ，则点0P 和切点弦12P P 分别称为双曲线的极点和极线，切点弦12P P 的直线⽅程即极线⽅程是0022x xy y1a b-=（称为极线定理）3弦指双曲线内的⼀弦AB .中线指弦AB 的中点M 与原点O 的连线，即OAB ?得中线.这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离2c a x c =去除准焦距2b p c=，其结果是：2AB OM2c p b k k x a==4中点弦AB 的⽅程：在双曲线中，若弦AB 的中点为00M x y (,)，称弦AB 为中点弦，则中点弦的⽅程就是：2200002222x x y y x y aba b-=-，它是直线⽅程. 弦中点M 的轨迹⽅程：在双曲线中，过双曲线外⼀点000P x y (,)的弦AB ，其AB 中点M 的⽅程就是22002222x x y y x y a b a b-=-，仍为双曲线.这两个⽅程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.圆锥曲线必背⼝诀(红字为⼝诀)-抛物线⼀、抛物线定义抛物线，有定义，定点定线等距离12⼆、抛物线性质焦点准线极点线①，两臂点乘积不变②焦弦切线成直⾓，切点就是两端点③端点投影在准线，连结焦点垂直线④焦弦垂直极焦线⑤，切线是⾓平分线⑥直⾓梯形对⾓线，交点就是本原点⑦焦弦三⾓计⾯积，半个p ⽅除正弦⑧注解：1抛物线的焦点和准线是⼀对极点和极线.抛物线⽅程：2y 2px =，焦点(,)p F 02，准线p p x 2=-(抛物线的顶点(,)O 00到定点(,)p F 02和定直线p p x 2=-距离相等) 焦弦：过焦点的直线与抛物线相交于两点A 和B ，则AB 称为焦弦.弦中点(,)M M M x y ，A B M x x x 2+=，A B M y yy 2+= 焦弦⽅程：()p y k x 2=-，k 为斜率. 2焦点三⾓形两边OA 和OB 的点乘积为定值，且夹⾓是钝⾓. 证明：焦弦AB 满⾜的条件()2y 2pxp y k x 2?=??=- ()22p k x 2px 2-=? ()22222k p k x k 2px 04-++=由韦达定理得：2A B px x 4=2A B py y 22p p 2==-=-?=-，即：2A B p x x 4=，2A B y y p =- ①且：2A A B B A B A B 3OA OB x y x y x x y y p 04(,)(,)?=?=+=-<. 故：焦点三⾓形两边之点乘积为定值.3即：焦弦两端点的切线互相垂直. 证明：如图，由抛物线⽅程：2y 2px =得到导数：yy p '=，即：py y'=故：AEA p k y =，BE Bp k y = 于是：2AE BEA B A Bp p p k k y y y y ?=?=将①式2A B y y p =-代⼊上式得：AE BE k k 1?=-即：AE BE ⊥，故焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直⾓三⾓形. 4即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直⾓三⾓形. 证明：坐标B p C y 2(,)-,A p D y 2(,)-则：B CF p y (,)=-，A DF p y (,)=- 于是：2A B CF DF p y y ?=+将①式2A B y y p =-代⼊上式得：CF DF 0?= 故：CF DF ⊥即：焦弦端点A B ,在准线的投影点D C ,，则CF DF ⊥，即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直⾓三⾓形.5若焦弦AB 对应的极点E ，则EF 为极焦线，于是EF AB ⊥⽤向量⽅法可证.由于M 是AB 的中点，AEB ?为直⾓三⾓形，计算可得E 是DC 的中点，故：ED EF EC == 由向量法可证EF AB 0?=即：焦弦AB 与极焦线EF 互相垂直. 6即：切线平分焦弦的倾⾓(或倾⾓的外⾓) 如图：因为ADE ?和AFE ?都是直⾓三⾓形，且由定义知：AF AD =，AE AE =故ADE AFE ??≌，则对应⾓相等. 即：AE 是DAF ∠的⾓平分线同理，BE 是CBF ∠的⾓平分线 7即：直⾓梯形ABCD 对⾓线相交于原点即：A O C ,,三点共线；B O D ,,三点共线. ⽤向量法证明：OA CO //，OB DO //证明：坐标2A A y A y 2p (,)，2B B y B y 2p (,)，B p C y 2(,)-，A pD y 2(,)-向量：2A A y OA y 2p (,)=，B pCO y 2(,)=-各分量之⽐：2A2x A 2xy OA y 2p p p CO 2()()==，2y A AB A B y OA y y y y y CO ()()==--将①式2A B y y p =-代⼊上式得：22yA A2A By OA y y y y p CO ()()==- 故：y x xyOA OA OACO CO CO()()()()==，即：OA CO // 同理：OB DO //.直⾓梯形ABCD 对⾓线相交于原点. 8即：焦弦三⾓形的⾯积为：sin 2 AOBp S 2α= （α为焦弦的倾⾓）证明：AB AF BF =+A B A B p p x x x x p 22=+ ++=++M p2x 2()=+2EM = 如图：GF 2OF p == 则：2EF GF 1pEM sin sinsin sin αααα==?= E于是：22pAB sin α= 故：AOB1S OF AB 2sin α?=221p 2p p 222sin sin sin ααα==附：圆锥曲线必背----极坐标圆锥曲线的极坐标以准焦距p 和离⼼率e 来表⽰常量，以极径ρ和极⾓θ来表⽰变量.0ρ≥，[,)o 0360θ∈以焦点(,)F 0θ为极点(原点O )，以椭圆长轴、抛物线对称轴、双曲线的实轴为极轴的建⽴极坐标系.故准线是到极点距离为准焦距p 、且垂直于极轴的直线L . 极坐标系与直⾓坐标系的换算关系是：ρ=，arctan y xθ= 或者：cos x ρθ=，sin y ρθ= 特别注意：极坐标系中，以焦点为极点(原点)，⽽直⾓坐标系中以对称点为原点得到标准⽅程. 如图，O 为极点，L 为准线，则依据定义，到定点(极点)和到定直线(准线)的距离之⽐为定值(定值e )的点的轨迹为圆锥曲线. 所以，对极坐标系，请记住：⑴极坐标系的极点O 是椭圆的左焦点、抛物线的焦点、双曲线的右焦点；⑵曲线上的点(,)Pρθ到焦点F的距离是ρ，到准线的距离是cospρθ+，根据定义：cosepρρθ=+即：cosep eρθρ+=，即：cosep eρρθ=-，即：1eρθ=-①这就是极坐标下，圆锥曲线的通式.⑶对应不同的e，呈现不同的曲线. 对双曲线，只是右边的⼀⽀；对抛物线，开⼝向右.将极轴旋转o180，α和θ分别对应变换前后的极⾓，即转⾓为o180θα=+，则极坐标⽅程变换前⽅程为：cosep1eρα=-变换后⽅程为：cosep1eρθ=+②此时的极坐标系下，此时有：⑵对应不同的e，呈现不同的曲线对双曲线，只是左边的⼀⽀；对抛物线，开⼝向左.⑴将极轴顺时针旋转o90，即：o 90θα=+，则情况如图.圆锥曲线的⽅程为：sin ep1e ρθ=- ③此时的极坐标系下：对应于直⾓坐标系下，焦点在y 轴的情况，且极点O 对应于椭圆下⽅的焦点，双曲线上⽅的焦点，抛物线的焦点.对双曲线，只是y 轴上边的⼀⽀；对抛物线，开⼝向上. ⑵如果将极轴逆时针旋转o 90，即：o 90θα=-，则情况如图. 圆锥曲线的⽅程为：sin ep1e ρα=+ ③此时的极坐标系下：对应于直⾓坐标系下，焦点在y 轴的情况，且对应于椭圆上⽅的焦点，双曲线下⽅的焦点，抛物线的焦点.对双曲线，只是y 轴下边的⼀⽀；对抛物线，开⼝向下.⑴在极坐标系中，圆锥曲线的通式为：=cos ep1e ρθ- ①即：cos e ep ρρθ-=，即：cos ep e ρρθ=+即：(cos )(cos )(cos )2222222ep e e p e 2e p ρρθρθρθ=+=++ ②将222x y ρ=+，cos x ρθ=代⼊②式得：2222222x y e p e x 2e px +=++即：()2222221e x 2e px y e p --+= ③当e 1≠时有：()[()]()()22222222222222--++=+---- 即：()()()22222 2222222e p e e p 1e x y e p 11e 1e 1e --+=+=--- 即：()()22222222222e px y 1e1e p e p1e 1e --+=-- ④⑴当e 1<时，令()22222e p a 1e =-，2222e p b 1e=-，22e p c 1e=-则：()222222222e p e p a b 1e 1e-=---[()]()()2222e p e p 11e 1e 1e =--=--⽽：()()2422222222e p e p c a b 1e 1e ===--- 代⼊④式得：()2222x c y 1ab-+= ⑤这是标准的椭圆⽅程. ⑵当e 1>时，令()222 22e p a e 1=-，2222e p b e 1=-，22e p c e 1=-则：()222222222e p e p a b e 1e 1+=+--[()]()()2242e p e p 1e 1e 1e 1=+-=-- ⽽：()()2422222222e p e p c a b e 1e 1===+-- 代⼊④式得：()2222x c y 1ab+-= ⑥这是标准的双曲线⽅程.⑶当e 1=时，由③式()2222221e x 2e px y e p --+=得：222px y p -+=即：()22p y 2px p 2p x 2=+=+ 即：()2p y 2p x 2=+ ⑦这是标准的抛物线⽅程.。

圆锥曲线公式大全1、椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的性质椭圆定义焦点位置椭圆的图象和性质若M 为椭圆上任意一点，则有|MF 1|+|MF 2|=2ax 轴y图形o xy 轴y o x标准方程焦点坐标焦距顶点坐标a ,b ,c 的关系式长、短轴对称轴离心率范围x 2y 2+2=12a b F 1(-c, 0 ), F 2( c, 0 )|F 1F 2| = 2c(±a , 0 ), ( 0,±b )a 2 =b 2 +c 2y 2x 2+2=12a b F 1(0,-c, ), F 2( 0, c )(0,±a ), (±b , 0 )长轴长=2a ,短轴长=2b ，长半轴长=a ,短半轴长=b 无论椭圆是x 型还是y 型，椭圆的焦点总是落在长轴上关于x 轴、y 轴和原点对称e =c ( 0 <e < 1)，离心率越大，椭圆越扁，反之，越圆a-a ≤x ≤a ,-b ≤y ≤b 2-b ≤x ≤b ，-a ≤y ≤a22、判断椭圆是x 型还是y 型只要看x 对应的分母大还是y 对应的分母大，若x 对应的分母大则x 型，若y 对应的分母大则y 型.22x 2y 23、求椭圆方程一般先判定椭圆是x 型还是y 型，若为x 型则可设为2+2=1，若为y a b y 2x 222型则可设为2+2=1，若不知什么型且椭圆过两点，则设为稀里糊涂型：mx +ny =1a b 4、双曲线的定义、双曲线的标准方程、椭圆的性质双曲线的图象和性质若M为双曲线上任意一点，则有MF1-MF2=2a(2a<2c)双曲线定义若MF1-MF2=2a=2c,则点M的轨迹为两条射线若MF1-MF2=2a>2c,则点M无轨迹焦点位置x轴y轴图形标准方程焦点坐标焦距顶点坐标(±a, 0 )x2y2-2=12a bF1(-c, 0 ), F2( c, 0 )|F1F2| = 2cy2x2-2=12a bF1(0,-c, ), F2( 0, c )(0,±a )a,b,c的关系式椭圆形状长的像a,所以a是老大，a2 = b2 + c2；双曲线形状长的像c,所以c是老大，c2 = a2 + b2实轴、虚轴对称轴离心率范围渐近线实轴长=2a,虚轴长=2b，实半轴长=a,虚半轴长=b无论双曲线是x型还是y型，双曲线的焦点总是落在实轴上关于x轴、y轴和原点对称e=c(e >1)aa≤x或x≤-a,y∈R a≤y或y≤-a,x∈Ry=±bxay=±axb2、判断双曲线是x 型还是y 型只要看x 前的符号是正还是y 前的符号是正，若x 前的符号为正则x 型，若y 前的符号为正则y 型，同样的，哪个分母前的符号为正，则哪个分母就为a 22222x 2y 23、求双曲线方程一般先判定双曲线是x 型还是y 型，若为x 型则可设为2-2=1，若a b y 2x 2为y 型则可设为2-2=1，若不知什么型且双曲线过两点，则设为稀里糊涂型：a b mx 2-ny 2=1(mn <0)6、若已知双曲线一点坐标和渐近线方程y =mx ，则可设双曲线方程为y 2-m 2x 2=λ(λ≠0)，而后把点坐标代入求解7、椭圆、双曲线、抛物线与直线l :y =kx +b 的弦长公式：AB =(k 2+1)(x 1-x 2)2=(12+1)(y -y )122k 8、椭圆、双曲线、抛物线与直线问题出现弦的中点往往考虑用点差法9、椭圆、双曲线、抛物线与直线问题的解题步骤：（1）假化成整(把分式型的椭圆方程化为整式型的椭圆方程)，联立消y 或x (2)求出判别式，并设点使用伟大定理（3）使用弦长公式1、抛物线的定义：平面内有一定点F 及一定直线l (F 不在l 上)P 点是该平面内一动点，当且仅当点P 到F 的距离与点P 到直线l 距离相等时，那么P 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的一条抛物线.————见距离想定义！！！2、（1）抛物线标准方程左边一定是x 或y 的平方（系数为1），右边一定是关于x 和y 的一次项，如果抛物线方程不标准，立即化为标准方程！（2）抛物线的一次项为x 即为x 型，一次项为y 即为y 型!(3)抛物线的焦点坐标为一次项系数的四分之一，准线与焦点坐标互为相反数！一次项为x ，则准线为”x=多少”，一次项为y ，则准线为”y=多少”!(4)抛物线的开口看一次项的符号，一次项为正，则开口朝着正半轴，一次项为负，则开口朝着负半轴！（5）抛物线的题目强烈建议画图，有图有真相，无图无真相！3、求抛物线方程，如果只知x 型，则设它为y =ax (a ≠0),a>o,开口朝右；a<0,开口朝左；如果只知y 型，则设它为x =ay (a ≠0),a>o,开口朝上；a<0,开口朝下。

圆锥曲线公式及知识点总结圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的商是常数e的点的轨迹。

数学里有很多公式，为了帮助大家更好的学习数学，小编特地为大家整理了圆锥曲线公式及知识点总结，希望对大家的数学学习有帮助。

圆锥曲线公式：椭圆1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x²/a²+y²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y²/a²+x²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²参数方程：x=acosθ;y=bsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)圆锥曲线公式：双曲线1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：x²/a-y²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y²/a²-x²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².参数方程：x=asecθ;y=btanθ(θ为参数)圆锥曲线公式：抛物线参数方程:x=2pt²；y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地，t可等于0直角坐标:y=ax²+bx+c(开口方向为y轴，a≠0)x=ay²+by+c(开口方向为x轴，a≠0)离心率椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。

且当01时为双曲线。

圆锥曲线公式知识点总结圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)y²=2px(p>0)范围x∈[-a,a]x∈(-∞，-a]∪[a,+∞)x∈[0,+∞)y∈[-b,b]y∈Ry∈R对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)焦点(c,0),(-c,0)(c,0),(-c,0) (p/2,0)【其中c²=a²-b²】【其中c²=a²+b²】准线x=±a²/cx=±a²/cx=-p/2渐近线——————y=±(b/a)x—————离心率。

高中数学圆锥曲线弦长公式摘要：1.圆锥曲线概述2.圆锥曲线弦长公式的推导3.圆锥曲线弦长公式的应用4.提高解题效率的方法正文：在高中数学中，圆锥曲线是一个重要的知识点，涉及到椭圆、双曲线和抛物线等曲线。

弦长公式是圆锥曲线中的一个关键概念，掌握它对于解决相关问题具有很大的实用价值。

一、圆锥曲线概述圆锥曲线是由一个圆锥与一个平面相交而成的曲线。

根据圆锥的顶点、开口方向和截面形状，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。

它们各自具有不同的性质和公式，但在求解弦长问题时，都可以利用相同的弦长公式。

二、圆锥曲线弦长公式的推导设直线与圆锥曲线相交于两点A、B，圆锥曲线的方程为y=f(x)。

根据两点间距离公式，弦长AB可以表示为：AB = √[(x1-x2) + (y1-y2)]为了求解弦长，我们需要先求出交点A、B的坐标。

将直线的方程y=kx+b代入圆锥曲线的方程，得到一个关于x的一元二次方程。

解这个方程，可以得到交点A、B的坐标。

三、圆锥曲线弦长公式的应用1.求解直线与圆锥曲线的交点坐标将直线的方程代入圆锥曲线的方程，解出交点坐标。

2.求解弦长利用求得的交点坐标，代入弦长公式，计算得到弦长。

3.求解其他相关问题利用求得的弦长，可以进一步求解其他问题，如弦的中点、弦的垂直平分线等。

四、提高解题效率的方法1.熟练掌握圆锥曲线的性质和公式熟练掌握圆锥曲线的性质和公式，有助于快速解决相关问题。

2.善于运用整体代换、设而不求的思想在解决圆锥曲线问题时，善于运用整体代换、设而不求的思想，可以简化运算过程。

3.多练习、多总结通过多练习，熟练掌握解题方法；通过多总结，不断提高解题效率。

总之，掌握圆锥曲线弦长公式，能够帮助我们解决圆锥曲线相关问题。